利用全等三角形证明线段的和差关系
证明形如a = b+c 的线段等式时，通常有如下三种方法：
1、直接证法（线段转换）：三角形或等角对等边进行证明?若题中出现或可证出两三角形
全等，则通过全等把结论中的三条线段转化到同一条直线上，这样证明线段的和差问题就转化为求证线段相等的问题.
例 1.如图，在△ ABC 中,/BAC=90 ° , AB=AC,DE 过点 A,BD 丄 DE, CE 丄DE,求
证:DE=BD+CE
例2.在厶ABC中，ZBAC=90 °,AB=AC, AE 是过点A的一条直线，且 B、C分别在AE的异
侧,BD丄AE于点D, CE丄AE于点E, a
求证:BD=DE+CE 久
2、截长补短法
一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这三条线段不在同一直线上时，一般方
法是截长法或补短法。截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，常用来证明线段之间的
和差关系?
(一)截长法：在长边上截取一条与某一短
边相同的线段，证剩下的线段与另一线段相等
(二)补短法
(1) 将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
(2) 通过旋转等方式使两短边拼合在一起.
例3、如图，在四边形 ABCD中，BC> BA,AD = CD , BD平分ABC ,
求证：A C 1800
C 例4.如图，在梯形 ABCD中，如图，A
D //BC, EA,EB分别平分/ DAB, ZCBA, CD过点E,
证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分 一、证明线段或角的倍分 1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍 2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问 题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。 3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或 利于利用已知条件而添。 4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与 被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。参考例 4、例 5、例6。 例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和 AC 为边向形外作的正方形。求证：FH=2AD / BAC+ / ACN=180 证明：延长AD 至N 使AD=DN 则ABNC 是平行四边形 CN=AB=FA AC=AH 又/ FAH+ / BAC=180 ???△ FAHY NCA ??? FH=AN 例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C , AD 是高，M 是BC 边上的中点。 $ ???
1 求证：DM=2 AB / 2=Z B ???/ 2=2Z 1 ???/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND ? DM=2 A B 1 贝J BFAC ??? BF=AE ???△ AEC 心 BFD ?DF 二CE 二 CD=2CE 作业: 1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1 线交AC 于F ,求证：AF=2 FC 2、AB 和AC 分别切? O 于B 和C, BD 是直径。求证/ BAC 二Z CBD 3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。求证：BD=2CE 例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E , 证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN 贝J MN // AC / 1 = / C ??? DM=DN 例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是 AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。求证：CD=2CE 证明：过B 作CD 的中线BF V AB=AC , E 是AB 的中点 又 DB=AC
中考数学复习知识点专题讲解 线段和差倍分问题的求解策略 在几何问题中，要证明一条线段是另外几条线段的和差，或是另一线段的几倍或几分之几，我们统称为线段的和差倍分问题，处理这类问题的指导思想是化归为线段的相等问题．本文举例说明几种常见的求解策略． 一、利用全等形或相似形 对于线段的倍分问题，通常可利用图形中特殊的分点为解题的突破口，找出图形中较短线段的倍分线段，再用全等三角形证明它与较长线段相等，或围绕特殊分点对应线段所在三角形寻找相似三角形，利用相似形对应线段的比例关系达到求证的目的． 例1如图1，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连CF． (1)求证：BF＝2AE； (2)若CD，求AD的长． 分析由图形的对称性，不难发现点E为AC的中点，即AC＝2AE，故问题(1)只要证明BF＝AC．
(2)略． 例2如图2，点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于点F． (1)求证：△AEB∽△OFC； (2)AD＝2OF．
二、取长补短法 对于线段的和差问题，通常采用延长较短线段或截取较长线段的方式，化归为线段的相等问题（俗称取长补短法）． 例3 如图3，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，且AB＝BD，BM ⊥AC于点M，求证：AM＝CD＋CM． 证明（延长法） 延长DC至点N，使CN＝C M，下面只要证明AM＝DN即可．连 BN，则由AB＝BD，得 ∠ACB＝∠ADB＝∠BAD＝∠BCN， 又CN＝CM，BC为公共边，
例4 如图4，在菱形ABCD中，F为BC边的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2． (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME． 解(1)略；(2)证法1（截取法） 如图4，连BD交AC于点O，分别证明AO＝DF，OM＝ME即可． 证法2（延长法） 如图5，延长DF至点N，使FN＝ME，只要证AM＝DN即可．
利用三角形全等证明线段和差倍分问题 1. 已知：D 是AB 中点，∠ ACB=90°，求证：12 CD AB 2. 已知：AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证： AC=AB+BD 3. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE C D B
4·如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD 上。求证：BC=AB+DC。 5·已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE
6．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于 D ．求证：AD +BC =AB ． 7．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于 过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ． 求证：BD =2CE ． 8·在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ， MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. P E D C B A F E D C B A
9·如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD 相等吗？请说明理由 10·如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E． （1）若BD平分∠ABC，求证CE=1 2 BD； （2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围； 若不变，求出它的度数，并说明理由。 E D C B
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 怎样证明线段的和差倍分问题 怎样证明线段的倍分问题 【典型例题】 常规题型1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ?的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2 1 = ． 常规题型2、已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠120A ，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N ．求证：CM=2BM ． 能力挑战1、如图所示，在ABC ?中，BC AB 2 1 =，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ． 能力挑战2、已知：如图所示，在ABC ?中，BD 是AC 边上的中线，BH 平分BH AF CBD ⊥∠,，分别交BD 、BH 、BC 于E 、G 、F ．求证：2DE=CF ． A D P C B Q M A D B A M N B C A E G B D H
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ 【经典练习】 1、如图所示，已知ABC ?中，21∠=∠，AD=DB ，AC DC ⊥．求证：AB AC 2 1 = ． 2、已知：如图所示，D 是ABC ?的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ?的中线．求证：AC=2AE ． 3、已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠120BAC ，D 是BC 的中点，AB DE ⊥于E ．求证：EB=3EA ． 4、已知：如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠120BAC ，P 是BC 上一点，且?=∠90BAP ．求证：PB=2PC ． 5、已知：如图所示，锐角ABC ?中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ． A B E D E CE A D E B C A D E B A P B C A D B C 1 2
线段的和差倍分问题的证明 一、运用定理法 即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM = 2 1AB 对应练习 1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ?的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2 1 = ． 2、如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，?=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 2 1 =． 3、如图所示，在ABC ?中，BC AB 2 1 = ，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ． 4、已知：如图所示，D 是ABC ?的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ?的中线．求证：AC=2AE ． Q A D P C B E M A D B A B E D C A
5、已知：如图所示，锐角ABC ?中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ． 二、割补线段法 这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。下面请看一个例子。 例2、P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ . 例3、 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，求证：DB =DE +CE 。 对应练习 1、如图所示，已知ABC ?中，?=∠60A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ． A D E B C A O E B C D
四、利用全等三角形证线段之间的和差 倍分问题 证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下： (1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。 (2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。 (3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。 后两种方法，就是通常所说的截长补短。 例1. 已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF 分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。（证明略） 例2. 已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC 证明：在EA上截取EF=BE，连结CF ∵CE⊥AB于E（已知） ∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等） ∴∠1=∠B（等边对等角） ∵∠1+∠2=180°（平角定义） ∠B+∠D=180°（已知）
∴∠2=∠D（等角的补角相等） （再往下证明略） 3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。 分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。证两条线段相等通常是通过两三角形全等来实现，本题是通过证明△BDM≌△FDM和△FDN≌△CDN来实现(如图4)；而本题给出的已知条件不能证明△BDM≌△FDM和△FDN≌△CDN，所以不适用于用截长法来证明。 “补短法”是将两条短线段中的任意一条NC（或BM）延长，比如延长NC到E，使CE=BM.(或延长MB到H,使BH=NC),再证明MN=NE(或证明MN=MH),从而得到MN=BM ＋NC。证两条线段相等通常是通过两三角形全等来实现，本题是通过证明△DBM≌△DCE和△MDN≌△EDN来实现。(如图3)；或者如图0通过证明△DBH≌△DCN和△MDH≌△MDN来实现。
2021年中考数学热点专题复习：例析线段和差倍分问题的求解策略在几何问题中，要证明一条线段是另外几条线段的和差，或是另一线段的几倍或几分之几，我们统称为线段的和差倍分问题，处理这类问题的指导思想是化归为线段的相等问题． 一、利用全等形或相似形 对于线段的倍分问题，通常可利用图形中特殊的分点为解题的突破口，找出图形中较短线段的倍分线段，再用全等三角形证明它与较长线段相等，或围绕特殊分点对应线段所在三角形寻找相似三角形，利用相似形对应线段的比例关系达到求证的目的．例1如图1，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD ＝45°，AD与BE交于点F，连CF． (1)求证：BF＝2AE； (2)若CD＝2，求AD的长． 分析由图形的对称性，不难发现点E为AC的中点，即AC＝2AE，故问题(1)只要证明BF＝AC． (2)略． 例2如图2，点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于点F． (1)求证：△AEB∽△OFC； (2)AD＝2OF．
二、取长补短法 对于线段的和差问题，通常采用延长较短线段或截取较长线段的方式，化归为线段的相等问题（俗称取长补短法）． 例3 如图3，已知点A、B、C、D顺次在⊙O上，且AB＝BD，BM⊥AC于点M，求证：AM＝CD＋CM． 证明（延长法） 延长DC至点N，使CN＝C M，下面只要证明AM＝DN即可．连BN，则由AB＝BD，得 ∠ACB＝∠ADB＝∠BAD＝∠BCN， 又CN＝CM，BC为公共边， 例4 如图4，在菱形ABCD中，F为BC边的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2． (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME．
与线段的和差倍分有关问题的处理 1. 如图，已知⊿ABC 中，0 90BAC ∠=，AB=AC ，点P 为BC 边上一动点（BP 3. 如图，正方形ABGE （四边相等，四个角都等于0 90）中，点D 在EG 上，点C 在BG 上，且045DAC ∠=，求证：CD=DE+CB. 一道老题. 4. 如图，在上题中，若点D 在EG 的延长线上，点C 在GB 的延长线上，其余条件不变. 求证：DE=BC+CD. G E A B D 先证明三角形BAC 全等于EA*,然后证明绿蓝两个图形全等,做等边转化. C G E D 5.如图，AB=AE ，AB⊥AE ，AD=AC ，AD⊥AC ，点M为BC的中点，求证：DE=2AM. M D E B A C 1.倍长中线是这道题的第一难点.辅助线做出来就做出了一大半. 2.证明角CAN和角EAD相等是本题的第二关键,在于角BAC和角AED+角ADE的相等转化到三角形ANC当中,做等量代换. 6.如图，AD是⊿ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB ，∠BAC=∠BCA，求 证：AE=2AD. 一. 倍长中线的使用,作AD等长的线段DE. 二. 证明蓝绿两三角形全等. A C 【初三】线段、角的和 差倍分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 初中数学竞赛专题选讲 线段、角的和差倍分 一、内容提要 证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。 一.转化为证明相等的一般方法 ㈠通过作图转化 1.要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长 补短法） ⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个 小量 ⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等 2.要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍 ⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等 ⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等 ㈡应用有关定理转化 1.三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和 的一半 2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半 3.直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一 半 4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 5.等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍 6.三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶1 7.有关比例线段定理 二.用代数恒等式的证明 1.由左证到右或由右证到左 2.左右两边分别化简为同一个第三式 3.证明左边减去右边的差为零 4.由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论 二、例题 例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高 求证：DC＝AB＋BD 分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD 相等。 可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C 辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。 分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。 1 线段的和差倍分教案 篇一：三角形专题线段的和差倍分 专题：三角形之线段的和差倍分 1、在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E。 （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE。（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，问DE 、AD、BE 有何关系，并说明理由。 A 2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D. 求证：DE?AD?BE. 3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD 4、如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线 垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：?BD=CF ?BD=2CE． 5、?如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D 点作EF∥BC交AB于E， 交AC于F，求证：EF=BE+CF． ?在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，过D点作EF∥BC 交AB于E，交AC于F， 试探究BE、EF与CF的数量关系． 篇二：【教案】2.4线段的和与差 2.4线段的和与差 教学目标 1．理解线段可以相加减，掌握用直尺、圆规作线段的和、差. 2．利用线段的和与差进行简单的计算。 教学重点和难点 重点：用直尺、圆规作线段的和、差。 难点：进行简单的计算。 教学时间：1课时 教学类型：新授 教学过程： 一、复习旧知，作好铺垫 1．已知线段AB，用圆规、直尺画出线段CD，使线段CD=AB. 2．两点间的距离是指（） A.连结两点的直线的长度； B.连结两点的线段的长度； 线段有关的计算题 例1.由O 是线段A Ｂ的中点，你能得出哪些关系式? ∵O 是线段AB 中点(已知) ∴ＡO= ，或AO=2 1 ,或AB=２ 例2：（1）已知:O 是线段ＡＢ中点，ＡＢ=10cm ，求OA 的长度。 （2）已知:O 是线段AB 中点,ＯA=5cm ，则ＯB= ,AB= 。 例３：线段AB=8cm,C 是ＡＢ的中点，D 是BC 的中点,求A Ｄ的长度。 例4.已知线段ＡB=10，C 是线段AB 上的任意一点,M 是A Ｃ的中点，Ｎ是BC 的中点，求线段MN 的长。 例5．已知C 为线段AB 的中点，ＡB ＝10，D 是AB 上一点,若CD ＝２，求线段BD 的长。 1. 已知:O 是线段AB 中点,OA=３c ｍ，则 OB= ,AB= 。 2. 已知：O 是线段AB 中点，A Ｂ＝７cm ，则OA ＝ 。 3.如图,若CB=４ｃm ，ＤB ＝7c ｍ，且D 是AC 的中点,ＡＣ= 。 4.长为 ２2 ｃm 的线段 AB 上有一点 C ，求A Ｃ、BC 的中点间的距离。 【拔高例题】 [例１] 填空如图,把线段AB 延长到点C,使ＢＣ=2AB,再延长BA 到点D ，使AD=3A Ｂ，则 ① DC=＿____A Ｂ=____＿BC ② D Ｂ=____＿CD=_____B Ｃ [例2] 填空 如图,点M 为线段ＡC 的中点，点N 为线段BC 的中点 ① 若AC=2cm,B Ｃ＝３cm ，则MN=__＿__c ｍ ② 若AB=６cm,则MN ＝_____cm ③ 若A Ｍ=1cm ，BC=3ｃｍ,则AB=__＿__ｃm ④ 若AB ＝5cm ，ＭC=1ｃｍ，则ＮＢ=_____c ｍ [例3] 根据下列语句画图并计算 (1)作线段AB ，在线段AB 的延长线上取点C,使ＢC=2ＡB ，M 是线段B Ｃ的中点,若ＡＢ=30ｃm,求线段BM 的长 (2)作线段AB ，在线段AB 的延长线上取点Ｃ，使BC=2AB ，M 是线段ＡC 的中点，若AB ＝30c ｍ,求线段BM 的长 [例4] 如图，已知AB= ４０,点Ｃ是线段ＡＢ的中点，点D 为线段CB 上的一点,点E 为线段D Ｂ的中点，EB=６,求线段CD 的长。 [例5] 如图，AE=2 1EB ，点F 是线段B Ｃ的中点,BF=5 1 A Ｃ＝1．５,求线段E Ｆ的长。 A B C M N A B C D E A B C E F 线段的和差倍分问题的证明 在初中几何中，证明线段的相等关系是一个重要的教学内容，而有关线段的和、差、倍、分问题，则是其中的教学难点。如何搞好线段的和差倍分的教与学？本文通过一些例题，谈谈它的一般证明方法。 一、运用定理法 即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点. 求证：DM = 21AB 分析：如图，因为2 1AB 等于△ABC 的 中位线NM 的长，所以原命题就转化为证明DM ＝NM 。∵DN 为Rt △ADC 斜边上的中线，∴DN =NC ；∴∠2=∠C ，又∵2∠C =∠B =∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠C ，∴DM =MN ，问题得证。 说明：证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。 二、割补线段法 这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍 分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。 例2 如图，在△ABC 中，BD =FC ，FG ∥DE ∥BA ，D 、F 在BC 上，E 、G 在AC 上. 求证：FG =AB -DE 分析：本题的关键在于构造一条线段， 使之等于（AB -DE ）,如图，在AB 上载取线 段AH =DE ，则AB -DE =BH ，从而把原命题转化 为证明FG =BH 的问题，进而通过证△BHD ≌FGC ，使原命题得证。 例3 如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ . 证明：延长PB 至E ，使BE =DQ ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA =AD ，∠EBA =∠QDA =90° ∴△ABE ≌△ADQ ，∴∠E =∠4，∠3=∠1， ∵∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴∠PAQ =∠BAQ =∠4 ∴∠E =∠PAE ，∴PE =AP ，既BP +BE =AP ， ∴BP +DQ =AP 说明：例2通过“分割”的形式构造从两条线段之差，例3通过“添补”的形式构造从两条线段之和，从而将原命题转化为两条线段的问题，值得注意的是：在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系时，是运用“添补”的形式构造线段的“和”或“倍”，还是运用“分割”的形式构造线段的“差”或“几分之几”，这不能取决于原命题的和差倍分形式。因为“和”与“差”，“倍”与“分”是可以互相转化的。因此，我们在选择割补的形式时要结合图形和题目的已知条件，即所割补的线段不是“孤立”的，而应能够与原来的图形产生联系。 从以上三个例题可知，在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线， 线段的和、差、倍、分问题（一） 1．数有加减乘除四则运算，线段有和差倍分四则运算。 2．线段的和差倍分四则运算，关键是正确地画出图形，有时需要分类讨论。 3．对于比较复杂的，可设某个线段为x，找出等量关系，列一元一次方程求解。 4．结论：已知线段AB，点C是线段AB上任意 ．．一点，点M，N分别是线段AC与线段BC的中点，则 MN=1 2 AB． 证明：由于点M是AC中点，所以MC= 1 2 AC，由于点N是BC中点，则CN= 1 2 BC，而MN=MC+CN= 1 2（AC+AB）= 1 2 AB。 典型例题 例1 如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=4cm，BC=2cm，那么AC两点之间的距离为（） A、2cm B、6cm C、2或6cm D、无法确定 分析：本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题． 解：本题有两种情形： （1）当点C在线段AB上时，如图：AC=AB-BC，又∵AB=4cm，BC=2cm，∴AC=4-2=2cm； （2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：AC=AB+BC，又∵AB=4cm，BC=2cm，∴AC=4+2=6cm． 例2 如果A，B，C在同一条直线上，线段AB=6cm，BC=2cm，M是AB的中点，N是BC的中点，那么M、N两点之问的距离是（） A、4cm B、2cm C、4cm或2cm D、8cm或4cm 分析：根据中点定义求出BM、BN的长度，然后分①点C不在线段AB，②点C在线段AB上两种情况进行讨论求解． 解：∵AB=6cm，BC=2cm，M是AB的中点，N是BC的中点，∴BM=1 2 AB= 1 2 ×6=3cm， BN=1 2 BC= 1 2 ×2=1cm， ①如图1，点C在线段AB的延长线上时，MN=BM+BN=3+1=4cm， ②如图2，点C在线段AB上时，MN=BM-BN=3-1=2cm， 综上所述，M、N两点之问的距离是4cm或2cm． 例3 如图，线段AC=6 cm，线段BC=15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB=1：2，求MN的长． 分析：因为点M是AC的中点，则有MC=AM= 12AC，又因为CN：NB=1：2，则有CN= 13BC，故MN=MC+NC 可求． 解：∵M是AC的中点，∴MC=AM=1 2 AC= 1 2 ×6=3cm， 又∵CN：NB=1：2，∴CN=1 3 BC= 1 3 ×15=5cm，∴MN=MC+NC=3cm+5cm=8cm． 答：MN的长为8cm． 初中数学竞赛专题选讲 线段、角的和差倍分 一、内容提要 证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。 一. 转化为证明相等的一般方法 ㈠通过作图转化 1. 要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法） ⑴分解法-- 把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量 ⑵合成法一一作出两个小量的和，证它与大量相等 2. 要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍 ⑴折半法一一作出大量的一半，证它与小量相等 ⑵加倍法-- 作出小量的2倍，证它与大量相等 ㈡应用有关定理转化 1. 三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半 2. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 3. 直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半 4. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 5. 等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍 6. 三角形的重心（各中线的交点）分中线为2 : 1 7. 有关比例线段定理 二. 用代数恒等式的证明 1. 由左证到右或由右证到左 2. 左右两边分别化简为同一个第三式 3. 证明左边减去右边的差为零 4. 由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论 二、例题 例1.已知：△ ABC中，/ B = 2/ C, AD是高 求证：DC = AB + BD 分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB , BD相等。可以高AD为轴作△ ADB的对称三角形△ ADE，再证EC = AE。 ???/ AEB =Z B = 2 / C 且/ AEB = Z C+Z EAC ,二/ EAC = Z C 辅助线是在DC 上取DE = DB，连结AE。 分析二：用合成法，把AB , BD合成一线段，证它与DC相等。仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。 为便于证明，辅助线用延长DB到F,使BF = AB，连结AF，则可得 专题八__线段与角的和差倍分计算__[学生用书A62] 一线段的和差倍分计算 教材P153作业题第4题) 已知线段AB＝a(如图1)，延长BA至点C，使AC＝1 2AB.D为线段BC的中点． (1)求CD的长； (2)若AD＝3 cm，求a的值． 在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5 cm，点O是线段AC 的中点，且OB＝1.5 cm，则BC的长是() A．6 cm B．8 cm C．2 cm或6 cm D．2 cm或8 cm 如图2，某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A，C，D，B， AC＝CD＝DB.现想在AB段建一个加油站M，要求使A，C，D，B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置在() A．在AB之间B．在CD之间C．在AC之间D．在BD之间如图3，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4 cm， 求线段CD的长度． 如图4，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB 的中点，AC＝8，EB＝5，求线段DE的长． 如图5，线段AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，M ，N 分别是CD ，AB 的中点， 且MN ＝2 cm ，求AB 的长． 如图6，点C 分线段AB 为5∶7，点D 分线段AB 为5∶11，已知CD ＝ 2 cm ，求AB 的长． 如图7，已知线段AB 上有两点C ，D ，且AC ＝BD ，M ，N 分别是线段 AC ，AD 的中点．若AB ＝a cm ，AC ＝BD ＝b cm ，且a ，b 满足(a －10)2＋???? ??b 2－4＝0.求线段MN 的长度． 二 角的和差倍分计算 如图10，已知直线AB 上一点O ，∠AOD ＝44°，∠BOC ＝32°，∠EOD ＝90°，OF 平分∠COD ，求∠FOD 与∠EOB 的度数． 已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小 30°，求∠α，∠β. 如图11，从点O 引出6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，且∠AOB ＝100°，OF 平分∠BOC ，∠AOE ＝∠DOE ，∠EOF ＝140°，求∠ 的度数． 证明线段之间数量关系的技巧 证明两线段相等 ★1.两全等三角形中对应边相等。 ★2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形三线合一。 ★4.直角三角形中斜边上的中点到三个顶点距离相等。 6.中垂线上任意一点到线段两端距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 ★9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 证明线段的和差倍分 1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。 2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。 3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。 4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。 5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。 2.*证明线段不等 1.同一三角形中，大角对大边。 2.垂线段最短。 3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 4.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。 5.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。 证明两条线段（直线）之间位置关系的技巧 证明两条直线互相垂直 ★1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 ★8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 ★10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 ★11.利用半圆上的圆周角是直角。 证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 ★4.三角形的中位线平行于第三边。 ★5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 ★7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。 谈线段的和差倍分问题的证明 东方市四更中学董崇雄 在初中几何中，证明线段的相等关系是一个重要的教学内容，而有关线段的和、差、倍、分问题，则是其中的教学难点。如何搞好线段的和差倍分的教与学？本文通过一些例题，谈谈它的一般证明方法。 一、运用定理法 即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 于D，M为BC中点. 1AB 求证：DM = 2 1AB等于△ABC的 分析：如图，因为 2 中位线NM的长，所以原命题就转化为证明DM＝NM。∵DN为Rt△ADC斜边上的中线，∴DN=NC；∴∠2=∠C，又∵2∠C=∠B=∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠C ，∴DM=MN，问题得证。 说明：证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。 二、割补线段法 这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补” 的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍 分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。 例2 如图，在△ABC 中，BD =FC ，FG ∥DE ∥BA ，D 、F 在BC 上，E 、G 在AC 上. 求证：FG =AB -DE 分析：本题的关键在于构造一条线段， 使之等于（AB -DE ）,如图，在AB 上载取线 段AH =DE ，则AB -DE =BH ，从而把原命题转化 为证明FG =BH 的问题，进而通过证△BHD ≌FGC ，使原命题得证。 例3 如图，P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ . 证明：延长PB 至E ，使BE =DQ ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA =AD ，∠EBA =∠QDA =90° ∴△ABE ≌△ADQ ，∴∠E =∠4，∠3=∠1， ∵∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴∠PAQ =∠BAQ =∠4 ∴∠E =∠PAE ，∴PE =AP ，既BP +BE =AP ， ∴BP +DQ =AP 说明：例2通过“分割”的形式构造从两条线段之差，例3通过“添补”的形式构造从两条线段之和，从而将原命题转化为两条线段的问题，值得注意的是：在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系时，是运用“添补”的形式构造线段的“和”或“倍”，还是运用“分割”的形式构造线段的“差”或“几分之几”，这不能取决于原命题的和差倍分形式。因为“和”与“差”，“倍”与“分”是可以互相转化的。因此，我们在选择割补的形式时要结合图形和题目的已知条件，即所割补的线段不是“孤立”的，而应能够与原来的图形产生联系。 从以上三个例题可知，在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，【初三】线段、角的和差倍分
线段的和差倍分教案
七年级上期有关角和线段的和差倍分专项训练经典
谈线段的和差倍分问题的证明
线段的和差倍分问题一
【初三】线段、角的和差倍分
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