考研高等数学三公式手册

考研数学三公式大全高等数学公式导数公式： 基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x Cx dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xa x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππA.积化和差公式：B.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 1.正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2..余弦定理：a2=b2+c2-2bc A cos b2=a2+c2-2ac B cosc 2=a 2+b 2-2ab C cos bca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C BA c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)(④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -=④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sinθθ-±=②2cos 12sin 2θθ-=③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=-⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 多元函数微分法及应用将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；1. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积；④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤、拉普拉斯展开式：AO A C A BCB O B==、(1)m n CA OA A BBO B C==-⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n kk k E A S λλλ-=-=+-∑，其中kS 为k 阶主子式； 3. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1. A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n=（是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解；⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解； ⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A的特征值全不为0； ⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是nR 的一组基； ⇔A是nR 中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立；3. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；4. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 若12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则： Ⅰ、12sA A A A =；Ⅱ、111121s A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；②、111A O A O O B OB ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块） ③、111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块）④、11111A C A A CB O B O B-----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） ⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n ⨯矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEO F OO ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭；等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ⇔ ； 2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、 若(,)(,)rA E E X ，则A 可逆，且1X A -=；②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B-，即：1(,)(,)cA B E A B - ~ ；③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)rA b E x ，则A 可逆，且1x A b -=；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、12n ⎛⎫ ⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭λλλ，左乘矩阵A ，iλ乘A 的各行元素；右乘，iλ乘A 的各列元素；③、对调两行或两列，符号(,)E i j ，且1(,)(,)E i j E i j -=，例如：1111111-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④、倍乘某行或某列，符号(())E i k ，且11(())(())E i k E i k-=，例如：1111(0)11k k k -⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤、倍加某行或某列，符号(())E ij k ,且1(())(())E ij k E ij k -=-，如：11111(0)11k k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5. 矩阵秩的基本性质： ①、0()min(,)m nr A m n ⨯≤≤；②、()()Tr A r A =；③、若A B ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※） ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）； Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-； 6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）⨯行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； ②、型如101001a c b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnn m n mmn n n nm m n mnnnnnn m a b C a C ab C ab Ca bC b C a b -----=+=++++++=∑；注：Ⅰ、()na b +展开后有1n +项；Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!--+====-m n nn n n n n m n CC C m m n mⅢ、组合的性质：11112---+-===+==∑nmn mm m m r nr r nnn nnnn n r CCCC CCrC nC ；③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；②、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAX X A A AA X X λλλ- == ⇒ =；③、*1AA A -=、1*n AA-=8. 关于A 矩阵秩的描述：①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0，1n +阶子式全部为0；（两句话）②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0； ③、()r A n ≥，A 中有n 阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b =，其中A 为m n ⨯矩阵，则：①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程； ②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程；10. 线性方程组Ax b =的求解：①、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程： ①、11112211211222221122n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩；②、1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（向量方程，A 为m n ⨯矩阵，m个方程，n 个未知数）③、()1212n n x xaa a x β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）；④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1. m 个n 维列向量所组成的向量组A ：12,,,mααα构成n m ⨯矩阵12(,,,)m A =ααα；m个n 维行向量所组成的向量组B ：12,,,T T T mβββ构成m n ⨯矩阵12T T T m B βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关 0Ax ⇔=有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 Ax b⇔=是否有解；（线性方程组）③、向量组的相互线性表示 AX B ⇔=是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵m nA ⨯与l nB ⨯行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax =和0Bx =同解；(101P 例14)4. ()()Tr A A r A =；(101P 例15)5. n 维向量线性相关的几何意义： ①、α线性相关 ⇔0α=；②、,αβ线性相关 ⇔,αβ坐标成比例或共线（平行）； ③、,,αβγ线性相关⇔,,αβγ共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若12,,,sααα线性相关，则121,,,,ss αααα+必线性相关；若12,,,sααα线性无关，则121,,,s ααα-必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量，构成n 维向量组B ：若A 线性无关，则B 也线性无关；反之若B 线性相关，则A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s ）线性表示，且A 线性无关，则r s ≤(二版74P 定理7)；向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86P 定理3）向量组A 能由向量组B 线性表示AX B⇔=有解；()(,)r A r A B ⇔=（85P 定理2）向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ⇔ ==（85P 定理2推论） 8. 方阵A 可逆⇔存在有限个初等矩阵12,,,lP P P ，使12lA P PP =；①、矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解②、矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）；③、矩阵等价：~A B PAQ B ⇔=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m nA ⨯与l nB ⨯：①、若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等； ②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m ss n m nAB C ⨯⨯⨯=，则：①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵；②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，TA 为系数矩阵；（转置）11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、0ABx = 只有零解0Bx ⇒ =只有零解； ②、0Bx = 有非零解0ABx ⇒ =一定存在非零解； 12. 设向量组12:,,,n rrBb b b ⨯可由向量组12:,,,n ssAa a a ⨯线性表示为：（110P 题19结论）1212(,,,)(,,,)r s b b b a a a K=（B AK =）其中K 为s r ⨯，且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ⇔=；（B与K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性：反证法） 注：当r s =时，K 为方阵，可当作定理使用； 13. ①、对矩阵m nA ⨯，存在n mQ ⨯，mAQ E=()r A m⇔=、Q 的列向量线性无关；（87P ）②、对矩阵m nA ⨯，存在n mP ⨯，nPA E=()r A n⇔=、P 的行向量线性无关； 14.12,,,sααα线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,sk k k ，使得1122s s k k k ααα+++=成立；（定义）⇔1212(,,,)0s s x xx ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；⇔12(,,,)s r sααα<，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n ⨯的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S 的秩为：()r S n r =-； 16. 若*η为Ax b =的一个解，12,,,n rξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*12,,,,n rηξξξ-线性无关；（111P 题33结论）5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵TA A E ⇔=或1TAA -=（定义），性质：①、A 的列向量都是单位向量，且两两正交，即1(,1,2,)T i j i j a a i j n i j=⎧==⎨≠⎩；②、若A 为正交矩阵，则1TAA -=也为正交阵，且1A =±；③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =；121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A 与B 等价 ⇔A 经过初等变换得到B ；⇔=PAQ B，P 、Q 可逆； ()()⇔=r A r B ，A 、B 同型；②、A 与B 合同 ⇔=TCAC B，其中可逆； ⇔T x Ax与Tx Bx 有相同的正、负惯性指数；③、A 与B 相似 1-⇔=PAP B；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C 为正交矩阵，则TC AC B =⇒A B ，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵；7. n 元二次型Tx Ax 为正定：A ⇔的正惯性指数为n ；A ⇔与E 合同，即存在可逆矩阵C ，使TC AC E =；A ⇔的所有特征值均为正数； A⇔的各阶顺序主子式均大于0；0,0ii a A ⇒>>；(必要条件)考研概率论公式汇总1．随机事件及其概率吸收律：A AB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)(AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)(反演律：B A B A =⋃BA AB ⋃= ni ini i A A 11=== ni i ni iA A11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂)()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有)()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 3．条件概率乘法公式())0)(()()(>=A P A B P A P AB P全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==ni i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()( 4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λnn np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk n n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U (2) 指数分布 )(λE (3) 正态分布 N (μ , σ2 ) *N (0,1) — 标准正态分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=xydvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数8.连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) (2)二维正态分布9.二维随机变量的条件分布 10.随机变量的数字特征 数学期望随机变量函数的数学期望X 的k 阶原点矩)(k X E X 的k 阶绝对原点矩)|(|k X EX 的k 阶中心矩)))(((k X E X E -X 的方差)()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的k + l 阶混合原点矩)(l k Y X E X ,Y 的k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的二阶混合原点矩)(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -= 方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -=())()()(21Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ。

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。

－－泰戈尔数学公式导数公式：基本积分表：等价无穷小量代换()时，有：当0→x ϕx x ~sin x x ~tan x x ~arcsin x x ~arctanax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππa x a x ln ~1- x e x ~1-()ax x a~1+x nx n 1~11-+()x x ~1ln +221~cos 1x x -两个重要极限： 高阶导数公式()n m nm x n m m m x -+--=)1) (1)()!n x nn = ()()n x nx a a a ln =()ax n nax e a e =()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2sin sin πn x x n()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2cos cos πn x x n()()xnx ex n xe +=()()1!11+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n nna x n a x ——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑泰勒公式：e x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+ …sin x = x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n + …cos x = 1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x n n -+ …ln (1+x) = x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n + …tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r =1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1 中值定理与导数应用：...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xx x x x x拉格朗日中值定理。

高等数学公式导数公式：基本积分表：ax x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x Cx dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 22222222Ca x x a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xa x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， A.积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin B.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 1.正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2..余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

高等数学公式导数公式：基本积分表：ax x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x Cx dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 22222222Ca x x a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xa x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， A.积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin B.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 1.正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2..余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±②βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±μ1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±μ6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

考研数学三公式020*******1.定积分的换元法：换元法是定积分中常用的一种方法，通过变量代换来简化积分表达式。

其具体步骤如下：设有定积分∫f(x)dx，其中f(x)是一个连续函数，即要求对f(x)进行积分求解。

首先，设u=g(x)是一个可导、单调且在区间[a,b]内具有连续导数的函数，且u=g(x)的导函数g'(x)在区间[a,b]内不为零。

我们将x表示为u的函数，即x=h(u)，则可得到以下公式：∫f(x)dx = ∫f[h(u)]h'(u)du其中dx表示在x变量上的微元，du表示在u变量上的微元。

通过这个公式，我们可以将原来的积分转变为新的变量u的积分，从而简化计算。

换元法在求解一些复杂的定积分问题时非常有用，能够简化计算过程，提高计算效率。

2.二重积分的极坐标法：极坐标法是求解二重积分问题中常用的方法，特别适用于涉及到圆形、对称形等几何图形的计算。

对于二重积分，我们通常使用的是直角坐标系，即以x轴和y轴为基准进行计算。

而在极坐标系中，我们以原点O为基准，以极径r为横坐标，以极角θ为纵坐标进行计算。

利用极坐标系与直角坐标系之间的变换关系，我们可以将二重积分的计算转换为在极坐标下的计算。

具体而言，设有二重积分∬f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是一个连续函数。

我们可以通过极坐标变换，将x表示为r和θ的函数，即x=r*cosθ，y=r*sinθ。

则可得以下公式：∬f(x,y)dxdy = ∬f(r*cosθ, r*sinθ)rdrdθ其中dxdy表示在直角坐标系下的微元面积，rdrdθ表示在极坐标系下的微元面积。

通过这个公式，我们可以将原来的二重积分转变为在极坐标下的二重积分，从而简化计算。

极坐标法在求解涉及到极坐标的几何图形的面积、质量等问题时非常有用，能够提高计算效率。

3.多重积分的重积分守恒法：重积分守恒法是求解多重积分问题中常用的一种方法，通过将多重积分拆分成多个一重积分的相乘形式，从而简化计算。

高等数学公式导数公式:基本积分表：ax x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x Cx dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 22222222Ca x x a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xa x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分:222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， A 。

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：A.积化和差公式：ax x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x Cx dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 22222222Ca x x a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xa x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππB.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 1.正弦定理：A asin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径）2..余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc4=2R 2A sin B sin C sin=A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试α的同名三角函数值，前α看作锐角时，原三角函数函数名不变，符号看象限和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )±=±②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)(④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定）①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：中值定理与导数应用： 多元函数微分法及应用 多元函数的极值及其求法： 常数项级数： 级数审敛法：绝对收敛与条件收敛： 函数展开成幂级数： 幂级数：一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 微分方程的相关概念即得齐次方程通解。

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='⋅-='⋅='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx xdx x Cx dx x x Cx xdx x dx C x xdx x dx xx)ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xa x a dx Cx x xdx C x x xdx Cx xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln tan 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， 和差角公式： ·和差化积公式：倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cot cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan2cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±= ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：x arcc x x x tan 2arctan arccos 2arcsin -=-=ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理和导数使用：拉格朗日中值定理。

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。