河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期周练试题文[含答案]

2019-2020学年河南省洛阳市第一高级中学高二9月月考数学试题一、单选题1．函数22()(23)f x log x x =+-的定义域是（ ）A ．[3,1]-B ．(3,1)-C ．(,3][1,)-∞-⋃+∞D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞ 【答案】D 【解析】由解得或，故选D.【考点】函数的定义域与二次不等式.2．ABC ∆中，o 4,3,60AB AC A ===，则ABC ∆的面积为( )A B ．3C ．D ．【答案】C【解析】利用三角形的面积公式直接计算即可. 【详解】11sin 43222ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=，故选C. 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，属于基础题.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3，S 4=15，则S 6=（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．64【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质可得S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列，代入数据计算可得．解：S 2=a 1+a 2，S 4﹣S 2=a 3+a 4=（a 1+a 2）q 2，S 6﹣S 4=a 5+a 6=（a 1+a 2）q 4，所以S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列， 即3，12，S 6﹣15成等比数列，可得122=3（S 6﹣15），解得S 6=63 故选：C【考点】等比数列的前n 项和．4．在中，a =b =π3B =，则A 等于 A ．π6 B ．π4C ．3π4D ．π4或3π4【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理得，因,故A 等于π4【考点】正弦定理5．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222a b c +=，则角C 为（ ） A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】利用余弦定理可直接计算C 的大小. 【详解】因为222cos 2a b c C ab +-==，而()0,C π∈， 所以34C π=，故选C. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题.6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.7．A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=，105CAB ∠=后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ）A． B．C．D．2m 【答案】A【解析】由∠ACB 与∠BAC ，求出∠ABC 的度数，根据sin ∠ACB ，sin ∠ABC ，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长． 【详解】在△ABC 中，AC=50m ，∠ACB=45°，∠CAB=105°，即∠ABC=30°，则由正弦定理sin sin AB ACACB ABC=∠∠，得AB=50sin 2.1sin 2AC ACB ABC∠==∠ 故选A. 【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.8．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A．2BC ．5D ．92【答案】C【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123a =，6812S a =，则使n S 达到最大值的n 是（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】利用123a =，6812S a =可求出基本量，再考虑n a 何时变号即可得到n S 达到最大值的n 的值. 【详解】设等差数列的公差为d ，则 ()65623122372d d ⨯⨯+⨯=+，故2d =-， 故252n a n =-，当13n ≥时，0n a <，当12n ≤时，0n a >， 所以当12n =时，n S 最大，故选C.10．已知实数,x y 满足12100y y x x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为1,-则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】画出可行域对应的平面区域，平移动直线z x y =-后可得z 何时取最小值，从而可求实数m 的值. 【详解】如图，由21y x x y m =-⎧⎨+=⎩可得B 的坐标为121,33m m +-⎛⎫⎪⎝⎭， 当动直线0x y z --=过B 时，z 取最大值1-，故1211033m m +--+=， 故5m =，所以选D. 【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ，而21y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率． 11．若，且，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】将代数式与相乘，展开式利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为解不等式，解出即可.【详解】由基本不等式得，当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.由题意可得，即，解得或.因此，实数的取值范围是，故选：B.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题。

河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期周练试题（3.15）文1．若直线l 经过点A(1，2)，且在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k<15B ．k>1或k<12 C.15<k<1D ．k>12或k<－12．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1，3)，则b 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－53．“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋2＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．直线y ＝2x ＋1关于点(1，1)对称的直线方程是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝2x －35．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．67．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m ，0)，B(m ，0)(m>0)，若C 上存在的点P ，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．48.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线一部分D ．抛物线的一部分9．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( ) A ．[12，1) B ．[22，32] C ．[22，1)D ．[32，1) 10．已知点P 为双曲线x 216－y29＝1右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，则△MF 1F 2的面积为( ) A ．27 B ．10 C ．8D ．611．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b)向圆所作的切线长的最小值为________．12．直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．13．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点F(c ，0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．14．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)交于O ，A ，B 三点，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．15．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2y ＝0.(1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c≥0恒成立，求实数c 的取值范围．16．在直角坐标系xOy 中，以M(－1，0)为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切． (1)求圆M 的方程；(2)已知A(－2，0)，B(2，0)，圆内的动点P 满足|PA|·|PB|＝|PO|2，求PA →·PB →的取值范围．17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．3月15日文科数学周测答案1．D 2．A 3． A 4．D 5．C 6． B 7．B 8.D 9． C 10． B 11．4 12． 4313．2214．3215．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2y ＝0. (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c≥0恒成立，求实数c 的取值范围．解 (1)方法一：圆x 2＋(y －1)2＝1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，--------2分∴2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1.------------------------------------------------------------3分 ∵－5≤2cos θ＋sin θ≤5，--------------------------------------4分 ∴1－5≤2x＋y≤5＋1.----------------------------------------------------------------5分方法二：2x ＋y 可看作直线y ＝－2x ＋b 在y 轴的截距，当直线与圆相切时b 取最值，此时|2×0＋1－b|5＝1.-----------------------------------------------------------------------------3分 ∴b＝1±5，∴1－5≤2x＋y≤1＋5.-------------------------------------------------5分(2)∵x＋y ＝cos θ＋1＋sin θ＝2sin (θ＋π4)＋1，------------------------7分∴x＋y＋c的最小值为1－2＋c.---------------------------------------------------------8分 ∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－2＋c≥0.---------------------------------------------9分 ∴c的取值范围为c≥2－1.---------------------------------------------------------------10分16．在直角坐标系xOy 中，以M(－1，0)为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切． (1)求圆M 的方程；(2)已知A(－2，0)，B(2，0)，圆内的动点P 满足|PA|·|PB|＝|PO|2，求PA →·PB →的取值范围．解 (1)依题意，圆M 的半径r 等于圆心M(－1，0)到直线x －3y －3＝0的距离，即r ＝|－1－3|1＋3＝2.---------------------------------------------------------------------------------------3分 ∴圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.-------------------------------------------------------------4分 (2)设P(x ，y)，由|PA||PB|＝|PO|2，得 （x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x2－y2＝2.---------------------------------------------------------------------------------------6分∴PA →·PB →＝(－2－x ，－y)·(2－x ，－y) ＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．-------------------------------------------------------------------------8分∵点P 在圆M 内，∴(x ＋1)2＋y 2<4，∴0≤y 2<4，∴－1≤y 2－1<3. ∴PA→·PB→的取值范围为[－2，6)．------------------------------------------------------------10分17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解 设双曲线的方程为x 2a 2－y2b 2＝1，----------------------------------------1分∴F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P(x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cosπ3-----------------------------------------------------3分 ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|. 即4c2＝4a2＋|PF 1|·|PF 2|.----------------------------------------------------------------------------5分 又∵S△PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝23.------------------------------------------------------------------------7分∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.-----------------------------------------------------------------------------8分又∵e＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴所求双曲线方程为3x22－y 22＝1.-------------------------------------------------------------------10分。

洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二下学期周练（2.23）数学试题 文一、选择题(每题5分，共50分）1.复数()1i i -的共轭复数对应的点在复平面内位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.的值为，则已知复数z z z ⋅=i -2（ ） A.5 B.5 C.3 D.33．若(x ＋i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝( )A ．±1B ．2C ．－1D ．14.若复数2－bi1＋2i (b∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于( ) A. 2 B.23 C ．－23 D ．25.若复数z 满足z(1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12 B.2－1 C ．1 D.2＋126.i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b)的值是( )A ．－2B ．－1C ．0 D.12 7.若复数z 满足方程132z i +-=，则z 在复平面上表示的图形是（ ）A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线8.定义运算a b ad bc c d =-，若1201812z i i =（i 为虚数单位）且复数z 满足方程14z z -=，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ ）A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆9.已知i 是虚数单位，则“a=b=1”是（a+bi)2=2i 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10．下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题： p 1：|z|＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4二．填空题（每题5分，共20分）13. 复数z 满足()21i z i -=-，那么z = ． 14.i 为虚数单位，则2014)11(ii +-= 15．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为_______．16.给出下列四个命题：①满足：z ＝1z的复数有±1，±i ； ②若a ，b ∈R 且a ＝b ，则(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数；③复数z∈R 的充要条件是z ＝z ；④在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．其中正确的命题是________．三、解答题(每题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知i 为虚数单位，z 是复数，若4z -为纯虚数，且25z =.（1）求复数z ；（2）若复数z 和复数()2z mi +在复平面上对应的点均在第四象限，求实数m 的取值范围.18.已知z 1，z 2为复数，i 为虚数单位，z 1•+3（z 1+）+5=0，为纯虚数，z 1，z 2在复平面内对应的点分别为P ，Q ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）求点Q 的轨迹方程；（3）写出线段PQ长的取值范围．2．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S．（1）求证：a2+b2+c2≥4S；（2）求证：tan tan，tan tan，tan tan中至少有一个不小于．高二文数第三章复数周测题一．选择题(每题5分，共50分）1.复数()1i i -的共轭复数对应的点在复平面内位于（ D ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.的值为，则已知复数z z z ⋅=i -2（ A ） A.5 B.5 C.3 D.33．若(x ＋i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝(A )A ．±1B ．2C ．－1D ．1 4.若复数2－bi 1＋2i(b∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于(C ) A. 2 B.23 C ．－23 D ．25.若复数z 满足z(1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为(A ) A.2－12 B.2－1 C ．1 D.2＋12解析 由z(1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A. 6.i 是虚数单位，若2＋i 1＋i＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b)的值是(C ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D.12解析 ∵（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋bi ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b)＝lg1＝0 7.若复数z 满足方程132z i +-=，则z 在复平面上表示的图形是（ B ）A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线 8.定义运算a bad bc c d =-，若1201812z i i =（i 为虚数单位）且复数z 满足方程14z z -=，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ A ）A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆9.已知i 是虚数单位，则“a=b=1”是（a+bi)2=2i 的（ A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10．下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题： p 1：|z|＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( C )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4二．填空题（每题5分，共20分）14. 复数z 满足()21i z i -=-，那么z 122i ． 14.i 为虚数单位，则2014)11(ii +-= -1 15．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为___-2_____．16.给出下列四个命题：①满足：z ＝1z的复数有±1，±i ； ②若a ，b ∈R 且a ＝b ，则(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数；③复数z∈R 的充要条件是z ＝z ；④在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．其中正确的命题是__③______．三、解答题(每题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知i 为虚数单位，z 是复数，若4z -为纯虚数，且z =（1）求复数z ；（2）若复数z 和复数()2z mi +在复平面上对应的点均在第四象限，求实数m 的取值范围.解：（1）设z x yi =+（x ，y R ∈），由()44z x yi -=-+为纯虚数，得4x =且0y ≠……①由z =(222x y +=……②由①②可得，4x =，2y =-或2.∴42z i =-或42z i =+.（2）∵z 在第四象限，∴42z i =-，∴()()()2241282z mi m m m i +=-+++-，根据条件，可知()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得22m -<<， ∴实数m 的取值范围是()2,2-.18.已知z 1，z 2为复数，i 为虚数单位，z 1•+3（z 1+）+5=0，为纯虚数，z 1，z 2在复平面内对应的点分别为P ，Q ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）求点Q 的轨迹方程；（3）写出线段PQ 长的取值范围．解：（1）设z 1=x+yi （x ，y ∈R ），由z 1•+3（z 1+）+5=0，得： （x+yi ）（x ﹣yi ）+3（x+yi+x ﹣yi ）+5=0，整理得（x+3）2+y 2=4．∴点P 的轨迹方程为（x+3）2+y 2=4；（2）设z 2=x+yi （x ，y ∈R ）， =， ∵为纯虚数，∴x 2+y 2=9且y≠0，∴点Q 的轨迹方程为x 2+y 2=9 （y≠0）；（3）如图，由图可知，线段PQ长的取值范围[0，8]．2．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S．（1）求证：a2+b2+c2≥4S；（2）求证：tan tan，tan tan，tan tan中至少有一个不小于．证明：（1）要证明a2+b2+c2≥4S，只需证明a2+b2+a2+b2﹣2abcosC≥2absinC，只需证明a2+b2≥2absin（C+），只需证明a2+b2≥2ab，只需证明（a﹣b）2≥0，显然成立，∴a2+b2+c2≥4S；（2）假设tan tan，tan tan，tan tan都不小于，则tan tan+tan tan+tan tan＜1①∵tan tan+tan tan+tan tan=tan（tan+tan）+tan tan =tan tan（+）[1﹣tan tan]+tan tan=1这与①矛盾，∴tan tan，tan tan，tan tan中至少有一个不小于．。

河南省洛阳市第一高级中学高二数学下学期6月“周练”试卷 理一、选择题1、在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程x 2+ y 2= 4，变换为椭圆方程214y x ''+=，此伸缩变换公式是（ ）A 、12x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩B 、2x x y y '=⎧⎨'=⎩C 、4x x y y '=⎧⎨'=⎩D 、24x x y y '=⎧⎨'=⎩2、已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为cos 3ρϕ=，4cos (0, 0)2πρϕρϕ=≥≤≤，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为（ ） A、)6πB、, )23πC、)3πD、()26π 3、极坐标方程2cos 0()R θρ=∈表示图形是（ ） A 、两条射线B 、两条相交直线C 、一条直线D 、一条直线和一条射线4、已知P 点极坐标为(4, π），则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ） A 、4ρ=B 、4cos ρθ=C 、4cos ρθ-=D 、4cos ρθ=5、已知抛物线C 1：y = 2x 2与抛物线C 2关于直线y = x 对称，则C 2的准线方程为（ ） A 、18x =-B 、12x =C 、18x =D 、12x =-6、设双曲线22221(0, 0)x y a b a b-=>>的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线离心率为（ ） A、2B、12CD7、设M 为双曲线221916x y -=上位于第四象限内一点，12,F F 为两焦点且12:1:3MF M F =，则△MF 1F 2周长为（ ）A 、16B 、22C 、26D 、308、F 1、F 2分别为双曲线22221(0, 0)x y a b a b-=>>的左右焦点，A 、B 是以O 为圆心、以OF 1为半径的圆与双曲线左支两交点，且△F 2AB 为等边三角形，则双曲线离心率为（ ）ABCD 、19、函数y = lnx – x 在(0, ]e 上最大值为（ ）A 、eB 、1C 、－1D 、－e10、已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是连长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ） A 、83B 、38C 、43D 、34二、填空题1.已知圆的极坐标方程为()5sin 3cos 22=++θθρρ则此圆在直线0=θ上截得的弦长为2.正四棱锥底面边长为2，高为2。

高二年级文科数学第十三次周练试题（5月3日）一．选择题（共50分）1．下列说法错误的个数是（）①在线性回归模型y＝bx+a+e中，预报变量y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其它因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生②在线性回归模型y＝bx+a+e中，随机误差e是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e的产生③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若K2从统计量中求出有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有1%的可能性使得判断出现错误⑤在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若K2的观测值k＞6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病．A．2B．3C．4D．52．根据如下样本数据x34567y 4.0 2.5﹣0.50.5﹣2.0得到的回归方程为．若a＝7.9，则x每增加1个单位，y就（）A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位D．减少1.2个单位3．已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C．该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D．该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益4．在平面中，与正方形ABCD的每条边所成角都相等的直线与AB所成角的余弦值为．将此结论类比到空间中，得到的结论为：在空间中，与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的每条棱所成角都相等的直线与AB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．将自然数按如下规律排数对：（0，1），（1，0），（0，2），（1，1），（2，0），（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，1），…，则第58个数对是（）A．（6，4）B．（5，5）C．（4，6）D．（3，7）6．下面使用类比推理正确的是（）A．直线a∥b，b∥c，则a∥c，类推出：向量，则B．同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥bC．实数a，b，若方程x2+ax+b＝0有实数根，则a2≥4b．类推出：复数a，b，若方程x2+ax+b＝0有实数根，则a2≥4bD．以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程为x2+y2＝r2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程为x2+y2+z2＝r27．要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≥0，只要证明（）A．2ab﹣1﹣a2b2≥0B．（a2﹣1）（b2﹣1）≤0C．﹣1﹣a2b2≥0D．a2+b2﹣1﹣≤08．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝（）A．4B．5C．2D．39．用反证法证明“至少存在一个实数x0，使＞0成立”时，假设正确的是（）A．不存在实数x0，使成立B．至多存在一个实数x0，使成立C．至少存在两个实数x0，使成立D．任意实数x，3x＞0恒成立10．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝（）A．4B．C．2D．二．填空题（共20分）11．用反证法证明“∀x∈R，2x＞0”，应假设为12．已知复数z＝（其中i是虚数单位，满足i2＝﹣1）则z的共轭复数是13．已知复数z1＝2+ai（a∈R），z2＝1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|＝14．观察下列几个三角恒等式①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°＝1②tan13°tan35°+tan35°tan42°+tan42°tan13°＝1③tan5°tan100°+tan100°tan（﹣15）°+tan（﹣15）°tan5°＝1．一般的，若tanα，tanβ，tanγ均有意义，你可以归纳出结论：三．解答题（共30分）15．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染轻度污染中度污染重度污染天数61418272015（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？非重度污染严重污染合计供暖季非供暖季合计100（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为y＝试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的平均数．参考公式：K2＝P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82816．为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型①与模型；②作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系．温度x/℃20222426283032产卵数y/个610212464113322t＝x24004845766767849001024z＝lny 1.79 2.30 3.04 3.18 4.16 4.73 5.772669280 3.571157.540.430.320.00012其中，，z i＝lny i，，附：对于一组数据（μ1，ν1），（μ2，ν2），…（μn，νn），其回归直线v＝βμ+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，（1）根据表中数据，分别建立两个模型下y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30℃时的产卵数．（C1，C2，C3，C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02）（2）若模型①、②的相关指数计算分别为．，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．17．已知数列{a n}中，a2＝a+2（a为常数），S n是{a n}的前n项和，且S n是na n与na的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}是首项为1，公比为的等比数列，T n是{b n}的前n项和，问是否存在常数a，使a10•T n＜12恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．高二年级文科数学第十三次周练答案（5月3日）1.解：对于①，y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，故①正确；对于②，随机误差不是由于计算不准造成的，故②不正确．对于③，不表示有每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病，故③不正确．对于④，从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，④正确．对于⑤，不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故⑤不正确．故选：B．2．解：设变量x，y的平均值为：，，∴＝＝5，＝0.9，∴样本中心点（5，0.9），∴0.9＝5×b+7.9∴b＝﹣1.4，∴x每增加1个单位，y就减少1.4．故选：B．3．解：由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份的收入﹣支出的值最大，所以收益最高，故选项A正确；由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份的收入﹣支出的值最小，所以收益最低，故选项B正确；由折线图可知，该超市2019年7至12月份的总收益为60+40+30+30+50+30＝240，2019年1至6月份的总收益为20+30+20+10+30+30＝140，所以该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元，故选项C错误，选项D正确；故选：C．4．解：与正方形ABCD的每条边所成角都相等的直线为正方形对角线所在直线，与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的每条棱所成角都相等的直线为正方体对角线所在直线，∴与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的每条棱所成角都相等的直线与AB所成角为∠ABD1，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则AB＝1，AD1＝，BD1＝，∵AB⊥AD1，∴与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的每条棱所成角都相等的直线与AB所成角的余弦值为：cos∠ABD1＝＝＝．故选：B．5．解：根据题意，通过观察发现：各数对中两个数的和为1的有两个，分别为（0，1）、（1，0）；和为2的有3个，分别为（0，2），（1，1），（2，0）；和为3的有4个，分别为（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）；…以此类推，得到和为9时，有数对10个，此时一共出现了＝54个数对，则第58个数对是两个数的和为10的数对中的第4个，为（3，7）；故选：D．6．解：对于A，＝时，不正确；对于B，空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a⊥b或相交，故不正确；对于C，方程x02+ix0+（﹣1±i）＝0有实根，但a2≥4b不成立，故C不正确；对于D，设点P（x，y，z）是球面上的任一点，由|OP|＝r，得x2+y2+z2＝r2，故D正确．故选：D．7．解：要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≥0，只要证明（a2﹣1）（1﹣b2）≥0，只要证明（a2﹣1）（b2﹣1）≤0．故选：B．8．解：模拟执行程序，可得a＝1，A＝1，S＝0，n＝1S＝2不满足条件S≥10，执行循环体，n＝2，a＝，A＝2，S＝不满足条件S≥10，执行循环体，n＝3，a＝，A＝4，S＝不满足条件S≥10，执行循环体，n＝4，a＝，A＝8，S＝满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．9．解：根据反证法的原理，假设是对原命题结论的否定，故选：A．10．解：因为tan＝＝tan（+θ），且tanθ＝∴+θ＝kπ+，∴θ＝kπ+，∴tanθ＝tan（kπ+）＝．∴＝故选：D．11．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，P（x0）成立的否定是使得P （x0）不成立，即用反证法证明“∀x∈R，2x＞0”，应假设为∃x0∈R，≤012．解：复数z＝＝﹣2﹣i，则z的共轭复数是﹣2+i．13．解：∵z1＝2+ai（a∈R），z2＝1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a＝1，则z1＝2+i，∴|z1|＝．14．解：观察所给3个等式可得：当α+β+γ＝90°时，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα＝1．故答案为：α+β+γ＝90°，则tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα＝1．15．解：（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：非严重污染严重污染总计供暖季22830非供暖季63770总计8515100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2＝≈4.575．---------------------------------------------------5分∵4.575＞3.841∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”---------------6分（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：P（X＝0）＝P（0≤x≤100）＝P（X＝400）＝P（100＜x≤300）＝，P（X＝2000）＝P（x＞300）＝∴X＝0×+400×+2000×＝560．----------------------------------------------9分∴该企业一个月（按30 天算）的经济损失的平均数为30×560＝16800元．--10分16．解：（1）对于模型①：设t＝x2，则，其中，…（1分）；…（3分）所以y＝0.43x2﹣217.56，…（4分）当x＝30时，估计产卵数为；…（5分）对于模型②：设z＝lny，则lny＝C3x+C4，其中，…（6分）；…（7分）所以y＝e0.32x﹣4.75，当x＝30时，估计产卵数为；…（8分）（2）因为，，所以模型②的拟合效果更好．…（10分）17．解：（1）由已知得：2S n＝na n+na，所以当n≥2时2S n﹣1＝（n﹣1）a n﹣1+（n﹣1）a．两式相减得：2a n＝na n﹣（n﹣1）a n﹣1+a，整理得：（n﹣1）a n﹣1＝（n﹣2）a n+a．-------------------------------------------2分当n≥3时，上式可化为：，---------------------------------3分于是：．--------------------------------------4分又，2a1＝a1+a⇒a1＝a，a2＝a+2均满足上式，故a n＝2n+a﹣2（n∈N*）--------------------------------------------------------------5分（2）因为，所以．------------------------------------------6分又a10＝a+18，所以a10•T n＜12可化为，--------------------------------------------7分整理得：．----------------------------------------------------8分令，则当n为奇数时，；当n为偶数时，．--------------------------------------------------9分所以，，故．故存在常数a，使a10•T n＜12恒成立，其范围是（﹣∞，﹣6）．------------------------------------------------------------10分。

河南省洛阳一高2019-2020学年高二5月月考数学文试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.复数⎝⎛⎭⎫i －1i 3的虚部是( ) A .－8 B .－8i C .8 D .0答案 A解析 ⎝⎛⎭⎫i －1i 3＝⎝⎛⎭⎫i －ii 23＝(2i)3＝－8i.故选A. 2.下面4个散点图中，不适合线性回归模型拟合的两个变量是( )答案 A解析 由散点图可以看出C ，D 的样本点分布在一条直线附近，B 的样本点分布在一条抛物线的附近，可以转化为线性回归模型.而A 的样本点则是散落的分布，没有集中的趋势.故选A.3.设1a <1b <0，则在①a 2>b 2；②a ＋b>2ab ；③ab<b 2；④a 2＋b 2>|a|＋|b|.这4个不等式中，恒成立的不等式的个数为( ) A .0个B .1个C .2个D .3个答案 B解析 因为1a <1b <0，所以b<a<0，所以a 2<b 2，故①错；a ＋b<0，2ab>0，故②错；ab<b 2，③恒成立；当a ＝－14，b ＝－12时，a 2＋b 2＝516，|a|＋|b|＝34，故④错.综上，只有③恒成立.故选B.4.上一个n 层台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同的上法的总数为f(n)，则下列猜想正确的是( ) A .f(n)＝nB .f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)C .f(n)＝f(n －1)×f(n －2)D .f(n)＝⎩⎨⎧n ，n ＝1，2，f （n －1）＋f （n －2），n≥3答案 D解析 当n ＝1时，f(1)＝1；当n ＝2时，f(2)＝2；当n ≥3时，由于每次只能上一层或两层，因此f(n)＝f(n －1)＋f(n －2).故选D.5.某一算法流程图如图，输入x ＝1得结果为( )A .0B .1C .2D .3答案 B解析 当x ＝1时，12不是整数，故y ＝x ＝1.故选B.6.某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行.某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( ) A .今天是周四 B .今天是周六 C .A 车周三限行 D .C 车周五限行答案 A解析 在限行政策下，要保证每天至少有四辆车可以上路行驶，周一到周五每天只能有一辆车限行.由周末不限行，B 车昨天限行知，今天不是周一，也不是周日；由E 车周四限行且明天可以上路可知，今天不是周三；由E 车周四限行，B 车昨天限行知，今天不是周五；从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，如果今天是周二，A ，C 两车连续上路行驶到周五，只能同时在周一限行，不符合题意；如果今天是周六，则B 车周五限行，又E 车周四限行，所以A ，C 两车连续上路行驶到周二，只能同时在周三限行，不符合题意.所以今天是周四.故选A.7.下列四个命题中，正确的个数为( ) ①满足z ＝1z的复数，只有±1；②若a ，b ∈R ，且a ＝b ，则(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数； ③复数z ∈R 的充要条件是z ＝z －；④在复平面内，复数m ＋im －i 对应的点位于第一象限，则实数m 的取值范围是(1，＋∞)A .0个B .1个C .2个D .3个 答案 D解析 只有②不正确，如a ＝b ＝0时，对应复数为0，是实数.故选D.8.若x ，y 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A .3B.72 C .4 D.92答案 C9.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是( ) A .总偏差平方和 B .残差平方和 C .回归平方和 D .相关指数R 2答案 B解析 y i －y ^＝e ^i ，∑n i ＝1e ^i 2为残差平方和.故选B.10.如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K 2≈3.852>3.841，所以判断性别与运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过( ) A .2.5% B .0.5% C .1% D .5%答案 D解析 ∵P(K 2≥3.841)≈0.05，故“判断性别与运动有关”出错的可能性为5%.11.“所以9的倍数(m)都是3的倍数(p)，某奇数(s)是9的倍数(m)，故某奇数(s)是3的倍数(p).”上述推理得( ) A .小前提错 B .结论错 C .正确 D .大前提错答案 C解析 前提和结论都是正确的.故选C.12.将1，2，3，…，9这9个数填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，第一列从上到下依次增大，当3，4固定在图中位置时，填写空格的方法种数为()A.6种C.18种D.24种答案 A解析3，4固定，则1，2，9也固定，当x＝5时，①m为6，则y，n y为6，m，n可互换有2种.同理当y为5时，也有1＋2＝3种.∴有2×(1＋2)＝6种.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)13.已知i为虚数单位，复数a＋3i2i的实部与虚部相等，则实数a＝________.答案－3解析a＋3i2i＝（a＋3i）i－2＝32－ai2，由题意知32＝－a2，解得a＝－3.14.(高考真题·湖北卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i＝________.答案 5解析从程序框图知，a＝10，i＝1；a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5.故输出i＝5.15.许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一.在研究这两个因素的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据，建立的回归直线方程如下：y＝0.8x＋4.6，估计值0.8说明______________________，成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线人数占本州人数的百分比(y)之间的相关系数r________(填“大于0”或“小于0”).答案一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右大于0解析由回归分析可知.16.已知两个圆：x2＋y2＝1①与x2＋(y－3)2＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为：_____________________________ ________________________________________________________________________.答案设两圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(x－c)2＋(y－d)2＝r2(a≠c或b≠d)，则由两方程相减得两圆的对称轴方程为2(c－a)x＋2(d－b)y＋a2＋b2－c2－d2＝0解析这是一个类比推理题，由两相交圆将方程相减可以得到相交弦方程知，只需将两同半径的一般圆方程相减消去二次项即可.但要注意得出的结论必须是正确的.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 为何值时，z 对应的点位于复平面的第二象限？解析 要使z 对应的点位于复平面内的第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0，lg （m 2－2m －2）<0，m 2＋3m ＋2>0.解得－1<m<1－3或1＋3<m<3.18.(12分)先解答(1)，再通过结果类比解答(2). (1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tanx1－tanx ；(2)设x ∈R ，a≠0，f(x)是非零函数，且函数f(x ＋a)＝1＋f （x ）1－f （x ），试问f(x)是周期函数吗？证明你的结论.证明 (1)tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan π4＋tanx 1－tan π4tanx＝1＋tanx 1－tanx . (2)类比猜想：f(x)是以T ＝4a 为周期的周期函数. 因为f(x ＋2a)＝f(x ＋a ＋a)＝1＋f （x ＋a ）1－f （x ＋a ）＝1＋1＋f （x ）1－f （x ）1－1＋f （x ）1－f （x ）＝－1f （x ）， 所以f(x ＋4a)＝－1f （x ＋2a ）＝f(x).所以f(x)是以T ＝4a 为周期的周期函数.19.(12分)某大型企业人力资源部为了研究企业员工的工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：解析 由公式，得K 2＝189×（54×63－40×32）294×95×86×103≈10.759.因为10.759>7.879，所以有99.5%的把握说抽样员工对待企业改革的态度与工作积极性是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的. 20.(12分)已知a ，b ，c 表示△ABC 的边长，m>0，求证：a a ＋m ＋b b ＋m >cc ＋m .证明 设f(x)＝xx ＋m(x>0)，且0<x 1<x 2， 则f(x 2)－f(x 1)＝x 2x 2＋m －x 1x 1＋m ＝m （x 2－x 1）（x 1＋m ）（x 2＋m ）.∵m>0，0<x 1<x 2，∴m ＋x 1>0，m ＋x 2>0，x 2－x 1>0. ∴f(x 2)－f(x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1). ∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数.在△ABC 中，a ＋b>c ，则a ＋ba ＋b ＋m >cc ＋m .∴c c ＋m <a a ＋b ＋m ＋b a ＋b ＋m <a a ＋m ＋b b ＋m. ∴原不等式成立.21.(12分)一种计算装置，有一个数据输入口A 和一个运算结果输出口B ，执行的运算程序是：①当从A 口输入自然数1时，从B 口输出实数13，记为f(1)＝13；②当从A 口输入自然数n(n ≥2)时，在B 口得到的结果f(n)是前一结果f(n －1)的2n －32n ＋1倍. (1)求f(2)，f(3)的值；(2)归纳猜想f(n)的表达式，并证明； (3)求∑ni ＝1f(i). 解析 (1)由题可知f(n)＝2n －32n ＋1f(n －1)，n ≥2.∴f(2)＝2×2－32×2＋1×13＝115，同理得f(3)＝135.(2)由f(1)＝13＝11×3，f(2)＝115＝13×5，f(3)＝135＝15×7.归纳猜想：f(n)＝1（2n －1）（2n ＋1）.∵f （n ）f （n －1）＝2n －32n ＋1， ∴f （2）f （1）·f （3）f （2）·f （4）f （3）·…·f （n ）f （n －1）＝15·37·59·…·2n －32n ＋1，从而f （n ）f （1）＝3（2n －1）（2n ＋1）. ∴f(n)＝1（2n －1）（2n ＋1）.(3)∑ni ＝1f(i)＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1（2n －1）×（2n ＋1）＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 22.(12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计 男 女 10 55 合计(2)“超级体育迷”中有2名女性.若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率. 附：k 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.P(k 2≥k 0)0.05 0.01 k 03.8416.635解析 (1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷 体育迷 合计11将2×2k 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（30×10－45×15）275×25×45×55＝10033≈3.030. 因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}.其中a i 表示男性，i ＝1，2，3.b j 表示女性，j ＝1，2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，事件A 由7个基本事件组成，因而P(A)＝710.。

洛阳一高2019-2020学年第一学期高二9月月考数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.函数22()(23)f x log x x =+-的定义域是（ ）A. [3,1]-B. (3,1)-C. (,3][1,)-∞-⋃+∞D. (,3)(1,)-∞-⋃+∞【答案】D【解析】由解得或，故选 D.考点：函数的定义域与二次不等式.【此处有视频，请去附件查看】2.ABC ∆中，o 4,3,60AB AC A ===，则ABC ∆的面积为( )A. B. 3 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形面积公式直接计算即可.【详解】11sin 4322ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯=，故选C.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，属于基础题.3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3，S 4=15，则S 6=（ ）A. 31B. 32C. 63D. 64 【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质可得S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列，代入数据计算可得．解：S 2=a 1+a 2，S 4﹣S 2=a 3+a 4=（a 1+a 2）q 2，S 6﹣S 4=a 5+a 6=（a 1+a 2）q 4，所以S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列，即3，12，S 6﹣15成等比数列，可得122=3（S 6﹣15），解得S 6=63故选：C考点：等比数列的前n 项和．【此处有视频，请去附件查看】4.在中，2a =，3b =，π3B =，则A 等于 A.π6 B. π4C. 3π4D. π4或3π4 【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理得，因,故A 等于π4考点：正弦定理5.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222a b c +=，则角C 为（ ） A. 4π B. 34π C. 3π D. 23π 【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理可直接计算C 的大小.【详解】因为222cos 22a b c C ab +-==-，而()0,C π∈， 所以34C π=，故选C. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题.6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A. 54钱 B. 43钱 C. 32钱 D. 53钱 【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.7.A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=，105CAB ∠=后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ）A.B.C.D. 2m 【答案】A【解析】【分析】由∠ACB 与∠BAC ，求出∠ABC 的度数，根据sin ∠ACB，sin∠ABC ，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长．【详解】在△ABC 中，AC=50m ，∠ACB=45°，∠CAB=105°，即∠ABC=30°， 则由正弦定理sin sin AB AC ACB ABC=∠∠， 得AB=50sin 2.1sin 2AC ACB ABC ∠==∠故选A.【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.8.变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ）A.B. C. 5 D. 92【答案】C【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123a =，6812S a =，则使n S 达到最大值的n 是（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13 【答案】C【解析】【分析】利用123a =，6812S a =可求出基本量，再考虑n a 何时变号即可得到n S 达到最大值的n 的值.【详解】设等差数列的公差为d ，则 ()65623122372d d ⨯⨯+⨯=+，故2d =-， 故252n a n =-，当13n ≥时，0n a <，当12n ≤时，0n a >，所以当12n =时，n S 最大，故选C.10.已知实数,x y 满足12100y y x x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为1,-则实数m 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】画出可行域对应的平面区域，平移动直线z x y =-后可得z 何时取最小值，从而可求实数m 的值. 【详解】如图，由21y x x y m =-⎧⎨+=⎩可得B 的坐标为121,33m m +-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当动直线0x y z --=过B 时，z 取最大值1-，故1211033m m +--+=， 故5m =，所以选D.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ，而21y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率．11.若0,0x y >>，且211x y +=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. (8,1)- B. (,8)(1,)-∞-⋃+∞C. (,1)(8,)-∞-⋃+∞D. (1,8)- 【答案】A【解析】【分析】 将代数式21x y+与2x y +相乘，展开式利用基本不等式求出2x y +的最小值8，将问题转化为解不等式()2min 72m m x y +<+，解出即可. 【详解】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当()4,0y x x y x y=>，即当2x y =时，等号成立，所以，2x y +的最小值为8. 由题意可得()2min 728m m x y +<+=，即2780m m +-<，解得8m <-或1m >. 因此，实数m 的取值范围是()(),81,-∞-+∞U ，故选：B.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题。

2019-2020学年河南省洛阳一高高二第二学期5月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．复平面内表示复数z＝i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．用反证法证明命题“若a，b∈R，则方程x2+ax+b＝0至少有一个实根“时要做的假设是（）A．方程x2+ax+b＝0没有实根B．方程x2+ax+b＝0至多有一个实根C．方程x2+ax+b＝0至多有两个实根D．方程x2+ax+b＝0恰好有两个实根3．（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e+14．类比三角形中的性质：（1）两边之和大于第三边；（2）中位线长等于底边的一半；（3）三内角平分线交于一点；可得四面体的对应性质：（1）任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；（2）过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的；（3）四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理结论正确的有（）A．（1）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．都不对5．函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）6．《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．合情推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x8．观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为（）A．3125B．5625C．0625D．81259．若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）10．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l）D．（﹣∞，+∞）11．若函数f（x）＝x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）12．f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（）A．bf（b）≤af（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（b）≤bf（a）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．设，则|z|＝．14．＝．15．若函数f（x）＝x2+ax+在（，+∞）是增函数，则a的取值范围是．16．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+ax有两个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知z为虚数，为实数．（1）若z﹣2为纯虚数，求虚数z；（2）求|z﹣4|的取值范围．18．（1）用综合法证明不等式：；（2）设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1．用分析法证明：．19．已知a∈R，函数f（x）＝（﹣x2+ax）e x（x∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．20．已知{f n（x）}满足，f n+1（x）＝f1（f n（x））．（1）求f2（x），f3（x），并猜想f n（x）的表达式；（2）用数学归纳法证明对f n（x）的猜想．21．已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．22．已知函数f（x）＝x（lnx+a）+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为2x﹣y ﹣1＝0．（1）求a，b的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）≥m（x﹣1）恒成立，求正整数m的最大值．参考答案一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复平面内表示复数z＝i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解：z＝i（﹣2+i）＝﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．故选：C．2．用反证法证明命题“若a，b∈R，则方程x2+ax+b＝0至少有一个实根“时要做的假设是（）A．方程x2+ax+b＝0没有实根B．方程x2+ax+b＝0至多有一个实根C．方程x2+ax+b＝0至多有两个实根D．方程x2+ax+b＝0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b＝0没有实根．故选：A．3．（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e+1【分析】由（e x+x2）′＝e x+2x，可得＝，即可得出．解：∵（e x+x2）′＝e x+2x，∴═＝（e+1）﹣（1+0）＝e，故选：C．4．类比三角形中的性质：（1）两边之和大于第三边；（2）中位线长等于底边的一半；（3）三内角平分线交于一点；可得四面体的对应性质：（1）任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；（2）过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的；（3）四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理结论正确的有（）A．（1）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．都不对【分析】本题考查的知识点是类比推理，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系．解：由题意，根据在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四面的面积，命题正确．由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质，可得过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的，正确；将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，可得四面体的六个二面角的平分面交于一点，正确．故选：C．5．函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）【分析】由y＝x2﹣lnx得y′＝，由y′＜0即可求得函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间．解：∵y＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′＝，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．6．《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．合情推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理【分析】合情推理是指合乎情理的推理，在得到新结论之前，合情推理可以帮助我们猜测和发现结论，题目中所给的这种推理符合合情推理的形式．解：合情推理是指合乎情理的推理，在得到新结论之前，合情推理可以帮助我们猜测和发现结论，题目中所给的这种推理符合合情推理的形式，故选：A．7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的斜率然后求解切线方程．解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax．所以：（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．8．观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为（）A．3125B．5625C．0625D．8125【分析】根据所给的以5 为底的幂的形式，在写出后面的几项，观察出这些幂的形式是有一定的规律的每四个数字是一个周期，用2011除以4看出余数，得到结果．解：∵55＝3125，56＝15625，57＝78125，58＝390625，59＝1953125，510＝9765625，511＝48828125…可以看出这些幂的最后4位是以4为周期变化的，∵2011÷4＝502…3，∴52011的末四位数字与57的后四位数相同，是8125，故选：D．9．若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【分析】由题意求导f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；从而化函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值为△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求解．解：∵f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；又∵函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，∴△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；故a＞6或a＜﹣3；故选：B．10．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l）D．（﹣∞，+∞）【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x＝﹣1代入F（x）中，由f（﹣1）＝2出F（﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．解：设F（x）＝f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）＝f（﹣1）﹣（﹣2+4）＝2﹣2＝0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）＝f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选：B．11．若函数f（x）＝x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）【分析】由函数f（x）＝x3﹣3x+a求导，求出函数的单调区间和极值，从而知道函数图象的变化趋势，要使函数f（x）＝x3﹣3x+a有3个不同的零点，寻求实数a满足的条件，从而求得实数a的取值范围．【解答】解∵f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0，∴当x＝﹣1时f（x）有极大值．当x＝1时，f（x）有极小值，要使f（x）有3个不同的零点．只需，解得﹣2＜a＜2．故选：A．12．f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（）A．bf（b）≤af（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（b）≤bf（a）【分析】先构造函数g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞），通过求导利用已知条件即可得出．解：设g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞），则g′（x）＝xf′（x）+f（x）≤0，∴g（x）在区间x∈（0，+∞）单调递减或g（x）为常函数，∵a＜b，∴g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b）．故选：A．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．设，则|z|＝3．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可求解．解：，＝，＝i+2i＝3i，则|z|＝3．故答案为：314．＝．【分析】根据定积分的几何意义可知表示以（1，0）为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，问题得以解决．解：y＝，∴（x﹣1）2+y2＝1，∴表示以（1，0）为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，∴＝π故答案为：．15．若函数f（x）＝x2+ax+在（，+∞）是增函数，则a的取值范围是[3，+∞）．【分析】求出函数f（x）的导函数，由导函数在（，+∞）大于等于0恒成立解答案．解：由f（x）＝x2+ax+，得，令g（x）＝2x3+ax2﹣1，要使函数f（x）＝x2+ax+在（，+∞）是增函数，则g（x）＝2x3+ax2﹣1在x∈（，+∞）大于等于0恒成立，g′（x）＝6x2+2ax＝2x（3x+a），当a＝0时，g′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（）≥0，解得，a≥3（舍）；当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（）≥0，解得，a≥3；当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）＝x2+ax+在（，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3（舍）．故答案为[3，+∞）．16．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+ax有两个零点，则实数a的取值范围为a＞0且a≠1．【分析】方程lnx﹣ax2+ax＝0有两解⇔方程恰有两解．即两个函数图象有两个交点．利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），由题知方程lnx﹣ax2+ax＝0，即方程＝a （x﹣1）恰有两解．设g（x）＝，则g'（x）＝，∴当0＜x＜e时，g'（x）＞0，当x＞e时，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，且g（1）＝0，作出函数y＝g（x）与函数y＝a（x﹣1）的图象如下图所示：∵当x＞e时，g（x）＞0，且g'（1）＝1，∴g（x）在（1，0）处的切线方程为y＝x﹣1，∴当0＜a＜1或a＞1时，函数y＝g（x）的图象与函数y＝a（x﹣1）的图象恰有2个交点．故答案为：a＞0且a≠1．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知z为虚数，为实数．（1）若z﹣2为纯虚数，求虚数z；（2）求|z﹣4|的取值范围．【分析】（1）设z＝x+yi，（x，y∈R，y≠0），由z﹣2为纯虚数，求出x的值，再由为实数，求出y的值，由此能求出虚数z．（2）由z+为实数，且y≠0，得到（x﹣2）2+y2＝4，根据y2＝4﹣（x﹣2）2＞0，求出x的范围，根据复数的模的定义得到|z﹣4|＝，由此能求出|z﹣4|的取值范围．解：（1）∵z为虚数，为实数．∴设z＝x+yi，（x，y∈R，y≠0），∵z﹣2为纯虚数，∴x＝2，∴z＝2+yi，∵为实数，∴z+＝2+yi+＝2+（y﹣）i∈R，∴y﹣＝0，解得y＝±2，∴z＝2+2i或z＝2﹣2i．（2）∵z+＝x+yi+＝x++[y﹣]i∈R，∴y﹣＝0，∵y≠0，∴（x﹣2）2+y2＝4，∴y2＝4﹣（x﹣2）2＞0，∴（x﹣2）2＜4，解得x∈（0，4），∴|z﹣4|＝|x+yi﹣4|＝＝＝，∵x∈（0，4），∴0＜16﹣4x＜16，∴0＜＜4，∴0＜|z﹣4|＜4，∴|z﹣4|的取值范围为（0，4）．18．（1）用综合法证明不等式：；（2）设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1．用分析法证明：．【分析】（1）根据（a2+b2）≥，可得≥，同理≥，≥，然后三式相加即可证明不等式成立；（2）要证，只需证3（ab+bc+ca）⩽1，只需证2a2+2b2+2c2⩾ab+2bc+2ca，然后根据（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0成立，即可证明成立．解：（1）∵，∴，同理，，∴，∴，当且仅当a＝b＝c时等号成立．（2）要证，只需证3（ab+bc+ca）⩽1，只需证a2+b2+c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca≥3（ab+bc+ca），只需证a2+b2+c2⩾ab+bc+ca，只需证2a2+2b2+2c2⩾ab+2bc+2ca，即证（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，上式显然成立，∴．19．已知a∈R，函数f（x）＝（﹣x2+ax）e x（x∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）f′（x）＝[﹣x2+（a﹣2）x+a]e x，若f（x）在（﹣1，1）内单调递增，即当﹣1＜x＜1时，f′（x）≥0，即﹣x2+（a﹣2）x+a≥0对x∈（﹣1，1）恒成立，分离参数求最值，即可求a的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝（﹣x2+2x）e x，f′（x）＝﹣（x2﹣2）e x令f′（x）＞0，得x2﹣2＜0，∴﹣＜x＜∴f（x）的单调递增区间是（﹣，）；（Ⅱ）f′（x）＝[﹣x2+（a﹣2）x+a]e x，若f（x）在（﹣1，1）内单调递增，即当﹣1＜x＜1时，f′（x）≥0，即﹣x2+（a﹣2）x+a≥0对x∈（﹣1，1）恒成立，即a≥对x∈（﹣1，1）恒成立，令y＝，则y′＝∴y＝在（﹣1，1）上单调递增，∴y＜1+1﹣＝∴当a＝时，当且仅当x＝0时，f′（x）＝0∴a的取值范围是[，+∞）．20．已知{f n（x）}满足，f n+1（x）＝f1（f n（x））．（1）求f2（x），f3（x），并猜想f n（x）的表达式；（2）用数学归纳法证明对f n（x）的猜想．【分析】（1）依题意，计算f2（x）＝f1[f1（x）]可求得f2（x），同理可求f3（x），可猜想想：，（n∈N*）（2）用数学归纳法证明即可．解：（1），猜想：，（n∈N*）（2）下面用数学归纳法证明，（n∈N*）①当n＝1时，，显然成立；②假设当n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即，则当n＝k+1时，即对n＝k+1时，猜想也成立；结合①②可知，猜想对一切n∈N*都成立．21．已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．【分析】（1）推导出x＞0，f′（x）＝ae x﹣，由x＝2是f（x）的极值点，解得a＝，从而f（x）＝e x﹣lnx﹣1，进而f′（x）＝，由此能求出f（x）的单调区间．（2）当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）＝﹣lnx﹣1，则﹣，由此利用导数性质能证明当a≥时，f（x）≥0．解：（1）∵函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．∴x＞0，f′（x）＝ae x﹣，∵x＝2是f（x）的极值点，∴f′（2）＝ae2﹣＝0，解得a＝，∴f（x）＝e x﹣lnx﹣1，∴f′（x）＝，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）证明：当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）＝﹣lnx﹣1，则﹣，由﹣＝0，得x＝1，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴x＝1是g（x）的最小值点，故当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0，∴当a≥时，f（x）≥0．22．已知函数f（x）＝x（lnx+a）+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为2x﹣y ﹣1＝0．（1）求a，b的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）≥m（x﹣1）恒成立，求正整数m的最大值．【分析】（1）通过曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为2x﹣y﹣1＝0，转化求解a，b即可．（2）通过恒成立．令，x＞1，则．令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则，所以x＞1，h'（x）＞0，h（x）单调递增．转化求解函数的最值推出结果即可．解：（1）由f（x）＝x（lnx+a）+b，得f'（x）＝lnx+a+1．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为2x﹣y﹣1＝0，所以f'（1）＝a+1＝2，f（1）＝a+b＝1，解得a＝1，b＝0．（2）由（1）知f（x）＝x（lnx+1），则x∈（1，+∞）时，f（x）≥m（x﹣1）恒成立，等价于x∈（1，+∞）时，恒成立．令，x＞1，则．令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则，所以x＞1，h'（x）＞0，h（x）单调递增．因为h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，所以存在x0∈（3，4）使h（x0）＝0．且x∈（1，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0，所以，因为x0﹣lnx0﹣2＝0，所以lnx0＝x0﹣2，所以，所以m≤x0∈（3，4），即正整数m的最大值为3．。