变形体的虚功原理

FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
小结：
位移计算的一般公式：
K (F NK* F QK* M K* )ds RK*R
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
(b)
线弹性材料在荷载作用下的位移计算公式：
K
(
FNP F NK *
kFQP F NK *
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
(c)
具体结构的简化公式：
*
1、桁架
K
FNP FNK L EA
2、梁和刚架
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
第五章 静定结构的位移计算
§5-3 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式 一、变形体虚功原理
位移协调状态
FP FRCR (M FQ 0 FN )ds
平衡状态 变形体虚功原理只需要满足平衡条件、位移连续条件， 而与材料特性无关。 对于刚体，由于变形等于零，内力在刚体上不做 功 ，所以，刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例。

未知力数 > 有效平衡方程数
内力不可求
二者之差 —— 静不定度
多余未知力
多余约束
• 与静定问题的根本区别 • 求解的关键
外部 三
内部 种
混合
类 型
静不定问题类型
仅在结构外部存在多余约束 －外力静不定结构
仅在结构内部存在多余约束 －内力静不定结构
在结构内外部均存在多余约束 －混合型静不定结构
几度静不定？
力法求解思路 解除多余约束
多余约束力 相当系统 原有外载荷
静不定 结构
静定结构 基本系统
受力、变形与 原结构相当的
静定结构
结构的应力、位移
多余约束力
计算多余约 束处的位移
利用基本系统 静定分析
静不定 问题得解
力法要点
力法求解步骤
判断静不定度与问题所属类型 选择与解除多余约束，建立相当系统 建立补充方程（找位移边界条件或变形协调条件） 由补充方程确定多余未知力 利用基本系统计算原结构位移等

Pd

P
Dst
Dd

P1
v
EA gPl

d
Pd A

P A

1

v
EA gPl

§1 引 言
静不定问题概念 静不定度判断
静不定问题概念
静定问题 未知力数＝有效平衡方程数
可求内力
静不定问题 （Statically Indeterminate）
单位载荷法
D l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
D －广义位移，施加相应单位广义载荷

ae Aβ
3. 以单元结点位移ae表示单元位移函数u，得到单元插值函数矩阵N。
u ΦA1ae Na
4. 以单元结点位移ae表示单元应变ε，并得到应变矩阵B
ε Lu Bae
sdustzhu
弹性力学问题有限元分析的执行步骤
(1)对结构进行离散。按问题的几何特点和精度等因素划分单元 并形成网格，即将对原来的连续体离散为在结点处相互联结的有限
➢ 虚应力原理
几何方程：
ij
Байду номын сангаас
1 2
ui, j u j,i
位移边界条件： ui ui
等效积分：V ij
ij
1 2
ui, j u j,i
dV
Su Ti ui ui dS 0
分部积分：
V ijij uiij, j dV S ijnjuidS Su Ti ui ui dS 0
分弱形式。
sdustzhu
➢ 虚位移原理
平衡方程：
ij, j fi 0
力的边界条件： ijnj Ti 0
(在V内) (在Sσ上)
等效积分： V ui (ij, j fi )dV S ui (ijnj Ti )dS 0
V uiij, jdV
V ( ui ij ), j dV
sdustzhu
线弹性力学的变分原理
➢ 最小位能原理
从虚位移原理出发，代入弹性力学的本构方程得：
V ij Dijklkl ui fi dV S uiTidS 0
利用单位体积应变能公式得：
ij
Di jkl kl
1 2
Dijkl ij kl
U
mn
在线弹性力学中，假定体积力和边界上面力的大小和 方向都是不变的，则有：

刚体虚功原理
刚体(体系)在外力作用下平衡的 充分必要条件:对于任何虚位移,
外力虚功总和=0
刚体虚功原理
虚设位移,求未知力 虚设力,求未知位移 虚力原理 单位力法
虚位移原理 单位位移法
虚位移原理
虚力原理 虚力方程: 形式上是功的方程. 实质是几何方程. 计算手段: 通过力的平衡关系 求解未知位移
c
1

Md

Ndu
Q ds R C
c
变形体系位移计算的一般公式:

Md
Ndu
Q ds R C
c
一般性:
不受结构类型限制:各类结构 不受引起位移因素限制:人为因素，自然因素
不受结构材料类型限制:石；砖；木；砼；塑料等

Qds
变形体虚功原理（变形体虚功方程）
dW Md
b
Ndu
Qds
Qds
We

Md

Ndu

平面杆系结构的虚功方程
四、 变形体系虚功原理的应用(单位荷载法)
R C 1 Md Ndu Q ds
dT dWb
一根杆虚功:

全部杆虚功:

dT

dWb
反映的是力 的平衡条件!
简写为:
T Wb (2)
比较(1)、（2）两式，则得：
We Wb
变形体虚功原理
变形体虚功原理成立的条件
力状态是平衡的。
位移状态：微小、连 续、约束允许的。
三、内力变形虚功的计算
ds d ds du ds

kij ≡ −δ ji
17．为使图示多跨静定梁 D 截面两侧截面产生 ∆θ 的相对转角，需在 D 处施加一对多 大的力偶 M（如图 a） ？已知 EI ＝ 常数，弹簧刚度 k = 3EI l 3 。
∆θ
答：解法一： 有弹性支座的位移计算公式为：
∆
=
∑∫
MPM EI
dx
+
∑
FRk Fk k
因此，除作单位和荷载 M 图外，还需求出弹性支座由荷载与单位广义力引起的反力。
刚架，忽略轴向和剪切变形对位移的贡献，其误差小于２％～千分之３。
9．如下图乘结果是否正确？为什么？
答：三个结论都是不对的。原因为（a） yi 应该是面积 Ai 形心对应的直线图形坐标， 不应该是分割图形的对应坐标。（b）M 是折线图形，图乘条件必须有一个是直线图形。（c） 二次抛物线 hl 3 的面积公式必须是标准抛物线，也即顶点处图形切线必须与基线（轴线）
11．图乘法求位移时应注意避免哪些易犯的错误？ 答：有如下一些情况应注意避免： １）求面积范围内所对应的取纵坐标图形是折线而非一条直线。例如：
２）非标准抛物线图形没有分解。例如：
8
３）梯形图形相乘时，取坐标图形不能因求面积时分割而只取分割部分坐标。例如：
４）各杆件刚度不同时，没有考虑各杆件应该用其对应的刚度。或者遗漏分母刚度项。
应的虚曲率、虚轴向线应变和虚切应变，ds 为微段长度，ck 为 k 支座的已知位移，FRk 为与 已知位移 ck 对应的单位广义力引起的反力。
5．试说明荷载下位移计算公式的适用条件、各项的物理意义。 答：荷载作用下的位移计算公式一般适用于一切线弹性结构的荷载位移计算，因为这
里荷载引起的应变量是用材料力学公式计算的。式中 M、FN、FQ 分别为单位广义力状态所 引起的杆件弯矩、轴力和剪力， M P 、 FNP 、 FQP 分别为荷载所引起对应的杆件弯矩、轴力

温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
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14:26
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温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
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D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
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3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评

原理
原理
力系平衡 位移相容
实 虚
实
虚位移原理
虚 虚力原理
u 变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系（二维板壳结构
和三维块体）
u 实际或虚设的力状态（内外力） 均应满足的静力平衡条件。
u 杆件结构的每一个杆件的位移状态 （实际或虚设）均应满足：①任一 微段满足应变～位移关系；②边界 位移满足约束边界条件。
Ø3、虚功原理的两种应用
虚位移原理
对于给定的力状态（实力状态）， 另虚设一个位移状态（虚位移状 态），利用虚功方程来求解力状态
中的未知力
虚力原理
对于给定的位移状态（实位移 状态），另虚设一个力状态 （虚力状态），利用虚功方程 来求解位移状态中的位移
Ø4、变形体系虚功原理的几点说明
功 能 力与位移无关 虚功
u单位位移法
总结利用刚体体系的虚位移原理求解静定结构的支反力 和内力的求解步骤：单位位移法
①取实际力状态 ：撤除与待求力相应约束，用约束力X 代替
②取虚位移状态：沿X正方向产生单位位移X=1；与荷载 F处对应位移记为P(由几何关系求得)
③列虚功方程：X.1+(F.P)=0 ④ X=-F.P
例3：一伸臂梁，支座A向下移动距离c1，求C点的竖向位移△。
A
c1
a
A
F RA F. b a
A
F RA b a
c
B
C
实位移状态
b
F
B
C
虚力状态
F 1
B
C
说明：①实位移状态：给 定的实际状态
②虚力状态：沿所求位移 方向假设一外力
③虚功方程：
F.
FR .c1
0

而这里（b）中的W变仅指所有微段上内力在截面的变形 位移上所做虚功的总和。
1) 变形虚功W变
由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量dM、dFN和dFQ以及分布 荷载q 在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段 上各力在其变形上所做的虚功为 dW变= Mdθ+ FNdu + FQdv （6-6）
假如此微段上还有集中荷载或力偶荷载作用，可以认为它们作 用在截面AB上，因而当微段变形时，它们并不做功。总之，仅 考虑微段的变形虚位移而不考虑其刚体虚位移时，外力不做功， 只有截面上的内力做功。对于平面杆系有 (d ) W dW Md F du F dv
又由于虚位移是光滑的、连 续的，两微段相邻的截面总 是紧密贴在一起的，而且有 相同的位移，
因此，每一对相邻截面上的内力所做的虚功总是相 互抵消的。由此可见，必有：W内= 0 ；
因此： W总=W外
（a）
(2)按刚体虚功与变形虚功计算(从力系的平衡条件考虑)
将微段的虚位移区分为刚体虚位移和变形虚位移两类
平衡力系
F
P
Δ Md FN du FQ dv （6-7）
位移状态
3、关于原理的说明
1）在上面的推证过程中，只考虑了力系的平衡条件和变形 的连续条件。所以，虚功方程既可以用来代替平衡方程，也 可以用来代替几何方程（即协调方程）。
2）虚功方程是个“两用方程”，具体应用时可有两种形式。 鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此， a.如果力系是给定的，则可虚设位移，式（6-7）便称为变形体 系的虚位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中 的某未知力(3.8节) ； b.如果位移是实有的，则可虚设力系，式（6-7）便称为变形体 系的虚力方程，它代表几何协调方程，常可用于求实际位移状 态中某个未知位移。本章即主要介绍虚力方程及其应用

N N Pl EA
杆件 NP
A 1.50 1/2
E
N
－1.58
l 0.263l
N N P l EA
1.97Pl/AbEb 1.84Pl/AbEb 0 0 0.63Pl/AgEg 0.5Pl/AgEg
AD
－4.74P
Ab Ab 0.75Ab
Ag 3Ag 2Ag
钢筋 混凝土
CD DE CE
－4.42P
－1.58
2
§4· 位移计算概述 1
a）验算结构的刚度； 1、计算位移目的： b）为超静定结构的内力分析 打基础； a）荷载作用； 2、产生位移的主要原因： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
d w dx
2 2
l β Δ
/l
M ,Q, N
, ,
A
Δ
B
6
4、刚体虚功原理 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是， 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。 W=0 二、虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理） P 1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
X X P P 0
19
l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
一、变形体虚功原理 状态 1 是满足平衡条件的力状 ≠ T12 ＝ 0 态，状态2是满足变形连续条件 的位移状态，状态1的外力在状 态2的位移上作的外虚功等于状 态1的各微段的内力在状态2 各 微段的变形上作的内虚功之和 即：T12= V 12
变
10
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ds