第43讲 利用空间向量求空间角和距离思维导图知识梳理1．异面直线所成角设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量．2．直线与平面所成角如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |3．二面角(1)若AB ，CD 分别是二面角αl β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→的夹角，如图(1)．(2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|，如图(2)(3)． 4．利用空间向量求距离 (1)两点间的距离设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB ―→|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. (2)点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO ―→|＝|AB ―→·n ||n |.题型归纳题型1 异面直线所成的角【例1-1】（2020•济南模拟）已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，12AB AD BC ==，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90︒，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点． （1）求证：BM DF ⊥；（2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小．【分析】（1）建立空间坐标系，得出BM ，DF 的坐标，根据向量的数量积为0得出直线垂直； （2）计算BM 和EF 的夹角，从而得出异面直线所成角的大小． 【解答】（1）证明：AB BC ⊥，AB BE ⊥，BCBE B =，AB ∴⊥平面BCE ，以B 为原点，以BE ，BC ，BA 为坐标轴建立空间坐标系B xyz -，如图所示：设1AB AD ==，则(0D ，1，1)，(1F ，0，1)，(0B ，0，0)，M 0)，∴(2BM =，0)，(1DF =，1-，0)，∴200BM DF =-=，BM DF ∴⊥．（2）解：(2E ，0，0)，故(1EF =-，0，1)，cos BM ∴<，12||||2BM EF EF BM EF >===-⨯，∴设异面直线BM 与EF 所成角为θ，则cos |cos BM θ=<，1|2EF >=， 故3πθ=．【例1-2】（2020•北京模拟）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，2PA AD ==，1AB BC ==，Q 为PD 中点．（Ⅰ）求证：PD BQ ⊥；（Ⅰ）求异面直线PC 与BQ 所成角的余弦值．【分析】()I 建立空间直角坐标系，只要证明0PD BQ =，即可证明结论． （Ⅰ）(1CP =-，1-，2)，利用向量夹角公式即可得出．【解答】()I 证明：如图所示，(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0P ，0，2)，(0D ，2，0)，(0Q ，1，1)，(1C ，1，0)，(0PD =，2，2)-，(1BQ =-，1，1)，由220PD BQ =-=，∴PD BQ ⊥，PD BQ ∴⊥；（Ⅰ）解：(1CP =-，1-，2)，cos CP <，BQ =．∴异面直线PC 与BQ 所成角的余弦值为3．【跟踪训练1-1】（2020•运城三模）如图，四边形ABCD 为平行四边形，且2AB AD BD ===，点E ，F 为平面ABCD 外两点，//EF AC 且2EF AE ==EAD EAB ∠=∠． （1）证明：BD CF ⊥；（2）若60EAC ∠=︒，求异面直线AE 与DF 所成角的余弦值．【分析】（1）设BD 与AC 相交于点G ，连接EG ，从而BD AC ⊥，推导出EAD EAB ∆≅∆，从而BD ⊥平面ACFE ，由此能证明BD CF ⊥．（2）过G 作AC 的垂线，交EF 于M 点，分别以GA ，GB ，GM 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，利用向量法能求出异面直线AE 与DF 所成角的余弦值． 【解答】解：（1）证明：设BD 与AC 相交于点G ，连接EG ， 由题意可得四边形ABCD 为菱形， 所以BD AC ⊥，DG GB =，在EAD ∆和EAB ∆中，AD AB =，AE AE =，EAD EAB ∠=∠， 所以EAD EAB ∆≅∆，所以ED EB =，所以BD EG ⊥， 因为ACEG G =，所以BD ⊥平面ACFE ，因为CF ⊂平面ACFE ，所以BD CF ⊥．（2）解：如图，在平面AEFC 内，过G 作AC 的垂线，交EF 于M 点， 由（1）可知，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以MG ⊥平面ABCD ，故直线GM ，GA ，GB 两两互相垂直， 分别以GA ，GB ，GM 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系G xyz -， 因为60EAC ∠=︒，则A ，(0D ，1-，0)，3)2E，3()2F ，所以3()2AE =-，3()2DF =， 异面直线AE 与DF 所成角的余弦值为：99|0|||44|cos ,|||||310AE DF AE DF AE DF ++<>===【名师指导】用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．题型2 直线与平面所成的角【例2-1】（2020•海南）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，QB =，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值．【分析】（1）过P 在平面PAD 内作直线//l AD ，推得l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；（2）以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，求出(0Q ，1，1)，运用向量法，求得平面QCD 的法向量，结合向量的夹角公式求解即可． 【解答】（1）证明：过P 在平面PAD 内作直线//l AD ，由//AD BC ，可得//l BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，CDPD D =，BC ∴⊥平面PCD ，//l BC ，l ∴⊥平面PCD ；（2）解：如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，1PD AD ==，Q 为l 上的点，QB ，PB ∴1QP =，则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，作//PQ AD ，则PQ 为平面PAD 与平面PBC 的交线为l ，取(1Q ，0，1)，则(1DQ =，0，1)，(1PB =，1，1)-，(0DC =，1，0)， 设平面QCD 的法向量为(n a =，b ，)c ，则00n DC n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴00b a c =⎧⎨+=⎩，取1c =，可得(1n =-，0，1)，cos n ∴<，6||||32n PB PB n PB >===，PB ∴与平面QCD ． 【例2-2】（2020•北京）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点． （Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅰ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）根据正方体的性质可证得11//BC AD ，再利用线面平行的判定定理即可得证；（Ⅰ）解法一：以A 为原点，AD 、AB 、1AA 分别为x 、y 和z 轴建立空间直角坐标系，设直线1AA 与平面1AD E 所成角为θ，先求出平面1AD E 的法向量m ，再利用sin |cos m θ=<，111|||||||m AA AA m AA >=以及空间向量数量积的坐标运算即可得解． 解法二：设正方体的棱长为2a ，易知122AA DS a =，结合勾股定理和余弦定理可求得1cos EAD ∠=，再求得1111sin 2EAD SAD AE EAD =∠；设点1A 到平面1EAD 的距离为h ，根据等体积法111A EAD E AA D V V --=，可求出h 的值，设直线1AA 与平面1AD E 所成角为θ，则1sin hAA θ=，从而得解． 【解答】解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，11//AB C D 中，且11AB C D =，∴四边形11ABC D 是平行四边形，11//BC AD ∴，又1BC ⊂/平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，1//BC ∴平面1AD E ．（Ⅰ）解法一：以A 为原点，AD 、AB 、1AA 分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为a ，则(0A ，0，0)，1(0A ，0，)a ，1(D a ，0，)a ，(0E ，a ，1)2a ，∴1(0,0,)AA a =，1(,0,)AD a a =，1(0,,)2AE a a =，设平面1AD E 的法向量为(,,)m x y z =，则100m AD m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()01()02a x z a y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令2z =，则2x =-，1y =-，∴(2m =-，1-，2)，设直线1AA 与平面1AD E 所成角为θ，则sin |cos m θ=<，11122|||33||||m AA a AA a m AA >===，故直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23． 解法二：设正方体的棱长为2a ，则1AD =，AE =，13ED a =，1212222AA DSa a a ==，由余弦定理知，222222111110 cos22225AD AE EDEADAD AE a a+-∠===1sin EAD∴∠=∴12111sin32EADS AD AE EAD a=∠=，设点1A到平面1EAD的距离为h，111A EAD E AA DV V--=，∴221132233h a a a=，43h a∴=，设直线1AA与平面1AD E所成角为θ，则1423sin23ahAA aθ===．故直线1AA与平面1AD E所成角的正弦值为23．【跟踪训练2-1】（2020•山东）如图，四棱锥P ABCD-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知1PD AD==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【分析】（1）过P在平面PAD内作直线//l AD，推得l为平面PAD和平面PBC的交线，由线面垂直的判定和性质，即可得证；（2）以D为坐标原点，直线DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D xyz-，设(0Q，m，1)，运用向量法，求得平面QCD的法向量，结合向量的夹角公式，以及基本不等式可得所求最大值．【解答】解：（1）证明：过P在平面PAD内作直线//l AD，由//AD BC ，可得//l BC ，即l 为平面PAD 和平面PBC 的交线，PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PD BC ∴⊥，又BC CD ⊥，CDPD D =，BC ∴⊥平面PCD ，//l BC ，l ∴⊥平面PCD ；（2）如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(0C ，1，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)， 设(Q m ，0，1)(0)m >，(DQ m =，0，1)，(1PB =，1，1)-，(0DC =，1，0)， 设平面QCD 的法向量为(n a =，b ，)c ，则00n DC n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴00b am c =⎧⎨+=⎩，取1c =，可得1(n m =-，0，1)，cos n ∴<，211||||131n PBPB n PB m -->==+，PB ∴与平面QCD211111131m m m +++=++232611132m =++=+，当且仅当1m =取等号， PB ∴与平面QCD ． 【名师指导】利用向量求线面角的2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角．题型3 二面角【例3-1】（2020•江苏）在三棱锥A BCD -中，已知CB CD =，2BD =，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，2AO =，E 为AC 中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）若点F 在BC 上，满足14BF BC =，设二面角F DE C --的大小为θ，求sin θ的值．【分析】（1）由题意画出图形，连接OC ，由已知可得CO BD ⊥，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到(1,0,2)AB =-，(1,1,1)DE =，设直线AB 与DE 所成角为α，由两向量所成角的余弦值，可得直线AB 与DE 所成角的余弦值； （2）由14BF BC =，得14BF BC =，设(F x ，y ，)z ，由向量等式求得3(4F ，12，0)，进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得cos θ，再由同角三角函数基本关系式求解sin θ．【解答】解：（1）如图，连接OC ，CB CD =，O 为BD 的中点，CO BD ∴⊥．以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．2BD =，1OB OD ∴==，则2OC =．(1B ∴，0，0)，(0A ，0，2)，(0C ，2，0)，(1D -，0，0)，E 是AC 的中点，(0E ∴，1，1)，∴(1,0,2)AB =-，(1,1,1)DE =．设直线AB 与DE 所成角为α，则||cos ||||14111AB DE AB DE α===++，即直线AB 与DE ； （2）14BF BC =，∴14BF BC =， 设(F x ，y ，)z ，则(1x -，y ，1)(4z =-，12，0)，3(4F ∴，12，0)．∴(1,1,1)DE =，71(,,0)42DF =，(1,2,0)DC =．设平面DEF 的一个法向量为111(,,)m x y z =，由11111071042m DE x y z m DF x y ⎧=++=⎪⎨=+=⎪⎩，取12x =-，得(2,7,5)m =--； 设平面DEC 的一个法向量为222(,,)n x y z =，由22222020n DE x y z n DC x y ⎧=++=⎪⎨=+=⎪⎩，取22x =-，得(2,1,1)n =-． |||cos |||||44925411mn m n θ∴===+++．sinθ∴=． 【例3-2】（2020•新课标Ⅰ）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO =． （1）证明：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PC E --的余弦值．【分析】（1）设圆O 的半径为1，求出各线段的长度，利用勾股定理即可得到PA PC ⊥，PA PB ⊥，进而得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBC 及平面PCE 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 【解答】解：（1）不妨设圆O 的半径为1，1OA OB OC ===，2AE AD ==，AB BC AC ===，DO PO ==PA PB PC ===， 在PAC ∆中，222PA PC AC +=，故PA PC ⊥， 同理可得PA PB ⊥，又PBPC P =，故PA ⊥平面PBC ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则有11,0),(,0),222B C P ，(0E ，1，0)，故3131(3,0,0),(,,0),(,22BC CE CP =-==-， 设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，则3031022m BC m CP x y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，可取(0,2,1)m =， 同理可求得平面PCE 的法向量为(2,n =--，故||25cos||||5m n m n θ==，即二面角B PC E --．【跟踪训练3-1】（2020•新课标Ⅰ）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED =，12BF FB =． （1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．【分析】（1）在1AA 上取点M ，使得12A M AM =，连接EM ，1B M ，1EC ，1FC ，由已知证明四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形，可得1//AF MB ，且1AF MB =，//AD ME ，且AD ME =，进一步证明四边形11B C EM 为平行四边形，得到11//EC MB ，且11EC MB =，结合1//AF MB ，且1AF MB =，可得1//AF EC ，且1AF EC =，则四边形1AFC E 为平行四边形，从而得到点1C 在平面AEF 内；（2）在长方体1111ABCD A B C D -中，以1C 为坐标原点，分别以11C D ，11C B ，1C C 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．分别求出平面AEF 的一个法向量与平面1A EF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角1A EF A --的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求得二面角1A EF A --的正弦值． 【解答】（1）证明：在1AA 上取点M ，使得12A M AM =，连接EM ，1B M ，1EC ，1FC ， 在长方体1111ABCD A B C D -中，有111////DD AA BB ，且111DD AA BB ==． 又12DE ED =，12A M AM =，12BF FB =，1DE AM FB ∴==．∴四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形．1//AF MB ∴，且1AF MB =，//AD ME ，且AD ME =．又在长方体1111ABCD A B C D -中，有11//AD B C ，且11AD B C =， 11//B C ME ∴且11B C ME =，则四边形11B C EM 为平行四边形， 11//EC MB ∴，且11EC MB =，又1//AF MB ，且1AF MB =，1//AF EC ∴，且1AF EC =，则四边形1AFC E 为平行四边形，∴点1C 在平面AEF 内；（2）解：在长方体1111ABCD A B C D -中，以1C 为坐标原点，分别以11C D ，11C B ，1C C 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．2AB =，1AD =，13AA =，12DE ED =，12BF FB =，(2A ∴，1，3)，(2E ，0，2)，(0F ，1，1)，1(2A ，1，0)，则(2,1,1)EF =--，(0,1,1)AE =--，1(0,1,2)A E =-． 设平面AEF 的一个法向量为1111(,,)n x y z =．则1111111200n EF x y z n AE y z ⎧=-+-=⎪⎨=--=⎪⎩，取11x =，得1(1,1,1)n =-； 设平面1A EF 的一个法向量为2222(,,)n x y z =．则222221222020n EF x y z n A E y z ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取21x =，得2(1,4,2)n =． 1212127cos ,||||321n n nn n n ∴<>===． 设二面角1A EF A --为θ，则sin θ==． ∴二面角1A EF A --．【跟踪训练3-2】（2019•天津）如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==．（Ⅰ）求证：//BF 平面ADE ；（Ⅰ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅰ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【分析】（Ⅰ）以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得A ，B ，C ，D ，E 的坐标，设(0)CF h h =>，得(1F ，2，)h ．可得(1,0,0)AB =是平面ADE 的法向量，再求出(0,2,)BF h =，由0BF AB =，且直线BF ⊂/平面ADE ，得//BF 平面ADE ；（Ⅰ）求出(1,2,2)CE =--，再求出平面BDE 的法向量，利用数量积求夹角公式得直线CE 与平面BDE 所成角的余弦值，进一步得到直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅰ）求出平面BDF 的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为13列式求线段CF 的长．【解答】（Ⅰ）证明：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，可得(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(1C ，2，0)，(0D ，1，0)，(0E ，0，2)． 设(0)CF h h =>，则(1F ，2，)h ．则(1,0,0)AB =是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =，可得0BF AB =． 又直线BF ⊂/平面ADE ，//BF ∴平面ADE ；（Ⅰ）解：依题意，(1,1,0)BD =-，(1,0,2)BE =-，(1,2,2)CE =--． 设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量，则020n BD x y n BE x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，令1z =，得(2,2,1)n =． 4cos ,9||||CE n CE n CE n ∴<>==-．∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49； （Ⅰ）解：设(,,)m x y z =为平面BDF 的法向量， 则020m BD x y m BF y hz ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，取1y =，可得2(1,1,)m h =-，由题意，2|4|||1|cos ,|||||332m n m n m n -<>===⨯，解得87h =． 经检验，符合题意．∴线段CF 的长为87．【跟踪训练3-3】（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值．【分析】（1）过N 作NH AD ⊥，证明//NM BH ，再证明//BH DE ，可得//NM DE ，再由线面平行的判定可得//MN 平面1C DE ；（2）以D 为坐标原点，以垂直于DC 得直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面1A MN 与平面1MAA 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角1A MA N --的正弦值．【解答】（1）证明：如图，过N 作NH AD ⊥，则1//NH AA ，且112NH AA =， 又1//MB AA ，112MB AA =，∴四边形NMBH 为平行四边形，则//NM BH ， 由1//NH AA ，N 为1A D 中点，得H 为AD 中点，而E 为BC 中点， //BE DH ∴，BE DH =，则四边形BEDH 为平行四边形，则//BH DE ， //NM DE ∴，NM ⊂/平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ，//MN ∴平面1C DE ；（2）解：以D 为坐标原点，以垂直于DC 得直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，以1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则N 12-，2)，M ，1，2)，1A ，1-，4)， 33(,0)2NM =，131(,2)2NA =-， 设平面1A MN 的一个法向量为(,,)m x y z =，由133022312022m NM y m NA y z ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，取x (3,1,1)m =--， 又平面1MAA 的一个法向量为(1,0,0)n =，3cos ,||||5m n m n m n ∴<>===．∴二面角1A MA N --．【名师指导】利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．题型4 求空间距离【例4-1】（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点．（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求点C 到平面1C DE 的距离．【分析】法一：（1）连结1B C ，ME ，推导出四边形MNDE 是平行四边形，从而//MN ED ，由此能证明//MN 平面1C DE ． （2）过C 作1C E 的垂线，垂足为H ，推导出DE BC ⊥，1DE C C ⊥，从而DE ⊥平面1C CE ，DE CH ⊥，进而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，由此能求出点C 到平面1C DE 的距离． 法二：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明//MN 平面1C DE ．（2）求出(1DC =-0)，平面1C DE 的法向量(4n =，0，1)，利用向量法能求出点C 到平面1C DE 的距离．【解答】解法一：证明：（1）连结1B C ，ME ，M ，E 分别是1BB ，BC 的中点，1//ME B C ∴，又N 为1A D 的中点，112ND A D ∴=， 由题设知11//A B DC =，11//B C A D =∴，//ME ND =∴，∴四边形MNDE 是平行四边形，//MN ED ，又MN ⊂/平面1C DE ，//MN ∴平面1C DE ．解：（2）过C 作1C E 的垂线，垂足为H ， 由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，DE ∴⊥平面1C CE ，故DE CH ⊥，CH ∴⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，由已知可得1CE =，14CC =，1C E ∴=，故CH =，∴点C 到平面1C DE 解法二：证明：（1）直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点． 1DD ∴⊥平面ABCD ，DE AD ⊥，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，(1M 2)，(1N ，0，2)，(0D ，0，0)，(0E 0)，1(1C -4)，(0MN =，0)，1(DC =-，(0,DE =，设平面1C DE 的法向量(n x =，y ，)z ，则14030n DC x z n DE y ⎧=-++=⎪⎨==⎪⎩，取1z =，得(4n =，0，1)，0MN n =，MN ⊂/平面1C DE ，//MN ∴平面1C DE ．解：（2）(1C -0)，(1DC =-0)，平面1C DE 的法向量(4n =，0，1)，∴点C 到平面1C DE 的距离：||||17DC n d n ==．【跟踪训练4-1】（2020•梅州二模）如图，PAD ∆中，90PDA ∠=︒，2DP DA ==，B ，C 分别是PA ，PD 的中点，将PBC ∆沿BC 折起，连结PA ，PD ，得到多面体PABCD ．（1）证明：在多面体PABCD 中，BC PD ⊥；（2）在多面体PABCD 中，当PA B 到平面PAD 的距离．【分析】（1）推导出BC CD ⊥，BC PC ⊥，得到BC ⊥平面PCD ，由此能证明BC PD ⊥．（2）推导出PC ⊥平面ABCD ，以C 为原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B 到平面PAD 的距离．【解答】解：（1）证明：PAD ∆中，90PDA ∠=︒，2DP DA ==，B ，C 分别是PA ，PD 的中点， 将PBC ∆沿BC 折起，连结PA ，PD ，得到多面体PABCD ．BC CD ∴⊥，BC PC ⊥，CD PC C =，BC ∴⊥平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴在多面体PABCD 中，BC PD ⊥．（2）由（1）得BC ⊥平面PCD ，又PC ⊂平面PCD ，BC PC ∴⊥，PAD ∆中，90PDA ∠=︒，2DP DA ==，B ，C 分别是PA ，PD 的中点，PA =AC ∴=222PC AC PA ∴+=，PC AC ∴⊥， AC BC C =，PC ∴⊥平面ABCD ，以C 为原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴，建立空间直角坐标系， (1B ，0，0)，(0P ，0，1)，(2A ，1，0)，(0D ，1，0)，(1PB =，0，1)-，(2PA =，1，1)-，(0PD =，1，1)-，设平面PAD 的法向量(n x =，y ，)z ，则200n PA x y z n PD y z ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩，取1y =，得(0n =，1，1)，∴点B 到平面PAD 的距离为：||1||22PB n d n ===⨯．【名师指导】求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．(2)等体积法．(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．。
