东南大学数值分析每章小结

第3章矩阵特征值与特征向量的计算--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我知道了求矩阵的特征值和特征向量的问题是代数计算的重要课题，在这一章，我了解到了直接计算矩阵的特征值和特征向量的MATLAB程序、间接计算矩阵的特征值和特征向量的幂法、反幂法、Jacobi方法、QR方法及MATLAB计算程序。

我了解到自己对数值分析及MATLAB的掌握还很肤浅，了解到了自己的不足,同时意识到自己知识点薄弱的地方，还有对知识的理解有偏差。

有的知识点理解的不透彻，自己可以动手做题，但编程实现还需要一定的编程语言知识以及数学知识和机器语言之间的转换。

四种方法各有其特点和适用范围。

幂法主要用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量；反幂法主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量；Jacobi方法用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；QR方法则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。

归结起来，这四种方法亦有其共同点，那就是都是用了迭代的方法来求矩阵的特征值和特征向量。

此外，用MATLAB自带的解法求解特征值和特征向量也非常快速，而且不用编辑函数建立m文件。

二、本章知识梳理本章对于矩阵的特征值和特征向量的算法提出了新的思路，如幂法和反幂法、Jacobi 、QR 方法等。

本章的小结主要从方法的思想，以及一些定理展开。

以下是各种方法的运用范围1、幂法：主要用于计算矩阵按模最大的特征值和其相应的特征向量；2、反幂法：主要计算矩阵按模最小的特征值以及其相应的特征向量；3、Jacobi 方法:用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；4、QR 方法：适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。

3.1幂法与反幂法一、乘幂法1、基本思想])([2111101∑=-+===n i i k i i kk k k X X u A u A u λλααλ 2、一般算法1）任意给定初始向量;0n R u ∈2）对于k=1，2，...111---=k k k u u y 1-=k k y A u 1111X X y k αα→ 3）如果ε<--1k k u u ,则,,1,1m k m k u u -≈λk u X ≈13、三种迭代公式（1）使用范数2•（2）使用范数∞•（3）)max (k u 表示k u 的绝对值最大的分量。

数值分析第五章学习⼩结第五章学习⼩结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******⼀、本章学习体会本章的内容与实际关联很⼤，可以解决很多⼯程实际问题。

1、主要有两⽅⾯内容：插值与逼近。

插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。

逼近即是⽤简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最⼩最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。

2、插值中样条插值⽐较难，需要花⼀定的时间。

逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最⼩。

3、我个⼈觉得本章的难点是样条插值与最佳平⽅逼近。

⼆、知识构图：因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。

1、插值：2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下⽅式：⼀、正交多项式1、正交多项式的概念与性质若在区间上⾮负的函数满⾜（1）对⼀切整数存在；（2）对区间上⾮负连续函数，若则在上，那么，就称为区间上的权函数。

常见的权函数有2、两个函数的内积定义：给定[](),(),,()f x g x C a b x ρ∈是上的权函数，称为函数()f x 与()g x 在[a,b]上的内积。

内积的性质：（1）对称性：()(),,f g g f =；（2）数乘性：(),(,)(,)kf g f kg k f g ==；（3）可加性：()()()1212,,,f f g f g f g +=+；（4）⾮负性：若在[a,b]上()0f x ≠，则。

(,)a b ()x ρ0,()bna n x x dx ρ≥?(,)ab ()f x ()0bn ax x dx ρ=?(,)a b ()0f x ≡()x ρ(,)ab 2()1,()11()11(),0(),x x x a x b x x x x x e x x e x ρρρρρ--≡≤≤=-<<=-≤≤=≤<∞=-∞<<+∞(,)a b (,)()()()ba f g x f x g x dx ρ=?(,)0f f >3、函数的正交（1）两个函数的正交与正交函数系若内积则称()f x 与()g x 在区间[a,b]上带权()x ρ正交若函数系.满⾜则称是上带权的正交函数系。

数值分析-第四章学习小结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第4章非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我了解了怎么求出非线性方程和非线性方程组的根，只是有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，对于大多数非线性方程，只能用数值方法求出它的根的近似值。

我学习了非线性方程与非线性方程组的迭代解法。

我感到要想求非线性方程组的精确解是不容易的，困难程度远远超过线性方程组的求解。

首先要了解迭代公式的基本思想，迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解，实质上是一个逐步显示化的过程。

最基本的就是在高中学过的二分法，需要在给定的区域选择根，然后在二分，在从中舍弃一个，再选，直到所选的根符合题目所给的条件，但是二分法只能求实根，并且只能求单根和奇数重根，不能求偶数重根和复数根，所以又有它的缺陷，后面又学了斯蒂芬森加速法和牛顿法。

算法都是离不开模型的，我们在学习某种算法时，一定要结合数学模型才能把知识理解到位，比如本章结合几何思想能够很好的理解算法公式的推导说明。

运用这么多的算法去求解非线性方程组，只是能最大程度的求解线性方程组的精确解，但不是精确解。

我们在今后的学习工作中，也可以自己去创造一种算法，使求解更加精确容易。

在求解非线性方程的解的时候，我们要有如下思路：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法二、 本章知识梳理1、非线性方程的迭代解法简单迭代法及其收敛性简单迭代法的基本思想)(0)(x x x f ϕ=⇔=迭代法的基本思想是将隐式方程)(x x ϕ=的求根问题归结为计算一组显式公式)(1k k x x ϕ=+一般形式： ,2,1,0),(1==+k x x k k ϕ收敛条件：a 、非局部收敛定理b 、局部收敛定理简单迭代法的收敛速度线性收敛的条件m 阶收敛的条件迭代过程的加速加权法 迭代：)(1k k x x ϕ=+ 改进：k k k x LL x L x ---=++11111 埃特金(Aitken)加速法设序列}{k x 线性收敛到s112212)(++++=+---≈k kk k k k k x x x x x x x s Newton 法（切线法）基本思想:(1)构造法:0)(='s ϕ(2)几何上:逐步线性化方法(3)Taylor 展开 ))((')()(k k k x x x f x f x f -+≈迭代函数：)(')()(x f x f x x -=ϕ 迭代公式： ,2,1,0,)(')(1=-=+k x f x f x x k k k k 几何意义收敛性（1）局部收敛定理（2）非局部收敛定理牛顿下山法)(')(1k k k k x f x f x x -=+)(')(1k k k k x f x f x x λ-=+ k k k x x x )1(11λλ-+=++ 其中10≤<λ称为下山因子通过适当选取下山因子保证函数值)(k x f 能单调下降。

数值分析学习总结感想第一篇：数值分析学习总结感想数值分析学习感想一个学期的数值分析，在老师的带领下，让我对这门课程有了深刻的理解和感悟。

这门课程是一个十分重视算法和原理的学科，同时它能够将人的思维引入数学思考的模式，在处理问题的时候，可以合理适当的提出方案和假设。

他的内容贴近实际，像数值分析，数值微分，求解线性方程组的解等，使数学理论更加有实际意义。

数值分析在给我们的知识上，有很大一部分都对我有很大的帮助，让我的生活和学习有了更加方便以及科学的方法。

像第一章就讲的误差，在现实生活中，也许没有太过于注意误差，所以对误差的看法有些轻视，但在学习了这一章之后，在老师的讲解下，了解到这些误差看似小，实则影响很大，更如后面所讲的余项，那些差别总是让人很容易就出错，也许在别的地方没有什么，但是在数学领域，一个小的误差，就很容易有不好的后果，而学习了数值分析的内容，很容易就可以将误差锁定在一个很小的范围内，在这一范围内再逼近，得出的近似值要准确的多，而在最开始的计算中，误差越小，对后面的影响越小，这无疑是好的。

数值分析不只在知识上传授了我很多，在思想上也对我有很大的影响，他给了我很多数学思想，很多思考的角度，在看待问题的方面上，多方位的去思考，并从别的例子上举一反三。

像其中所讲的插值法，在先学习了拉格朗日插值法后，对其理解透彻，了解了其中的原理和思想，再学习之后的牛顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容易的就理解了其中所想，他们的中心思想并没有多大的变化，但是使用的方式却是不同的，这不仅可以学习到其中心内容，还可以去学习他们的思考方式，每个不同的思考方式带来的都是不同的算法。

而在看待问题上，不同的思考方式总是可以快速的全方位的去看透彻问题，从而知道如何去解决。

在不断的学习中，知识在不断的获取，能力在不断的提升，同时在老师的不懈讲解下，我逐渐的发现数值分析所涵盖的知识面特别的广泛，而我所需要学习的地方也更加的多，自己的不足也在不断的体现，我知道这只是我刚刚接触到了数学的那一角，在以后我还会接触到更多，而这求知的欲望也在不停的驱赶我，学习的越多，对今后的生活才会有更大的帮助。

矩阵的特征值和特征向量的计算线性代数中对于x Ax λ=,解该方程的特征值λ和特征向量x 的方法主要是使用数值解法,本章学习另外的方法用MATLAB 来编程解某个实矩阵的特征值和特征向量. 一、幂法和反幂法 1.乘幂法幂法主要用于计算矩阵的按模为最大的特征值和对应的特征向量。

（1）思想为: n n X X X u ααα+++= 22110])([2111101∑=-+===ni i ki i kkk k X X u A u A u λλααλ当k 取得足够大时,特征值向量得计算公式为: 特征值为:迭代格式为之一⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====∈-------- ,2,1111111110k u y y A u uy u u R u k Tk k k k k k k k Tk k n βηη任取初始向量迭代格式之二⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=======------≤≤- ,2,1)sgn(),,,(max ),,,(任取初始向量)()1()()(2)(11)1(11)1(1)1()0()0(2)0(10k h h h h h y A u h u y h h h h h u k r k r k Tk n k k k k k r k k k j nj k r Tn β两种迭代格式相比较, 格式一编程容易, 迭代一次所需时间也短, 迭代格式二迭代时间长, 但它在计算过程中舍入误差的影响较格式一小。

幂法的缺点是如果矩阵A 的特征根有重根时不能用。

2、反幂法目的同乘幂法, 用于计算矩阵的按模为最大的特征值和对应的特征向量。

反幂法的迭代格式为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====∈-------- ,2,1任取初始向量111111110k u y y A u uy u u R u k T k k k k k k k k Tk k n βηη3.带原点位移的反幂法迭代格式为 ,2,1)max(11=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--k m y u y m u A y k kkk k k k三、Jacobi 方法和QR 方法Jacobi 方法主要用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的一种方法,所以个人觉得雅克比法更为现实更为有用。

数值分析第⼆章学习⼩结-第2章插值法--------学习⼩结姓名班级学号⼀、本章学习体会1.我的感受：在学习本章之前，我在很多地⽅都见到过涉及到插值法的问题，⽐如中学时见到的类似于“给定两组数据，求⽬标函数”，⽣活中的“由坐⽕车的某两站到站时间估计⽕车到其他站的时间”。

⽽经过了《数值分析》第⼆章“插值法”的学习，我知道了简单估计与科学插值之间的关系以及拉格朗⽇插值、⽜顿插值、分段线性插值、三次样条插值、埃尔⽶特插值这些经典的插值⽅法，我知道了插值法是⾮常系统、科学的数学估计⽅法与⼯科领域的优化⽅法。

2.我的困惑：经过了这⼀章插值法的学习，我知道了拉格朗⽇插值、⽜顿插值等等优秀的插值⽅法，但是针对不同的问题，我们应该如何选择最适合的插值⽅法呢？或者说在不同类型的题⽬中各种插值法的优势是什么？（困惑解答在⼩结思考题处）⼆、本章知识梳理b x a x xc x a x s n j j i i ≤≤-+=∑∑-+,)(1)(313三、本章思考题思考题：在不同类型的题⽬中各种插值法的优势劣势分别是什么？思考：1.拉格朗⽇插值：优点：公式结构整齐紧凑，理论分析⽅便简单；缺点：随着插值点的变化计算量成倍增加，计算变得⼗分繁琐，插值点较多时误差⼤数值不稳定。

插值多项式不能全⾯反映被插值函数的性质，不能满⾜插值多项式与被插值函数在部分或全部插值节点上的导数值与⾼阶导数值相等。

2.⽜顿插值：优点：公式结构整齐紧凑，理论分析⽅便简单并且随着插值点的变化计算仍相对⽐较简单；缺点：插值多项式不能全⾯反映被插值函数的性质，不能满⾜插值多项式与被插值函数在部分或全部插值节点上的导数值与⾼阶导数值相等。

3.埃尔⽶特插值优点：插值函数与被插值函数贴合程度⾼，在插值节点上其⼆者导数值相同；缺点：被插值函数在插值节点的导数值在实例中不易知。

4.分段线性插值优点：计算简洁⽅便，舍⼊误差较⼩，数据稳定性好，易编程缺点：在插值节点处不光滑，不满⾜插值节点处插值函数导数连续。

姓名班级学号第六章数值积分一、学习体会这一章主要解决的问题是定积分的数值方法——数值积分法，对于解决一些很难求解原函数或者根本就没有解析表达式的定积分，非常有用。

它直接利用求积公式来求出所给定积分的近似值，使其达到一定的求解精度。

本章第一节首先定义了数值求积公式及其代数精度，之后介绍插值型的求积公式进而引出按照节点等距求解的Newton-Cotes求积公式。

对于该公式对应不同的N那么就产生了不同的求积公式，求积公式的数值稳定性无法得到保证，而且仅适用于少节点的情形，这样就产生了另一类求积公式，即复化求积法，它将区间划分为若干子区间，在每个子区间上运用Newton-Cotes求积公式，进而使得这种方法达到了很高的精确度。

但是计算节点过多又会产生计算量大，所以为了适用最少的节点达到预先的精度，这样就产生了区间主次划分的方法，这种方法的基本思想是让步长可变。

在N个节点的求积公式中，Gauss型求积公式具有最高的求积精度，由于正交多项式随区间和权函数的不同而不同，因而就可以构造出不同类型的求积公式。

我们在进行定积分求解时，要根据求解的条件和结果不同，选择不同的求积方法，进行以得出比较准确的求解结果，这对以后工程上的求解问题有很大帮助。

二、知识梳理)]三、思考题1、推导中点求积公式3''()()()()()()224baa b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰证明：构造一次函数P （x ），使'''',()(),()02222a b a b a b a b P f P f P x ++++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，易求得'()()()()222a b a b a b P x f x f +++=-+ 且'()()()()222bb aa ab a b a b P x dx f x f dx +++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰0()()()22ba ab a bf dx b a f ++=+=-⎰，令()()b a P x dx I f =⎰现分析截断误差：令'()()()()()()()222a b a b a b r x f x P x f x f x f +++=-=--+ 数值积分由'''()()()2a b r x f x f +=-易知2a bx +=为()r x 的二重零点， 所以可令2()()()2a b r x x x ϕ+=-， 构造辅助函数()()()()()2a bK t f t P t x t ϕ+=---，则易知： ()02a b K x K +⎛⎫== ⎪⎝⎭其中2a b t +=为二重根()K t ∴有三个零点 由罗尔定理，存在''''''()(,)()0()2()0()2f a b K f K x K x ηηηη∈=-=∴=使即从而可知''2()()()()()22f a b r x f x P x x η+=-=- 所以截断误差：[]''2()()()()()()()()22b bb baaa af a b R f f x dx I f f x P x dx r x dx x dx η+=-=-==-⎰⎰⎰⎰2()2a b x +-在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理 ''''322''()()()()()()()(,)222224b b aa f ab f a b b a R f x dx x dx f a b ηξξξ++-=-=-=∈⎰⎰综上所述3''()()()()()()()224baa b b a f x dx I f R f b a f f ξ+-=+=-+⎰证毕2、构造Gauss 型求积公式的解法有哪些？ 第一种：定义法（1）利用 5.5.1小节的知识求出在区间上的带权函数()x ρ的正交多项式()()()()012,,,...,n g x g x g x g x ；（2）令方程()0n g x =，解出求积节点12,,...,n x x x ； （3）利用定义求解求积系数12,,...,n A A A ； （4）得出求积公式第二种：利用求积公式的性质()1nbi ai A x dx ρ==∑⎰和其代数精度有2N-1次（1）令()()()()221012211,,,...,n n f x f x x f x x f x x --====，（2)利用求积公式的性质()1nbi ai A x dx ρ==∑⎰和其代数精度有2N-1次，构造2n个方程；(3)求解方程中的未知数i i A 和x ； (4)得出求积公式 四、测试题对积分dx x x f ⎰-12)1)((，求构造两点Gauss 求积公式，要求：（1）在[0,1]上构造带权21)(x x -=ρ的二次正交多项式； （2）用所构造的正交多项式导出求积公式。

第六章学习小结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******一、本章学习体会1、在工程实际中经常会遇到一些原函数难于表出，或者原函数的表达式过于复杂，或者被积函数以离散的数值给出，这时本科时学的牛顿——莱布尼茨公式就无法计算了，本章是基于上述情况给出一个近似求解定积分的计算方法。

P x近似代替被积2、数值积分的基本思想是：用简单函数()函数，然后建立多项式的积分公式，这样就将积分求值问题转换为了被积函数数值的计算，避开了牛顿——莱布尼茨公式需要寻求原函数的困难。

3、数值积分是数值逼近的一个重要内容，也是插值函数的一个直接应用。

4、本章重点是牛顿—科特斯求积公式和高斯型求积公式。

二、知识构图：n x b <<≤为任何次数不高于m 的多项式时都成为等式(6.1)具有m 次代数精度,,m x 时都成为等式f(x)为1m x +利用前面的拉格朗日插值公式知识，出。

两个定理: 1、n+1节点的求积公式如果至少具有1,2,,n ，高斯点为切比雪夫多项式零点。

三、 思考题1、牛顿—科特斯求积和高斯求积节点分布有何不同？对同样数目的节点，两种求法哪种更精确？为什么？答：牛顿—科特斯求积时，将积分区间n 等分，求积节点是1n +个等距节点，高斯求积公式的节点称为高斯点，一般是不等距点。

对于同样数目的节点，高斯型求积公式是代数精度最高的求积公式，更精确些。

2、什么是高斯型求积公式？它的求积节点是如何确定的？它的代数精度是多少？为何称它是具有最高代数精度的求积公式？答：对于n 个求积节点，若求积公式具有21n -次代数精度，则称其节点为高斯点，相应的求积公式为高斯型求积公式。

插值型求积公式的节点011n a x x x b -≤≤≤⋅⋅⋅<≤是高斯点的充分必要条件是这些节点为零点的多项式I T <与任何次数不超过n 的多项式()p x 带权()x ρ正交，即()()()0b n ap x x x dx ωρ=⎰高斯型求积公式的代数精度是21n -，n 个求积节点的求积公式的代数精度最高为21n -次。

数值分析第1章绪论--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。

数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。

在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。

误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。

而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。

无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。

而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。

如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。

对于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。

因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。

故对这部分内容的困惑也相对较多。

本章的困惑主要有两方面。

一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。

虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。

另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。

希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。

二、本章知识梳理2.1 数值分析的研究对象数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。

2.2误差知识与算法知识2.2.1误差来源误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。

其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。

2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字1.（1）绝对误差e 指的是精确值与近似值的差值。

绝对误差：绝对误差限：（2）相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。

相对误差：相对误差限：研究对象方法的构造求解过程的理论分析结论：凡是经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差不超过该近似值末位的半个单位。

第6章 数值积分--------学习小结一、 本章学习体会本章主要介绍了五种计算定积分的数值积分法，分别为：插值型求积公式、Newton-Cotes 求积公式、复化梯形公式与复化Simpson 公式、Gauss 型求积公式等。

本章的重点在于掌握求积公式及其运用，并要学会求代数精度。

而通过对求积公式进行比较，会发现其方法与以前所学习的解析方法有一定的不同，它并不需要求出定积分的原函数，而是去直接利用求积公式来求出所给定积分的近似值，使其达到一定的求解精度要求，从而根据不同的题型做出不同的解答，这对于我们今后的专业研究过程也有一定的作用。

例如：高阶Newton-Cotes 公式会出现数值不稳定，而低阶Newton-Cotes 公式有时又不能满足精度要求，可将积分区间[a ，b]分成若干小区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和，即运用复化求积法。

通过运用matlab 软件，可以加深自己对各种求积公式的理解。

根据求解要求，充分考虑已知条件，选择简便快捷的求积方法进行定积分求解，从而得出比较准确的结果。

通过查阅相关书籍，加深对课本知识的理解，从而提高自己的自学能力。

二、本章知识梳理1 求积公式及其代数精度：求积公式的一般形式：()0()()nbn k k ak f x dx f x λ=≈∑⎰截断误差或余项：)()(0k b ank k n x f dx x f R ⎰∑=-=λ 代数精度：对于上面所列的求积公式，当()f x 为任何次数不高于m 的多项式时都成为等式，而当()f x 为某个m+1次多项式时不能成为等式，则称它具有m 次代数精度。

2 插值型求积公式：()()()nbn kk ak f x dx f x λ=≈∑⎰其中()()(0,1,...,)bn kk al x dx k n λ==⎰截断误差：(1)0()[()](1)!n nbn j aj f R x x dx n ξ+==-+∏⎰定理：n+1个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度。

第三章矩阵特征值与特征向量的计算--------学习小结一、本章学习体会本章我们学习了矩阵特征值与特征向量的计算方法即幂法、反幂法、Jacobi方法和QR方法。

下边介绍一下四种方法各自的特点和适用范围。

幂法：主要用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量；反幂法：主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量；Jacobi法：用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；QR法：则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。

归结起来，这四种方法有一个共同的特点，即都是用了迭代的方法来求矩阵的特征值和特征向量。

还有利用用MATLAB自带的解法求解特征值和特征向量，其自带函数Eig即得到结果是虚数也可以算出，并且结果自动正交化。

二、本章知识梳理在工程技术中，计算矩阵的特征值和特征向量主要使用数值解法。

本章将阐述幂法、反幂法、Jacobi 方法、和QR 方法，并且只限于讨论实矩阵的情况。

3.1 幂法和反幂法（1）幂法幂法主要用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量，其思想是迭代。

设n ⨯n 实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,,...,,321n x x x x 其相应的特征值n λλλ...21，，满足如下不等式 n λλλλ≥≥≥> (321)其中i i i x Ax λ= ）。

（n i ,...2,1=现在要求出1λ和相应的特征向量。

任取一n 维非零向量0u ，从0u 出发，按照如下的递推公式 1-=k k Au u ），，（...21=k 因n 维向量组n x x x ,...,21线性无关，故对于向量0u ，必存在唯一的不全为零的数组n ααα,...,21，使得n n x x x u ααα...22110++=n k n k k k k k k x A x A x A u A u A Au u ααα+++=====--......22110221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n kn n k kn k n n k k x x x x x x 12122111222111......λλαλλααλλαλαλα 设01≠α。

第1章绪论--------学习小结姓名班级学号一、本章学习体会通过对本章的学习，我发现原来好多科学技术都离不开数学。

首先，对于我们工科专业软件的计算过程中，我了解到数值分析已经被公认为与理论分析，实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。

它有一个逻辑性很强的求解过程：提出实际问题，建立数学模型，提出数值问题，设计可靠、高效的算法，程序设计、上级实践计算结果，计算结果可视化。

这种严密的逻辑完全可以应用在我们的生活中，正如我们去解决好多问题都可以通过提出问题，假设方法，验证正确性，解决问题。

当然对于本章的一些相关概念还理解的不是十分明白，希望在今后的学习中真正能从学过了变成会学了。

二、本章知识梳理1.1数值分析的研究对象研究对象：利用计算机求解各种数学问题的数值方法及有关理论. 数值问题:输入与输出均为数据的问题.数值方法: 求解数值问题时，在计算机上可执行的系列计算公式. 数值算法: 有步骤地完成求解数值问题的过程。

规定了怎样从输入数据计算出数值问题解的一个有限的基本运算序列。

1.2误差知识与算法知识1.2.1误差的来源与分类1.2.2绝对误差，相对误差与有效数字(1)绝对误差：精确值与近似值的差.(2)相对误差:绝对误差在原数中所占比例.(3)有效数字：有效数字=可靠数字+存疑数字.1.2.3函数求值的误差估计误差估计的一般运算一元函数:x ≈a,f(x)≈f(a)e(a)=x-ae(f(a))=f(x)-f(a)≈f ’(a)(x-a)二元函数：(,)(,)((,))()()f a b f a b e f a b e a e b x y∂∂≈⋅+⋅∂∂ (,)(,)((,))||()||()f a b f a b f a b a b x y ∂∂ε≈⋅ε+⋅ε∂∂ 1.2.4算法及其计算复杂性1.算法：有步骤地完成解数值问题的过程。

规定了怎样从输入数据计算出数值问题解的一个有限的基本运算序列。

2.好算法的标准：（1）有可靠的理论基础，包括正确性、收敛性、数值稳定性以及可作误差分析。

1．绝对（相对）误差（限）的计算 (2)2.4 范数谱半径 (2)2.5条件数 (2)2.2 LU分解《数值分析导论第3版book234》 (3)3章解线性方程组 (4)3章解线性方程组，迭代法收敛 (5)4章简单迭代法求方程的根 (6)4.3Newton迭代法《数值分析(李庆扬、王能超、易大义)(超清晰版）.pdf4版276》 (7)6.2 Lagrange 插值《数值分析.Timothy Sauer.图灵中文扫描版129》 (8)6.3 Newton 插值 (9)7.1数值积分梯形法则《数值分析.Timothy Sauer. pdf250,book236》 (10)7.1数值积分simpson法则《数值分析.Timothy Sauer. pdf250,book236》 (11)7.1.1数值积分代数精度计算 (12)8数值微分 Euler《数值分析.Timothy Sauer. Pdf277,book263》 (13)微分方程方向场与积分曲线 (14)线性代数基础知识 (15)线性代数基础知识 (16)说明：目录顺序根据教材《数值分析张铁》每个部分内容主要包括：基本原理的理解，及相应的例题。

由于认识能力有限，原理讲的还是不很透彻，希望感兴趣的同学多多交流。

微分方程非考试内容。

内容多为相关书籍的摘录，整理匆忙，若有错误，敬请谅解。

One of the most beautiful things in the world, in my opinion, is partial differential equation (PDE). It is beyond that a PDE is able to dexcribe so many things which are so apparently irrelevant. And our in-depth understanding of the world were basically obtained from our insights into equations. I strongly belive that equations open up the road to the unknowns. Thus so many of us devoted our whole life to finding the solutions to PDE.1．绝对（相对）误差（限）的计算一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。

第2章线性方程组的解法--------学习小结一、本章学习体会本章主要学习的是线性方程组的解法。

而我们则主要学习了高斯消去法、直接三角分解法以及迭代法三种方法。

这三种方法的优缺点以及适用范围各有不同。

高斯消去法中，我们又学习了顺序高斯消去法以及列主元素高斯消去法。

顺序高斯消去法可以得到方程组的精确解，但要求系数矩阵的主对角线元素不为零，而且该方法的数值稳定性没有保证。

但列主元素高斯消去法因为方程顺序的调整，其有较好的数值稳定性。

直接三角分解法中，我们主要学习了Doolitte分解法与Crout分解法。

其思想主要是：令系数矩阵A=UL，其中L为下三角矩阵，U是上三角矩阵，为求AX=b 的解，则引进Ly=b,Ux=y两个方程，以求X得解向量。

这种方法计算量较小，但是条件苛刻，且不具有数值稳定性。

迭代法（逐次逼近法）是从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。

该方法要求迭代收敛，而且只经过有限次迭代，减少了运算次数，但是该方法无法得到方程组的精确解。

二、本章知识梳理针对解线性方程组，求解线性方程组的方法可分为两大类：直接法和迭代法，直接法（精确法）：指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算就能得到精确解。

迭代法（逐次逼近法）：从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是所求问题的精确解，只经过有限次运算得不到精确解。

我们以前用的是克莱姆法则，对于计算机来说，这种方法运算量比较大，因此我们学习了几种减少运算次数的方法，有高斯消去法、直接三角分解法，同时针对病态方程组，也提出了几种不同的解法。

2.1 Gauss消去法Gauss消去法由消元和回代两个过程组成，消元过程是指针对方程组的增广矩阵，做有限次初等行变化，使它系数矩阵变为上三角矩阵。

2.1.1顺序Gauss消去法消元过程：对于K=1,2,3…,n-1执行(1)如果,则算法失效，停止计算；否则转（2）(2)对于计算回代过程：综上：顺序Gauss消去法的数值稳定性是没有保证的。

第2章线性方程组的解法--------学习小结一、本章学习体会这章讲了线性方程组的解法，需要熟练掌握，其中有高斯消去法，直接三角分解法，判断方程组性态的良性或者病态，迭代法。

而这一章中程序的求解问题也比较多，应参考下任玉洁的那本书对程序的应用求解问题，多多练习，花费一定的时间去练习编写程序，熟练掌握MATLAB的操作。

我还了解到，不同的系数矩阵具有不同的性态，所以大多数迭代方法都具有一定的适用范围，有时某种方法对于一类方程组迭代收敛，而对另一类方程组迭代时就发散，因此，我们应该学会针对具有不同性质的线性方程组构造不同的迭代，对症下药。

在这章中我们学习到的线性方程组的直接法，特别是适合用数学软件在计算机上求解的方法。

高斯消去法是解线性方程组直接方法的基础。

将线性方程组约化为等价的三角形方程组再求解是直接法的基本解法。

在约化过程中，引进选主元素的技巧是为了保证方法的数值稳定性所采取的必要措施。

直接三角分解法是高斯消去法的变形。

从代数上看，直接三角分解法和高斯消去法本质上是一致的。

但从实际应用效果来看是有差异的。

迭代法是一种逐次逼近方法。

迭代法具有循环的计算公式、方法简单。

此外，应注意收敛性与收敛速度问题。

收敛性是迭代法的前提，针对不同的问题，分析并采用适当的数值算法，如Guass-Seidel 方法、SOR 方法等。

对以上算法的分析，立足点是在计算机上实现。

因此，我们对于方法的掌握不仅在数学推导和数学公式上，而且应当深入思考方法的计算机实现过程，以加深对数值计算的认识和理解。

二、 本章知识梳理Gauss 消去法1、顺序Gauss 消去法基本思想：消元与回代顺序Gauss 消去法能进行到底的条件 ：(1)主元1,,2,1,0)(-=≠n k a k kk（2）矩阵A 的前n-1个顺序主子式非零。

顺序Gauss 消去法的缺点：（1）没有很好的数值稳定性。

（2）当A 可逆时，AX=b 有唯一解，但顺序Gauss 消去法不一定能进行到底。

第1章绪论--------学习小结一、本章学习体会本章是对《数值分析》这本书的简单阐述和对入门基础的介绍，其中最大的收获就要是范数和算法了。

1.范数是进入研究生以来，学的一个新的数学概念，用于定义向量或者矩阵的大小即向量或者矩阵的模，又由于其正定性，可让我们联想到计算方阵大小的行列式的绝对值即）（A。

范数的其难点：①范数是一个比较抽象的概念，我们无法通过想象确定它是某一个确定的范畴；②范数存在的现实意义，由于我们所学所指的有限，我们无从知道范数的现实意义，无法加深对其的理解；③范数用于定义向量、矩阵的大小，有时是不固定的。

在解决问题时，如何找到恰当的范数是至关重要的。

2.数值计算的算法问题用数值计算方法求解数值问题是通过具体的算法实现的。

所谓算法就是规定了怎样从输入数据计算出数值问题的解得一个有限的基本运算序列。

①“良态”问题和“病态”问题：在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化δX，对应的参数误差δy也很小，则称该数学问题是良态问题；若δy很大，则称为病态问题。

病态问题中解对于数据的变化率都很大，因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化。

数学问题的性态完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方法无关。

②稳定算法和不稳定算法：如果用数值方法计算时,误差在计算过程中不扩散的算法称为稳定算法。

否则称为不稳定算法。

在遇到问题是，要尽量选择稳定算法进行计算。

③数值计算应注意的问题：避免相近二数相减；避免小分母；避免大数吃小数；选用稳定的算法。

二、 本章知识梳理三、 本章思考题1.对于范数的引入：方阵行列式的绝对值是一个范数。

范数 有绪论研究对象误差算法范数研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现误差算法 来源分类模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 绝对误差相对误差设计算法五原则1.避免相近两数相减2.防止大数吃小数3.减少计算次数，差积累4.避免绝对值小的数做除数5.设法控制误差的传播向量范数矩阵范数点儿类似于方阵行列式的绝对值，是否范数的引入来源于此，如果不是，它是如何引入的呢？2.矩阵的奇异与否与其范数有何关系？3.遇到数值问题时，具体的算法该如何选择？在没有精确值的情况、两个算法都得到收敛的、稳定的结果时，该如何判断哪一个值更准确、更接近于精确值？ 四、 本章测验题已知：A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123654321,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=456x 试求：),2,1(x p ∞=p 以及F A A A ∞，1。

第五章 插值与逼近--------学习小节一． 本章学习体会本章学习了插值与逼近，经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。

插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。

可以说我们现在学习推导出来的方法公式等都是前人的辛苦钻研的结果，本章除了学到了许多的插值与逼近方法，更重要的是了解了许多科学前辈的故事以及他们许多做研究的态度与方法。

我感觉了解一下数学家的人生故事对我们学习数值分析或别的数学知识有很大的帮助。

上课时王老师给我们讲了数学奇才Hermite 的传奇故事，一个不会考试，基本上每次考数学都不及格的‘笨学生’，后来成为了伟大的数学家。

不是每个数学家都特别聪明，他们所具有的是作为一名科学家的品质，想别人没有想过的问题，在研究中创新，我们应该学习他们那种做研究的态度与精神。

学习这章时有一个小小的困惑，在曲线拟合的求法时，求多元函数的极小值*2200[()()]min [()()]im nm njj i i j j i i c i j i j cx f x c x f x φφ====-=-∑∑∑∑2010(,,,)[()()]mnn j j i i i j F c c c c x f x φ===-∑∑ 老师讲时说用0kFc ∂=∂求得，那万一求出的是极大值呢？ 二．本章知识梳理数值分析中的插值是一种有力的工具，它最终得出的曲线图像都是过节点的，我们的目的使用它得出的图像来近似估计插值点的函数值。

我们首先学了代数插值中的一元函数插值，一元函数插值中学了拉格朗日插值但其插值公式没有延续性，后来学了牛顿插值，其优点是插值公式具有延续性，但前两者都有缺点，就是插值节点一般不超过三个，否则会有很大误差。

但实际工程中我们会测的许多的数据，也就有许多的节点，这样前两种差值方法就不能用了，后来我们又引进了分段线性插值，就是将这许多的节点进行分段，在每段中应用拉格朗日插值或牛顿差值。

数值分析第四章小结第四章非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结姓名马赫班级环境科学与工程学号 S2*******一、本章学习体会通过本章知识的学习，了解了怎么样求出非线性方程和非线性方程组的根，但是只有很少类型的非线性方程能解出根的解析表达式，而对于绝大数的非线性方程，我们只能用数值方法求出其根的近似值。

在本章的学习中，学会了一些常用的有效数值迭代方法去求方程的根。

同时在本章中主要是掌握了求解非线性方程的各种迭代方法，而对于求解非线性方程组的迭代方法只需要了解即可。

求解非线性方程解的迭代法有如下几种方法：对分法；简单迭代法；Steffensen 迭代法；Newton 法；求m 重根的Newton 法；割线法以及单点割线法等。

我们在运用这些方法求根是应到注意到其迭代公式必须收敛才有可能解出根，同时针对不同类型的非线性方程求解，还须注意用哪种迭代方法更适合求解，不能盲目地随意使用其中一种迭代方法，而是要通过比较选出恰当的方法求解。

比如求方程m 重根的Newton 法不知道重根数会导致计算量较大，但是其收敛速度较快。

此外，本章知识应当以掌握求解非线性方程的迭代方法为主，并配合适当的实验以及习题加深对知识的理解。

二、本章知识梳理第四章非线性方程与非线性方程组的迭代解法……理解并掌握4.1非线性方程的迭代解法……重点掌握4.1.1对分法……定义：将含根区间逐次分半缩小，得到一个区间长度以1/2的比例减小的含根区间序列，在给定根的误差界时，利用长度趋于零的特点，可得到在某个区间中满足要求的近似根。

优点：程序简单，总能求得近似根，对f(x)的要求不高；缺点：收敛速度慢，不能求偶重根，复根。

对分法一般用于求根的近似值。

4.1.2简单迭代法及其收敛性……定义：是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。

一般形式：其中为迭代函数。

收敛性：若由迭代公式产生的序列{x k }收敛于 x *，则x *为原方程的根。

第1章绪论--------学习小结一、本章学习体会数学是从实际生活当中抽象出来的理论，人们之所以要将实际抽象成理论，目的就在于想用抽象出来的理论去更好的指导实践，通过本章的学习，我了解到数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，计算数学的主体部分。

我最大的收获是学习到了1、绝对误差与有效数字的关系2、矩阵的1范数，∞范数，F范数的计算。

数值分析是一门重视算法和原理的学科，数值分析学习要有很好的思维习惯，重要的是数学思想的建立，让你体会科学的方法与对事物的认识方法。

我还学到了要运用数值分析解决问题的过程：实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。

数值分析这门学科有如下特点：1．面向计算机2．有可靠的理论分析3．要有好的计算复杂性4．要有数值实验5．要对算法进行误差分析我认为，要想学好这门课，要做到以下几点：1.上课认真听讲2.课后要认真完成作业3.注重matlab上机实验4.要多动手编写一些自己的程序二、本章知识梳理1.1数值分析研究的对象数值分析：即计算数学，是数学的一个分支。

数值分析的研究对象：利用计算机求解各种数学问题的数值方法及有关理论。

数值分析的内容：函数的数值逼近（代数插值与最佳逼近）、数值积分与数值微分、非线性方程组的解法、数值线性代数（线性方程组解法与矩阵特征值计算）、常微分方程及偏微分方程的数值解法。

1.2误差知识与算法知识1、误差的来源与分类模型误差观测误差截断误差舍入误差2、绝对误差、相对误差与有效数字有效数字位数越多,绝对误差越小.3、初始值运算的传播误差4、算法的计算复杂性好算法的标准：（1）有可靠的理论基础，包括正确性、收敛性、数值稳定性以及可作误差分析。

（2）有良好的计算复杂性。

时间复杂性：达到给定精度所需计算量。

空间复杂性：所占的内存空间。

5、数值运算中的一些原则1、要有数值稳定性（即能控制舍入误差的传播）2、合理安排量级相差悬殊数间的运算次序，防止“大数”吃掉“小数”3、避免两个相近的数相减4、避免接近于0的数作除数，防止溢出。

第5章 插值与逼近--------学习小结姓名 王富民 班级 研1302 学号 s2******* 一、 本章学习体会本章为插值与逼近，是非常重要的一章。

插值与逼近都是指用某个简单的函数在满足一定的条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者解析表达式未给出的函数，以便于简化对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。

一元函数插值中，差商表的应用，通过把,()x f x ，一阶差商，二阶差商，三阶差商等列入一个表格中，依次计算出各值，就可得出Netwon 插值多项式的系数，过程清晰明了。

最大的收获是几种常用的正交多项式的应用问题，每个多项式都有表达式，递推关系式和一些性质，可以很简单的写出最佳平方逼近多项式，还有就是曲线拟合，通过散点图，找出最佳多项式，使误差最小，并可以做出拟合曲线图，这个只是点可以应用到专业方面上的分析求解问题。

二、 本章知识梳理1.重点是Lagrange 插值、Newton 插值。

①Lagrange 插值基函数0(),0,1,2,,nj k j jk j kx x l x k n x x =≠-==-∏②Lagrange 插值多项式000()()[]n nnjn k k k k k j jk j kx x p x y l x y x x ===≠-==-∑∑∏③节点选取原则：居中原则④Lagrange 插值多项式的特点：直观对称，易建立插值多项式； 但无继承性。

Newton 插值主要是差商的理解与应用。

差商(divided difference)也称为均差，是导数的离散形式。

2.正交多项式的概念与性质 ①权函数②内积③正交④正交函数系 克莱姆-施密特正交化方法：01101()1()()(0,1,)(,)(0,1,,)(,)k k j k kj j k j kjj j x x x a x k x a j k φφφφφφ++=+⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩≡=-===∑ 其中3.几种常用的正交多项式 ①Legendre 多项式02()11()[(1)],1,2,2!n nn n n L x d L x x n n dx ⎧⎪⎨⎪⎩≡=⋅-=②Chebyshev 多项式()cos(arccos ),11n T x n x x =-≤≤③Laguerre 多项式()(),0,1,n n x xn nd xe U x e n dx -==④Hermite 多项式22()()(1),0,1,n x nx n nd e H x e n dx-=-=4.函数的最佳平方逼近1. 最佳平方逼近概念(,)min(,)nHf f f f φφφφφ**∈--=-- 2. 最佳平方逼近的条件*(,)0j f p φ-= 3. 最佳平方逼近元素是唯一的4. 最佳平方逼近元素的求法**()()nk k k p x c x φ==∑，求系数*kc 5. 最佳平方逼近误差(,)f p f p δ**=-- 5.曲线拟合1.曲线拟合的最小二乘法*2200[()][()]min mmi i i i D i i x y x y φφφ∈==-=-∑∑2.拟合曲线的求法01{(),(),,()},n D span x x x n m φφφ=<**0()()nj j j x c x D φφ==∈∑01[,,,]n A =ΦΦΦ ，01[,,,]T n c c c c =法方程为T T A Ac A y = 三、 本章思考题计算方法中插值与拟合的区别与联系是什么？插值和拟合都是函数逼近重要组成部分 他们的共同点都是通过已知一些离散点集M 上的约束，求一个定义在连续集合S(M 包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的目的。