第八章 描述函数法

演示
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（7）
例3 非线性系统结构图如右图所示，
M 2, h 1 已知： N ( A) 8 A2 1 j 8 ( A 1) A2 A2
(1) 自振时,调整K使 G( s)
求此时的K值和自振参数(A,)以及输出振幅Ac。 (2)定性分析K增大后自振参数(A,)的变化规律。
饱和特性描述函数
KA sin t ,0 t 1 y Ka , t 1 2
A0 0, A1 0
/2 4 1 2 B1 ( KA sin tdt KA sin tdt ) 1 0

KA 2b 2b b b [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] 2 A A A A K 2b 2b b b 4Kb b N ( A) [ arcsin( 1 ) 2(1 ) (1 ) ] j ( 1) 2 A A A A A A
1 K G ( s ) , G ( s ) 2 1 s ( s 1 ) s 已知： 2 h N ( A) 4 M 1 ( A h) A A
(1) G3 ( s) 1 时，系统是否自振？
确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。 (2) G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。

2 KA
a a a [arcsin 1 ( )2 ] A A A
a a a 2 N ( A) [arcsin 1 ( ) ] A A A
2K
A0 0
间隙特性描述函数
2 /2 A1 ( K ( A sin t b) costdt 0
解 先将系统结构图化为典型结构 返回
G1 G2G3 1 G1 G1 解法II 特征方程法 ( s ) 1 G1G2G3 N G1
解法I 等效变换法 G( s )
N
D( s) 1 G1G2G3 N G1 0
G1G2G3 GGG 1 G( s ) 1 2 3 1 G1 1 G1
解(1) N ( A)
8 A2 1 j 2 A 1 2 j A 1 j A 2 8 8 N ( A) 8 2K 2K 1 G( j ) 1 j j j (1 j ) 1 2 8 8
2 A h h 1 j 4h A A
A h 1 j 4h 4 A
2
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（3）
穿入 穿出
相切于
4 自振分析 (定性)
不是自振点 的点 是自振点 对应半稳定 的周期运动
1
K ( A sin t b) sin tdt )
继电特性描述函数
t 1 0, 0 y M , 1 t 2 0, 2 t
A1
非线性系统结构图简化
§7.3.3
1 基本假设
用描述函数法分析非线性系统（1）
① 结构上：N(A), G(j) 串联 ② N(A)奇对称,y1(t)幅值占优 ③ G(j)低通滤波特性好
2 稳定性分析 返回
G ( j )
稳定 不包围 1 则系统 不稳定 包围 N ( A) 相交于 可能自振
2K 135 。 s ( s 1 )


(2) 依图分析： K A ,
1 K 8 0.3927 Ac 8 2 3.6
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（8）
例4 非线性系统结构图如右图所示，
1 arcsin
A
A sin 1
2 cos 1 1 ( ) A
4 KA 1 /2 /2 [ (t sin 2t ) K ( cos t ) 1 ] 1 2 2 2 KA 1 2 [( 1 sin 2 1 ) (cos 1 )] 2 2 A 2KA 2 [ arcsin 1 ( ) ] 2 A A A 2K N ( A) [ arcsin 1 ( )2 ] 2 A A A
4 MKe j t 3 2 j ( 2 2 ) A
4 5
2 4
22 ( arctan ) 3
M 1 K 10 9.93 代入 A 4 比较模和相角得 1 t arctan 0.322 1 3
若A0=0，且当n>1时，Yn均很小，则可近似认为非线性环节的 Y1 j1 B1 jA 1 j ∠ N(A) e N(A) = N(A) e = 正弦响应仅有一次谐波分量！
) 1
y(t)≈ A1cosω t+B1sinω t ≈ Y1sin(ωt+φ1) φ1= arctgA1/B1
A
A
死区特性描述函数
返回
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（4）
自振分析 (举例)
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（5）
4 自振分析 (定量)
自振必要条件：N ( A) G( j ) 1
例1 分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。
解 作图分析，系统一定自振。
由自振条件：N ( A) G( j ) 1
B1

2M
2
2
1
M costdt
2 Mh ( m 1) A

2
(sin 2 sin 1 )
M si ntdt


2
1
2M

( cos 2 cos 1 )
mh 2 h [ 1 ( ) 1 ( )2 ] A A

1 /2
K ( A sin t b),0 t / 2 y K ( A b), / 2 t 1 K ( A sin t b), 1 t
4 10 1 得： A j (1 j )(2 j )
40 j (1 j )(2 j ) 3 2 j ( 2 2 ) A
40 3 2 比较实/虚部： A (2 2 ) 0
2
A
40 2.122 6
非线性环节的正弦响应
y(t) ωt y(t) ωt y(t) ωt y(t) ωt
描述函数的定义
y(t)= A0+∑(A cosn ωt+B sin n ωt) X (t) = A sin ωt n n n=1
∞ ∞
= A0+∑Y (sin n ωt+φ ) y(t) ≈ Y sin(ωt+φ n n n=1
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（9）
例5 非线性系统结构图如右图所示，用描述函数法说明 系统是否自振，并确定使系统稳定的初值(A)范围。
解 将系统结构图等效变换，求等效G*(s)
D( s) 1 N ( A) G1 ( s) G1 ( s) 0 N ( A) G1 ( s) [1 G1 ( s)]
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
1
1 2 2 2 非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式 A0 y ( t ) d t Yn A n Bn 0 2 为此，定义正弦信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波 1 2 1 2 分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用 N(A) 表示： B y ( t ) sin n t d t An y ( t ) cos n t d t 1 1 n 1 1 0 0
K ( A b) costdt

4 Kb b ( 1) A 2 /2 B1 ( K ( A sin t b) sin tdt
11
K ( A sin t b) costdt )

0

1
/2
K ( A b) sin tdt
1 N ( A) 的绘制及其特点 返回
( A h)
例2 纯滞环继电特性的负倒描述函数
2 2 4M 4 Mh M 4h h 4h 2 h N ( A) 1 j 1 j 2 2 A A h A A A A 1 A 1 2 N 0 ( A) 4h h h 1 j A A
y K ( x ) K ( A sin t )
A0 0, A1 0
B1

4
/2
1
K ( A sin t ) sin tdt
/2 4 /2 ( KA sin 2 tdt K sin tdt ) 1 1 /2 4 KA / 2 [ ( 1 cos 2 t ) d t K sin tdt ] 1 2 1
§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（6）
1 例2 系统如右，欲产生 A 4 的周期信号, 试确定K、t的值。 分析：可以调节K, t实现要求的自振运动。
解 N ( A) G( j ) 1 4M Ke jt 1 A j (1 j )(2 j )
1 N ( A) G( j ) 0 N ( A) G( j ) 1 1 G ( j ) N ( A)
3
1 的绘制及其特点 N ( A)
例1 理想继电特性的负倒描述函数 1 A 4M N ( A) N ( A) 4M A
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§7.3.3
3
用描述函数法分析非线性系统（2）
2M
h A sin 1 m h A sin( 2 )
N ( A)
2M mh h 2Mh [ 1 ( )2 1 ( )2 ] j (m 1), A h 2 A A A A
非线性特性的描述函数
一般继电特性的描述函数：
2M mh 2 h 2 2M h N ( A) 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A ( A h)
G1 ( s ) N ( A) 1 1 G1 ( s ) G1 ( s ) 0.5( s 1) G * ( s) 2 1 G1 ( s ) s 0.5s 0.5
§7.3.3