有限元虚功原理

1.有限元计算原理与方法有限元是将一个连续体结构离散成有限个单元体,这些单元体在节点处相互铰结，把荷载简化到节点上,计算在外荷载作用下各节点的位移,进而计算各单元的应力和应变。

用离散体的解答近似代替原连续体解答，当单元划分得足够密时，它与真实解是接近的。

1.1. 有限元分析的基本理论有限元单元法的基本过程如下：1.1.1.连续体的离散化首先从几何上将分析的工程结构对象离散化为一系列有限个单元组成，相邻单元之间利用单元的节点相互连接而成为一个整体.单元可采用各种类型，对于三维有限元分析，可采用四面体单元、五西体单元和六面体单元等。

在Plaxis 3D Foundation程序中，土体和桩体主要采用包含6个高斯点的15节点二次楔形体单元，该单元由水平面为6节点的三角形单元和竖直面为四边形8节点组成的，其局部坐标下的节点和应力点分布见图3。

1，图3.1 15节点楔形体单元节点和应力点分布界面单元采用包含9个高斯点的8个成对节点四边形单元。

在可能出现应力集中或应力梯度较大的地方,应适当将单元划分得密集些；若连续体只在有限个点上被约束，则应把约束点也取为节点：若有面约束,则应把面约束简化到节点上去，以便对单元组合体施加位移边界条件，进行约束处理；若连续介质体受有集中力和分布荷载，除把集中力作用点取为节点外，应把分布荷载等效地移置到有关节点上去。

最后,还应建立一个适合所有单元的总体坐标系。

由此看来，有限单元法中的结构已不是原有的物体或结构物，而是同样材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。

因此，用有限元法计算获得的结果只是近似的，单元划分越细且又合理，计算结果精度就越高.与位移不同，应力和应变是在Gauss 积分点（或应力点）而不是在节点上计算的，而桩的内力则可通过对桩截面进行积分褥到。

1.1.2. 单元位移插值函数的选取在有限元法中，将连续体划分成许多单元，取每个单元的若干节点的位移作为未知量，即{}[u ,v ,w ,...]e T i i i δ=，单元体内任一点的位移为{}[,,]Tf u v w =。

虚功原理
在物理学中，虚功原理是一个重要的概念，它在力学、电磁学等领域有着广泛的应用。

虚功原理是基于能量守恒和力学平衡的原理，通过考虑系统内部各部分之间的相互作用，从而得出系统达到平衡的条件。

1. 虚功原理的基本概念
在力学中，虚功原理可以简单地表述为：在一个平衡的力学系统中，作用在系统内所有部分的外力所作的虚功之和为零。

这意味着系统内各个部分之间的相互作用满足一个使得整个系统保持平衡的条件。

2. 虚功原理在力学中的应用
在力学中，虚功原理可以应用于弹簧系统、摩擦力系统等各种力学问题的分析中。

通过将系统分解为各个部分，并考虑各部分之间的相互作用，可以利用虚功原理来求解系统的平衡条件和运动规律。

3. 虚功原理在电磁学中的应用
在电磁学中，虚功原理同样具有重要的作用。

在电磁场中，电荷之间的相互作用可以通过虚功原理来描述，从而推导出麦克斯韦方程组等电磁学的基本规律。

4. 虚功原理的应用举例
以简单的弹簧振子系统为例，可以通过虚功原理来推导出系统的振动方程，并进一步分析系统的动力学行为。

类似地，可以将虚功原理应用于其他复杂系统的分析中，从而揭示系统的运动规律和平衡条件。

5. 结语
虚功原理作为力学和电磁学中的重要原理之一，对于系统的分析和理解具有重要意义。

通过应用虚功原理，可以更深入地理解自然界中的各种物理现象，为科学研究和工程应用提供有力的理论支持。

在今后的研究和应用中，虚功原理必将继续发挥重要作用，推动科学技术的发展和进步。

虚功原理概念
虚功原理是力学中的重要概念，主要运用于静力学和弹性力学的问题中。

该原理是通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力之间的差异，来推导出力学问题的解析解。

虚功原理的基本思想是，如果一个力系统处于平衡状态，则在任意虚位移下，系统所受到的合力必然为零。

这意味着在虚位移下，系统没有做任何实际的功。

因此，可以根据虚功原理来解决平衡问题。

虚功原理的应用主要涉及到两个方面：平衡条件和变形计算。

在平衡条件中，通过比较系统在实际情况下的受力和在虚位移情况下的受力，可以得出力的平衡条件。

在变形计算中，可以通过比较系统在实际变形和虚位移情况下的变形能量，来计算系统的位移和应变。

虚功原理的使用需要考虑以下几个要点：
1. 虚位移应满足几何约束条件，即虚位移必须满足系统的边界条件和约束条件。

2. 虚功原理可以应用于单个物体或整个力系统，这取决于具体的力学问题。

3. 虚功原理可以推广到三维空间中的力学问题，并且可以应用于弹性体和非弹性体。

4. 虚功原理还可以推广到动力学问题，即考虑物体的运动和加速度。

总之，虚功原理是力学中非常重要的概念，可以用于平衡条件
和变形计算。

通过应用虚功原理，可以简化力学问题的分析，得到解析解。

虚功原理有限元虚功原理是力学中的一个基本原理，它是运用能量守恒原理和虚位移原理进行问题求解的一种方法。

虚功原理的应用十分广泛，特别是在有限元方法中，它是解答复杂结构力学问题的一种常用手段。

虚功原理的基本原理是：在刚体或弹性体的力学问题中，力系对于结构的作用机理可以使用能量方法来描述，即外力对物体所做的功等于内力弹性势能的变化。

在有限元方法中，虚功原理的应用可以被概括为以下几个步骤：1. 确定系统的弹性势能表达式：根据材料力学性质和结构几何形状，建立并表达出结构的弹性势能。

2. 设定虚位移场：在结构的静力平衡方程中，引入一组满足边界条件的虚位移场，并将结构的位移表示为真实位移与虚位移的叠加。

虚位移场是一个理想化的假设，它用于引导计算的进行。

3. 计算虚功：将虚位移场代入弹性势能表达式中，得到每个单元的虚功。

4. 构造系统的刚度方程：根据虚功原理，对每一个虚位移方向进行变分，得到相应的虚功。

将这些虚功累加起来，并考虑结构边界条件和约束条件，得到整个系统的刚度方程。

5. 解刚度方程：使用适当的数值方法（如矩阵求解方法）求解刚度方程组，得到结构的位移响应。

6. 计算应力和应变分布：利用位移响应，通过一定的插值方法，计算出结构各点的应力和应变分布。

有限元方法利用虚功原理的优点在于，它可以解决复杂结构的力学问题，并且可以处理非线性材料、大变形和大变位等情况。

虚功原理的运用使得有限元方法成为求解工程结构问题的一种强大工具。

需要注意的是，在使用虚功原理时，应注意选择合适的虚位移场，并保证其满足结构的边界条件和约束条件；同时，还需要进行适当的数值技巧处理，如选择合适的数值积分方法和数值求解方法，以提高计算的精确性和效率。

总结来说，虚功原理是有限元方法求解问题的基础，它通过能量守恒原理和虚位移原理，将原问题转化为求解刚度方程的问题，从而得到结构的位移响应和应力应变分布。

虚功原理在结构力学中的应用是十分重要和广泛的，它为工程问题的解答提供了有效的途径。

有限元法的理论基础有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。

能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。

下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。

1.虚位移原理虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。

反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。

可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。

所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。

虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。

2.最小势能原理最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。

根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。

最小势能原理仅适用于弹性力学问题。

2.2有限元法求解问题的基本步骤弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。

2.2.1问题的分类求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。

对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。

2.2.2建模在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。