高三数学合情推理、反证法、数学归纳法

数学平面几何的推理和证明数学平面几何是数学中的一个重要分支，研究平面上的图形和它们之间的关系。

推理和证明是数学平面几何中最基本的思维方式和方法，它们帮助我们发现几何图形之间的内在规律，解决各种几何问题。

本文将探讨数学平面几何中推理和证明的方法和技巧。

一、推理和证明的基本原理在数学平面几何中，推理和证明是建立在严格的逻辑基础之上的。

它们遵循一定的规则和原理，确保从已知事实推导出正确的结论。

以下是推理和证明中常用的基本原理：1. 公理和定义：数学平面几何的推理和证明是建立在一系列公理和定义之上的。

公理是不需要证明的基本事实，而定义是给出图形和概念的精确定义。

我们可以根据公理和定义来进行推理和证明。

2. 推理规则：在推理和证明过程中，我们需要运用一些基本的推理规则。

比如，反证法、数学归纳法、等价替代法等。

这些推理规则帮助我们从已知的条件中得出新的结论。

3. 推理链：推理和证明的过程是一个逐步推进的过程。

我们需要构建一个推理链，从已知条件开始，通过一系列推理步骤得出最终的结论。

二、推理和证明的方法和技巧推理和证明在数学平面几何中有许多不同的方法和技巧。

下面介绍几种常用的方法：1. 直接证明法：这是最常见的证明方法之一，也是最直接的方法。

它通过给出已知条件、构造推理链，最终得出所要证明的结论。

这个方法要求推理过程中每一步都是正确的，每一步都要给出充分的理由。

2. 反证法：反证法是推理和证明中常用的方法之一。

它假设所要证明的结论不成立，通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原假设是错误的。

这个方法常用于证明某些定理的唯一性。

3. 数学归纳法：数学归纳法常用于证明一些关于自然数的结论。

它分为两个步骤：首先证明当n=1时结论成立，然后假设当n=k时结论成立，再证明当n=k+1时结论也成立。

通过这个过程可以推导出结论对于所有自然数成立。

4. 等价替代法：等价替代法是用于证明一个命题中的各个等价条件之间的关系。

通过证明这些等价条件的任意一个，就可以推导出其他等价条件的成立。

高三数学九大模块的知识点高三数学可以说是中学阶段数学学习的最后一站，也是最为关键的一站。

在高三数学中，学生需要掌握并运用九大模块的知识点。

这九大模块包括代数与函数、立体几何、平面向量、数列与数学归纳法、解析几何、概率统计、三角函数、导数与微分以及积分与定积分。

代数与函数这一模块是数学学习的基础，也是高三数学的基石。

学生需要掌握代数式的化简、方程与不等式的解法、函数的性质以及函数图像的绘制等知识点。

此外，学生还需要熟练掌握函数的运算、反函数、函数的相交以及函数的最值等重要概念和技巧。

立体几何是高三数学中的一大重点。

学生需要了解各种几何体的性质，如球、圆锥、圆柱、圆台等，并能运用这些性质解决相关的问题。

此外，学生还需要掌握立体几何中的投影、截面、体积与表面积的计算。

平面向量是高三数学中的一门重要课程。

学生需要学习向量的定义、运算和性质，并能灵活运用向量解决几何问题。

此外，学生还需要掌握向量的共线、垂直以及平行等重要概念，能够准确判断和计算向量之间的关系。

数列与数学归纳法是高三数学中的一项基本内容。

学生需要了解等差数列、等比数列以及等差数列与等比数列的应用，并能够应用数列的性质解决相关问题。

此外，学生还需要熟练运用数学归纳法，能够用归纳的方法证明数学命题的正确性。

解析几何是高三数学中的一门重要课程。

学生需要学习平面坐标系、直线的方程以及圆的方程，并能够应用这些知识解决几何问题。

此外，学生还需要学习曲线的方程以及相关的性质，并能够运用曲线的性质解决相关问题。

概率统计是高三数学中的一门实用课程。

学生需要学习概率的定义与性质，掌握计算概率的方法，并能够应用概率解决实际问题。

此外，学生还需要学习统计的方法和技巧，能够进行数据的整理、分析和解读。

三角函数是高三数学中的一门基础课程。

学生需要学习三角函数的定义、性质以及图像，并能够根据图像解决相关问题。

此外，学生还需要学习三角方程、三角不等式以及三角函数的应用，能够灵活运用这些知识解决相关问题。

高中数学推理证明题的常用证明方法及实例解析在高中数学中，推理证明题是一种常见的题型，要求学生运用已知的条件和基本的数学知识，通过逻辑推理和证明方法来得出结论。

这类题目不仅考察学生的数学思维能力，还培养了学生的逻辑思维和分析问题的能力。

本文将介绍一些常用的证明方法，并通过具体的题目解析，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、直接证明法直接证明法是最常见的证明方法之一，它通过逻辑推理和运用已知条件来得出结论。

具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。

2. 其次，我们要分析已知条件，找到与结论相关的条件和信息。

3. 然后，我们要根据已知条件和结论，通过逻辑推理和数学运算，一步一步地推导出结论。

4. 最后，我们要对证明过程进行总结，确保每一步的推理都是合理的，并且符合数学规律。

下面通过一个具体的例子来说明直接证明法的应用。

【例题】已知：直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC。

证明：∠ABC=45°。

【解析】根据已知条件，我们可以得到∠B=90°和AB=BC。

接下来，我们通过直接证明法来证明∠ABC=45°。

由于∠B=90°，所以∠ABC+∠BCA=90°。

（三角形内角和定理）又因为AB=BC，所以∠BCA=∠ABC。

（等腰三角形的性质）将上述两个等式带入∠ABC+∠BCA=90°中，得到∠ABC+∠ABC=90°。

化简得到2∠ABC=90°，即∠ABC=45°。

因此，我们通过直接证明法证明了∠ABC=45°。

二、间接证明法间接证明法是一种通过反证法来证明结论的方法。

它假设结论不成立，然后通过逻辑推理推导出矛盾的结论，从而反驳了假设，证明了结论的正确性。

具体步骤如下：1. 首先，我们要明确问题的要求，即要证明的结论是什么。

2. 其次，我们要假设结论不成立，即假设反面命题成立。

专题19 演绎推理与合情推理解题技巧【知识要点】1．合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理．当前提为真时，结论可能为真的推理叫合情推理．数学中常见的合情推理有：归纳和类比推理．(1)根据某类事物的部分对象具有的某些特征推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)演绎推理的一般模式——“三段论”①大前提——已知的一般性的原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论.证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想3.演绎推理演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法.是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.4.注意归纳和类比的结论的可靠性有待于证明.1．直接证明(1)从原命题的条件逐步推得命题成立的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．(2)从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．推证过程如下：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(3)从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的充分条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．推论过程如下：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．P—表示条件，Q—表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法的特点：先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．推论过程如下：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件．P—表示条件，Q—表示要证的结论．2．间接证明——反证法(1)假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做_________．(2)反证法的特点：先假设原命题__________成立，再在正确的推理下得出矛盾，所得矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．2.关于反证法使用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式、事实矛盾等.反证法的步骤：(1)反设；(2)推出矛盾；(3)下结论.矛盾的主要类型：(1)与假设矛盾；(2)与数学公式、法则、公理、定理、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾；(4)自相矛盾.1.数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法.它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善.2.证明代数恒等式的关键是第二步，将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论.3.用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，利用证明不等式的方法(如放缩)把式子化为n ＝k ＋1成立时的式子.4.用数学归纳法证明几何问题时，要注意结合几何图形的性质，在求由“n ＝k 到n ＝k ＋1”增加的元素个数时，可以先用不完全归纳法找其变化规律.5.由有限个特殊事例进行归纳、猜想，而得出一般性结论，然后加以证明是科学研究的重要思想方法，研究与正整数有关的数学问题，此方法尤为重要，如猜想数列的通项a n 或前n 项和S n ，解决与自然数有关的探索性、开放性问题等.这里猜想必须准确，证明必须正确.既用到合情推理，又用到演绎推理.猜想的准确与否可用证明来检验，否则不妨再分析，再猜想，再证明，猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性，二者相辅相成.题型典例分析1.归纳法例1已知数列{}{},n n a b 满足，，则2017b =（ ）A. 20172018B. 20182017C. 20152016D. 20162015【答案】A 【解析】数列{}{},n n a b 满足，，，，由此猜想，故选A.【规律方法总结】本题通过观察数列的前几项，归纳出数列通项来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.练习1.将正整数排成下表：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16……………则在表中数字2017出现在（）A. 第44行第80列B. 第45行第80列C. 第44行第81列D. 第45行第81列【答案】D练习2. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，则按照以上规律，若具有 “穿墙术”，则n=A. 35B. 48C. 63D. 80【答案】C【解析】根据规律得,所以,选C.练习3．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A. nB. 2nC. 1n -D. 1n +【答案】D【解析】最大的正方形面积为1，当n=1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为1n +，选D. 练习4.九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： 2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则7S 为（ ）A. 1089B. 680C. 840D. 2520【答案】A【解析】当7n =时，序列如图：故练习5. 如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．【答案】194【解析】 由题意得，前19行共有个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.练习6．(导学号：05856327)观察下列等式：1＝12＋13＋16；1＝12＋14＋16＋112；1＝12＋15＋16＋112＋120；…，以此类推，1＝12＋16＋17＋＋120＋130＋142，其中n∈N*.则n＝________.【答案】12【解析】1＝12＋(12－13)＋13，1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋14，1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋15，…，以此类推，故1＝12＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＋(15－16)＋(16－17)＋1 7＝12＋16＋17＋112＋120＋130＋142，故n＝12.故答案为：12【规律方法总结】：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.练习7. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）．（2）三角恒等式：．证明如下：左边2.类比法例2. 二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度38V r π=,则其思维测度W=（ ）A. 42r πB. 43r πC. 44r πD. 46r π【答案】A【解析】由题意得，二维空间中，二维测度的导数为一维测度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度．由此归纳，在四维空间中，四维测度的导数为三维测度，故42W r π=．选A ．练习1. 如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.运用类比推理，若对∀n ∈N *，恒成立，则实数A＝________.【答案】ln2练习2.我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC 的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为( )A. S2＝S＋S＋SB.C. S＝S1＋S2＋S3D.【答案】A【解析】如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝(12BC·AD)2＝14BC2·AD2＝14BC2·(OA2＋OD2)＝14(OB2＋OC2)·OA2＋14BC2·OD2＝(12OB·OA)2＋(12OC·OA)2＋(12BC·OD)2＝.练习3. 对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．思考上述解法，若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为( )A. (－3，－1)∪(1,2)B. (1,2)C. (－1,2)D. (－3,2)【答案】A【解析】由关于x的不等式的解集为，得的解集为(－3，－1)∪(1,2)，即关于x的不等式的解集为(－3，－1)∪(1,2)．练习4 ．已知数列{a n}为等差数列，若a m＝a，a n＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则.类比上述结论，对于等比数列{b n}(b n>0，n∈N*)，若b m＝c，b n＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到b m＋n等于( )A.mn mndc- B.mm nndc-C.nn mmdc- D.nm nmdc-【答案】C【解析】观察{a n }的性质：，则联想nb －ma 对应等比数列{b n }中的nm d c，而{a n }中除以(n －m )对应等比数列中开(n －m )次方，故b m ＋n ＝n n m md c -. 练习5. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是，则1227用算筹表示为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意得到个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，分别在所给的横式和纵式中选择1227中每个数字对应的图，可选答案为B 。

第五节-合情推理与演绎推理高考要求：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学中的作用。

2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用他们进行一些简单的推理。

3.了解要以推理和合情推理的联系和区别。

直接证明和间接证明：1.了解直接证明的两种基本方法：分析法、综合法；2.3.了解间接证明的方法：反证法；反证法的思考过程，特点。

归纳法：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的问题。

知识体系：备考方略：推理与证明是新课标的新增内容，推理是中学数学的重点内容，是高考重点考察的内容之一，每年都有涉及推理的试题，题型为选择题、填空题、解答题都有。

难度为易、中、难。

推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法，。

本章的课程目标就是让学生结合自己学过的生活实例，了解合情推理和演绎推理的意义。

以及它们之间的联系和区别，并利用合情推理去猜测和发现一些新的结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向，利用演绎推理区进行一些简单的推理，证明一些数学结论证明包括直接证明和间接证明，其中数学归纳法是将无穷的归纳过程，更具归纳原理转化为有限的特殊（直接和演绎推理相结合）的过程，要很好的掌握其原理和灵活运用。

对于类比问题可以说是创新要求的具体体现，最常见的就是二维问题和三维问题的类比，同结构问题的类比，比如圆锥曲线问题内的类比，数列内部的类比，等。

较少对照不同结构的类比问题。

关于归纳、猜想、证明是考得比较多的、比较成熟的题型了。

归纳、演绎和类比推理在数学中占有非常重要的地位，在高考中归纳、猜想、证明这一类问题是常考常新的。

这类问题综合了函数、方程、不等式、解析几何、立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、划归思想、分类讨论思想、等，对学生的知识和能力要求较高，是对学生的思维品质和逻辑思维能力，表达能力的全面考察，可以弥补选择题和填空题等客观试题的不足，是提高区分度、增强选拔功能的重要题型，因此高考试题中，推理与证明问题在正在成为热点题型，应当引起我们的高度重视。

2.3 数学归纳法1．数学归纳法的内容如下:一个错误!与正整数有关的命题，如果(1）错误!当n取第一个值n0（例如n0＝1或n0＝2等）时结论正确,(2）错误!假设当n＝k（k∈N*，且k≥n0)时结论正确,能够证明当n＝k＋1时结论也正确,那么可以断定错误!这个命题对n∈N＊且n≥n0的所有正整数都成立．2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是错误!递推的基础，第二步的作用是错误!递推的依据．3．数学归纳法实质上是错误!演绎推理法的一种，它是一种错误!严格的证明方法，它只能错误!证明结论,不能发现结论，并且只能证明错误!与正整数相关的命题．4．常把归纳法和数学归纳法结合起来,形成错误!归纳—猜想-证明的思想方法，既可以错误!发现结论，又能错误!给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法．5．用数学归纳法证明命题时，两步错误!缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用错误!归纳假设，否则不是数学归纳法．对数学归纳法本质的理解数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然,知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．(1）有n个骨牌排成如图所示的一排,现推倒第一张骨牌，会有什么现象?（2）要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度）（3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果?(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下）（4）如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？(5）能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是:①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下）错误!错误!错误!错误!错误!错误!…运用类比的方法,我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华,进而得到数学归纳法证明的步骤：（1)当n＝1时，结论成立；（2)假设当n＝k时结论成立,证明n＝k＋1时结论也必定成立．错误!错误!错误!错误!错误!错误!…1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×")（1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．（)(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.（)（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )答案(1)×(2）×(3）√2．做一做（1)已知f（n）＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则f（n）共有________项，f(2)＝________。

推理与证明【最新考纲透析】1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

2．直接证明与间接证明（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。

3．数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【核心要点突破】要点考向1：合情推理考情聚焦：1．合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联想的能力，在高考中越来越受到重视；2．呈现方式金榜经，属中档题。

考向链接：1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；2．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。

在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。

例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式：① cos2a=22cos a -1;② cos4a=84cos a - 82cos a + 1; ③ cos6a=326cos a - 484cos a + 182cos a - 1;④ cos8a=1288cos a - 2566cos a + 1604cos a - 322cos a + 1;⑤ cos10a= m 10cos a - 12808cos a + 11206cos a + n 4cos a + p 2cos a - 1.可以推测，m – n + p = .【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解．【思路点拨】根据归纳推理可得．【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，m 12801120n p 11∴-+++-=，m n p 162∴++=，又9p 10550,m 2512=⨯===，n 400∴=-，m n p 962∴-+=．【答案】962．要点考向2：演绎推理考情聚焦：1．近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的；2．主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。