东南大学2009年研究生入学试题 数学分析

东南大学2002——2009数学分析试题(缺03)东南大学2002年数学分析试题解答一、叙述定义(5分+5分=10分)1.«Skip Record If...».解：设«Skip Record If...»2.当«Skip Record If...»解：设«Skip Record If...»二、计算（9分×7=63分）1．求曲线«Skip Record If...»的弧长。

解：«Skip Record If...»«Skip Record If...»2．设«Skip Record If...»偏导数，«Skip Record If...»解：由«Skip Record If...»=«Skip Record If...»3.求«Skip Record If...»解：令«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»4.求«Skip Record If...»(«Skip Record If...»解：«Skip Record If...»==«Skip Record If...»=«Skip Record If...»5.计算第二型曲面积分«Skip Record If...»其中S是曲面«Skip Record If...»夹于«Skip Record If...»与«Skip Record If...»之间的部分，积分沿曲面的下侧。

东 南 大 学 二〇〇九年攻读硕士学位研究生入学考试试题试题编号：601 试题名称：数学分析一．判断题（判断下列命题正误,若正确请证明,否则请给出反例说明（本题共4小题,每题6分,满分24分）.1.[,]a b 上每个单调函数至多有可列个间断点.2.在有界闭区间[,]a b 上黎曼可积的函数必在[,]a b 上有原函数.3.若n a 非负、单调递减,且lim 0n n na →∞=,则级数1n n a ∞=∑收敛. 4.曲线221x y +=上每一点的某邻域内可确定隐函数()y y x =.二．计算题（本题共6小题,每题8分,满分48分）.5.求极限21lim[ln(1)]x x x x→∞+-. 6.求极限2222212lim (1)(1)(1)n n n n n n→∞+++ . 7.求幂级数143nn x n ∞=-∑的和函数(0)x ≥. 8.求曲线2226,0x y z x y z ++=++=在点(1,2,1)-处的切线方程.9.计算曲线积分22C ydx xdy I x y -=+⎰,其中C 为曲线33cos ,sin (0)2x t y t t π==≤≤的一段.10.计算曲面积分22(1)84x dydz xydzdx xzdxdy ∑-+-⎰⎰,其中∑是由曲线(0)y x e y a =≤≤绕x 轴旋转所成的旋转曲面,取外侧.三．解答题（本题共8小题,前6小题每题10分,后2小题每题9分,满分78分）.11.给定实数0x 及b ,01b <<,令1sin ,1,2,n n x a b x n -=+= ,证明：（1）极限lim n n x →∞存在,记为ξ； （2）ξ是开普勒方程sin x a b x =+的唯一解.12.一个函数f ：[,]a b → 称作上半连续的,假如对给定的[,]x a b ∈及0ε>,存在一个0δ>,使得若[,],y a b y x δ∈-<,则()()f y f x ε<+.证明：[,]a b 上的上半连续函数是上有界的,且在某个点[,]c a b ∈处达到最大值.13.设()f x 在开区间(,)I a =+∞内可导,且lim '()x f x →+∞=∞,证明()f x 在I 内必定是非一致连续的.若(,)I a b =是有限开区间,且lim '()x bf x -→=∞,问()f x 在I 内也必定是非一致连续的？14.设1111n nn I x dx +=+⎰,求证：（1）0,n I n →→∞；（2）极限lim n n nI →∞存在,并求出此极限值. 15.设()f x 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内有二阶导数,且10(0)(1)0,''()0,()0f f f x f x dx ⋅>>=⎰. 证明：（1）函数()f x 在(0,1)内恰有两个零点；（2）至少存在一点(0,1)ξ∈,使得0'()()f f x dx ξξ=⎰. 16.设()f x 在0x =的某邻域内有二阶连续导数,且0()lim 0x f x x →=.证明：级数11()n n f n∞=∑绝对收敛. 17.设2222sin(),(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),x y xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论f 在原点的连续性、可微性以及两个一阶偏导数在原点的连续性.18.证明反常积分20sin 1x px x +∞+⎰关于[,)p a ∈+∞一致收敛,其中0a >为常数.。

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2009年东南大学946西方经济学考研真题及详解一、名词解释（5×6=30分）1．总需求答：限于篇幅原因，想要获得完整版真题及解析请加入经济学考研备战群2．伯特兰竞争答：伯特兰竞争是一种价格竞争的寡头模型，模型假设厂商经营同质产品，有着相同的成本。

厂商运用价格手段，通过价格的提高、降低和不变以及对竞争者定价、变价的灵活反应等，与竞争对手争夺市场份额的一种竞争方式，在此情况下，厂商行为就和完全竞争一样：价格等于边际成本。

3．理性预期答：理性预期又称合理预期，是现代经济学中的预期概念之一，指人们可以最好地利用所有可以获得的信息，包括关于现在政府政策的信息来形成自己的预期。

由约翰·穆思在其《合理预期和价格变动理论》（1961年）一文中首先提出。

它的含义有三个：①作出经济决策的经济主体是有理性的；②所作决策为正确决策，经济主体会在作出预期时力图获得一切有关的信息；③经济主体在预期时不会犯系统错误，即使犯错误，他也会及时有效地进行修正，使得预期在长期而言保持正确。

理性预期是新古典宏观经济理论的重要假设（其余三个为个体利益最大、市场出清和自然率），是新古典宏观经济理论攻击凯恩斯主义的重要武器。

4．价格歧视答：价格歧视是指由于垄断者具有某种垄断力量，因此，垄断者可以对自己所出售的同类产品，索取不同的价格，以使自己所获利润达到最大值。

垄断厂商实行价格歧视，必须具备以下两个基本条件：①市场的消费者具有不同的偏好，且这些不同的偏好可以被区分开。

②不同的消费者群体或不同的销售市场是相互隔离的。

东南大学 数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.()+∞=-∞→x f x lim .解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）1． 求曲线210),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。

解：=+=⎰dx x f s βα2)]('[1⎰⎰⎰-=-++-=-+=--+2102102221022213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导数，.,0dxduz g 求≠∂∂ 解：由xzz f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g yy∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==++=从而知,02,0),,(3212=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+ 3.求⎰dx xx 2)ln (解：令⎰====dx x x dt e dx e x x t tt2)ln (,,,ln 则⎰⋅dt e et tt 22=⎰=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t+--2C xx x +++-=2ln 2)(ln 2 4.求()2lim x a x a xxx -+→()0>a解：()2lim xa x a x xx -+→==22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++-+++++=→ =aa21+ 5.计算第二型曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)当时,与等价无穷小,则(A) (B)(C)(D) 【考点分析】：等价无穷小，洛必达法则，泰勒公式 【求解过程】：⏹ 方法一：利用洛必达法则和等价无穷小0x →时，ln(1)~bx bx --2320000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)3x x x x f x x ax x ax a axJ g x x bx bx bx→→→→---=====--- 1a ⇒=否则，J =∞⇒2220011cos 12lim lim 1336x x x x J bx bx b→→-====---16b ⇒=-。

选A ⏹ 方法二：利用泰勒公式或者三角函数的幂级数展开式 由三角函数的幂级数展开式：357111sin 3!5!7x x x x x =-+-+ 所以，3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→ 由泰勒公式：3331sin ()(0)6ax ax a x o x x =-+→332301(1)()sin 6lim 1ln(1)x a x x o x x ax J x bx bx →-++-⇒===-- 1a ⇒=，否则J =∞⇒116J b ==-16b ⇒=-。

选A(2)如图，正方形{(,)|1,1}x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域(1,2,3,4)k D k =，cos kk D I y xdxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤=(A)(B)(C)(D)0x →()sin f x x ax =-()()2ln 1g x x bx =-11,6a b ==-11,6a b ==11,6a b =-=-11,6a b =-=1I 2I 3I 4I【考点分析】：利用对称性化简二重积分，二重积分的估值 【求解过程】：1234111222331444(,)cos ,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,cos ,(,)0,0cos ,(,)0,A D D D D f x y y x I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I I y xdxdy D f x y I I y xdxdy D x f x y y I ==≥≥===≤≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则在上则，关于轴对称，且关于为奇函数，则所以选择。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

（1）当0x 时，()sin fxxax 与2()ln(1)gxxbx 等价无穷小，则（）（A ）11,6ab （B ）11,6ab （C ）11,6ab （D ）11,6ab 【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。

参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。

【答案】A22220000sinsin1cossin limlimlimlim ln(1)()36xxxx xaxxaxaxaax xbxxbxbxbx230sin lim166.x aaxa b b axa 36ab 意味选项B ，C 错误。

再由201cos lim 3x aax bx存在，故有1cos0(0)aaxx ，故a=1，D 错误，所以选A 。

（2）如图，正方形{(,)|||1,||1}xyxy 被其对角线划分为四个区域，(1,2,3,4),cos KKKD DkIyxdxdy，则14max{}KK I =（）【解析与点评】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。

对称性与轮换对称性在几分钟的应用是水木艾迪考研数学重点打造的技巧之一。

参见水木艾迪考研数学春季班教材《考研数学通用辅导讲义----微积分》例 12.3、12.14、12.16、12.17，强化班教材《大学数学同步强化 299》117 题，以及《考研数学三十六技》例 18-4。

24,DD 关于x 轴对称，而cos yx 即被积函数是关于y 的奇函数，所以2413;,IIDD 两区域关于y 轴对称，cos()cos yxyx即被积函数是关于x 的偶函数，由积分的保号性，13{(,)|,01}{(,)|,01}2cos0,2cos0xyyxxxyyxx IyxdxdyIyxdxdy，所以正确答案为A 。

2009年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）在(,)ππ-内，函数tan xy x=的可去间断点的个数为（ ） ()A .0()B . 1 ()C .2()D .3【答案】()D 【解析】tan x y x =0x =，0lim 1tan x xx→=，0x =为可去间断点；2x π=±，2lim0tan x xxπ→±=，2x π=±为可去间断点.故共3个，选()D .（2）函数2ln(1)y x =+的单调增加图形为凹的区间是（ ）()A .(,1)-∞-()B .(1,0)- ()C .(0,1)()D .(1,)+∞【答案】()C 【解析】()()()()222222220012121201111xy x xx y x x x x x x '=>⇒>+-''=⋅+-⋅=>⇒-<<++取交集得：()0,1x ∈，选()C . （3）函数22()x x t f x e dt --=⎰的极值点为x =（ ）()A .12()B .14 ()C .14-()D .12-【答案】()A【解析】因()()()()()2222''212x x x x f x ex x x e ----=⋅-=-令()'0fx =，得12x =，又()()()()()()222222'2''22221222(12)(x x x x x x fx ex ex x x x x e ------⎡⎤⎡⎤=-+-⋅⋅--=-+-⋅-⎣⎦⎢⎥⎣⎦得''102f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故12x =为极值点，应选()A . （4）设区域{}22(,)2,0D x y x x y x y =≤+≤≥，则在极坐标下二重积分xydxdy =⎰⎰（ ）()A 2cos 220cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰()B 2cos 320cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰()C 2c o s 2c o sc o s s i nd r d rπθθθθθ⎰⎰()D 2cos 30cos cos sin d r dr πθθθθθ⎰⎰【答案】()B【解析】原积分32cos 2cos cos sin cos sin 22cos cos 00d r r rdr d r dr ππθθθθθθθθθθ=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰. （5）设矩阵121242242A ab a ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则（ ） ()A .0,0a b == ()B . 0,0a b =≠ ()C .0,0a b ≠=()D .0,0a b ≠≠【答案】()C【解析】1211002422024220A ab ab a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 因为0a =时，()1r A =，所以0a ≠，1000000A ab a ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭因为()2r A =，所以0b =，综上0,0a b ≠=.（6）设A 为3阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，A 的行列式2A =，则*2A -=（ ）()A . 52-()B . 32- ()C .32 ()D .52【答案】A 【解析】2A = 又1312*22n A AAA --====*3*3252(2)(2)22A A ∴-=-⋅=-⋅=-.（7）设事件A 与事件B 互不相容，，则（ ）()A .()0P A B --==()B .()()()P AB P A P B == ()C .()1()P A P B =-()D .()1P A B --=⋃=【答案】()D【解析】因为,A B 互不相容，所以()0P AB =()A ()()1()P AB P A B P A B ==- ，因为()P A B 不一定等于1，所以()A 不正确 ()B 当(),()P A P B 不为0时，()B 不成立，故排除 ()C 只有当,A B 互为对立事件的时候才成立，故排除()D ()()1()1P A B P AB P AB ==-= ，故()D 正确.（8）设随机变量X 的分布函数1()0.3()0.7()2x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布的分布函数，则EX =（ ）()A .0()B .0.3 ()C .0.7()D .1【答案】()C【解析】因为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ⎪⎝⎭， 所以()()0.710.322x F x x -⎛⎫'''=Φ+Φ ⎪⎝⎭， 所以()()10.30.352x EX xF x dx x x dx +∞+∞-∞-∞⎡-⎤⎛⎫'''==Φ+Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰()10.30.352x x x dx x dx +∞+∞-∞-∞-⎛⎫''=Φ+Φ ⎪⎝⎭⎰⎰而()0x x dx +∞-∞'Φ=⎰，()()11221222x x x dx u u u du +∞+∞-∞-∞--⎛⎫''Φ=+Φ= ⎪⎝⎭⎰⎰ 所以00.3520.7EX =+⨯=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）20lim(1sin 3x x x →+= .【答案】23e【解析】0222ln(1sin )lim ln(1sin )3300lim(1sin lim 3x x xx x x x x xee→++→→+==002sin2233limlim 3x x xx xxe ee →→⋅===（10）设2()ln(4cos 2)f x x x =+，则'()8f π= .【答案】41π+ 【解析】由2()ln(4cos 2)f x x x =+,[]'21()42cos 2(sin 2)24cos 2f x x x x x=+⋅-⋅+'124()44((42)18221122f ππππ⎡⎤=+⨯⨯-=-=⎢⎥++⎣⎦+. （11）设2()xf x e =，()ln x x ϕ=，则[]1(())(())f x f x dx ϕϕ+=⎰ .【答案】43【解析】()()()()2l n22,l n 2x xf x e x f x e xϕϕ====所以原式=()3122100142()1333x x x dx x +=+=+=⎰.（12）设(,)f u v 为二元可微函数，(sin(),)xyZ f x y e =+，则zx∂=∂__________________ 【答案】''12cos()xy f x y yf e ++ 【解析】根据复合函数求导法得：''12cos()xy zf x y yf e x∂=++∂. （13）设向量组(1,0,1)T α=，(2,,1)T k β=-，(1,1,4)Tγ=--线性相关，则k =___________【答案】1【解析】(1,0,1),(2,,1),(1,1,4)TTTk αβγ==-=--令12101114A k-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭若α、β、γ线性相关，所以则330A k =-+=，1k ∴=(14)设总体X 的概率密度||1(,)2x f x e σσσ-=，x -∞<<+∞，其中参数(0)σσ>未知， 若12,,....,n x x x 是来自总体X 的简单随机样本，11ˆ||1ni i x n σ==-∑是σ的估计量，则ˆ()E σ=_____________. 【答案】1nn σ- 【解析】10001ˆ1112121211.1n i ii xxxt t t n E E x E x n n n n x n x e dx e dx te dt n n n n te dt n n n σσσσσσσσσσ==--+∞+∞+∞--∞+∞-==--=⋅=⋅−−−→---=-=-∑⎰⎰⎰⎰ 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限[]24ln(1tan )limsin x x x x x→-+.【解析】[]2242200ln(1tan )ln(1tan )limlim sin sin sin x x x x x x x x xx x→→-+-+= 20ln(1tan )1limsin 2x x x x →-+==.（16）（本题满分10分）不定积分ln 2.2,,2t x t dx tdt === 原式=222ln(2)ln(2)222ln(2)ln(2)ln (2)ln (222t t tdt dt t d t t c c t t t ++⋅==++=++=+++⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）曲线L 过点()1,1，L 上任一点(),(0)M x y x >处法线斜率2yx，求L 方程.【解析】法线斜率为1y-' 221122212y dx yxdx ydy y x dy xx y C ∴-=⇒-=⇒-='⇒-=+又由已知条件()13112y C =⇒=-2213022x y x ∴+-=∴= （18）（本题满分11分）讨论方程440x x k -+=实根的个数，其中k 为参数.【解析】令()44f x x x k =-+，则()()()'3244411f x x x x x =-=-++∴当1x >时，()'0f x >；当1x <时，()'0f x <；当1x =时，()'0f x =即()f x 在(),1-∞单调减，在()1,+∞单调增，在1x =处取得极小值，且为最小值.从而 ①()130f k =->时，方程无实根；②()130f k =-=时，方程有两个相同的实根；③()130f k =-<时，由于()lim x f x →∞=+∞，根据零点定理可得，方程有两个相异实根.（19）（本题满分11分） 计算二重积分1Dx dxdy -⎰⎰，其中D 是第一象限内由直线0,y y x ==及圆222x y +=所围成的区域.【解析】如图所示，则由题可知121(1)(1)DD D x dxdy x dxdy x dxdy -=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰11)(1)0010x x dy dx x dy =-+-⎰⎰1(1)1x x x dx=-+-⎰51(16464ππ=-+=-（20）（本题满分10分）设1211211223A a aa a⎛⎫⎪=++⎪⎪---⎝⎭,若存在3阶非零矩阵B,使得AB O=.(Ⅰ)求a的值；（Ⅱ）求方程组0AX=的通解.【解析】（I）根据题目条件，知存在3阶非零矩阵B，使0AB=，即0AX=有非零解.A∴=，即1211211210(2)01223022a a a a a aa a a a++==-=----a∴=或2a=（II）当0a=时，121121123A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，求0AX=的通解.121121120121000000123002001A⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦取自由未知量21x=，得[]12,1,0Tξ=-，即0AX=的通解[]1112,1,0Tx k kξ==-，（1k为任意常数）. 当2a=时，121143101A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求0AX=的通解.121121022011143022022000101101101101A⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦取自由未知量31x=，得[]21,1,1Tξ=-，即0AX=的通解[]2221,1,1Tx k kξ==-，（2k为任意常数）. （21）（本题满分11分）设3阶矩阵A 的特征值为1，1，2-，对应的特征向量依次为1010α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3101α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.(Ⅰ)求矩阵A ； （Ⅱ）求2009A.【解析】（I ）令()123,,,P ααα=则1100010,002P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦即1,A P P -=Λ利用初等行变换求1,P -有()011100100010100010011100011001011001100010100010110111000100,2200210111001022P E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦()01110010101000100111000110010110011000101000101101110001002200210111001022P E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦即10101102211022P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，113022010.31022A P P -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ （II ）12009200912009200820082008200801001110011100010022011002110221120222010.1120222A P P A P P --=Λ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦（22）（本题满分11 分）设随机变量X 的概率密度为2,()0,x a x bf x <<⎧=⎨⎩其他，21EX =.(Ⅰ)求a,b 的值； （Ⅱ）求{}1P x <. 【解析】（1）()2,0,x a x bf x <<⎧=⎨⎩其它故()2221baf x dx xdx b a +∞-∞==-=⎰⎰ ①()()23441212baE xx dx b a ==-=⎰② 由①②得到224412b a b a ⎧-=⎨-=⎩推得到223212b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由概率密度函数的非负性，知0,0a b >>则22b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）()()11111110222P X P X P X P X xdx ⎛⎛⎫<=-<<=-<<+<<=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （23）（本题满分10 分）已知随机变量X 与Y 的概率分布分别为且{}4P X Y ==(Ⅰ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布； （Ⅱ）求X 与Y 的相关系数XY ρ.【解析】（1）()14P X Y ==，即()11,14P X Y === 所以()()()11,011,14P X Y P X P X Y ====-===同理可得()()()11,01,004P X Y P X Y P Y =-===-==== 得到()1,00P X Y =-==()()()()11,111,01,11,02P X Y P X Y P X Y P X Y =-==-==-==-=-==则二维随机变量(),X Y 的概率分布是（2）由,XY Cov X Y E XY E X E Y ρ-==由二维随机变量(),X Y 的概率分布得到资料共享 QQ776597299 友情提供 新浪共享id ：ncut20100930钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 11 -X 的边缘分布Y 的边缘分布则()()()()1100114E XY P XY P XY P XY =-=-+⋅=+⋅==-()()()1110E X P X P X =-=-+⋅==()()()300114E Y P Y P Y =⋅=+⋅==()()()221D X EX E X =-=⎡⎤⎣⎦ ()()()2239341616D YE Y E Y =-=-=⎡⎤⎣⎦ 所以10,3XY Cov X Y ρ--===.。