考研高数公式定理大全
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考研数学高数重要公式总结高等数学是考研数学中的重要科目之一,公式的掌握对于解题非常重要。
下面是高等数学中一些重要的公式总结:1.导数公式:(1)基本公式:若y=f(x)是可导函数,则有:f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h(2)常见函数的导数:(仅列举部分)常数函数k'(x)=0幂函数x^n的导数[nx^(n-1)]指数函数a^x的导数[a^x×ln(a)]对数函数log(a)x的导数[1/x×ln(a)](3)导数运算公式:[cf(x)]'=cf'(x)[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)[f(x)×g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(g(x))]'=f'[g(x)]×g'(x)2.泰勒公式:设在x=a处进行n阶导数的计算,则:f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2!×f''(a)+⋯+(x-a)^n/n!×f^(n)(a)3.不定积分公式:(1)基本公式:∫f'(x)dx=f(x)+C(2)常见函数的不定积分:(仅列举部分)∫c dx=cx+C∫x^(n)dx=x^(n+1)/(n+1)+C (n≠-1)∫a^xdx=a^x/ln(a)+C∫du/u=ln,u,+C(3)积分运算公式:∫[cf(x)+g(x)]dx=c∫f(x)dx+∫g(x)dx∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C4.定积分公式:(1)基本公式:∫[a, b]f(x)dx=F(b)-F(a)(2)常见函数的定积分:(仅列举部分)∫[a, b]dx=b-a∫[a, b]x^(n)dx=(b^(n+1)-a^(n+1))/(n+1) (n≠-1)∫[a, b]e^xdx=e^b-e^a∫[a, b]sinθdθ=-cosθ,^b_a(3)积分运算公式:∫[a, b][cf(x)+g(x)]dx=c∫[a, b]f(x)dx+∫[a, b]g(x)dx∫[a, b]f(g(x))g'(x)dx=∫[g(a), g(b)]f(u)du (令u=g(x))以上仅是高等数学中的一部分重要公式总结,实际上还有许多其他公式和定理。
考研高等数学高数公式在考研高等数学中,高数公式是非常重要的一部分,掌握了这些公式可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
下面是一些常见的高数公式。
1.导数相关公式:-基本导数公式:$\frac{d(c)}{dx}=0$ (常数导数为0)$\frac{d(x^n)}{dx}=nx^{n-1}$ (幂函数的导数)$\frac{d(\sin x)}{dx}=\cos x$ (正弦函数的导数)$\frac{d(\cos x)}{dx}=-\sin x$ (余弦函数的导数)$\frac{d(\tan x)}{dx}=\sec^2 x$ (正切函数的导数)-乘法法则:$\frac{d(uv)}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ (两个函数的乘积的导数)-除法法则:$\frac{d(\frac{u}{v})}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ (两个函数的商的导数)-复合函数求导法则:$\frac{d(u(v))}{dx}=\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}$ (复合函数的导数)2.积分相关公式:-不定积分公式:$\int kdx=kx+C$ (常数的积分)$\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ (幂函数的不定积分,n不等于-1)$\int e^xdx=e^x+C$ (指数函数的不定积分)$\int \sin xdx=-\cos x+C$ (正弦函数的不定积分)$\int \cos xdx=\sin x+C$ (余弦函数的不定积分)$\int \tan xdx=-\ln,\cos x,+C$ (正切函数的不定积分)-定积分基本公式:$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ (定积分的基本公式)$\int_{a}^{b}kdx=k(b-a)$ (常数的定积分)-分部积分法则:$\int u dv=uv-\int v du$ (分部积分法则)3.极限相关公式:-基本极限:$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ (正弦函数的极限)$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$ (余弦函数的极限)-洛必达法则:若$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$,则$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ (洛必达法则)-泰勒展开公式:$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...$ (泰勒展开公式)以上只是一些高等数学中常用的公式,掌握了这些公式可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
数学知识点背诵高数部分1. 导数公式22(tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot x xx xx x x x x x'='=-'=⋅'=-⋅22(arcsin )(arccos )1(arctan )11(cot )1x x x x arc x x '='='=+'=-+2. 积分公式2222tan ln cos cot ln sin sec ln sec tan csc ln csc cot sec tan cos csc cot sin sec tan sec csc cot csc xdx x C xdx x Cxdx x x C xdx x x Cdx xdx x C x dx xdx x Cx x xdx x Cx xdx x C=-+=+=++=-+==+==-+⋅=+⋅=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222221arctan 1ln 21ln 2ln(arcsin dx xC a x a a dx x aC x a a x a dx a xC a x a a x x CxC a=++-=+-++=+--=+=+⎰⎰⎰222ln(2ln 2arcsin 2a x Ca x C a x Ca=+=-++=++22201sin cos nn n n n I xdx xdx I nππ--===⎰⎰3. 和差化积sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=-4. 积化和差[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=-+-- 5. 万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+ 221t a n2c o s 1t a n 2ααα-=+ 22t a n2t a n 1t a n2ααα=- 6. 半角公式221cos sin 221cos cos 22αααα-=+= 21c o s t a n 21c o s s i n 1c o s t a n 21c o s s i nαααααααα-=+-==+7. 三倍角公式3332sin 33sin 4sin cos34cos 3cos 3tan tan tan 313tan αααααααααα=-=--=- 8. 三角函数关系图sin costan 1cot sec csc↔↔↔⊗↔↔↔↔↔↔⊗⊗↔↔↔..1.a b c ⊗说明:六边形每个顶点等于两相邻顶点乘积三条对角线上,两端点相乘等于标记的三角形,上面的平方和等于下面的平方9. 等价无穷小33333333222201sin ()61arcsin ()61tan ()31arctan ()31ln(1)()21cos 1()2x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x o x →=-+=++=++=-++=-+=-+时2011ln 11cos 2(1)1x x x e x a x a x xx x αα→---+-时10. 华里士公式等华里士公式:2200131,222sin cos 132,123n nn n n n n xdx xdx n n n n n πππ--⎧⋅⋅⎪⎪-==⎨--⎪⋅⎪-⎩⎰⎰为正的偶数为大于的奇数20sin 2sin nn xdx xdx ππ=⎰⎰2002c o s ,c o s 0,n nxdx n xdx n ππ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为偶数为奇数2220004sin ,sin =cos 0,n n nxdx n xdx xdx n πππ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰为偶数为奇数()()220sin cos f x dx f x dx ππ=⎰⎰ ()()00sin cos f x dx f x dx ππ≠⎰⎰()()()20sin sin sin 2xf x dx f x dx f x dx πππππ==⎰⎰⎰11. 函数展开为幂级数20201+()!2!1(1)1(1)(11)1n nxn n n n nn x x x e x x n n x x x x x x ∞=∞===++++-∞<<+∞=-=-+-+-+-<<+∑∑!20234111213572122011(11)1ln(1)(1)(1)(11)234sin (1)(1)()(21)!3!5!7!(21)!cos (1)1(2)!2!n n n n nn n n n n nnn n nn x x x x x x x x x x x x x x n nx x x x x x x x n n x x x n ∞=∞--=++∞=∞===+++++-<<-+=-=-+-++-+-<≤=-=-+-++-+-∞<<+∞++=-=-+∑∑∑∑()(][]4622(1)()4!6!(2)!(1)(1)(1)(1)12!!(1-1,1;10-1,1;0-1,1)nn nx x x x n n x x x x n αααααααααα-++-+-∞<<+∞---++=+++++≤--<<>时,收敛域为时,收敛域为时,收敛域为12. 幂级数的和函数1211121121212112220(1)11(1)1(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1k nn k n n n n n n n n n n n n n n n n n n cx cx x x x nx x x x x x nx x nx x x x nx x nx x x n n x x x x ∞=∞∞-==∞∞-==∞∞+-==∞∞∞-====<-''⎛⎫⎛⎫===< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==<-==<-''''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑3110001112(1)(1)1ln(1)(11)1n x x x n n n n n x x x t dt t dt dt x x n t ∞∞∞--====<-⎛⎫====---≤< ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰13. 狄利克雷收敛定理设()f x 是以2l 为周期的可积函数,如果在[],l l -上()f x 满足: 1)连续或只有有限个第一类间断点; 2)只有有限个极值点;则()f x 的傅里叶级数处处收敛,记其和函数为()S x ,则()01cos sin 2n n n a n x n x S x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑,且()()()()()(),00,200,2f x x f x f x S x x f l f l x ⎧⎪⎪-++⎪=⎨⎪⎪-++-⎪⎩为连续点为第一类间断点为端点 14. 周期为2l 的周期函数的傅里叶级数设周期为2l 的周期函数()f x 满足狄利克雷收敛定理的条件,则它的傅里叶级数为()()01cos sin 2n n n a n x n x f x S x a b l l ππ∞=⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑其中系数n a 和n b 分别为:()()1cos (0,1,2,)1sin (1,2,3,)l n l l n l n x a f x dx n l l n x b f x dx n l l ππ--⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎰⎰ (1)将普通周期函数()f x 在[],l l -上展开为傅里叶级数: 展开系数为()()()01,1cos ,(1,2,3,)1sin ,(1,2,3,)l l l n l l n la f x dx l n x a f x dx n l l n xb f x dx n l l ππ---⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪==⎪⎩⎰⎰⎰ (2)将奇偶周期函数()f x 在[],l l -上展开为傅里叶级数:当()f x 为奇函数时,展开为正弦级数()000,0,(1,2,3,)2sin ,(1,2,3,)n l n a a n n x b f x dx n l l π⎧⎪=⎪==⎨⎪⎪==⎩⎰当()f x 为偶函数时,展开为余弦级数()()0002,2cos ,(1,2,3,)0,(1,2,3,)l l nn a f x dx l n x a f x dx n l l b n π⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩⎰⎰ (3)将非对称区间[]0,l 上的函数()f x 展开为正弦级数或余弦级数:将[]0,l 上的函数()f x ,根据要求作奇延拓(若要求展开为正弦级数)或偶延拓(若要求展开为余弦函数),得到[],l l -上的奇函数或偶函数,再根据(2)中的方式展开。
考研数学考前公式
考研数学考试的内容主要涉及高等数学、线性代数和概率论与数理统计三大部分,每个部分包含的内容和公式如下:
高等数学部分:
1. 极限公式:
对数函数极限:lim(log(1+x)/x)=1,当x趋于0时
三角函数极限:lim(sin(x)/x)=1,当x趋于0时;lim((1-cos(x))/x)=0,当x趋于0时
2. 牛顿-莱布尼茨公式:∫abf(x)dx=F(b)-F(a),其中F(x)是f(x)的一个原函数
3. 泰勒公式:f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-
a)^n/n!+Rn(x),其中,Rn(x)是余项,有Lagrange余项和Cauchy余项两种形式。
线性代数部分:
1. 向量公式:
向量的模:a=√(x1^2+x2^2+...+xn^2)
向量的点积:a·b=x1y1+x2y2+...+xnyn
向量的叉积:a×b=(y1z2-y2z1)i-(x1z2-x2z1)j+(x1y2-x2y1)k
2. 矩阵公式:
矩阵的乘积:C=AB,其中Cij=∑(k=1到n)AikBkj
矩阵的逆:若A是可逆矩阵,则A的逆矩阵A^-1满足AA^-1=A^-
1A=E
矩阵的秩:矩阵的秩是指它的行与列的最大线性无关组数,也就是矩阵中含有的一个最大的非零子式的阶数。
概率论与数理统计部分:
这部分的公式涉及的内容较多,可以查阅考研数学大纲或者相关教辅书来获取更全面的信息。
以上信息仅供参考,如有需要,建议查阅考研数学大纲或咨询专业教师。
·平方关系:sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·积的关系:sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒数关系:tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数:sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sin β·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sin β·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tan α·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·辅助角公式:Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B·倍角公式:sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1 =1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式:sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式:sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sin α/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式:sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式:sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式:sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2·其他:sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A +B)=0三角函数的角度换算[编辑本段]公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin〔2kπ+α〕=sinαcos〔2kπ+α〕=cosαtan〔2kπ+α〕=tanαcot〔2kπ+α〕=cotα公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin〔π+α〕=-sinαcos〔π+α〕=-cosαtan〔π+α〕=tanαcot〔π+α〕=cotα公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:sin〔-α〕=-sinαcos〔-α〕=cosαtan〔-α〕=-tanαcot〔-α〕=-cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin〔π-α〕=sinαcos〔π-α〕=-cosαtan〔π-α〕=-tanαcot〔π-α〕=-cotα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin〔2π-α〕=-sinαcos〔2π-α〕=cosαtan〔2π-α〕=-tanαcot〔2π-α〕=-cotα公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin〔π/2+α〕=cosαcos〔π/2+α〕=-sinαtan〔π/2+α〕=-cotαcot〔π/2+α〕=-tanαsin〔π/2-α〕=cosαcos〔π/2-α〕=sinαtan〔π/2-α〕=cotαcot〔π/2-α〕=tanαsin〔3π/2+α〕=-cosαcos〔3π/2+α〕=sinαtan〔3π/2+α〕=-cotαcot〔3π/2+α〕=-tanαsin〔3π/2-α〕=-cosαcos〔3π/2-α〕=-sinαtan〔3π/2-α〕=cotαcot〔3π/2-α〕=tanα(以上k∈Z)部分高等内容[编辑本段]勒级数易得):·高等代数中三角函数的指数表示(由泰sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展开有无穷级数,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
【基础公式】
1、一元二次方程基础(ax2+bx+c=0)
2、立方差公式
3、经典不等式
4、三角函数
正弦定理:
在任意△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,三角形外接圆的半径为R,直径为D。
则有:
一个三角形中,各边和所对角的正弦之比相等,且该比值等于该三角形外接圆的直径(半径的2倍)长度。
余弦定理:
】
【等价无穷小(等价替换)
【极限公式】
【求导公式】1、基本求导公式
2、n阶导数
【泰勒公式】
任何可导函数f(x)一定可以写成幂函数叠加∑a n x n的形式。
1麦克劳林公式
2 六个重要的幂级数展开式
3常用泰勒公式
【积分公式】幂函数
指数函数
三角函数
其他函数
【附录:希腊字母】Α α:阿尔法Alpha
Β β:贝塔Beta
Γ γ:伽玛Gamma
Δ δ:德尔塔Delte
Ε ε:艾普西龙Epsilon Ζ ζ:捷塔Zeta
Ε η:依塔Eta
Θ θ:西塔Theta
Ι ι:艾欧塔Iota
Κ κ:喀帕Kappa
∧ λ:兰布达Lambda
Μ μ:缪Mu
Ν ν:拗Nu
Ξ ξ:克西Xi
Ο ο:欧麦克轮Omicron ∏ π:派Pi
Ρ ρ:柔Rho
∑ σ:西格玛Sigma
Τ τ:套Tau
Υ υ:宇普西龙Upsilon Φ φ:fai Phi
Χ χ:器Chi
Ψ ψ:普赛Psi
Ω ω:欧米伽Omega。
考研数学公式大全数学是考研的核心科目之一,而掌握必要的数学公式则是取得好成绩的关键。
以下是一份考研数学公式大全,涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计中的重要公式,希望能对备考研究生入学考试的同学有所帮助。
一、高等数学1、求导法则本文1)链式法则:f(u)f'(u)=f'(u)du本文2)乘积法则:f(u)g(u)=f'(u)g(u)+f(u)g'(u)本文3)指数法则:f(u)^n=nu'f(u)/(n-1)!2、求极值本文1)极值条件:f'(x)=0本文2)极值定理:f(x)在x=a处取得极值,则f'(a)=03、积分公式本文1)牛顿-莱布尼茨公式:∫f(x)dx=F(b)-F(a),其中F'(x)=f(x)本文2)微分定理:d/dx∫f(x)dx=f(x)本文3)积分中值定理:若f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点c∈[a,b],使得∫f(x)dx=f(c)(b-a)4、不定积分公式本文1)幂函数积分:∫x^n dx=(n+1)/n+1 x^(n+1)/n+1+C本文2)三角函数积分:∫sinx dx=cosx+C,∫cosx dx=-sinx+C 5、定积分公式本文1)矩形法:若a<=x<=b,a<=y<=b,则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+y^2)/2本文2)梯形法:若a<=x<=b,a<=y<=b,则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+[by]+[ax])/3二、线性代数6、行列式公式本文1)行列式展开式:D=a11A11+a12A12+...+an1An1,其中Aij为行列式中第i行第j列的代数余子式本文2)范德蒙行列式:V=(∏i=1n[(x-a)(i-1)]^(n-i)) / (∏i=1n[(x-a)(i-1)]),其中ai为行列式中第i行第i列的元素7、矩阵公式本文1)矩阵乘法:C=AB,其中Cij=∑AikBkj,k为矩阵乘法的维数本文2)逆矩阵:A^-1=(1/∣A∣)A,其中∣A∣为矩阵A的行列式值,A为矩阵A的伴随矩阵8、向量公式本文1)向量内积:〈a,b〉=a1b1+a2b2+...1、求导法则本文1)链式法则:若f是一个包含x和函数u=u(x),则f' = f'[u(x)] * u'(x)。
考研高数必备公式高等数学是考研数学的重点和难点之一,掌握和熟练运用高数公式可以帮助考生更好地解题。
下面是一些考研高等数学必备的重要公式,供考生参考。
导数公式:1. 常数函数的导数为零:d/dx (c) = 02. x^n的导数为nx^(n-1):d/dx (x^n) = nx^(n-1)3. e^x的导数为e^x:d/dx (e^x) = e^x4. ln(x)的导数为1/x:d/dx (ln(x)) = 1/x5. sin(x)的导数为cos(x):d/dx (sin(x)) = cos(x)6. cos(x)的导数为-sin(x):d/dx (cos(x)) = -sin(x)7. tan(x)的导数为sec^2(x):d/dx (tan(x)) = sec^2(x)8. cot(x)的导数为-csc^2(x):d/dx (cot(x)) = -csc^2(x)9. sec(x)的导数为sec(x)tan(x):d/dx (sec(x)) = sec(x)tan(x)10. csc(x)的导数为-csc(x)cot(x):d/dx (csc(x)) = -csc(x)cot(x)求导法则:1. 和差法则:d/dx (u ± v) = du/dx ± dv/dx2. 乘法法则:d/dx (uv) = u dv/dx + v du/dx3. 除法法则:d/dx (u/v) = (v du/dx - u dv/dx) / v^24. 复合函数法则:若y = f(u),u=g(x),则dy/dx = dy/du *du/dx积分公式:1. 常数函数的积分为常数乘以自变量:∫c dx = cx + C2. x^n的积分为(1/n+1)x^(n+1) + C:∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C3. e^x的积分为e^x + C:∫e^x dx = e^x + C4. 1/x的积分为ln,x, + C:∫1/x dx = ln,x, + C5. sin(x)的积分为-cos(x) + C:∫sin(x) dx = -cos(x) + C6. cos(x)的积分为sin(x) + C:∫cos(x) dx = sin(x) + C7. tan(x)的积分为-ln,cos(x), + C:∫tan(x) dx = -ln,cos(x), + C8. cot(x)的积分为ln,sin(x), + C:∫cot(x) dx = ln,sin(x),+ C9. sec(x)的积分为ln,sec(x) + tan(x), + C:∫sec(x) dx = ln,sec(x) + tan(x), + C10. csc(x)的积分为ln,csc(x) - cot(x), + C:∫csc(x) dx = ln,csc(x) - cot(x), + C广义积分:1. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续且非负,则∫f(x) dx是有限的;2. 若f(x)在区间[a, b]上连续,则∫f(x) dx在该区间上是可积的;3. 若f(x)在区间[a, b]上连续,则∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c]f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx (分段积分);导数和微分:1.y=f(x)在(x0,y0)处可导,则f(x)在该点连续;2. 若函数y = f(x)在区间[a, b]上可导,则y的增量Δy可以近似表示为Δy ≈ f'(x) Δx,即dy = f'(x) dx (微分近似);3. 若函数y = f(x)在区间[a, b]上可导,则在该区间上y的微分dy满足dy = f'(x) dx (微分关系);泰勒公式:1.f(x)在x=a处n阶可导,则f(x)可表示为泰勒展开式:f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x),其中Rn(x)为剩余项;拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]的内部连续,在(a,b)的内部可导,且f(a)=f(b),则存在c∈(a,b)使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a);柯西中值定理:若函数f(x)和g(x)在[a,b]的内部连续,在(a,b)的内部可导且g'(x)≠0,则存在c∈(a,b)使得[f'(c)/g'(c)]=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)];罗尔中值定理:若函数f(x)在[a,b]的内部连续,在(a,b)的内部可导,且f(a)=f(b)=0,则存在c∈(a,b)使得f'(c)=0;这只是一部分考研高等数学的重要公式,考生还需根据自己的需求和教材内容进行学习和整理。
考研高数公式总结高等数学是考研数学中的一门重要课程,也是考研数学中需要记住大量公式和定理的科目之一、下面是我总结的一些高等数学中常用的公式和定理,希望对考研学子们的备考能有所帮助。
一、极限和连续1.重要的基本极限公式- $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=1$- $\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$- $\lim\limits_{x\to+\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$2.微分中的基本极限- $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\frac{dy}{dx}$- $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1$3.连续性定理-函数$f(x)$在$x_0$处连续的充分必要条件是:- $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$- $\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)$二、导数和微分1.基本导数公式-$(c)'=0$- $(x^n)'=nx^{n-1}$ (n为自然数)-$(e^x)'=e^x$- $(\ln{x})'=\frac{1}{x}$2.常见运算法则-$(u+v)'=u'+v'$- $(uv)'=u'v+uv'$- $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ (v≠0)3.高阶导数-若$f'(x)$存在,则$f''(x)=(f'(x))'$4.微分公式- $dy=f'(x)dx$三、积分与微积分基本定理1.基本积分公式- $\int 0dx=C$- $\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ (n≠-1)2.基本积分的线性运算- $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$- $\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$3.二次换元法- $\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$4.牛顿-莱布尼茨公式- $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$四、级数1.等差数列-$a_n=a_1+(n-1)d$- $S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$- $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$2.等比数列-$a_n=a_1q^{n-1}$(q≠0)- $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ (q≠1)3.幂级数- $S_n=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k=a_1+a_2+a_3+...+a_n$五、数列和函数的收敛性1.收敛与极限-数列$\{a_n\}$的收敛定义:当无论取多大的正数$ε$,都存在一个正整数$N$,当$n>N$时,总有$,a_n-A,<ε$成立,则称$\{a_n\}$收敛于$A$。
考研数学高数定理定义总结第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界,K1 为下界;如果有f(x)≤K2,则有上界,K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是发散的,如数列1,-1,1,-1,(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在着点那么x0的某一去心邻域,当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0),反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等则limf(x)不存在。
一般的说,如果lim(x→∞)f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞,则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x),而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件:yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立。