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用向量法计算空间角PPT课件

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用向量方法求空间中的角 课件

用向量方法求空间中的角 课件

求空间距离
●
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是
A1B1，CD的中点，求点B到平面AEC1F的距离．
思路点拨： AB是平面AEC1F的斜线段，AB在平面AEC1F的法向量 方向上的投影长即为点B到平面AEC1F的距离，所以应先求出平面 AEC1F的一个法向量，再利用向量的数量积求解．
co〈s A→B ，C→D 〉＝
→→
A B ·C D
→→
|A B |·|C D |
角的 分类
向量求法
设二面角 α－l－β 的平面
二角 面
角为 θ，平面 α、β 的法向 量为 n1，n2，则 _|c_o_s_〈__n_1_，__n_2〉__|_＝||nn11|··|nn22||
图形
1．对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识： (1)斜线与平面的夹角范围是0，π2；而直线与平面的夹 角范围是0，π2. (2)设A→B在平面 α 内的射影为A′→B′，且直线 AB 与平面 α 的夹角为 θ，则|A′→B′|＝|A→B|·cos θ.
解析： 以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，F0，12，0， E1，12，1，B(1,1,0)． ∴A→E＝0，12，1， A→F＝－1，12，0.
设平面 AEC1F 的法向量为 n＝(1，λ，μ)， 则 n·A→E＝0，n·A→F＝0.
∴12－λ＋1＋μ＝12λ0＝，0，
用向量方法求空间中的角
空间角的向量求法
角的 分类
向量求法
图形
异面 设两异面直线所成的角为
直线 θ，它们的方向向量为 a，b，
所成 则 cos θ＝_|c_o_s_〈__a_·_b_〉__| ＝ |a·b|

利用向量法求空间角PPT精选文档

利用向量法求空间角PPT精选文档

则 mAF 0,mAE 0
所以
1
y2 2 z2 1 2 x2 y2
0 0
取y2=1,得x2=z2=-2
C x
故m=(-2, 1,-2)
又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1)
观察图形知，二面角
cosm, AA1
mAA1 m AA1
2 31
2 3
F-AE-D为锐角，所以
所求二面角F-AE-D的
得两异面直线所成角的余弦值
6
例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、 DD1的中点，
(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
(2)求二面角F-AE-D的余弦值。
A1
D1
B1
C1
F
A D
E B
C
7
例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
解： (1)以点A为坐标原点建立空间 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0)
b´
m
o•
a
a´
b´
b
பைடு நூலகம்
n
cos cos m, n
b
n
cos cos m,n
13
用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a、b的方向向量分别为 m 和 n ，
所以，异面直线a、b所成的角的余弦 值为
cos cos m, n m n m n
x1x2y1y2z1z2
x12y12z12 x22y22z22
O
AF1 (12,0,1), BD1 (12,12,1) A
cosAF1,BD1 AF1BD1 AF1 BD1
1 0 4 5

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，

用向量法求空间角 人教课标版精品公开PPT课件

用向量法求空间角 人教课标版精品公开PPT课件
设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，直线 lθ与＝平_π2面__－α__θ所__1 成__的_，角且为sθin，θ向＝|量_c_ov_s与_θ_n_1的_|_＝夹__|角_|v_v|为_··_θ_n|_|n1_|，__则_.
(3)二面角的平面角
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
若AC、BD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量_A→_C______、 _B→_D______的夹角(如图42－1所示)．
则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． B→C1＝(－1,0,2)，A→E＝(－1,2,1)， cos〈B→C1，A→E〉＝|B→BC→C1|1··A→|EA→E|＝ 1300.所以异面直线 BC1 与 AE
所成角的余弦值为 1300.
(2)直线与平面所成的角
3
则A→O1·B→C1＝32，|A→O1|＝ 26，|B→C1|＝
2，cos〈A→O1，B→C1〉＝
2 26×
＝ 23， 2
∴BC1 与 AO1 的夹角为π6.
答案：A
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1
的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )
1. 两条异面直线所成的角
【例1】 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点， P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求异面直线AM与PQ所成角的余弦 值．
解 如图，建立空间直角坐标系 B－xyz，
则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，
uuur uuur uFuuEur uAuPuur

利用空间向量求角-课件

利用空间向量求角-课件

因E→F⊥P→C，D→G⊥P→C，
故 E－PC－D 的平面角 θ 的大小为向量E→F与D→G的夹角．

＝
|DG||EF|
22，θ＝4π，
即二面角 E－PC－D 的大小为π4.
跟踪训练
3.如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中
2．求异面直线所成的角主要是转化为两个向量的夹 角，这时要特别注意二向量的方向及最后求出的角一定要 是锐角或直角．
3．线面角是求线与平面的法向量所成角的余角．
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
|A→M|＝ A→A1＋A→1M2 ＝ |A→A1|2＋|A→1M|2＝
1＋14＝
25，同理，|C→N|＝
5 2.
设直线 AM 与 CN 所成的角为 α. 则 cos α＝|AA→→MM|·|CC→→NN|＝5412＝25.
∴直线 AM 与 CN 所成的余弦值为25.
法二：如图，分别以D→A、D→C、D→D1 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空 间直角坐标系．
A→B＝∵(0M，→Ca1,0·A→)，B＝A→A0，1＝M(→0C,01·，A→A1＝2a0)．，
∵M→C1·A→B＝0，M→C1·A→A1＝0， ∴MC1⊥平面 AA1B1B， ∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 AA1B1B 所成的角．

《立体几何中的向量方法--空间角的计算》课件5(59张PPT)(新人教A版选修2-1)

《立体几何中的向量方法--空间角的计算》课件5(59张PPT)(新人教A版选修2-1)
1
S
2
y x − 2 = 0 y−z=0 2
x = ⇒ z =
y 2 y 2
任取 n2 = (1, 2,1)
的情况， 的情况，二面角等于法向 量夹角
∴ cos < n1 , n2 >=
n1 in2 6 6 = 即所求二面角得余弦值是 | n1 || n2 | 3 3
BD CD AB 解：如图，AC = a ， = b ， = c ， = d . 如图，
β
C D B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
AB = AC + CD + DB
d = AB = ( AC + CD + DB ) 2
2
2
α
2
A
= AC + CD + BD + 2( AC ⋅ CD + AC ⋅ DB + CD ⋅ DB )
2 2
B A
y
1 − +1 AF1 i BD1 30 = = 4 = cos < AF1 , BD1 > 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10
x
练习： 练习： 在长方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中， = 5，AD = 8, AB
N
C1
B1
M A B
D
C
y
AM i A1 D＝0 ⇒ A1 D ⊥ AM .
x
（2）求AD与平面ANM 所成的角.
二、线面角： 线面角：
θ 直线与平面所成角的范围： ∈ [0, ]
A
π
2
思考： 思考：

立体几何中的向量方法空间角ppt


,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1 BD1
x
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
所以 BD与1 A所F1成角得余弦值为
42 30
10
2、直线与平面得夹角:
设直线 l 的方向向量分别为 a ，平面 的 法向量分别为 u ，
直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),sin a u ；
立体几何中的向量方法空间角
1、两条直线得夹角:
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),cos a b ；
2
ab
l
a
m
l
a
b m
例: 在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC AC,
BC CA CC1, 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
CD为a,b得公垂线,
n是直线CD的方向向量，
A,B分别在直线a,b上
b
n
C A
DB a
n AB d CD
n
例.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900, E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解：如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).
E C
y B
x
G
D
A
(1)证明:设正方形边长为1,则PD=DC=DAz=1、连AC、BD交于G点
以DA，DC，DP为正交基底建立空间 P
直角坐标系。如图所示。则
E
y

利用空间向量求空间角PPT教学课件


澶渊之盟
宋真宗赵恒 1004年，辽军大举南征时，亲自领兵到澶 渊抵御，并与辽签订了“澶渊之盟”。
下一页
寇准
寇准
北宋宰相。1004年，辽军大举南征时， 主战。
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西夏武士
西夏的建立
1038年，党项族首领元昊建立西夏 国。图为李元昊之墓
下一页
党项人
女男供供养养人人
下一页
西夏铜牛
下一页
西夏飞天壁画
nn
α
与平面垂直的直线叫做平面
的法线．因此平面的法向量
就是平面法线的方向向量
异面直线所成角
a, b分别是两直线l1 , l2的方向向量,
l1, l2的所成的角为 ,则
cos | a b |
|a||b|
l2
b a
l1
巩固性训练1
1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱
长为2,底面连长为1.求异面直线AB1与
BC1夹角的余弦值.
解：取的中点O建立如图 所示的空间直角坐标系O-XYZ。
1
A(
2
,0,2)
3
B(0, 2
,2)
B1 (0,
3 2
,0)
C1
1(-
,0 ,0)
2
A
BC ∴
1 AB1 ( 2 ,
3 ,2) 2
1
=（-
1 2
，-
3 ，-2） 2
X
∴cos = AB1 • BC1 = 7
AB1 • BC1 10
m 设 =(x,y,z) 是平面PBC的一个法向量
∴ PB ⊥ m
PC ⊥ m
∴ PB • m =x-z=0
y
PC • m =x+y-z=0

利用向量法求空间角 ppt课件


（1）当 m 与 n 的夹 角不大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与m 和 n
的夹角 相等
（2）当 m 与 n 的 夹角大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与 m 和n
的夹角 互补
ma
m
a

a´
o•
b´
a´
o•
b´
b

n
b

n
PPT课件
13
cos cos m, n
sin = cos AB, n
PPT课件
15
二面角 （范围： 0, ）

n2
n1

n2


n1


n1, n2
n1, n2
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
PPT课件
16
例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点
3
D y
8
点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤
建系
求直线的方向向量 求平面的法向量
求直线的方向向量与平面的法向量 的夹角的余弦值
得直线与平面所成角的正弦值
PPT课件
9
例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的
余弦值。
z
(2)由题意知 F(0,1, 1 ), E( 1 ,1,0) A1

2
AB

( AC

CD

DB)2
A
2
2
2
AC CD BD 2(ACCD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2 AC DB

用向量法求空间角ppt 人教课标版


即
1 － ＋λ ＝0， 2 λ － ＋λ ＝0. 经检验，当 AS＝
1 1 1 2 → → 故 λ ＝ ，此时AS＝(0， ， )，|AS|＝ . 2 2 2 2 2 时，ES⊥平面 AMN. 2 2 . 2
故线段 AN 上存在点 S，使得 ES⊥平面 AMN，此时 AS＝
变 式 2 . 如 图 ， 四 边 形 A B C D 是 矩 形 ， P A 平 面 A B C D， 2 a， E 是 线 段 P D 上 的 点 ， PE BF F 是 线 段 AB上 的 点 ， 且 ( 0 )． ED FA 1 当 1 时 ， 求 直 线 E F 与 平 面 ABCD所 成 的 角 ； P A A D a， A B
3. (1) 【 证 明 】 ∵PA⊥ 平 面 ABCD ， ∴PA⊥AB. 再由 AB⊥AD，得 AB⊥平面 PAD. ∴AB⊥PD ，又∵AE⊥PD ，∴PD⊥平面 ABE，故 BE⊥PD.
(2)【解析】 如图所示，以 A 为原点，AB、AD、AP 所 在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点 C、D 的坐标 分别为(a，a,0)，(0,2a,0)． ∵PA⊥平面 ABCD，∠PDA 是 PD 与底面 ABCD 所成的角． ∴∠PDA＝30°.
3 2
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1 的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( ) 10 30 A. B. 10 10 2 15 3 10 C. D. 10 10
答案
B
解析 建立坐标系如图． 则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． → ＝(－1,0,2)，→ BC AE＝(－1,2,1)，
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3. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2,BAC900 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦 值为_________ .
布置作业：
• 习题2-5 • 第三题 • 补充题如下：
练习:
1、已知 A B =(2,2,1),A C =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
和该直线的方向向量
s
P
与该平面的法向量
n
l
的夹角 〈 s，n〉是什么α
关系？
A B
n, s
结:s论 inc2 on ,ss
例一：在单位正方体 ABCDA1B1C1D 1
中，求对角线A1C 与平面ABCD的夹
角 的正弦值。
z
A1
D1
B1
C1
A
Dy
xB
C
练习：正方体 ABCDA1B1C1D 1的棱长为1.
设 平 面 A B 1 C 的 法 向 量 为 n ( x ， y ， z )A
D1
C1
y
D
则 n A B 1 0 ， n A C 0
B
C
所以xxzy00，取x =1，
得y =z =-1，故n=(1，-1，-1)，cos
x
n， B1C1
010 3 1 3 3
所 以 B 1 C 1 与 面 A B 1 C 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 3 3。
直线和平面所成角的定义 A
B
O
D
α
C
定义： 平面外一直线与它在该平面内的投影的
夹角叫作该直线与此平面的夹角。
由定义知本图中AB与平面a的夹角是： ABO
思考：
直线与平面的夹角
和该直线的方向向量
s
与该平面的法向量
n
的夹角 〈 s，n〉是什么
关系？
n, s
2
α
P l
AB
思考：
直线与平面的夹角
P l
αA B
回顾
一、线线角：
直线与直线所成角的范围：
[0, ] 2
线线夹角与两线方向向量间的关系：
设 直 线 C D 的 方 向 向 量 为 a ， A B 的 方 向 向 量 为 b
a
பைடு நூலகம்
b
a， b
|
a
b
a， b
|
结论：cos |cosa,b|
思考：
直线和平面所成的角能否也转化 为两个向量所成的角去求解呢？ 答案是肯定的。 为此先弄清直线和平面所成角的 定义。看下图
求 B 1 C 1 与 面 A B 1 C 所 成 的 角 .z
设位 正正 交 方基 体底 棱， 长可 为得 1，以 A(A 0B ，0， ，A 0)D ，， BA 1(A 1，1 为 0，1单 )， A 1 C (1，1，0)，C1 (1，1，1)， 则 B1C1(0， 1， 0)，B 1
A B 1 ( 1 ， 0 ， 1 ) ， A C ( 1 ， 1 ， 0 )
2 求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值．
四、教学过程的设计与实施
3 实践操作
解：由 SA⊥平面 ABCD，AB⊥AD，SA，AB，AD 两两互相垂直． 以 A 为坐标原点，AD 所在的直线为 x 轴，AB 所在的直线为 y 轴 建立空间直角坐标系 A-xyz，则
S(0,0,1) ， S(1 , 0, 0) ， C(1,1,0) ， SD (1 ,0, 1) ， SC (1,1, 1) ，
2 探究方法
问题3： 法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？ 再次演示课件
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
当法向量 n1 ， n2 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，
二面角的大小 n1, n2 ；
当法向量 n1 ， n2 同时指向二面角内或二面角外时，
二面角的大小 n1, n2 ．
小结：
直线与平面所成角：
sin | cosn,AB|
A
n
B
O n
目标测试：
1、已知 A B =(2,2,1),A C =(4,5,3),则平面
ABC的一个法向量是______ .
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射 影的方向向量分别是 n1=（1，0，1）， n2 =（0， 1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 ______ .
3 实践操作
四、教学过程的设计与实施
3 实践操作
总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤： 1）建立坐标系，写出点与向量的坐标； 2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的
四、教学过程的设计与实施
3 实践操作
已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°, SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD 1 ，
2 求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值．
四、教学过程的设计与实施
3 实践操作
已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°, SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD 1 ，
2
2
设平面 SCD 的法向量为 n(x, y,z)，则 n•SD0， n•SC0，
转化为坐标运算，得
取 z=1，则 n (2,1,1) ，
1 x z 0, 2 x y z 0.
cos n, AD
n AD
1 2 0 (1) 0 1
2
n AD
1 6
6
3．
2
四、教学过程的设计与实施
2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射
影的方向向量分别是a =（1，0，1），b =（0，1，
1），那么这条斜线与平面所成的角是______ .
3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)， 则两平面所成的钝二面角为______ .
• 谢谢大家！！
向量法求二面角的大小
四、教学过程的设计与实施
n
a
n1 n2
l
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
n1,n2
coscosn1,n2
n1•n2 n1 n2
根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
n1,n2 coscosn1,n2nn11•nn22
四、教学过程的设计与实施
1 温故知新
如何度量二面角α—l—β的大小
B O
A
l
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
问题1： 二面角的平面角
能否转化成向量的夹角？
AOB
B
O l
A
AOBO,AOB
二面 角 O,A OB
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
二 面 角 n 1,n 2
四、教学过程的设计与实施
2 探究方法
问题2： 求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二 面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？