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饱和非线性的描述函数

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自动控制原理-第9章 控制系统的非线性问题

自动控制原理-第9章 控制系统的非线性问题

9 控制系统的非线性问题9.1概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。

严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。

例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。

当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。

实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。

如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。

图9-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。

但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。

图9-1 伺服电动机特性9.1.1控制系统中的典型非线性特性的类型常见典型非线性特性有饱和非线性、间隙非线性、死区非线性、继电非线性等。

9.1.1.1饱和非线性控制系统中的放大环节及执行机构受到电源电压和功率的限制，都具有饱和特性。

如图9-2所示，其中a x a <<-的区域是线性范围，线性范围以外的区域是饱和区。

许多元件的运动范围由于受到能源、功率等条件的限制，也都有饱和非线性特性。

有时，工程上还人为引入饱和非线性特性以限制过载。

图9-2 饱和非线性9.1.1.2不灵敏区(死区)非线性控制系统中的测量元件、执行元件等一般都具有死区特性。

例如一些测量元件对微弱的输入量不敏感，电动机只有在输入信号增大到一定程度的时候才会转动等等。

如图9-3所示，其特性是输入信号在∆<<∆-x 区间时，输出信号为零。

超出此区间时，呈线性特性。

这种只有在输入量超过一定值后才有输出的特性称为不灵敏区非线性，其中区域∆<<∆-x 叫做不灵敏区或死区。

非线性仿真

非线性仿真

2.5系统非线性环节的仿真在实际系统中，往往存在各种非线性特性，可将此当作非线性环节处理，这种环节的输入和输出之间关系是一种非线性函数关系，因此非线性环节的仿真就是用仿真语言来描述这些关系。

本节介绍几种典型的非线性环节的仿真算法。

2.5.1饱和环节饱和环节在控制系统中较普遍，例如饱和放大器、限幅装置、伺服阀饱和特性等。

饱和环节特性如图所示。

图2.5-1饱和特性该特性对应的数学表达式为：u u兰Cy = * c u >c (2.5-1)—c u < —c式中，c为饱和环节特征参数，斜率为1，该环节特性可用MATLAB编程仿真，利用上面算法的编写的MATLAB函数SATURATION，调用格式为：y = saturation (u,c)其中，u为输入；c为饱和环节特征参数，y为饱和环节输出Saturati on.m; amp209.m2.5.2死区环节在控制装置中，放大器的不灵敏区，伺服阀和比例阀阀芯正遮羞特性，传动元件静摩擦等造成的死区特性。

典型死区非线性环节特性如图2.5-2所示。

可用下面数学关系来描述：0 u兰cy = * u -c u >c (2.5-2)u + c u c —c式中，c为死区特征参数，斜率为1。

该环节可根据上述算法编写MATLAB函数deadzone供调用，格式如下：y 二deadzone(u, c)其中，u为环节输入；c为死区环节特征参数，y为死区环节输出。

Deadz on e.m; amp210m齿轮传动副和丝杆螺母传动副中存在传动间隙都属这一类非线性因素，它对系统精度带来影响。

齿隙非线性环节特性如图2.5-3所示。

图2.5-3齿隙特性当输入u增加时，输出沿a > b > d线段变化；当输入u减小时，输出沿d >e > a线段变化。

在线段bd上，输入增加时，当前输出值y(k)总是大于前一时刻的输出值y(k-1)。

而在ea上，输入减小时，当前输出y(k)总是小于前一时刻的输出值y(k-1)。

自动控制原理第七章非线性控制系统的分析

自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e

自动控制原理第9章

自动控制原理第9章

• 3)李雅普诺夫第2法
• 9.2
描述函数法
图9.6
非线性控制系统典型结构图
图9.7
非线性元件
• 描述函数法的基本思想是将非线性元件输
出中的基波分量代替实际的非正弦周期信
号，而略去信号中的高次谐波。这样处理
后，就与线性元件在正弦信号信用下的输
出具有形式上的相似，可以仿照幅相频率
特性的定义，建立非线性元件的近似幅相
第9章
非线性控制系统
• 本章先介绍自动控制系统中常见的典型非
线性特性，在此基础上介绍分析非线性控 制系统的常用2种方法——描述函数法和相
平面法。
• 9.1
• 9.1.1
• (1)
非线性控制系统概述
典型的非线性特性
• 图9.1是饱和非线性的静特性。图9.1中e(t) 为非线性环节的输入信号，x (t)为非线性环
继电器总有一定的吸合电压值，所以特性
必然出现死区和回环，学表达式为：
图9.4
继电器特性
（9.4）
• (5)
• 变放大系数特性如图9.5所示。其数学表达 式为： （9.5）
• 9.1.2
非线性系统的特性
• 非线性元件系统与线性控制系统相比，有 如下特点：
-1/N (A)曲线示于图9.21。由：
图9.21
例1的奈氏图
• 用试算法或作图法解得A =2.47。
• ②-1/N(A)与G(jω)的不相交，即ReG(jω)＞1/2时，系统退出自振。ReG(jω)=-1/2时的 K值为临界放大倍数。
• 解得K临=7.5。
• 9.4
• 9.4.1
相轨迹
• 设二阶系统微分方程式的一般形式为：
图9.20

自动控制原理(8-2)

自动控制原理(8-2)

即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。
A1，B1按下式计算：
1 2π 2 π A1 = ∫ y (t ) cos ωt dωt = ∫y (t ) cos ωt dωt π 0 π 0
1 2π 2 π B1 = ∫ y (t ) sin ωt dωt = ∫y (t ) sin ωt dωt π 0 π 0

二、典型非线性特性的描述函数
1.理想继电器特性
x(t ) A sin t
M y(t ) M (0 t ) ( t 2 )
傅氏展开
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
n 1
斜对称、奇函数→A0=A1=0
若非线性环节特性为输入的奇函数，则直流分量为
零。 当 f ( x) =－f ( －x) 时，则有
π π y (t + ) = f [ A sin ω(t + )] = f [ A sin (π + ωt )] ω ω = f( －A sin ωt ) = f ( －x) =－f ( x) =－y (t )
函数N也为零，故死区特性描述函数为：
2k k N 0
2 a a a arcsin 1 X X X
( X a) (X a )
4.死区饱和特性
0,
0 ≤ ωt ≤ ψ1 π ψ 2 ≤ ωt ≤ 2
y (t ) = K ( A sin ωt－Δ), ψ1 ≤ ωt ≤ ψ 2 K (a－Δ)，
Δ ψ1 = arcsin A
ψ 2 = arcsin a A
由于y(t)为奇函数，所以A0=0，A1=0，而y(t)又为半

《自动控制原理》描述函数法

《自动控制原理》描述函数法

y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。

自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案

自动控制原理-第8章 非线性控制系统教案

8 非线性控制系统前面几章讨论的均为线性系统的分析和设计方法，然而，对于非线性程度比较严重的系统，不满足小偏差线性化的条件，则只有用非线性系统理论进行分析。

本章主要讨论本质非线性系统，研究其基本特性和一般分析方法。

8.1非线性控制系统概述在物理世界中，理想的线性系统并不存在。

严格来讲，所有的控制系统都是非线性系统。

例如，由电子线路组成的放大元件，会在输出信号超过一定值后出现饱和现象。

当由电动机作为执行元件时，由于摩擦力矩和负载力矩的存在，只有在电枢电压达到一定值的时候，电动机才会转动，存在死区。

实际上，所有的物理元件都具有非线性特性。

如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件，则称这种系统为非线性系统，非线性系统的特性不能由微分方程来描述。

图8-1所示的伺服电机控制特性就是一种非线性特性，图中横坐标u 为电机的控制电压，纵坐标ω为电机的输出转速，如果伺服电动机工作在A 1OA 2区段，则伺服电机的控制电压与输出转速的关系近似为线性，因此可以把伺服电动机作为线性元件来处理。

但如果电动机的工作区间在B 1OB 2区段．那么就不能把伺服电动机再作为线性元件来处理，因为其静特性具有明显的非线性。

图8-1 伺服电动机特性8.1.1控制系统中的典型非线性特性组成实际控制系统的环节总是在一定程度上带有非线性。

例如，作为放大元件的晶体管放大器，由于它们的组成元件(如晶体管、铁心等)都有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；执行元件例如电动机，总是存在摩擦力矩和负载力矩，因此只有当输入电压达到一定数值时，电动机才会转动，即存在不灵敏区，同时，当输入电压超过一定数值时，由于磁性材料的非线性，电动机的输出转矩会出现饱和；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙，等等。

实际控制系统总是或多或少地存在着非线性因素，所谓线性系统只是在忽略了非线性因素或在一定条件下进行了线性化处理后的理想模型。

第七章(非线性系统的描述函数法)

第七章(非线性系统的描述函数法)

§7.4非线性系统的描述函数分析法一、描述函数法的基本概念假设非线性系统的输入函数为)sin()(t X t x ω=非线性环节Nx (t )n(t )输出n(t)将是非正弦的周期信号。

可以展成傅利叶级数，n(t)是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。

假设1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以输出信号n(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响应的平均值为零。

假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值远小于基波。

闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。

对于一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤波性越好，用描述函数法分析的精度越高。

上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研究其基波成分就足够了。

假设系统中非线性环节的输入函数为tX t x ωsin )(=输出信号可以展成傅利叶级数∑∑∞=∞=++=++=1010)sin(2)cos sin (2)(i i i i i i t i Y A t i B t i A A t n ϕωωω⎰=πωωπ20)()cos()(1t d t i t n A i ⎰=πωωπ20)()sin()(1t d t i t n B i 22iii BA Y +=iii B A tg1-=ϕ若非线性部分是齐次对称的，则A 0=0，线性部分又具有低通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能够通过闭环回路反馈到输入端。

输出部分的基波分量为)sin(cos sin )(11111ϕωωω+=+=t Y t B t A t y ⎰=πωωπ201)()cos()(1t d t t n A ⎰=πωωπ201)()sin()(1t d t t n B 21211B A Y +=1111B A tg -=ϕ可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号基波的关系。

自动控制理论基础24(第7章(2))

自动控制理论基础24(第7章(2))
交点处的 值决定。
6
二、自激振荡的稳定性
1、稳定极限环与不稳定极限环 如果在复平面上，-1/N(X)曲线 与 G( j)曲线 相交，则非线性系统的输出可能出现持续振 荡，即极限环。极限环有稳定极限环和不稳 定极限环之分。
例如图示非线性系统：
a点是稳定的自激振荡工 作点，而b点是不稳定的 自激振荡工作点。
Im
线性系统部分为：
X
A
Re
G( j)
K
1 0
j( j2 1)( j 1)
0
15
可由 ImG( j) 0 或 G( j) 解出二
曲线交点所对应的 值，然后将此 代
入 Re G( j) , 或者代入 G( j) ,并令其 等 于-1/N(X),即可解出X。


2
sin
1

1 X

1 X
2
《自动控制理论基础》
第二十四讲
1
7-4 用描述函数法分析非线性系统
一、奈氏稳定判据的应用
非线性系统的典型结构如图所示：
R(s) X N(X ) Y

G(s)
C(s)
由于系统的线性部分具有低通滤波器特性，所
以在系统产生自激振荡时，非线性部分产生的
高次谐波被极大的衰减，则描述函数可以作为
一个实变量或复变量的增益来处理。
（3）在复平面作出-1/N(X)和 G( j)的轨迹；
（4）判断系统是否稳定，是否存在极限环； （注意：假设线性部分为最小相位系统）
（5）如果系统存在极限环，进一步分析极限 环的稳定性，确定它的频率和幅值。
2、例题： 13
例1：非线性系统如图所示,试用描述函数法分析 当K=3时系统的稳定性,并求K的临界稳定值。

自动控制原理第七章

自动控制原理第七章

特点
常见于放大器中，在大信 号作用下，放大倍数小，因而 降低了稳态精度。
a
k
K
0
a
e
4
2、死区特性
0 e(t ) a
x
a
0
k
x
k e (t ) a k e (t ) a
e(t ) > a e (t ) < a
a
e
特点
常见于测量、放大元件中。死区非线性特性导致系 统产生稳态误差，且用提高增益的方法也无法消除。
0 A
a

1 N ( A)
（2）交点 b
外界干扰 外界干扰
G ( j )
A↑ A↓
该交点产生自持振荡
24
总结
G ( j ) 1 N ( A)
A b
Im
Re
1 R e G ( j ) R e N ( A) 1 Im G ( j ) Im N ( A)
G ( j ) 1 N ( A)
1 N ( A) 1 2
Im
1 R e G ( j ) R e N ( A) 1 Im G ( j ) Im 0 N ( A)
Re
A 1
0
28
G ( j )
令
Im G ( j ) 0
0 .3 K 4 .5

50 rad / s
G(jw)与负实轴 相交处的幅值
R e G ( j )
50
系统临界稳定
0 .3 K c 4 .5

1 2
K c 7 .5

自动控制_08b系统分析的描述函数法

自动控制_08b系统分析的描述函数法

3、非线性系统稳定性分析的描述函数法
附图10 描述函数表示的非线性系统 考虑附图10所示的非线性系统，假设线性动态部 分具有良好的低通特性，那么静态非线性特性可以用 描述函数N(A)来表示。为了引入频率特性分析法，我 们还假设G(s)是最小相位环节。
（1）闭环系统稳定性 前几章已介绍了分析线性时不变系统稳定性的根 轨迹法和频率特性法。如果频率特性推广到附图10 所示的非线性系统，则其闭环系统频率特性为：
Z ( j ) N ( A)G( j ) R( j ) 1 N ( A)G( j )
特征方程为
1 N ( A)G( j ) 0
为了类比，假设静态环节退化为线性环节y=kx， 即N(A)=k（常数）。因为G(s)是最小相位环节，根据 线性系统的Nyquist判据：闭环系统是否稳定取决于 在复平面上G(jω)曲线是否包围实轴上的－1／k点。
小
结
本章介绍了非线性系统分析的基础知识，主 要包括相平面法和描述函数法。本章的内容还揭 示了非线性系统的一些特殊现象，诸如：非线性 系统存在全局稳定和局部稳定问题，非线性系统 的稳定性与初始条件有关，非线性系统的振型与 初始条件和输入幅值都有关，非线性系统的稳定 极限环等，这些在线性系统中是不会出现的。
（2）极限环的稳定性
正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一 个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数 来分析。参见附图11
附图11
极限环的稳定性
图中 A 、 B 两点都出现极限环，先看 A 点：如果 因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到
D，D点不被G(jω)曲线包围，这时闭环系统应趋向稳
r(t ) 0
x(t )
N( A)
y(t )

自动控制原理(第三版)第7章非线性控制系统(1)

自动控制原理(第三版)第7章非线性控制系统(1)
大连民族学院机电信息工程学院
自动控制原理
4）当非线性输入的信号为正弦作用时，由 于非线性其输出将不再是正弦信号，而包 含有各种谐波分量，发生非线性畸变。
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自动控制原理
5）混沌
大连民族学院机电信息工程学院
自动控制原理
非线性系统运动的特殊性
• 不满足叠加原理 — 线性系统理论原则上不能运用 (区别） • 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输入， 初条件有关，平衡点可能不惟一，可以稳定且可以 在多个平衡点稳定，可能不稳定—发散、衰减等 nonlinear • 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自 持振荡 • 发生频率激变—频率响应的复杂性 — 跳频响应， 倍/分频响应，组合振荡
大连民族学院机电信息工程学院
自动控制原理
3、滞环（非单值特性）
) x 0 , 且y 0 k ( x a sgn x y ＝0 y x2 m sgn x
滞环特性会 使系统的相 角裕度减小, 动态性能恶 化,甚至产生 自持振荡。
x2
x2m
x2
x2m
a
0
x1
a
x2m
7.3 描述函数法 7.4 相平面法
7.5 Matlab 在本章中的应用
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自动控制原理
7.1 非线性控制系统概述
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非 线性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。
• 前面研究的线性系统满足叠加性和齐次性； • 严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特 性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统； • 一些系统作为线性系统来分析： ①系统的非线性 不明显，可近似为线性系统。②某些系统的非线性 特性虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化 处理； • 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理 时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线 大连民族学院机电信息工程学院 性称为本质非线性。

第九章 控制系统的非线性问题

第九章 控制系统的非线性问题
B1 4k 1
y1 ( t ) B1 sin ( w t )


w t1
2
y ( t ) sin ( w t ) d ( w t )
0


/2
1 co s 2 w t X sin ( w t ) d ( w t ) 2
2 1 X
由于系统通常具有低通滤波特性，其它谐波各项通常比基波项小，所以 可以用基波分量近似系统的输出。
自动控制原理
设非线性环节的正弦输入为 x ( t ) X sin w t 则输出为
y ( t ) A0
An Bn 1
(A
n 1
2 0 2
n
co s n w t B n sin n w t )
自动控制原理
2.频率对振幅的依赖 ..
例2： 即
..
m x f x kx k x 0
' 3 . ' 2
.
m x f x k k x ） x 0 （
该非线性方程表示的系统的弹性刚度是非线性的，且与位移有关。
当 k ' 0 时，称为硬弹簧，随着振幅的加大，弹性刚度也不断加大， 振动的频率加大。 当 k ' 0 时，称为软弹簧，随着振幅的加大，弹性刚度不断减小，振 动频率也减小。 波形图如图所示：
2 1 X
( X )
( X )
自动控制原理
自动控制原理
自动控制原理
七· 利用描述函数法分析非线性系统稳定性 对于图示的非线性系统，G(s)表示系统线性部分的传递函数，N表示 系统非线性部分的描述函数。设线性部分G(jw)具有低通滤波的特性，非 线性部分输出产生的高次谐波能够被充分衰减，则其描述函数N可作为一 个变量的增益来处理。

西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_03_描述函数法_1描述函数

西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_03_描述函数法_1描述函数

A3
[例1] 故：该非线性元件的描述函数为
N ( A) B1 jA1 1 3 A2 A 2 16
y
6
3
123 x
N ( A)
4 2
12345 A
二、应用描述函数法的基本假设条件
基本条件： 非线性环节正弦输入的响应输出高次谐波可忽略
基本条件成立的条件：
A 经结构图等效变换，非线性系统可简化成如下典型结构
在线性环节和非线性环节两种情况下的输出。
1、描述函数定义
设其输入为正弦函数，即：x(t) Asint
则其输出 y(t) 为非正弦周期函数，
对非正弦周期函数 y(t) ，可以展开成傅立叶级数：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) A0 Yn sin(nt n )
1
arcsin
h A
,
2
arcsin mh , A
y(t) 为奇对称函数，但非奇函数，有 A0 0
因其在一个周期内对称：
A1
2
2 M costdt 2Mh (m 1)
1
A
2
B1
2
M
sintdt
2M
Hale Waihona Puke 11 mh2
A
1
h
2
A
五、典型非线性特性的描述函数
死区滞环继电非线性环节特性的描述函数
)2
1
五、典型非线性特性的描述函数
死区(不灵敏区)特性的描述函数
负倒特性
1 N ( A)
2K
2
sin1(
a ) A
a A
1
(
a A
)2
1
当 A a时

自动控制原理：第八章 非线性控制系统

自动控制原理：第八章 非线性控制系统

以x, x. 为相变量，可得到相轨迹通过 点 (x, x.)的斜率
d x. dx
=
－f (x, x. ) x.
(一)相平面图的特点
1、对称性
a. 关于 x. 轴对称
f (x, x. ) － f (-x, x. ) x. = x.
或
f (x, x. ) = － f (-x, x. )
即f(x, x. )是关于x的奇函数。
的相平面图
解：系统方程改写为
x
dx dx
w
2x
0
积分得相轨迹方程
x 2
w2
x2
A2
x.
x0
0
x
(三)绘制相平面图的图解法— —等倾线法(Isocline method)
❖ 图解法是通过逐步作图的方法，不必 解出微分方程，而把结果直接描绘在相平 面上。
❖常用的图解法有等倾线法和园弧近似法。
❖ 在等倾线法中，首先用等倾线来确定相 平面中相轨迹斜率的分布，然后再绘制相 轨迹曲线。
(四)频率响应
系统微分方程：
K 非线性 弹簧
M 重物
M x.. +B x. +Kx+ K′x 3=0
e(t) K ′ <0
K ′ =0 K ′ >0
振幅
B
粘性阻 尼器
0
频率
系统进行强迫振荡实验 时的微分方程是：
M
..
x +B
. x
+Kx+
K′x
3=Pcoswt
频率响应
x
2
6
K ′ >0
x
5
K ′ <0
§8.2 相平面图

excel s型曲线拟合

excel s型曲线拟合

Excel中s型曲线拟合Excel是一款常用的电子表格软件，它不仅可以用于数据存储和计算，还可以进行数据分析和可视化。

其中，S型曲线拟合是Excel中一个非常实用的功能，它可以帮助我们对数据进行非线性拟合，从而更好地理解数据的分布规律。

本文将介绍如何使用Excel进行S型曲线拟合。

一、S型曲线拟合的基本原理S型曲线是一种常见的非线性函数，它的图像呈“S”形，因此得名。

在实际应用中，S型曲线经常被用来描述一些具有饱和效应的非线性关系，例如生物生长模型、人口增长模型等。

S型曲线的数学表达式为：y = a / (1 + b * exp(-c * x))其中，a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

通过调整a、b、c的值，我们可以使S型曲线的形状发生变化，从而更好地拟合实际数据。

二、Excel中进行S型曲线拟合的步骤1. 准备数据在进行S型曲线拟合之前，我们需要准备好需要分析的数据。

这些数据可以是实验数据、调查数据等，只要它们能够反映我们所关心的现象即可。

需要注意的是，数据应该按照时间或其他顺序排列好，以便我们能够观察到数据的变化趋势。

2. 打开Excel并导入数据打开Excel软件，新建一个工作簿。

然后，将准备好的数据导入到Excel中。

可以通过复制粘贴的方式将数据从其他软件或文件中导入到Excel中。

如果数据量较大，可以使用Excel的数据导入功能来快速导入数据。

3. 选择数据范围在Excel中，我们需要选择一个数据范围来进行S型曲线拟合。

这个数据范围应该包括所有需要进行拟合的数据点。

在选择数据范围时，可以使用Excel的单元格选择功能来选中需要的数据区域。

4. 打开“数据分析”工具箱在Excel中，有一个名为“数据分析”的工具箱，它可以帮助我们进行各种数据分析操作，包括S型曲线拟合。

要打开“数据分析”工具箱，可以按下“Alt+D”快捷键，或者在Excel菜单栏中选择“数据”>“数据分析”。

非线性系统

非线性系统

4M sinωt ∴y1(t ) = π π
∫ y(t)sinωtd(ωt) π
1
0
2π
π
2、饱和特性
2 t 当= B1 =为 arcsin a + a ω 时 且( A>a时 输 2kx t = Asin1− a 入 ， A> a) ， N( A) A πy A Ay 奇函数 A
仅 输 正 信 幅A 函 ， N 数， 示。 数 是 入 弦 号 值 的 数 用 ( A)来 示 表 。
二、描述函数的求法
(1)首先由非线性静特性曲 ，画出正弦信号 线 输 下 输 波 ， 写 输 波 y(t )的 达 。 入 的 出 形 并出 出 形 表 式
(2)利用傅氏级数求出(t)的基波分量。 y (3)将求得的基波分量代入 义式， 定
()
当 > a时，比例系数总小于。 ∴A = A = 0 A> A k 0 1
ψ1
π
特性 N( A)也是输入 的 A的函数。 即饱和 幅值 的函数。 k ωt x 0 0 a 节， 饱和特性等效 于一ψ1 系数 2π例环 ， 个变 π 的比 节
0
B= 1
x1
∫ y(t)sinωtd(ωt) π
0
2π
描述函数
描述函数法是非线性系统的一种近似 分析方法。首先通过描述函数将非线性元 件线性化，然后应用线性系统的频率法对 系统进行分析。分析内容主要是非线性系 统的稳定性和自振荡问题，一般不能给出 时间响应的确切信息。
一、描述函数的定义 1、描述函数的应用条件
，弦 幅作 对的 的 些含 谐分量 将 本 量 中正 来号 相下 大 那包 次流 分。 在环 信 值用 不输 不 高直 波量。 出 构。 闭 结 。 构 弱。 被 大 弱 因 ， 以 似 认 在 环 大 削 。 此 可 近 地 为 闭 通 道 只 基 分 在 通 此 应 描 函 内 有 波 量 流 ， 时 用 述 数 y 确。 法 得t) = 0 析x 果 比 准 。 于) 际 非 所 r(的 分 结 才 较 确 对 c(t实 的 性 统 -说 由 G 线 系 来 ， 于 (s)通 具 低 滤 特 常 有 通 波 性 因 这 条 是 足 。 ， 此 个 件 满 的

饱和非线性的描述函数

饱和非线性的描述函数

实际上，在确定自振荡频率ω和幅值A时，常用基准描述函数的负倒 数 ，对于饱和非线性，它的基准描述函数的负倒数为 ， 1 N 0 ( A) (-1，j０)点，随着 把它画在复平面上，是一条起自 的增长，沿负实轴向 1 左延伸的直线, A B0 ( ) a
a
A
2
当输入为正弦函数x(t)＝Asinωt时，死区非线性及其输入输出波形如图所 示。
死区非线性的数学表达式为
0 x(t ) K n ( A sin ωt a)
y(t)为单值奇对称函数，故有
0 ωt θ1 π θ1 ωt 2
2K n C ( A) 0 ，B( A) π
式中 所以其描述函数为
π a a 2 A 1 a sin 1 ( ) K B ( ) n 0 A A A a 2
式中
B1 1 B( A) A πA C 1 C ( A) 1 A πA

y (t ) sin ωtdωt 0 2π y (t ) cos ωtdωt 0
2π
（12）
式(11)为该非线性环节的描述函数
描述函数的定义
非线性环节在正弦函数输入下，输出中的一次谐波(基波)分量和输入正弦波 的矢量比(写成复数的形式)来描述该非线性的特征，这个比值称为该非线性环节 的描述函数。 这相当于用一个等效的线性环节代 替了原来的非线性环节，而等效线性环 节的幅相特性函数N(A)，是输入函数x(t) ＝Asinωt幅值A的函数，等效的结构图 如图所示。
其中
k k1k 2
2 1 k1
四、非线性控制系统的描述函数分析
1、控制系统的稳定性分析 很多非线性系统通过适当地简化，都可化为由线性部分和非线性部分串联而成 的系统。 假设非线性元件和系统满足描述函数的条件，则非线性部分可以用描述函数N(A) 表示，线性部分可以用传递函数G(s) 或频率特性G(jω)表示。因N(A)是经过谐波线
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死区非线性的数学表达式为
0 x(t ) K n ( A sin ωt a)
y(t)为单值奇对称函数，故有
0 ωt θ1 π θ1 ωt 2
2K n C ( A) 0 ，B( A) π
式中 所以其描述函数为
π a a 2 A 1 a பைடு நூலகம்sin 1 ( ) K B ( ) n 0 A A A a 2
由于描述函数是非线性元件的等效传递特性，它是在只考虑基波分量之后 得到的结果，所以这种近似处理方法又称为“谐波线性化法”。 当非线性元件用描述函数表示后，就可以用线性理论中的频率法来研究非 线性系统的基本特性。
二、典型非线性特性的描述函数
1、饱和非线性的描述函数 饱和非线性如图所示。
饱和特性数学表达式为：
它是一条在实轴上沿着
1为终点。
变化的直线，起自
，随着
增长，以－
1 ~
a A

3、回环（间隙）非线性的描述函数
当输入为正弦函数x(t)＝Asinωt 时，回环（间隙）非线性具有非单值特性， 回环非线性曲线及其输入-输出波形如图所示。
回环（间隙）非线性的数学表达式为：
K n ( A sin ωt α ) y (t ) K n ( A ε ) K ( A sin ωt α ) n
利用富氏级数展开，有
y(t ) Y0
(B
k 1

k
sin kωt Ck cos kωt )
k 1,2,
（3）
式中：Y0是输出信号中的直流分量； Bk和Ck是输出信号中各次谐波分量的幅值，在一般情况下是输入信号幅值A和 频率ω
(2)设非线性环节的输出是对称奇函数，则式(3)中的偶次项等于零，上式可简
式中
（6）
C ，或写成 Y1 B12 C12 , φ tan 1 1 B1 根据富氏级数的系数项公式，有
B1 Y1 cos φ1 , C1 Y1 sin φ1
1 2π B1 y(t ) sin ωtdωt π 0 1 2π C1 y(t ) cos ωtdωt π 0

θ1 sin
1
a A
2K n N ( A) B( A) jC( A) π
死区非线性的基准描述函数为
π a a 2 1 a 1 ( ) sin A A A 2
N 0 ( A)
N ( A) A B0 ( ) Kn a
从死区非线性的描述函数表达式可以看出，死区非线性的描述函数也只有一个 实部。在复平面上，可绘出死区非线性的基准描述函数负倒数曲线，如下图所示。
（7） （8）

式(6)可写成矢量形式:
输入正弦函数也写成矢量形式，有
Y Y1e j (ωt φ1 )
Y X
.

（9）
X Ae jωt
Y1 jφ1 e A
（10）

令
N ( A)
将上式写成复数的形式，有
Y1 Y1 B1 C1 N ( A) cos φ1 j sin φ1 j B( A) jC( A) （11） A A A A
实际上，在确定自振荡频率ω和幅值A时，常用基准描述函数的负倒 数 ，对于饱和非线性，它的基准描述函数的负倒数为 ， 1 N 0 ( A) (-1，j０)点，随着 把它画在复平面上，是一条起自 的增长，沿负实轴向 1 左延伸的直线, A B0 ( ) a
a
A
2
当输入为正弦函数x(t)＝Asinωt时，死区非线性及其输入输出波形如图所 示。
0 ωt
π ωt π θ1 2 π θ1 ωt π
π 2
y (t 为奇对称，但非单值 )
K B( A) n π π 2a 2a a a 1 (1 ) K n B0 ( A) sin (1 ) 2(1 ) A A A A 2 K 4a a A C ( A) n ( 1) K nC0 ( ) πA A a
y(t )
(B
k 1

k
sin kωt Ck cos kωt )
k 1,3,5,
（4）
上式表明，非线性环节的输出量含有高次谐波。 (3)设系统的线性部分具有低通滤波器特性。于是对整个系统来说，高次谐波可以忽 略。这样式(4)可进一步简化为
y(t ) B1 sinωt C1 cos ωt Y1 (sinωt φ1 )
K n A sinωt y (t ) K nα
0 ωt θ1 π θ1 ωt 2
（ θ sin1 ） 1
由于y(t)为单值奇对称函数，故有，
2K n a C ( A) 0 ， B( A) (θ1 cosθ1 ) π A
其描述函数为
a A
2K n N ( A) π
式中
B1 1 B( A) A πA C 1 C ( A) 1 A πA

y (t ) sin ωtdωt 0 2π y (t ) cos ωtdωt 0
2π
（12）
式(11)为该非线性环节的描述函数
描述函数的定义
非线性环节在正弦函数输入下，输出中的一次谐波(基波)分量和输入正弦波 的矢量比(写成复数的形式)来描述该非线性的特征，这个比值称为该非线性环节 的描述函数。 这相当于用一个等效的线性环节代 替了原来的非线性环节，而等效线性环 节的幅相特性函数N(A)，是输入函数x(t) ＝Asinωt幅值A的函数，等效的结构图 如图所示。
§7-2 描述函数法
一、描述函数的基本概念
非线性系统的结构图如图所示。图中 Ｇ(s)为线性部分的传递函数，N为非线性 元件。 (1)设非线性环节N 的输出量只和输入量有关，即y=f(x)。 设输入为：
x(t ) A sin t
（1） （2）
非线性环节的输出为：
y (t ) f ( A sinωt )
1 a a a 2 A sin 1 ( ) K B ( ) n 0 A A A a
可见，饱和非线性的描述函数虚部为零，只有一个实部。 基准描述函数
A 2 1 a a a 2 N 0 ( A) B0 ( ) sin 1 ( ) a π A A A