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8-4描述函数法

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第二节 描述函数法

第二节 描述函数法

第二节 描述函数法
18
作业：7-1(b)
2020/10/18
第二节 描述函数法
19
(A )
2020/10/18
第二节 描述函数法
16
2) 非线性环节的串联 当两个非线性环节串联，其总的描述函数不等于两个非
线性环节描述函数乘积。
非线性环节串联
必须首先求出这两个非线性环节串联后的等效非线性特性， 然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。 例7-2 求下图所示两个非线性环节串联总的描述函数N(A)。
一、描述函数的概念
针对一任意非线性系统，设输入x(t)=Asinωt,输出波形为
y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 Yn sin(nt n ) n 1
2020/10/18
第二节 描述函数法
2
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt)
N ( A) N1( A) N2( A)
2020/10/18
第二节 描述函数法
12
3、组合非线性特性的描述函数
当非线性系统中含有两个或两个以上线性环节时： 一般不能按照线性环节的串并联方法求总的描述函数； 应按非线性的并联、串联方法计算。
1）非线性特性的并联 设系统中有两个并联的非线性环节，其非线性特性都是
A
AA A A A
2020/10/18
第二节 描述函数法
9
⑦ 非线性增益I 非线性特性
描述函数
N ( A)
k2
2
(k1
k2 )[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A

描述函数法

描述函数法

系统有发散趋势；
x 1时，阻尼为正，系统输出能量，
系统有收敛趋势；
如果一个周期中，吸收的能量和发散的能量相等，
则系统就产生一个振幅和频率都不变的持续振荡。
2、x频率对振幅的依赖 x
硬••弹簧•
例2 m x f x Kx K' x3 0
式中：m, f , K为正数
0
••
m x
f
•
x
K
t
K
'
非线性系统 1 曲线， N
再利用Nyquist稳定判据。
饱和非线性的描述函数：
N
2k
arcsin
s X
s X
k
1
s
2
X
X s X s
Im
1
N
X
0 X s
1
0 Re
k
两位置继电特性的描述函数为: N 4M
X
Im
1 X
N 4M X 0
X
0 Re
y
死区非线性
x k
y
xt
x yt
饱和环节
当输入正弦信号幅值大于一定值时， 其输出出现切顶，变成与输入同频率的 周期非正弦信号。
y1 t
yt y5 t
0
t
y3 t
可以分解成一系列正弦波的叠加， 其基波的频率与输入正弦的频率相同。
一、描述函数定义：
N
Y1 X
1
式中：N— 描述函数；
X— 正弦输入的振幅；
Y1— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
第九章 控制系统的
概述
严格地讲，所有实际物理系统都是非 线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙 等非线性现象。所谓线性系统只是在一定 的工作范围内，非线性的影响很小，以致 可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统， 可采用第二章所述的线性化方程解决非线 性问题；但也有一定数量的非线性问题不 能这样处理，只能采用 其他的方法。

描述函数法讲解

描述函数法讲解
0

Ka sintd(t)


KA s in2
td(t
)

2
KAsin1
a

a
1


a
2


AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1

2
K sin1
a

a
1

a
2

A
AA
A
式中，
Asin

a,

sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1

tg1
A1 B1

0
a

t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1

2


x(t)sint d(t)
0

2


KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1

B1

j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。

自动控制原理第五章

自动控制原理第五章

自动控制原理第五版：《自动控制原理第五版》是科学出版社出版的图书，作者是胡寿松。

本书精选了第四版中的主要内容,加强了对基本理论及其工程应用的阐述。

内容提要：本书系《自动控制原理》第五版,比较全面地阐述了自动控制的基本理论与应用。

全书共分十章,前八章着重介绍经典控制理论及应用,后两章介绍现代控制理论中的线性系统理论和最优控制理论。

书中深入浅出地介绍了自动控制的基本概念,控制系统在时域和复域中的数学模型及其结构图和信号流图;比较全面地阐述了线性控制系统的时域分析法、根轨迹法、频域分析法以及校正和设计等方法;对线性离散系统的基础理论、数学模型、稳定性及稳态误差、动态性能分析以及数字校.图书目录：第五版前言第一章自动控制的一般概念1-1 自动控制的基本原理与方式1-2 自动控制系统示例1-3 自动控制系统的分类1-4 对自动控制系统的基本要求1-5 自动控制系统的分析与设计工具习题第二章控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域数学模型2-2 控制系统的复数域数学模型2-3 控制系统的结构图与信号流图2-4 控制系统建模实例习题第三章线性系统的时域分析法3-1 系统时间响应的性能指标3-2 一阶系统的时域分析3-3 二阶系统的时域分析3-4 高阶系统的时域分析3-5 线性系统的稳定性分析3-6 线性系统的稳态误差计算3-7 控制系统时域设计习题第四章线性系统的根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 根轨迹绘制的基本法则4-3 广义根轨迹4-4 系统性能的分析4-5 控制系统复域设计习题第五章线性系统的频域分析法5-1 频率特性5-2 典型环节与开环系统的频率特性5-3 频率域稳定判据5-4 稳定裕度5-5 闭环系统的频域性能指标5-6 控制系统频域设计习题第六章线性系统的校正方法6-1 系统的设计与校正问题6-2 常用校正装置及其特性6-3 串联校正6-4 反馈校正6-5 复合校正6-6 控制系统校正设计习题第七章线性离散系统的分析与校正7-1 离散系统的基本概念7-2 信号的采样与保持7-3 z变换理论7-4 离散系统的数学模型7-5 离散系统的稳定性与稳态误差7-6 离散系统的动态性能分析7-7 离散系统的数字校正7-8 离散控制系统设计习题第八章非线性控制系统分析8-1 非线性控制系统概述8-2 常见非线性特性及其对系统运动的影响8-3 相平面法8-4 描述函数法8-5 非线性控制的逆系统方法8-6 非线性控制系统设计习题第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1 线性系统的状态空间描述9-2 线性系统的可控性与可观测性9-3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器9-4 李雅普诺夫稳定性分析9-5 控制系统状态空间设计习题第十章动态系统的最优控制方法10-1 最优控制的一般概念10-2 最优控制中的变分法10-3 极小值原理及其应用10-4 线性二次型问题的最优控制10-5 动态规划10-6 控制系统优化设计习题参考文献附录A 傅里叶变换和拉普拉斯变换附录B 矩阵微分法附录C MATLAB辅助分析与设计法。

《自动控制原理》描述函数法

《自动控制原理》描述函数法

y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。

描述函数法

描述函数法

7.2 描述函数
一、描述函数的定义 1.描述函数法的应用条件
(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性 环节N+一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 (2)非线性环节N的输入输出特性曲线奇对称，以保 证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直 流分量。
(3)线性部分G(s)具有良好的低通特性，使得系统 信号中的高次谐波大大衰减，可以用基波来近似。
7.2 描述函数
描述函数定义为：输出的基波分量与输入正弦函 数的复数比：
B1 ( A) jA1 ( A) Y1 ( A) j1 ( A) N ( A) e A A 显然，描述函数是A的增益与输入正弦函数的幅值有关。如果 非线性特性是单值奇对称的，那么：
1 1
1 1
0 ; | x | a t [(0, 1 ) ( 1, 1 ) (2 1,2 )]
二、描述函数的计算
因为死区特性是单值奇对称的，所以
B1

4
1
2
A1 0, 1 0
0
y (t ) sin td (t ) y (t ) sin td (t )
A1 0, 1 0, N B1 / A
二、 描述函数的计算
1）死区特性
y
1 1
1 2 1

二、 描述函数的计算
-a a
输入：x(t ) A sin t ( A a)
输出:
k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( , ) y k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( ,2 )
1 1 1 1
Y1 sin( t 1 ) Y1 A1 B1

第四节 用描述函数法分析非线性系统2003

第四节 用描述函数法分析非线性系统
内容提要 ✓1. 系统的典型结构及前提条件 ✓2. 非线性系统的稳定分析 ✓3. 自振荡分析 ✓4. 非线性系统方框图的简化
1. 系统的典型结构及前提条件
➢ 典型结构
r(t)=0
x
y
c(t)
N
G(s)
非线性系统的分析： 稳定性
自振荡
奈奎斯特判据在非线性
频率特性在非线性系统
当G(j)曲线通过(-0.5, j0)
点时,求kmax
Re[G(
j )]
1
0.05
0.3K
2 0.0004
4
50
0.5
得
kmax 7.5
当K=7.5时，-1/N(x)与G(jω)相交于b1(-0.5, j0) 点，若取K＜7.5，则两曲线不再相交，此时系统 是稳定的，不会产生自振荡。
4. 非线性系统方框图的简化
-1/N(X)
30
1(0 22)
4524j(4524)
求G( j)与1/N(X)曲线的交点。
G( j)
令ImG( j) =0，得 =1.414 (rad/s)
Re [G( j)] =1.414= 1.66 1 X 1.66
N(X) 4
X=2.1
Im 0 Re
13
【例8-1】非线性系统如图8-27（a）所示。
-1 c
Re
0
若复平面中-1/N(x)曲线与G(j)曲线有交点， 则交点对应着等幅振荡，这个等幅振荡能否稳定地 存在？也就是说，若系统受到一个瞬时扰动使振荡 的振幅发生变化，系统是否具有恢复到施加扰动之 前的能力？若可以，该等幅振荡可以稳定地存在， 能够被观察到，称之为自持振荡，反之，则振荡不 能稳定地存在，必然转移到其他运动状态。

第8章 非线性系统分析

dx/dt x
不稳定节点

x 2 n x n x 0
2

1 0
相轨迹振荡远离原点，为不 稳定焦点。
dx/dt x
不稳定焦点

x 2 n x n x 0
2

0
相轨迹为同心圆，该奇点为中心 点。
dx/dt x
中心点

x 2 n x n x 0
R(s) 例8-7 继电控制系统， + 阶跃信号作用下，试用 相平面法分析系统运动。
e
+M -M
m
C(s) K s(Ts 1)
解 （1）作相平面图 线性部分 T c c Km 误差方程 e(t ) r (t ) c(t ) ———— 阶跃信号 r (t ) 1(t ), r (t ) 0, r(t ) 0 误差方程 T e e Km

x x sin x 0


奇点为
f ( x, x) x sin x 0
x0 无穷多个。 x k

4、奇点邻域的运动性质
由于在奇点上，相轨迹的斜率不定， 所以可以引出无穷条相轨迹。

dx 0 dx 0
相轨迹在奇点邻域的运动可以分为
1.趋向于奇点 2.远离奇点 3.包围奇点
（4）滞环特性
滞环特性为正向行程与反向行程不重叠，输入输出曲 线出现闭合环路。又称换向不灵敏特性。通常是叠加 在其它传输关系上的附加特性。
f(e) k +M -e +e0 e -e0 0 +e -M f(e) +M -e 0 -M +e e 0 f(e) e
饱和滞环
继电滞环

自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案

8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。

本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。

8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。

严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。

例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。

当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。

实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。

如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。

图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。

但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。

图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。

例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。

实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。

8-4描述函数法

n 1 n 1
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1




1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10

k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20

x2 x20 | x2 | x20 x2 x20

2

Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1


0
y (t ) sin t d t cos
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1）Gc ( s ) 1
2）Gc (
s
)
0.25s 1 8.3( 0.03s 1 )
,研究系统运动特性。
1）G( j4 ) 1
由N ( A ) 4 1 0.52 1解得：
A
A2
A1 0.556 A2 1.146
e( t ) x( t ) 1.146sin4t为自振荡
2）由曲线知G( j )不包围 1 / N( A )，系统稳定。
2）非线性系统存在周期运动的四种形式：图8－47
N0点对应的周期
运动是稳定的
不稳定 区域
不区稳域定
N0点对应的周期
运动是不稳定的
N10点对应的周期
运动是不稳定的
N 20点对应的周期
运动是稳定的
不区稳域定
不区稳域定
N10点对应的周期
运动是稳定的
N 20点对应的周期
运动是不稳定的
N20点 : x( t ) A20 sin2t N10点 : x( t ) A10 sin2t
y
kk22k(1 xx1(
12)k12
)
k2( a2 2 )
k212
x11
xa2
a2 k1
1
a2
a2
k1
x1
1
x
x y x1
0
y
0 x 1
x1 k1( x 01 )
k
0 k1( x 1 k) k2 1k2
a 2
a2
kx1( x 1 )
k1( x a1
)1a2ak211
2 k1
若系统产生振荡, 则有 y'(t) y(t) , 比较式(23)和式(24)
M (A) G( j) 1
可得系统产生振荡的条件为:
() 1( A) (2n 1)
非线性系统产生自激振荡的上述条件, 也可表为:
G( j) 1/ N ( A) 的形式, 推导如下: G( j )N ( A) G( j ) M ( A)e j[ ( )1( A)] e j(2n1)
（2）非线性系统存在周期运动时的稳定性分析 （自激振荡）
1）周期运动稳定性判据
设线性环节的幅相频率特性曲线G(jω)把复平 面分为两个区域，被G(jω)包围的区域为不稳定 区，未不包围的区域为稳定区。若-1/N(A)曲线随 振幅A增加的方向从不稳定区移动到稳定区，则 穿越点（交点）对应是系统的一个稳定的自振点； 反之，若-1/N(A)曲线沿振幅A增加的方向在交点 处由稳定区进入不稳定区，则该穿越点（交点） 对应的周期运动是不稳定。
描述函数法是分析系统稳定性和自激振荡 的常用方法，其要点是用一次基波分量代替非 线性特性输出的总体，而忽略所有高于一次的 谐波分量。在一定条件下，这种忽略具有一定 的合理性。
（1）描述函数的定义(P408)
∞
y(t)= A0+∑nx=(1(Atn)cosnAωts+iBnnsint nωt)
y (t) Y sin(t ) 非为线此性A，环定0 节义可正1近弦A02似信0认y号(为作t)n具d用1有下Yt和，n1线非s性i线n环性(Yn节环n相节t类的似稳A的态n频输2n) 率出1响中B应一2n形次式谐波
A2
K
3A 1
( s 1 )( s 4 ) C( s )
1
s
1．分析参数K对系统自由运动的影响；
2．若能产生自激振荡，试求使输出c处振幅为1时的振荡频率 和参数K的值。
k 60 不稳定(3分)，k 10 稳定(3分)，10 k 60自激
振荡(3分)， 2(3分)，k 20 (4分)
例题8-6
1、研究k 15时系统的运动 2、不出现自振荡k的临界值。
1、G( j7.07 ) 1
有自振荡
令N ( A ) 4 [sin1 1 1 1 1 ] 1
AA
A2
试探法求得A 2.5
e( t ) 2.5 sin7.07t
2、令G(
j7.07 ) k 15
0.5,解得kmax
7.5
例题8-7
死区非线性环节的描述函数(补充)
死区饱和非线性环节的描述函数
Hale Waihona Puke sin2tdy t
k
1 2
(1
y(cto) s
2t)dt
1 2
t
1 2
sin
t
cos
t
x△(t)a= Asisnixnωttd
t ψ111ψ222
22
cyo(ts)≈tB1sinωωtt
ψψ1ssiinn1A2 Nxa(t(//)AAAy(),,t=cc)oosBs1+10A2kj(AA1s11=inBA((at1//
x(t)
y(t)
特征方程：
1 NG1 NG1H1 0
1 N G1(1 H1 ) 0
x(t)
y(t)
N(A)
G1(1+H1)
c(t )在 哪 里 ？
y(t) x(t)
1 N G1H1 0
等效变换2
1 G1
1 G1 NG1H1 0
x(t) c(t) N(A) y(t)
G1H1 1 G1
G( j ) 1 / N( A )时非线性系统临界稳定。
临界稳定会产生等幅振荡,
该等幅振荡也许能维持,也许不能维持！ 能维持的等幅振荡叫稳定的周期运动，又叫自激振荡。
判别非线性系统稳定性的步骤：
①将实际系统简化为一个非线性部分和一个线 性环节串联的典型反馈结构。 ②绘制线性部分的幅相频率特性曲线G(jω)。 ③求非线性部分的负倒描述函数-1/N(A)，并 作出相应的曲线。 ④判别非线性系统的稳定性。
t)As1in1td002ty+(4t)
costdt 0
2 k(a)sintdt
2
3、非线性系统的简化——等效变换
等效变换原则：在r(t)=0的条件下，根据非线性 特性的串、并联，简化非线性部分为一个等效 非线性环节，再保持等效非线性环节的输入输 出关系不变，简化线性部分。
（1）非线性特性并联 （2）非线性特性串联－采用图解法化简 两个非线性环节的串联，等效特性还取决于其 前后次序；多个非线性环节的串联，可按上述 两个非线性环节的串联简化方法一一简化
k(x+△） x<-△
sin 0t△dt ψcoπs π t-ψ sin / A,cos 1 ( / A)2 2
xπ(-tAψ)ψ=NB(Aπ2Aω1πs)tiXn(2ωtx2k)t(k=At)NA[(2sAiAn)Aω1=a0BtrBc1414s1k1i+An012j20A2A2ky[0y12A(y((At(ty)=st)Ac)(isnt≈cBAoi)n2oss1Bsi1n01ttstddin(tdtωAtst))itns200i]nt]Adt>dt△t
奇对称函数，即y(t+π/ω)=-y(t)
3）非线性部分输出y(t)中的基波分量最强
4）线住部分G(s)的低通滤波效果较好
2、典型非线性特性的描述函数
表8－1
｛
y(t)
sin2 tdt k –△
x(t)
1 2
y(t)
(1 cos
2t)dt π -Ψ ωt
y12(t)=t
k120s(xin-△) t cxxo><s△△ t
Y1
cos t B1
A12 B12
sin1taArctYg 1ABs11in(tA
1
)
（2）非线性系统描述函数法分析的应用条件
1）非线性系统可以归化为一个非线性环节和 一个线性部分闭环连接的典型结构
2）非线性特性具有奇对称性 非线性环节的输入输出特性y(x)应是x的奇
函数，即f(x)=-f(-x) 或正弦输入下的非线性环节的输出为t的
（3）线性部分的等效变换 令r(t)=0，按等效变换原则，调换综合点。
r(t) 0
c(t )
G1
G2
y(t)
N
x(t) G3
特征方程：
1 G2G3 N 0
1+G1G2+G2G3N=0
1 G1G2
N x(t)
y(t) G2G3
1 G1G2
c(t )在 哪 里 ？
提醒：两个方块位置可随意放
等效变换1
例题1(补充)
x1
y
x
1
x1
k2=1
y
0
k1=0.7
1
x
0 1 x1
x0 y
N(A) 3A 2 A4
1 2 N(0)
1 1 N() 3
(补
负倒描述曲线1
充)
1 A4 N(A) 3A 2
jIm
-2
-1/3 0 Re
N(A) 4M A
(补充)
负倒描述曲线2
1 h2 A2
Ah
N(h) 0 起于–
分A量1n和输1入0信2号y(的t)复c数os比n1为非td线性t 环B节n1的描1述0函2数y(，t)用sNin(An1)表t示d：t
正弦N若响(AA0应=0)仅，=有且一N当次n(>A谐1时)波，分eYj量∠n均！N很(A小) =，则Y可1近e似j认1 为 非B1线性j环A节1 的
y(t)
A1
cos(2n 1) j sin( 2n 1) 1 G( j) 1/ N ( A)
称上式中 1/ N ( A)为非线性特性的负倒描述函数。
由上分析可得两个结论: 1)当非线性系统的线性部分的频率特性与非线
性环节的乘积等于-1时, 系统将产生自激振荡;
2)由于 G( j) 是关于 的复变函数, 而 1/ N ( A)
x( t ) A sint