江苏省泰州中学等2020届高三数学下学期联合调研测试试题(含解析)

江苏泰州2020年高三第二学期调研测试数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，则A U B ＝ ．2．若实数x ，y 满足x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i （i 是虚数单位），则xy ＝ ．3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ．4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为 ．5．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为 ．6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x ，y ，则1x y -=的概率是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为 ．8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里． 9．若定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，(1)1f =，则(6)f ＋(7)f ＋(8)f 的值为 ．10．将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R ＝ ．11．若函数2()1x a x af x x x a+≥⎧=⎨-<⎩，，只有一个零点，则实数a 的取值范围为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )在圆O ：224x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是 ．13．在锐角△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，若AB 3AD =u u u r u u u r ，AC AF λ=u u u r u u u r，且BC ED 2EF ED 6⋅=⋅=u u u r u u u r u u r u u u r，ED 1=u u u r ，则实数λ的值为 ．14．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，则BDCD的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P— ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分別是AB ，AC ，BC 的中点．（1）求证：BC ∥平面PDE ；（2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ．16．（本小题满分14分）已知函数21()sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()f α=，α∈(8π-，38π)，求sin2α的值．17．（本小题满分14分）某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M ，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为四心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM ，AN 分别交于点D ，E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池内休息区，设∠MAB ＝θ．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）； （2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值；（3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19．（本小题满分16分）定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”．（1）判断函数()1xxf x e =-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()ln g x x mx =-(m ∈R)是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围；（3）已知32111()323h x x ax bx b =++-，x ∈(0，+∞)，a ，b ∈R ，求证：当a ≤﹣2，且0＜b ＜1时，函数()h x 是“YZ 函数”．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+．（1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵M ＝ 3 41 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1M b a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=，点P 为曲线C上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，2223a b c b c a++=，求证：3a b c ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE ＝2π，EF ⊥平面ADE ，EF ＝1． （1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； （2）求二面角B —DF —C 的余弦值．23．（本小题满分10分）给定n (n ≥3，n N *∈)个不同的数1，2，3，…，n ，它的某一个排列P 的前k (k N *∈，1≤k ≤n )项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ．（1）若n ＝3，求3T ；（2）若n ＝4l ＋1，l N *∈，①证明：对任意的排列P ，都不存在k (k N *∈，1≤k ≤n )使得2k n S S =；②求n T (用n 表示)．2019～2020学年度第二学期调研测试高三数学答案一、填空题1. {}1,2,4,82.123. 804. 85.6.518 7. 128. 192 9. 1- 10. 611. (1](0,1]-∞-U 12. - 13. 3 14. (1,2] 二、解答题15.（本题满分14分）证明：（1）在ABC ∆中，因为,D E 分别是,AB AC 的中点，所以//DE BC ， ……………2分 因为BC PDE ⊄平面，DE PDE ⊂平面，所以//BC PDE 平面． ……………6分 （2）因为PA ABC ⊥平面，DE PDE ⊂平面，所以PA DE ⊥，在ABC ∆中，因为AB AC =，F 分别是BC 的中点，所以AF BC ⊥， ……………8分 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥，又因为AF PA A =I ，,AF PAF PA PAF ⊂⊂平面平面， 所以DE PAF ⊥平面，……………12分因为DE PDE ⊂平面，所以PAF PDE ⊥平面平面． ……………14分16.（本题满分14分）解：（1）因为21()sin sin cos 2f x x x x =+-，所以1cos 211()sin 2222x f x x -=+-1(sin 2cos 2)2x x =- ……………2分(sin 2cos cos 2sin )244x x ππ=-sin(2)24x π=- ……………4分当2242x k πππ-=+(Z)k ∈，即3(8Z)x k k ππ=+∈时，()f x ，所以()f x 的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．………7分（2）因为()f α=)4πα-=，即1sin(2)43πα-=， 因为3(,)88ππα∈-，所以2(,)422πππα-∈-，则cos(2)4πα-===，……………10分所以sin 2sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 444444ππππππαααα=-+=-+-13== ……………14分17.（本题满分14分）解：（1）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，4πθ=，所以MB AM ==24cos12124MD π=-=，所以池内休息区总面积1212)144(22S MB DM =⋅⋅==． ……………4分 （2）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin ,24cos MB AM θθ==， 24cos 12MD θ=-， 由24sin 0,24cos 120MB MD θθ=>=->得0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ……………6分则池内休息区总面积1224sin (24cos 12)2S MB DM θθ=⋅⋅=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ……………9分 设()()sin 2cos 1f θθθ=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为 ()()22cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos f θθθθθθθ'=--=--=⇒=又11cos 82θ+=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得01cos 8θ+=， 则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增， 当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调减， 即()0θf 是极大值，也是最大值，所以()()max 0f f θθ=，此时024cos 3AM θ==+ ……………13分 答：（1）池内休息区总面积为2144(2-m ；（2）池内休息区总面积最大时AM的长为(3AM =+m ．………14分18.（本题满分16分）解：（1）由题意：22212ab b a b c =⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,a b c ===所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=． ……………4分 （2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >， 则直线AB 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，联立22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412B k y k =+，所以AB ==， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2288112122k S k k k k====+++≤所以当且仅当2k =时，矩形ABCD 面积S的最大值为11分 （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，=，则322220k k k -+-= (0)k >， 令32()222(0)f k k k k k =-+->，因为(1)10,(2)80f f =-<=>，又32()222(0)f k k k k k =-+->的图象不间断， 所以32()222(0)f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形．……………16分19.（本题满分16分）解：（1）函数()1xxf x =-e 是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x =-e ，则1()x xf x -'=e，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以()1x x f x =-e 的极大值1(1)10f =-<e ， 故函数()1x xf x =-e是“YZ 函数”． ……………4分（2）定义域为(0,)+∞， 1()g x m x'=-，当0m ≤时，1()0g x m x'=->，函数单调递增，无极大值，不满足题意； 当0m >时，当10x m <<时，1()0g x m x'=->，函数单调递增， 当1x m >时，1()0g x m x'=-<，函数单调递减， 所以()g x 的极大值为111()ln ln 1g m m m m m=-⋅=--， 由题意知1()ln 10g m m =--<，解得1m >e ． ……………10分 （3）证明： 2()h x x ax b '=++，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以2()0h x x ax b '=++=有两个不等实根，设为12,x x ， 因为121200x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以120,0x x >>，不妨设120x x <<， 当10x x <<时，()0h x '>，则()h x 单调递增；当12x x x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()h x 的极大值为321111111()323h x x ax bx b =++-， ……………13分 由2111()0h x x ax b '=++=得3211111()x x ax b ax bx =--=--，因为2a -≤，01b <<， 所以322211111111111111()()323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- 221111121121633333ax bx b x bx b =+-≤-+- 2111()(1)033x b b b =--+-<． 所以函数()h x 是“YZ 函数”． ……………16分 （其他证法相应给分）20.（本题满分16分）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则122(21)n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+，当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列， ……………2分 当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以11(21)(21)n n n n c q a q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数 列． ……………5分（2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因为12n n a d d d =+++L ，所以1121n n n a d d d d ++=++++L ，两式相减得11n n n a a d ++-=，因为2n n n a a b +=+，所以1312321()()()()n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a +++++++-=---=---312n n d d d ++=-=， 所以数列{}n b 是等差数列． ……………10分（3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-，又因为12n n n c a a +=+，所以43322112(2)2(2)n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+， 即 423122()()()n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+，又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n n n n b b b b +++=⋅， 即11()(2)0n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， ……………13分 则312n n n n a a a a +++-=-，即321n n n n a a a a +++=+-，又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=，即32121(2)(2)2(2)n n n n n n a a a a a a ++++++++=+，化简得3223n n n a a a +++=，将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列． ……………16分 （其他证法相应给分）数学Ⅱ（附加题）21. A ． [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡b b a 252143，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩，……………4分 设1m p M n q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩， 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-2321211M ， ……………8分 所以11-2416=13-61122b M a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ……………10分B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：由题：直线方程即为(sin cos cos sin )44ππρθθ+=， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线的直角坐标方程为80x y +-=，……………4分 设P点的坐标为()cos αα， ∴点P到直线的距离d ==8分 当2()62Z k k ππαπ+=-∈，即22(3Z)k k αππ=-∈时，d取得最大值此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………10分C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：由柯西不等式，得2223()()()a b c a b c b c a b c a++=++++222222]=++++ ………………5分22()a b c =++≥ 所以3a b c ++≤． ………………10分22.（本小题满分10分）解：因为平面ADE ⊥平面ABCD ,又2ADE π∠=， 即DE AD ⊥，因为DE ADE ⊂平面，ADE ABCD AD =I 平面平面， DE ∴⊥平面ABCD ,由四边形ABCD 为边长为2的正方形,所以,,DA DC DE 两两互相垂直． 以D 为坐标原点，{,,}DA DC DE u u u r u u u r u u u r 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2分由EF ⊥平面ADE 且1EF =,()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0,0,1,2,D A E C B F ∴（1）()2,0,2AE =-u u u r ,()0,1,2DF =u u u r ，则cos ,AE DF AE DF AE DF ⋅<===⋅>u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v , 所以AE 和DF所成角的余弦值为5. ……………5分（2）()2,2,0DB =u u u r ,()0,1,2DF =u u u r ,设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r ， 由2+2020n DB x y n DF y z ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ,取1z =,得)1,2,2(-=n ρ,Q 平面DFC 的一个法向量为()1,0,0m =u r ,22cos ,313m n m n m n ⋅∴<>===⋅⨯v v v v v v , 由二面角B DF C --的平面角为锐角,所以二面角B DF C --的余弦值为23.……10分23.（本小题满分10分）解：（1）1,2,3的所有排列为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1，因为36S =，所以对应的P k 分别为2,1,2,1,1,1，所以38T =； ……………3分（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，因为41,N n l l *=+∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =； ……………5分(ii) 因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+① 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②，考虑排列P 的对应倒序排列:P '11,,,n n a a a -⋅⋅⋅，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++, 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-； ……………8分 又1,2,3,,n ⋅⋅⋅，这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． ……………10分。

江苏省泰州市2019—2020学年度第二学期调研测试 高三数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，则A B ＝ ．2．若实数x ，y 满足x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i （i 是虚数单位），则xy ＝ ．3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ．4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为 ．5．若双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为 ．6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x ，y ，则1x y -=的概率是 ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为 ．8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里． 9．若定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，(1)1f =，则(6)f ＋(7)f ＋(8)f 的值为 ．10．将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R ＝ ．11．若函数2()1x a x a f x x x a+≥⎧=⎨-<⎩，，只有一个零点，则实数a 的取值范围为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )在圆O ：224x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是 ．13．在锐角△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，若AB 3AD =，AC AF λ=，且BC ED 2EF ED 6⋅=⋅=，ED 1=，则实数λ的值为 ．14．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，则BDCD的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P— ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分別是AB ，AC ，BC 的中点．（1）求证：BC ∥平面PDE ；（2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ．16．（本小题满分14分）已知函数21()sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()6f α=，α∈(8π-，38π)，求sin2α的值．17．（本小题满分14分）某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M ，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为四心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM ，AN 分别交于点D ，E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池内休息区，设∠MAB ＝θ．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值；（3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19．（本小题满分16分）定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”．（1）判断函数()1x xf x e=-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()ln g x x mx =-(m ∈R)是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围；（3）已知32111()323h x x ax bx b =++-，x ∈(0，+∞)，a ，b ∈R ，求证：当a ≤﹣2，且0＜b ＜1时，函数()h x 是“YZ 函数”．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+．（1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵M ＝ 3 41 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1M b a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=，点P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，2223a b c b c a++=，求证：3a b c ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE ＝2π，EF ⊥平面ADE ，EF ＝1． （1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； （2）求二面角B —DF —C 的余弦值．23．（本小题满分10分）给定n (n ≥3，n N *∈)个不同的数1，2，3，…，n ，它的某一个排列P 的前k (k N *∈，1≤k ≤n )项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ．（1）若n ＝3，求3T ；（2）若n ＝4l ＋1，l N *∈，①证明：对任意的排列P ，都不存在k (k N *∈，1≤k ≤n )使得2k n S S =；②求n T (用n 表示)．2019～2020学年度第二学期调研测试高三数学答案一、填空题1. {}1,2,4,82.123. 804. 85.6.518 7. 128. 192 9. 1- 10. 611. (1](0,1]-∞- 12. - 13. 3 14. (1,2]二、解答题15.（本题满分14分）证明：（1）在ABC ∆中，因为,D E 分别是,AB AC 的中点，所以//DE BC ， ……………2分 因为BC PDE ⊄平面，DE PDE ⊂平面，所以//BC PDE 平面． ……………6分（2）因为PA ABC ⊥平面，DE PDE ⊂平面， 所以PA DE ⊥，在ABC ∆中，因为AB AC =，F 分别是BC 的中点，所以AF BC ⊥， ……………8分 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥， 又因为AFPA A =，,AF PAF PA PAF ⊂⊂平面平面，所以DE PAF ⊥平面，……………12分因为DE PDE ⊂平面，所以PAF PDE ⊥平面平面． ……………14分16.（本题满分14分）解：（1）因为21()sin sin cos 2f x x x x =+-， 所以1cos 211()sin 2222x f x x -=+-1(sin 2cos 2)2x x =- ……………2分(sin 2cos cos 2sin )244x x ππ=-)24x π=- ……………4分当2242x k πππ-=+(Z)k ∈，即3(8Z)x k k ππ=+∈时，()f x 取最大值2，所以()f x 的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．………7分（2）因为()6f α=，则)246πα-=，即1sin(2)43πα-=， 因为3(,)88ππα∈-，所以2(,)πππα-∈-，则cos(2)43πα-===，……………10分所以sin 2sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 444444ππππππαααα=-+=-+-1432326=⋅+=……………14分17.（本题满分14分）解：（1）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，4πθ=，所以MB AM ==24cos12124MD π=-=，所以池内休息区总面积1212)144(22S MB DM =⋅⋅==． ……………4分 （2）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin ,24cos MB AM θθ==， 24cos 12MD θ=-， 由24sin 0,24cos 120MB MD θθ=>=->得0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ……………6分 则池内休息区总面积1224sin (24cos 12)2S MB DM θθ=⋅⋅=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ……………9分 设()()sin 2cos 1fθθθ=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()()22cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos f θθθθθθθ'=--=--=⇒=又11cos 82θ+=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得01cos 8θ+=， 则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增，当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调减， 即()0θf 是极大值，也是最大值，所以()()max 0f fθθ=，此时024cos 3AM θ==+ ……………13分 答：（1）池内休息区总面积为2144(2-m ；（2）池内休息区总面积最大时AM的长为(3AM =+m ．………14分18.（本题满分16分）解：（1）由题意：22212ab b a b c =⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,a b c ===，所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=． ……………4分 （2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >， 则直线AB 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，联立22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412B k y k=+，所以212AB k ==+， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2881122k S k k k====++≤所以当且仅当k =时，矩形ABCD 面积S的最大值为11分 （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，=，则322220k k k -+-= (0)k >，令32()222(0)f k k k k k =-+->，因为(1)10,(2)80f f =-<=>，又32()222(0)f k k k k k =-+->的图象不间断，所以32()222(0)f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形．……………16分19.（本题满分16分）解：（1）函数()1xxf x =-e是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x =-e ，则1()x xf x -'=e，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以()1xx f x =-e 的极大值1(1)10f =-<e ， 故函数()1x xf x =-e是“YZ 函数”． ……………4分（2）定义域为(0,)+∞， 1()g x m x'=-，当0m ≤时，1()0g x m x '=->，函数单调递增，无极大值，不满足题意；当0m >时，当10x m <<时，1()0g x m x '=->，函数单调递增，当1x m >时，1()0g x m x'=-<，函数单调递减，所以()g x 的极大值为111()ln ln 1g m m m m m=-⋅=--，由题意知1()ln 10g m m =--<，解得1m >e． ……………10分（3）证明： 2()h x x ax b '=++，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以2()0h x x ax b '=++=有两个不等实根，设为12,x x ，因为12120x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以120,0x x >>，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，则()h x 单调递增； 当12x x x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()h x 的极大值为321111111()323h x x ax bx b =++-， ……………13分 由2111()0h x x ax b '=++=得3211111()x x ax b ax bx =--=--， 因为2a -≤，01b <<， 所以322211111111111111()()323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- 221111121121633333ax bx b x bx b =+-≤-+- 2111()(1)033x b b b =--+-<．所以函数()h x 是“YZ 函数”．……………16分（其他证法相应给分）20.（本题满分16分）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则122(21)n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+， 当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列， ……………2分 当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以11(21)(21)n n n n c q a q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数 列． ……………5分 （2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因为12n n a d d d =+++，所以1121n n n a d d d d ++=++++，两式相减得11n n n a a d ++-=， 因为2n n n a a b +=+，所以1312321()()()()n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a +++++++-=---=---312n n d d d ++=-=， 所以数列{}n b 是等差数列． ……………10分 （3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-，又因为12n n n c a a +=+，所以43322112(2)2(2)n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+， 即 423122()()()n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+， 又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n nn n b b b b +++=⋅， 即11()(2)0n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， ……………13分 则312n n n n a a a a +++-=-， 即321n n n n a a a a +++=+-，又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=， 即32121(2)(2)2(2)n n n n n n a a a a a a ++++++++=+， 化简得3223n n n a a a +++=，将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列． ……………16分 （其他证法相应给分）数学Ⅱ（附加题）21. A ． [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡b b a 252143，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩，……………4分 设1m p Mn q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩， 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-2321211M ， ……………8分所以11-2416=13-61122b M a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ……………10分B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：由题：直线方程即为(sin coscos sin )44ππρθθ+= 由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线的直角坐标方程为80x y +-=，……………4分 设P点的坐标为()cos αα，∴点P到直线的距离d ==8分 当2()62Z k k ππαπ+=-∈，即22(3Z)k k αππ=-∈时，d取得最大值此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………10分C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 证明：由柯西不等式，得2223()()()a b c a b c b c a b c a++=++++222222]=++++ ………………5分22()a b c =++≥ 所以3a b c ++≤． ………………10分 22.（本小题满分10分）解：因为平面ADE ⊥平面ABCD ,又2ADE π∠=，即DE AD ⊥，因为DE ADE ⊂平面，ADEABCD AD =平面平面， DE ∴⊥平面ABCD ,由四边形ABCD 为边长为2的正方形, 所以,,DA DC DE 两两互相垂直．以D 为坐标原点，{,,}DA DC DE 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2分 由EF ⊥平面ADE 且1EF =,()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0,0,1,2,D A E C B F ∴（1）()2,0,2AE =-,()0,1,2DF =，则cos ,2AE DF AE DF AE DF⋅<===⋅>,所以AE 和DF 所成角的余弦值为5. ……………5分 （2）()2,2,0DB =,()0,1,2DF =,设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =，由2+2020n DB x y n DF y z ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩ ,取1z =,得)1,2,2(-=n , 平面DFC 的一个法向量为()1,0,0m =,22cos ,313m n m n m n ⋅∴<>===⋅⨯, 由二面角B DF C --的平面角为锐角,所以二面角B DF C --的余弦值为23.……10分23.（本小题满分10分）解：（1）1,2,3的所有排列为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1，因为36S =，所以对应的P k 分别为2,1,2,1,1,1，所以38T =； ……………3分（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，因为41,N n l l *=+∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =； ……………5分(ii) 因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+① 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②， 考虑排列P 的对应倒序排列:P '11,,,n n a a a -⋅⋅⋅，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++, 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-； ……………8分 又1,2,3,,n ⋅⋅⋅，这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． ……………10分。

2020届江苏省泰州中学高三下学期3月网上检测（一）数学试题一、填空题1．已知集合2{|31},{|60}M x x N x x x =-<<=--<，则M N =I ______. 【答案】{}21x x -<<【解析】先将集合N 化简，再求交集即可 【详解】()()2{|60}{|320}{|23}N x x x N x x x N x x =--<⇒=-+<⇒=-<<，则{}21M N x x =-<<I 故答案为：{}21x x -<< 【点睛】本题考查集合的交集运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题 2．已知z 是纯虚数，11z i+-是实数，那么z 等于______. 【答案】i -【解析】可设z ai =，结合复数的除法运算即可求解 【详解】 设z ai =，则()111111112a a iz ai i i i i -+++++=⋅=--+，因为11z i +-是实数，所以10a +=，即1a =-，则z i =- 故答案为：i - 【点睛】本题考查复数基本概念，复数的除法运算，属于基础题3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是______. 【答案】310【解析】结合组合公式求出总的抽取方法数，选出符合条件的组合方法数，利用古典概型公式即可求解【详解】从5个数中抽取两个的方法数为：2510C=，其中2个数之差的绝对值为2的有()()()1,3,2,4,3,5共3种，故取出的2个数之差的绝对值为2的概率是310 P=故答案为：3 10【点睛】本题考查排列组合公式在古典概型中的应用，属于基础题4．已知非零向量,a br r满足，||3||b a=u u r r，且(2)a b b+⊥r r r，则ar与br的夹角是______.【答案】56π【解析】结合向量垂直的等价条件得(2)0a b b+⋅=r r r，表示出ar与br的夹角公式，结合数量积的运算化简即可【详解】由(2)a b b+⊥⇒r r r(2)0a b b+⋅=r r r，即220a b b⋅+=r r r，又||3||b a=u u r r，所以223cos,2222b ba b ba ba b a b a b a--⋅--=====⇒⋅⋅⋅r rr r rr rr r r r r r r ar与br的夹角是56π故答案为：56π【点睛】本题考查向量的夹角计算，数量积公式的应用，属于常考题5．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是______.【答案】129【解析】根据循环结构框图依次计算，直到对应a 值大于100时输出即可 【详解】设03a =，则10213243215,219,2117,2133,a a a a a a a a =-==-==-==-=54652165,21129,a a a a =-==-=此时100a >，输出129a =故答案为：129 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，属于基础题6．已知某班级50名学生一次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：则成绩落在[50，60)学生人数是______.【答案】5【解析】计算出成绩落在[50，60)学生的频率，根据频数=总数⨯频率计算即可 【详解】由图可知，成绩落在[50，60)学生的频率212010a P a ==，则成绩落在[50，60)学生人数是150510⨯=名 故答案为：5 【点睛】本题考查由频率分布直方表计算频数，属于基础题7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若373,14a S =-=-，则n S 的最小值为______. 【答案】-15【解析】由所给条件计算出前n 项和公式，结合配方法求出最小值即可 【详解】由31171235721141a a d a S a d d =+=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=+=-=⎩⎩，则()222 5.5 5.51122n n n n S ---==，当5n =或6时取到最小值，5615S S ==- 故答案为：-15【点睛】本题考查等差数列前n 项和最小值的求解，属于基础题 8．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的表面积为92π，则正方体的棱长为______.【解析】由正方体的边长与外接球半径的基本关系r =24S r π=即可求出a【详解】由题知，2492S r r ππ=⇒==r =a 为正方形边长），求得2a =故答案为：2【点睛】本题考查正方体外接球半径与边长的基本关系，属于基础题9．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)处的切线方程是______. 【答案】21y x =+【解析】先求出0x >时的表达式，利用函数在(1,3)的切线公式即可求解 【详解】由题可知，当0x >时，0x -<，()ln 3f x x x -=-，又函数为奇函数， 故()()()ln 3ln 3f x f x x x f x x x -=-=-⇒=-+，()1'3f x x=-+， ()1'1321f =-+=，故曲线()y f x =在点(1,3)处的切线方程是()21321y x x =-+=+故答案为：21y x =+ 【点睛】本题考查，利用函数奇偶性求解函数表达式，利用导数的几何意义求解切线方程，属于常考题10．若关于 x 的不等式 2|3||1|3x x a a +--≤- 对任意 x ∈R 恒成立，则实数a的取值范围是 ___． 【答案】1a ≤- 或 4a ≥【解析】利用绝对值三角不等式可得|x +3|﹣|x ﹣1|≤|（x +3）﹣（x ﹣1）|＝4，于是解不等式a 2﹣3a ≥4即可求得答案． 【详解】∵|x +3|﹣|x ﹣1|≤|（x +3）﹣（x ﹣1）|＝4，不等式|x +3|﹣|x ﹣1|≤a 2﹣3a ，对任意实数x 恒成立， ∴a 2﹣3a ≥4，即（a ﹣4）（a +1）≥0， 解得：1a ≤- 或 4a ≥，∴实数a 的取值范围为1a ≤- 或 4a ≥， 故答案为：1a ≤- 或 4a ≥． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值三角不等式|x +a |﹣|x +b |≤|a ﹣b |的应用，考查等价转化思想与恒成立问题，属于中档题．11．圆心在直线20x y -=上的圆C 与x 轴的正半轴相切，圆C 截y 轴所得的弦的长C 的标准方程为______.【答案】()()22124x y -+-=【解析】由题画出大致图像，设圆心为(),2,2a a r a =，结合圆的几何性质由勾股定理可得()222a a =，即可求解 【详解】如图，设圆心为(),2,2a a r a =，由圆的几何性质可得()222a a +=，解得1a =，则圆的标准方程为：()()22124x y -+-=故答案为：()()22124x y -+-= 【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题 12．已知(),02xf x x x=≥+，若11()(),()(()),n n f x f x f x f f x n N *+==∈，则11()f x 的表达式为______. 【答案】()()111111221xf x x=+-【解析】可先推导出()()()234,,f x f x f x 表达式，寻找基本规律，进而推导出11()f x 表达式 【详解】由题可知()1212()(),()()23422xx x x f x f x f x f f x x x x x +=====++++， ()3234()()78234xx x f x f f x x x x +===+++，同理可求()41516xf x x =+，观察规律可知()()221n n n x f x x =+-，则()()111111221xf x x=+- 故答案为：()()111111221xf x x=+-【点睛】本题考查由函数的递推式的规律归纳通项的表达式，属于中档题13．已知0c >，非零实数,a b 满足2293a ab b c -+=，且使3a b +最大时，142a b c-+的最小值为______.【答案】1 8 -【解析】先将2293a ab b c-+=配方成223964b ba c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，令33,62bx a y b⎛⎫=-=⎪⎝⎭，将原式转化成22x y c+=，进而表示出,a b，则33z a b x y=+=+，将所求问题转化成切线问题，求出切点对应的,x y，再次表示出,a b，则142a b c-+可转化为关于c的一元二次方程，结合函数性质即可求解最值【详解】2222393964b ba ab bc a c⎛⎫-+=⇒-+=⎪⎝⎭，令33,6bx a y b⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则339233xa yb y⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，且满足22x y c+=，设33z a b x y=+=+，则33y x z=-+，要使3a b+最大，即点为圆22x y c+=上的点，直线斜率为3-的直线，刚好与圆相切时，如图，求得3cxcy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以cab c⎧=⎪⎨⎪=⎩，则2142211248a b c c c c⎫-+=-=--⎪⎝⎭，当14c=即16c=时，取到最小值18-故答案为：18-【点睛】本题考查方程与圆的转化，直线与圆的位置关系，二次函数性质的应用，转化思想，属于难题14．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)3()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有()65f x ≥-，则m 的取值范围是______.【答案】77,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】可结合图像大致特点，当函数区间由2(]0,x ∈右移，函数值逐渐减小，当函数区间由2(]0,x ∈左移，函数值逐渐增大，则确定m 应是比2大的一个值，再由(2)3()f x f x +=可推出通式(2)3()n f x n f x +=，令(2)3()65nf x n f x +==-可解得12513,99x x ==，再由图像可确定m 的临界值应为577899+=，即可求解 【详解】 由题可知23(2)3()(4)3(2)3()(6)3(4)3()f x f x f x f x f x f x f x f x +=⇒+=+=⇒+=+=，则可得一般规律：(2)3()nf x n f x +=，可画出大致函数图像，如图：由图可知，当(]28,10x n +∈时，4n =，则4(8)3()f x f x +=，2(]0,x ∈，此时()4412513(8)3()653265,99f x f x x x x x +==-⇒-=-⇒==，由图像可知，要对任意(,]x m ∈-∞，都有()65f x ≥-，则m 的最大值只能取577899+=，故77,8m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦故答案为：77,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查由函数的递推式找出一般函数图像规律，数形结合思想，属于难题二、解答题15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边,,a b c ，且a c >，已知14,cos ,3BA BC B b ⋅===u u u r u u u r（1）求a 和c 的值； （2）求cos()B C -的值.【答案】（1）4,3a c ==；（2【解析】（1）结合向量的数量积公式和余弦定理即可求解a 和c 的值； （2）由正弦定理sin sin b cB C=可得sin C ，结合同角三角函数可得sin ,cos B C ，再由cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+即可求解【详解】（1）由4cos 4BA BC ac B ⋅=⇒=u u u r u u u r，又1cos 3B =，故12ac =，由余弦定理可得2221cos 23a cb B ac +-==，化简可得2225a c +=，联立解得4,3a c ==；（2）由1cos sin 33B B =⇒=，由正弦定理可得sin sin sin sin 17b c c B C B C b ⋅=⇒==cos C ==，1cos()cos cos sin s 3in 3B C B C B C -=+=+=【点睛】本题考查正弦定理余弦定理解三角形，同角三角函数的基本求法，两角差的余弦公式的应用，属于常考题16．如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面1,//,,,2PCD AD BC AB BC AD E F ==分别为线段,AD PC 的中点.（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：平面BEF ⊥平面PAC 【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】（1）设,AC BE 交点为O ，连接OF ，则可根据OF 是APC ∆中位线求证OF AP P ，进而得证；（2）由线段关系可证BE CD ∥，又由AP ⊥平面PCD 可得AP CD ⊥，进而可得BE AC ⊥，再结合四边形ABCE 是菱形可得BE AC ⊥，即可求证；【详解】 （1）设,AC BE 交点为O ，连接OF ，又1,2AB BC AD ==BC AE ∴=， 又//AD BC Q ，所以四边形ABCE 是菱形，则O 是AC 中点， 又F 为PC 中点，∴OF 是APC ∆中位线，OF AP ∴P ，AP ⊄平面BEF ，OF ⊂平面BEF ，∴//AP 平面BEF ；（2）由（1）可知四边形ABCE 是菱形，BE AC ∴⊥，又Q AP ⊥平面PCD 可得AP CD ⊥，E 为AD 中点可得BC ED =，又//AD BC Q ，∴四边形BCDE 为平行四边形，CD BE P ，AP BE ∴⊥，AC AP A =I ，BE ∴⊥平面PAC ，又BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC【点睛】本题考查线面平行面面垂直的证明，属于中档题17．某景区拟将一半径为100m 的半圆形绿地改建为等腰梯形ABCD (如图，其中O 为圆心，点,C D 在半圆上)的放养观赏鱼的鱼池，周围四边建成观鱼长廊（宽度忽略不计）.设BOC θ∠=，鱼池面积为S (单位：2m ).（1）求S 关于θ的函数表达式，并求鱼池面积何时最大；（2）已知鱼池造价为每平方米2000元，长廊造价为每米3000元，问此次改建的最高造价不超过多少？（取3 1.7≈计算）【答案】（1）5000sin 210000sin S θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；3πθ=时，max 12750S =（2）27000000【解析】（1）结合三角函数的基本概念，表示出等腰梯形的上底下底和高，结合和面积公式和导数即可求解（2）作ON BC ⊥，求出sin2BN r θ=，则2sin2BC r θ= ，表示等腰梯形周长为2cos 24sin2l r r r θθ=++，进而表示出总造价公式，利用导数研究函数增减性，进而求解 【详解】如图，sin OF r θ=，cos FC r θ=，则等腰梯形ABCD 面积为()22222cos 2sin 1sin cos sin sin 2sin 22r r r S r r r r θθθθθθθ+==+=+，代入数据可得：5000sin 210000sin S θθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()()2'10000cos 210000cos 100002cos cos 1100002cos 1cos 1S θθθθθθ=+=+-=-+，当0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos θ2>，'0S >，,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 2θ<，'0S <，故当3πθ=时，函数取到最大值，max 25000sin 10000sin 750031275033S ππ=+=≈ （2）作ON BC ⊥，得sin2BN r θ=，2sin2BC r θ=，等腰梯形周长为：2cos 24sin2l r r r θθ=++，结合（1）中面积，可得总造价221200030002000sin 2sin 30002cos 24sin 22W S l r r r r r θθθθ⎛⎫⎛⎫=+=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得：212000sin 2sin 6000cos 12sin22W r r θθθθ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由（1）知S 在0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增，,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递减，令cos 12sin2y θθ=++则'sin coscos 12sin 222y θθθθ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，令'0y =，3πθ=，当0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y >，,32ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y >，故得出S 与y 在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上增减性相同，所以W在0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单增，,32ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时单减，在3πθ=时取到最大值：max 27000000W =故总造价不超过27000000元【点睛】本题考查三角函数模型在实际生活中的应用，利用导数研究函数最值问题，计算能力，属于常考题18．椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的右顶点为A ，左焦点为F ，离心率为2，已知A 也是抛物线22(0)y px p =>的焦点， F到准线的距离为2（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）过原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，PG PQ ⊥交C 于另一点G .①证明：,,Q E G 三点共线 ②求PQG ∆面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=；28y x =；（2）证明见详解（3）169 【解析】（1）分析条件可知，2c e a ==，2a c -=222a b c =+即可求解，又2p a =，p也可求解 （2）可采用点差法，设()()()()1111122,,,,,0,,P x y Q x y E x G x y --，PG k k =，则1PQk k =-，设直线2QG k k =，利用22PG QG bk k a⋅=-（利用点差法证明）可求QG k ，再表示出QE k ，只需证明QG QE k k =即可 （3）利用121||()2S PE x x =⨯+，代入已得数据，并对1111x y y x +换元，利用“对勾”函数可得最值 【详解】（1）由题可知：2c e a ==，22a c -=222a b c =+，联立求解可得2224,2a b c ===，故椭圆的标准方程为：221(0)42x y y +=≠；又242pa p a =⇒==，故抛物线的方程为：28y x =； （2）①设1(P x ，1)y ，则1(Q x -，1)y -，1(E x ，0)，2(G x ，2)y ， 设PG k k =，则1PQ k k=-，设直线2QG k k =， 则2121PG y y k k x x -==-，21221QG y y k k x x +==+，Q ,P G 在椭圆上，22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，联立求解变形可得221212212112y y y y b x x x x a -+⋅=-=--+，即12PG QG k k ⋅=-，则212QG k k k==-， 11122QE y k x k==-，QG QE k k =，故,,Q E G 三点共线； ②设直线QE 的方程为：111()2y y x x x =--， 与22142x y +=联立消去y ，得11112222221121(2)280x y x x y x x y x +-+-=，∴22222111121182x y x x x x y --=+，∴11212212(8)2y x x x y -=+，又211||()2PQG S PE x x ∆=⨯+ 1121()2y x x =+ 122111112(8)1[]22y x y x x y -=++ 122222*********22y x y y x x y -++=⨯+ 22211111(4)2y x x x y +=+ 222221111111(2)2y x x y x x y ++=+12211111222()2y x x y x y +=+111111112222228()(2)(2)y x x y x y x y +=++ 133442211111118()225y x x y x y x y +=++ 1111111128()2()1x y y x x y y x +=++令1111x y t y x =+，则2t …， 2881212PQG t S t t t∆==++利用“对勾”函数1()2f t t t =+在[2，)+∞的单调性可知，19()4(222f t t +==…时取等号）， ∴816992PQG S ∆=„（此时00x y ==，故PQG ∆面积的最大值为169． 【点睛】本题考查椭圆和抛物线标准方程的求法，由椭圆中直线与圆的位置关系求证三点共线，求证椭圆中三角形面积最值问题，运算难度大，综合性强，属于难题 19．已知函数()ln f x x =（1）若直线1y kx =+与()f x 的图象相切，求实数k 的值；（2）设0x >，讨论曲线()y f x =与曲线0)y m =>公共点的个数；（3）设0a b <<，比较2a b+与()()b a f b f a --的大小，并说明理由.【答案】（1）21k e =（2）答案不唯一，详情见解析（3）)()2(b a f a b a b f -+>-，证明见解析【解析】（1）设切点为()11,ln x x ，由111'()f x k x ==，切点过直线1y kx =+联立求解即可；（2）求曲线()y f x =与曲线0)y m =>公共点的个数即求y =与y m =的公共点个数，通过研究导数性质确定函数y =增减性，讨论m 与函数最值点大小即可；（3）可先通过试值，预判2a b +>()()b a f b f a --，原不等式可表示为l ln 2n b a b aa b ->-+，变形得2ln b a b b a a+>-，再令b t a =，再结合换元法和构造函数法即可求证 【详解】（1）设切点为()11,ln x x ，则111'()f x k x ==，又切点过直线1y kx =+，所以11ln 1x kx =+，联立求解可得21x e =，21k e =； （2）原题可等价转化为求y =与y m =的公共点个数， 令()()'h x h x =⇒=，令()'0h x =可得2x e =，当()20,x e ∈时，()'0h x >，()h x 单增；当()2,x e ∈+∞时，()'0h x <，()h x 单减；故()()2max2h x h e e==， 又当0x +→时，()h x →-∞，当x →+∞时，由幂函数的增长性远远大于对数函数可知，()0h x →，故()h x 的大致图像为当20,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，y x=与y m =有两个共同点； 当2m e=时，y x =与y m =有一个公共点；当2m e>时，y x =与y m =无公共点；（3）)()2(b a f a b a b f -+>-，证明如下，要证l ln 2n b a b aa b ->-+，即证2ln b a b b aa+>-，即121ln b a b b a a +>-，令,1b t t a =>，则原式变为121ln t t t +>-，即()21ln 1t t t ->+，令()()21ln 1t g t t t -=-+，则()()()()222114'011t g t t t t t -=-=>++，故()g t 在()1,t ∈+∞上单增，所以当()1,t ∈+∞，又()1ln1=0g =，所以()()1g t g >恒成立，原式得证 【点睛】本题考查由导数的几何意义求参数，构造函数法，利用导数研究函数增减性，转化与化归思想，属于难题20．已知数列{}n a 的首项为1，n S 为数列的前n 项和，11n n S xS +=+，其中0,x n N *>∈2n ≥，（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：函数1()2n n F x S +=-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ）且11122n n n x x +=+； 【答案】（1）1n n a x -=（2）证明见解析【解析】（1）采用作差法即可求解；（2）由21()212n n n F x S x x x +=-=++++-L ，求得n F （1）0>，1()02n F <．再由导数判断出函数()n F x 在1(2，1)内单调递增，得到()n F x 在1(2，1)内有且仅有一个零点n x ，由)0(n n F x =，得到11122n n n x x +=+； 【详解】（1）11n n S xS +=+①，-11n n S xS =+②，①-②得1n n a xa +=，又当1n =时，2121111,1a a a xa a x a +=+=⇒=，故数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为x ，1n n a x -=；（2）21()212n n n F x S x x x +=-=++++-L ，可得()11210n F n n =+-=->，1211()111112()1()()22012222212n n n n F +-=+++⋯+-=-=-<-，()n F x ∴在1(2，1)内至少存在一个零点，又1()120n n F x x nx -'=++⋯+>，()n F x ∴在1(2，1)内单调递增，()n F x ∴在1(2，1)内有且仅有一个零点n x ，n x Q 是()n F x 的一个零点，()0n n F x ∴=，即11201n n nx x +--=-，故11122n n n x x +=+； 【点睛】本题考查函数零点存在定理的应用，等比数列的前n 项和，利用导数研究函数的单调性，数学转化与化归等思想方法，属于中档题21．已知曲线C的参数方程为1x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数0t >），求曲线C 的普通方程.【答案】29180x y -+=【解析】将y 同时平方，可得219(2)yt t=++，再采用整体代换法即可求解【详解】 由213()9(2)y t y t t t =+⇒=++，又1x t t=+，所以29(2)y x =+，所以曲线C的普通方程为：29180x y -+= 【点睛】本题考查参数方程转化成普通方程，属于基础题22．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面1,//,,1,2ABCD AB DC AB AD AD CD AA AB ⊥====,E 为棱1AA 的中点.（1）证明：11B C CE ⊥；（2）求二面角11B CE C --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；21. 【解析】试题分析：以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得：()()()()()()110,0,0,0,0,2,1,0,10,2,2,1,2,1,0,1,0A B C B C E（1）易得()()111,0,1,1,1,1B C CE =-=--u u u u v u u u v ,则110BC CE ⋅=u u u u v u u u v,11 .B C CE ⊥ （2）由题意可得平面1B CE 的一个法向量()3,2,1m =--，平面1CEC 的一个法向量为()111,0,1B C =-u u u u v ，则111111277m B C cosm B C m B C u u u u vu u u u v u u u u v ⋅⋅==-⋅,故二面角11B CE C --的正弦值21试题解析：如图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得()()()()()()110,0,0,0,0,2,1,0,10,2,2,1,2,1,0,1,0A B C B C E ，，（1）证明：易得()()111,0,1,1,1,1B C CE =-=--u u u u v u u u v ,于是110BC CE ⋅=u u u u v u u u v, 所以11.B C CE ⊥（2）()1:1,2,1B C u u u v--,设平面1B CE 的一个法向量(),,m x y z =，则100m B C m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vu u u v ,即200x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩消去x ，得20y z +=，不妨令1z =，所以平面1B CE的一个法向量为()3,2,1m =--由（1）知，11,B C CE ⊥又11111,,,CC B C CE CC C CE CC ⊥⋂=⊂平面1CEC ，所以11B C ⊥平面1CEC ，故()111,0,1B C =-u u u u v为平面1CEC 的一个法向量， 于是111111277142m B C cosm B C m B C ⋅⋅===-⨯⋅u u u u vu u u u v u u u u v , 从而11217sinm B C u u u u v⋅=所以二面角11B CE C --21 23．（1）设()(12),()nf x x f x =+展开式中2x 的系数是40，求n 的值；（2）求证：11(1)0(2,)nk kn k kC n n N +*=-=≥∈∑【答案】（1）5（2）证明见解析【解析】（1）由2x 所对应的项的表达式对应系数为40，解方程即可求解（2）利用()1nx -展开，对展开式左右同时求导，同乘-1变号后，令1x =即可求证第 21 页 共 21 页 【详解】（1）由题可知，2x 对应项的表达式为：()()222221n C x n n x =⋅-，故()2140n n ⋅-=，解得5n =（负值舍去）；（2）由()()01221n nn n n n n x C C x C x C x -=-++-L ，两边求导得： ()()1121121n n n n n n n n x C C x nC x ----=-++-L 两边同乘-1可得： ()()11121121n n n n n n n n x C C x nC x -+--=-+-L ，再令1x =可得： ()11211021(1)nn n k k n nn n k C C nC kC ++==-+-=-∑L ， 所以11(1)0(2,)n k k n k kC n n N +*=-=≥∈∑【点睛】本题考查二项式定理中由具体项的系数反求参数，应用二项式定理展开式特征和赋值法求证表达式成立问题，属于中档题。

江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试数学试题2020．4一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{1，4}，B ＝{a ﹣5，7}．若A B ＝{4}，则实数a 的值是 ．答案：9考点：集合交集运算解析：∵集合A ＝{1，4}，B ＝{a ﹣5，7}．A B ＝{4}，∴a ﹣5＝4，则a 的值是9． 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．考点：复数 解析：∵2i iz=+，∴22i i 12i z =+=-+，则z =．3．在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 吨． 答案：10 考点：平均数 解析：9.49.79.810.310.8105x ++++==．4．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．答案：5 2考点：算法与流程图解析：第一次S＝15，k＝1；第二次S＝15，k＝2；第三次S＝152，k＝3；第四次S＝52＜3；所以输出的S的值是52．5．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是．答案：2 3考点：随机事件的概率解析：甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为62 93 =．6．在△ABC中，已知B＝2A，AC BC，则A的值是．答案：6π考点：正弦定理，二倍角的正弦公式解析：∵AC，∴b=，即sinB sinA，∵B＝2A，∴sin2A，则2sinAcosA sinA，∵sinA ≠0，∴cos A 2=，A ∈(0，π)，则A ＝6π． 7．在等差数列{}n a (n N *∈)中，若124a a a =+，83a =-，则20a 的值是 ． 答案：﹣15考点：等差数列的通项公式及性质解析：∵数列{}n a 是等差数列，∴1524a a a a +=+，又124a a a =+，∴50a =， ∴8531853a a d --===--，故2051515a a d =+=-． 8．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ．答案：13考点：圆柱圆锥的体积 解析：由12112121211113333O O O V V S OO S OO S O O V +=⋅+⋅=⋅=，得1213V V V +=． 9．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ． 答案：2考点：双曲线的简单性质解析：由题意知，AF ＝PF ，即2b a c a +=，∴22c a a c a-+=，化简得：220e e --=，又e ＞1，∴e ＝2．10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线y ＝2x 上，过点P 作圆C ：(x ﹣4)2＋y 2＝8的一条切线，切点为T ．若PT ＝PO ，则PC 的长是 ．考点：直线与圆解析：设P(p ，2p )，则2222(4)45816PC p p p p =-+=-+，2222588PT PC TC p p =-=-+，225PO p =，∵PT ＝PO ，∴225885p p p -+=，解得p ＝1，∴22581613PC p p =-+=，即PC 11．若x ＞1，则91211x x x +++-的最小值是 ． 答案：8考点：基本不等式解析：91912116281111x x x x x x x ++=+++-+≥+=+-+-，当且仅当x ＝2时取“＝”． 12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线xy e =在点P(0x ，0xe )处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B(0x ，0)，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ． 答案：ln6考点：利用导数研究函数的切线解析：∵xy e '=，∴0xk e =，则切线方程为000()x x y ee x x -=-，令y ＝0，求得01A x x =-，∴01132x e ⨯⋅=，解得0ln 6x =． 13．图（1）是第七届国际数学教育大会(ICME —7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图(2)），其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，则6778A A A A ⋅的值是 ．考点：平面向量数量积 解析：sin ∠A 6A 7O＝67A O A O =，∴6778A A A A 117⋅=⨯=． 14．设函数2log , 04()(8), 48x a x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ．答案：(-∞，1) 考点：函数与方程解析：当2a ≥时，2log 0x a -≤，此时22log , 04()log (8), 48a x x f x a x x -<≤⎧=⎨--<<⎩，此时函数()f x在(0，4)单调递减，在(4，8)单调递增，方程()f x m =最多2个不相等的实根，舍； 当a ＜2时，函数()f x 图像如下所示：从左到右方程()f x m =4个不相等的实根，依次为1x ，2x ，3x ，4x ，即1x ＜2x ＜3x ＜4x ，由图可知2122log log a x x a -=-，故124ax x =，且328x x =-，418x x =-，从而222222123411211442()16()128a ax x x x x x x x +++=+-++，令114a t x x =+，显然t ＞4a，22222112342161284a x x x x t t ++++=-+-，要使该式在t ＞4a时有最小值，则对称轴t ＝4＞4a，解得a ＜1．综上所述，实数a 的取值范围是(-∞，1)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(α＋4π)，sin(α＋4π))，其中0＜α＜2π． （1）求()b a a -⋅的值；（2）若c ＝(1，1)，且()b c +∥a ，求α的值．解：（1）因为向量()cos sin αα=，a ，()()()ππcos sin 44αα=++，b ，所以()2-⋅=⋅-b a a a b a …2分()()()22ππcos cos sin sin cos sin 44αααααα=+++-+ …4分()πcos 14=--1=． ……6分 （2）因为()11=，c ，所以+b c ()()()ππcos 1sin 144αα=++++，．因为()+b c ∥a ，所以()()()()ππcos 1sin sin 1cos 044αααα++-++=．…9分于是()()ππsin cos sin cos cos sin 44αααααα-=+-+，()ππsin 44α-=，即()π1sin 42α-=． ………………12分 因为π02α<<，所以πππ444α-<-<． 于是ππ46α-=，即5π12α=． …14分16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，点P ，Q 分别为AB 1，CC 1的中点．求证：（1）PQ ∥平面ABC ； （2）PQ ⊥平面ABB 1A 1．解：（1）取AB 的中点D ，连结PD CD ，．在△1ABB 中，因为P D ，分别为1AB AB ，中点， 所以1PD BB ∥，且112PD BB =． 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，11CC BB ∥，11CC BB =．因为Q 为棱1CC 的中点，所以1CQ BB ∥，且112CQ BB =． …3分于是PD CQ ∥，PD CQ =．所以四边形PDCQ 为平行四边形，从而PQ CD ∥． ……5分又因为CD ABC ⊂平面，PQ ABC ⊄平面，所以PQ ABC ∥平面． …7分（2）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，1BB ABC ⊥平面．又CD ABC ⊂平面，所以1BB CD ⊥．因为CA CB =，D 为AB 中点，所以CD AB ⊥． ……10分由（1）知CD PQ ∥，所以1BB PQ ⊥，AB PQ ⊥． ……12分 又因为1ABBB B =，11AB ABB A ⊂平面，111BB ABB A ⊂平面，所以11PQ ABB A ⊥平面． ……14分 17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ﹣3)2＋y 2＝1，椭圆E ：22221x ya b+=(a＞b ＞0)的右顶点A 在圆C 上，右准线与圆C 相切．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的直线l 与圆C 相交于另一点M ，与椭圆E 相交于另一点N ．当AN ＝127AM 时，求直线l 的方程．解：（1）记椭圆E 的焦距为2c （0c >）．因为右顶点()0A a ，在圆C 上，右准线2a x c=与圆C ：()2231x y -+=相切．所以()22230131a a c ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，， 解得 21a c =⎧⎨=⎩，．于是2223b a c =-=，所以椭圆方程为：22143y x +=． ……4分 （2）法1：设()()N N M M N x y M x y ，，，， 显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()2y k x =-．由方程组 ()222143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，()2222431616120k x k x k +-+-=．所以221612243N k x k -⋅=+，解得228643N k x k -=+． ……6分 由方程组()()22231y k x x y =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，消去y 得，()()2222146480k x k x k +-+++=， 所以224+821M k x k ⋅=+，解得222+41M k x k =+． ……8分 因为127AN AM =，所以()12227N M x x -=-． ……10分 即22121227431k k =⋅++，解得 1k =±， ……12分所以直线l 的方程为20x y --=或 20x y +-=． ……14分法2：设()()N N M M N x y M x y ，，，，当直线l 与x 轴重合时，不符题意．设直线l 的方程为：()20x ty t =+≠． 由方程组222143x ty y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()2234120tx ty ++=，所以21234N t y t -=+ ． ……6分由方程组 ()22231x ty x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 得， ()22120t x ty +-=， 所以221M t y t =+ ． ……8分 因为127AN AM =，所以127N M y y =-． ……10分即22121227341t t t t -=-⋅++，解得 1t =±， ……12分 所以直线l 的方程为20x y --=或 20x y +-=． ……14分18．（本题满分16分）某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉．方案是：先建造一条直道DE 将△ABC 分成面积之比为2：1的两部分（点D ，E 分别在边AB ，AC 上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）．设AD ＝x ，DE ＝1y ，AM ＝2y （单位：百米）．（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值．解：（1）因为23ADE ABC S S =△△，△ABC 是边长为3的等边三角形，又AD = x ，所以()2121sin =3sin 23323AD AE ππ⋅⋅⨯⨯，所以6AE x =． ……2分由03603AD x AE x <=⎧⎪⎨<=⎪⎩≤，≤，得23x ≤≤． ……4分 法1：在ADE △中，由余弦定理，得22222362cos 63DE AD AE AD AE x x π=+-⋅⋅=+-． 所以，直道DE 长度y 1关于x的函数关系式为[]123y x ∈，．……6分在ADM △和AEM △中，由余弦定理，得2222cos AD DM AM DM AM AMD =+-⋅⋅∠ ①()2222cos AE EM AM EM AM AMD =+-⋅⋅π-∠ ② …8分 因为M 为DE 的中点，所以12DM EM DE ==．由①+②，得22222221222AD AE DM EM AM DE AM +=++=+，所以()()222226136622x x AMxx +=+-+， 所以2229342x AM x =++． 所以，直道AM 长度y 2关于x 的函数关系式为[]223y x =∈，． ……10分法2：因为在ADE △中，DE AE AD =-，所以()2222222663622cos 63DE AE AE AD AD x x x xx xπ=-⋅+=-⋅+=+-． 所以，直道DE 长度y 1关于x 的函数关系式为[]123y x x ∈，．……6分在△ADE 中，因为M 为DE 的中点，所以()12AM AD AE =+． …8分所以()()2222211362644AM AD AE AD AE x x =++⋅=++． 所以，直道AM 长度y 2关于x 的函数关系式为[]223y x =∈，．……10分（2）由（1）得，两条直道的长度之和为12+DE AM y y =+=……12分=（当且仅当22223694x x x x⎧=⎪⎨⎪=⎩，即x =时取=“”）． …14分 答：当AD 百米．16分19．（本题满分16分）若函数()f x 在0x 处有极值，且00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“F 点”． （1）设函数2()2ln f x kx x =-(k ∈R)．①当k ＝1时，求函数()f x 的极值；②若函数()f x 存在“F 点”，求k 的值；（2）已知函数32()g x ax bx cx =++(a ，b ，c ∈R ，a ≠0)存在两个不相等的“F 点”1x ，2x ，且12()()1g x g x -≥，求a 的取值范围．解：（1）① 当k = 1时，f ( x ) = x 2- 2 ln x( k ∈R )，所以()()()()2110x x f x x x-+'=>，令()0f x '=，得x = 1， ……2分列表如下：所以函数()f x 在x = 1处取得极小值，极小值为1，无极大值． ……4分 ② 设x 0是函数()f x 的一个“F 点”()00x >．因为()()()2210kx f x x x-'=>,所以x 0是函数()f x '的零点．所以0k >，由()00f x '=，得201kx x ==， 由00()f x x =，得2002ln kx x x -=，即00+2ln 10x x -=． ……6分 设()+2ln 1x x x ϕ=-，则()21+0x xϕ'=>，所以函数()+2ln 1x x x ϕ=-在()0+∞，上单调增，注意到()10ϕ=， 所以方程00+2ln 10x x -=存在唯一实根1，所以0=1x =，得1k =，根据①知，1k =时，1x =是函数()f x 的极小值点， 所以1是函数()f x 的“F 点”．综上，得实数k 的值为1． ……9分 （2）因为g (x ) = ax 3+ bx 2+ cx ( a ，b ，c ∈ R ，a ≠ 0 ) 所以()()2320g x ax bx c a '=++≠．又因为函数g (x ) 存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，所以x 1，x 2是关于x 的方程()232=00ax bx c a ++≠的两个相异实数根． 所以21212412023.3b ac b x x a c x x a⎧=->⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩△，，又g (x 1) = ax 13 + bx 12 + cx 1 = x 1，g (x 2) = ax 23 + bx 22+ cx 2 = x 2，所以g (x 1) - g (x 2) = x 1- x 2，即(a x 13 + bx 12 + cx 1)- (ax 23 + bx 22+ cx 2) = x 1- x 2， 从而( x 1- x 2) [a (x 12+ x 1x 2 +x 22)+ b (x 1+ x 2 )+ c ]= x 1- x 2．因为12x x ≠，所以()()21212121a x x x x b x x c ⎡⎤+-+++=⎣⎦，即()()2221333bc b a b c aa a⎡⎤--+-+=⎢⎥⎣⎦．所以()2239ac b a -=． ………13分 因为| g (x 1) - g (x 2) | ≥ 1， 所以()()1212g x g x x x -=-=1.=解得20a -<≤．所以，实数a 的取值范围为)20-⎡⎣，． ……16分 （2）（解法2） 因为g (x ) = ax 3+ bx 2+ cx ( a ，b ，c ∈ R ，a ≠ 0 ) 所以()()2320g x ax bx c a '=++≠．又因为函数g (x ) 存在不相等的两个“F 点”x 1和x 2，所以x 1，x 2是关于x 的方程组23232=0ax bx c ax bx cx x⎧++⎪⎨++=⎪⎩，的两个相异实数根． 由32ax bx cx x ++=得2010x ax bx c =++-=，． ……11分 （2．1）当0x =是函数g (x ) 一个“F 点”时，0c =且23b x a =-．所以()()2221033bb a b aa-+--=，即292a b =-．又()()12122013b g x g x x x a-=-=--≥，所以2249b a ≥，所以()2929a a -≤． 又a ≠ 0，所以20a -<≤．…13分 （2．2）当0x =不是函数g (x ) 一个“F 点”时，则x 1，x 2是关于x 的方程2232=010ax bx c ax bx c ⎧++⎪⎨++-=⎪⎩，的两个相异实数根． 又a ≠0，所以2313b b c c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，，得032b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，. 所以212ax =-，得12x =， 所以()()12121g x g x x x -=-=，得20a -<≤．综合（2．1）（2．2），实数a 的取值范围为)20-⎡⎣，． ……16分20．（本题满分16分）在等比数列{}n a 中，已知11a =，418a =．设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b =-，112n n n a b S -+=-(n ≥2，n N *∈)．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （3）是否存在等差数列{}n c ，使得对任意n N *∈，都有n n n S c a ≤≤?若存在，求出所有符合题意的等差数列{}n c ；若不存在，请说明理由．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =，418a =，所以318q =，解得12q =．所以数列{}n a 的通项公式为：()112n n a -=． ……3分（2）由（1）得，当2n n *∈N ，≥时，()111122n nn b S --+=-， ①所以，()11122nn n bS ++=-， ②②－① 得，()11122nn n b b +-=， ……………5分所以，()()1111122n nnn b b +--=，即111n nn nb b a a ++-=，2n n *∈N ，≥． 因为11b =-，由① 得，20b =，所以()2121011b b a a -=--=， 所以111=-++nnn n a b a b ，n *∈N ． 所以数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1为公差的等差数列． ……8分（3）由（2）得b n a n=n －2，所以b n =n －22n -1，S n =－2(a n +1+b n +1)=－2(12n +n －12n )=－n2n -1.假设存在等差数列{c n }，其通项c n =dn +c ， 使得对任意*∈N n ，都有S n ≤c n ≤a n ，即对任意*∈N n ，都有－n 2n -1≤dn +c ≤12n -1. ③ ……10分首先证明满足③的d =0. 若不然，d ≠0，则d ＞0，或d ＜0. (i) 若d ＞0，则当n ＞1－c d ，*∈N n 时，c n =dn +c ＞1≥12n -1= a n ，这与c n ≤a n 矛盾.(ii) 若0<d ，则当n ＞－1+cd，*∈N n 时，c n =dn +c ＜－1.而S n +1－S n =－n +12n+n 2n -1=n －12n≥0，S 1= S 2＜S 3＜……,所以S n ≥S 1=－1.故c n =dn +c ＜－1≤S n ，这与S n ≤c n 矛盾. 所以d =0. ………12分 其次证明：当x ≥7时，f (x )=(x －1)ln2－2ln x ＞0.因为f ′(x )=ln2－1x ＞ln2－17＞0，所以f (x )在[7，+∞)上单调递增，所以，当x ≥7时，f (x )≥f (7) =6ln2－2ln7= ln 6449＞0.所以当n ≥7，*∈N n 时，2n -1＞n 2. ……14分 再次证明c =0.(iii)若c ＜0时，则当n ≥7，n ＞－1c ，n ∈N*，S n =－n 2n -1＞－1n ＞c ，这与③矛盾.(iv)若c ＞0时，同(i)可得矛盾.所以c =0. 当0n c =时，因为1012n n n S --=≤，()1102n n a -=>，所以对任意*∈N n ，都有S n ≤c n ≤a n ．所以0n c n *=∈N ，．综上，存在唯一的等差数列{ c n }，其通项公式为0n c n *=∈N ，满足题设．…16分江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试数学附加题21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝0 1 0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵10 2A 0b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．若曲线C 1：2214x y +=在矩阵A 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求曲线C 2的方程．解：因为1-=AA E ，所以010*******a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即0100201b a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 所以121b a =⎧⎨=⎩，，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，.所以01102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ． ……4分设()P x y ''，为曲线C 1任一点，则2214x y ''+=，又设()P x y ''，在矩阵A 变换作用得到点()Q x y ，， 则01102x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2y x x y '⎡⎤⎡⎤⎢⎥='⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以2y x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，，即2x y y x '=⎧⎨'=⎩，. 代入2214x y ''+=，得221y x +=，所以曲线C 2的方程为221x y +=． ……10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线C 的方程为r ρ= (r ＞0)，直线l 的方程为cos()4πρθ+=l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB＝r 的值．解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，于是曲线C ：(0)r r ρ=>的直角坐标方程为222x y r +=，表示以原点为圆心，半径为r 的圆． ……3分由直线l 的方程()cos 4ρθπ+=cos cos sin sin 44ρθρθππ-，所以直线l 的直角坐标方程方程为20x y --=． …………6分 记圆心到直线l 的距离为d，则d ==又()2222ABr d =+，即2279r=+=，所以3r =． ……10分C ．选修4—5：不等式选讲已知实数x ，y ，z 满足2222222111x y z x y z ++=+++，证明：222111x y z x y z ++≤+++． 解：因为2222222111x y z x y z ++=+++， 所以2222222221111111111111x y z x y z x y z ++=-+-+-=++++++． ……5分 由柯西不等式得，()()()2222222222222111111111111x y z x y zx y z x y z x y z +++++++++++++++≥．所以()22222111x y zx y z +++++≤ ．所以222111x y zx y z +++++ ……10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工．节假日期间的某一天， 每名员工休假的概率都是12，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业．（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：（1）记2家小店分别为A B ，，A 店有i 人休假记为事件()012i A i =，，，B 店有i 人，休假记为事件()012i B i =，，，发生调剂现象的概率为P ． 则()()()2000211C 24P A P B ===， ()()()2111211C 22P A P B ===， ()()()2222211C 24P A P B ===．所以()()02201111144448P P A B P A B =+=⨯+⨯=．答：发生调剂现象的概率为18． ……4分（2）依题意，X 的所有可能取值为012，，． 则()()2211104416P X P A B ===⨯=，()()()122111111142244P X P A B P A B ==+=⨯+⨯=，()()()11112101116416P X P X P X ==-=-==--=． ……8分所以X 的分布表为：所以()111113210164168E X =⨯+⨯+⨯=． ……10分23．（本小题满分10分）我们称n (n N *∈)元有序实数组(1x ，2x ，…，n x )为n 维向量，1nii x=∑为该向量的范数．已知n 维向量a ＝(1x ，2x ，…，n x )，其中i x ∈{﹣1，0，1}，i ＝1，2，…，n ．记范数为奇数的n 维向量a 的个数为A n ，这A n 个向量的范数之和为B n ．（1）求A 2和B 2的值；（2）当n 为偶数时，求A n ，B n （用n 表示）．解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：()10-，，()01-，，()01，，()10，， 它们的范数依次为1111，，，，故2244A B ==，． ……3分 （2）当n 为偶数时，在向量()123n x x x x =，，，a 的n 个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：131n -，，，进行讨论：a 的n 个坐标中含1个0，其余坐标为1或1-，共有11C 2n n -⋅个，每个a 的范数为1n -； a 的n 个坐标中含3个0，其余坐标为1或1-，共有33C 2n n -⋅个，每个a 的范数为3n -；… a 的n 个坐标中含1n -个0，其余坐标为1或1-，共有1C 2n n -⋅个，每个a 的范数为1；所以11331C 2C 2C 2n n n n n n n A ---=⋅+⋅++⋅，()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅． ……6分因为()0112221C 2C 2C 2C nn n n nn n n n --+=⋅+⋅+⋅++， ①()0112221C 2C 2C 2(1)C nn n n n n n n n n ---=⋅-⋅+⋅-+-，②2-①②得，113331C 2C 22nn n n n ---⋅+⋅+=，所以312n n A -=． ……8分 解法1：因为()()()()()11!!C C !!!1!k k n n n n n k n k n n k n k k n k ---=-⋅=⋅=---， 所以()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅．()11331111C 2C 2C 2n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅()123411112C 2C 2C n n n n n n n ------=⋅+⋅++()()11312312n n n n ---=⋅=⋅-． ……10分 解法2：2+①②得，022C 2C 2n n n n -⋅+⋅+=312n+． 又因为()()()()111!!C C !!1!!k k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---，所以 ()()113311C 23C 2C 2n n n n n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅．()()()1133111331C 2C 2C 2C 23C 21C 2n n n n n n n n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅-⋅+⋅⋅++-⋅⋅()01232111C 2C 2C 2n n n n n n n nA n ------=-⋅+⋅++⋅()()1131313122n n n n n ---+=⋅-=⋅-． ……………10分。

y ⎩江苏省泰州市 2019—2020 学年度第二学期调研测试高三数学试题第I 卷（必做题，共 160 分）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合 A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，则 A B ＝ ． 2. 若实数 x ，y 满足 x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i （i 是虚数单位），则 xy ＝ ．3. 如图是容量为 100 的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ．4. 根据如图所示的伪代码，可得输出的 S 的值为 ．5.若双曲线 x a 2 2- = 1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为 y = 2x ，则该双曲线的离心率b 2为 ．6. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） 先后抛掷 2 次，这两次出现向上的点数分别记为 x ，y ，则 x - y = 1的概率是．7. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 2＝4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是它到 y 轴距离的 3倍，则点 P 的横坐标为 ．8. 我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半， 一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里． 9．若定义在 R 上的奇函数 f (x ) 满足 f (x + 4) = f (x ) ， f (1) = 1，则 f (6) ＋ f (7) ＋ f (8)的值为．10. 将半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为9 3π，则 R ＝．⎧x + a ，x ≥ a 1. 若函数 f (x ) = ⎨x 2 -1，x < a 只有一个零点，则实数 a 的取值范围为．22 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( x ， y )，B( x ， y )在圆 O ： x 2 + y 2= 4 上，1122且满足 x 1x 2 + y 1 y 2 = -2 ，则 x 1 + x 2 + y 1 + y 2 的最小值是．13. 在锐角△ABC 中，点 D ，E ，F 分别在边 AB ，BC ，CA 上，若AB = 3AD ，AC = λAF ，且BC ⋅ ED = 2EF ⋅ ED = 6 ， ED = 1，则实数λ的值为．14. 在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，且满足 AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，则BD的取CD值范围为 ．二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 P — ABC 中，PA ⊥平面 ABC ，AB ＝AC ，点 D ，E ，F 分別是 AB ，AC ， BC 的中点．（1） 求证：BC ∥平面 PDE ； （2） 求证：平面 PAF ⊥平面 PDE ．16．（本小题满分 14 分）已知函数 f (x ) = sin 2x + sin x cos x - 1，x ∈R ．2（1）求函数 f (x ) 的最大值，并写出相应的 x 的取值集合；π 3π （2）若 f (α) =，α∈( - ， )，求 sin2α的值．6 8 817．（本小题满分14分）某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12 米的圆形温泉池，如图所示，M，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为四心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM，AN 分别交于点D，E，其中四边形AEBD 为温泉区，I、II 区域为池外休息区，III、IV 区域为池内休息区，设∠MAB＝θ．（1）当θ=π时，求池内休息区的总面积（III和IV两个部分面积的和）；4（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M：xa2y2+= 1(a＞b＞0)的左顶点为A，过点b2A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B，以AB为边作矩形ABCD，其中直线CD过原点O．当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b，且AB＝3b ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值；（3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19．（本小题满分16分）2定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ函数”．（1）判断函数f (x) =xe x-1是否为“YZ函数”，并说明理由；（2）若函数g(x) = ln x -mx (m∈R)是“YZ函数”，求实数m的取值范围；（3）已知h(x) =1x3 +1ax2 +bx -1b ，x∈(0，+∞)，a，b∈R，求证：当a≤﹣2，3 2 3且0＜b＜1时，函数h(x)是“YZ函数”．20．（本小题满分16分）已知数列{a n}，{b n}，{c n}满足b n=a n+2-a n，c n=2a n+1+a n．（1）若数列{a n}是等比数列，试判断数列{c n}是否为等比数列，并说明理由；（2）若a n恰好是一个等差数列的前n项和，求证：数列{b n}是等差数列；（3）若数列{b n}是各项均为正数的等比数列，数列{c n}是等差数列，求证：数列{a n}是等差数列．第II 卷（附加题，共40 分）2 )+ + = + + ≤ 21．【选做题】本题包括 A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A. 选修 4—2：矩阵与变换已知列向量⎡a ⎤ 在矩阵 M ＝ ⎡3 4⎤ 对应的变换下得到列向量⎡b - 2⎤ ，求M -1 ⎡b ⎤ ．⎢5 ⎥ ⎢1 2 ⎥ ⎢ b ⎥ ⎢a ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦B. 选修 4—4：坐标系与参数方程⎧⎪x = cos α在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨⎪⎩ y = (α为参数)．以坐标原 3 sin α点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为ρsin(θ+ π= 4 ， 4点 P 为曲线 C 上任一点，求点 P 到直线 l 距离的最大值．C. 选修 4—5：不等式选讲已知实数 a ，b ，c 满足 a ＞0，b ＞0，c ＞0，a 2b 2c 23 ，求证：a b c 3 ． b c a【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD 是边长为2 的π正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE＝，EF⊥平面ADE，EF＝1．2（1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值；（2）求二面角B—DF—C 的余弦值．23．（本小题满分10分）给定n(n≥3，n∈ N*)个不同的数1，2，3，…，n，它的某一个排列P 的前k(k∈ N*，1≤k≤n)项和为Sk ，该排列P 中满足2Sk≤Sn的k 的最大值为kP．记这n 个不同数的所有排列对应的kP 之和为Tn．（1）若n＝3，求T3；（2）若n＝4l＋1，l∈ N*，①证明：对任意的排列P，都不存在k(k∈ N*，1≤k≤n)使得2Sk =Sn；②求Tn(用n 表示)．2 2 2 2 12019～2020 学年度第二学期调研测试高三数学答案一、填空题 1. {1, 2, 4,8}2. 12 513. 804. 85.6.7.1828. 192 9. -1 10. 6 11. (-∞ -1] (0,1] 二、解答题12. -2 13. 314. (1, 2]15.（本题满分 14 分）证明：（1）在 ∆ABC 中，因为 D , E 分别是 AB , AC 的中点，所以 DE / / B C ， .............................................................................................................. 2 分 因为 BC ⊄ 平面PDE ， DE ⊂ 平面PDE ，所以 BC / /平面PDE ． ................................................................................................. 6 分 （2）因为 PA ⊥ 平面ABC ， DE ⊂ 平面PDE ，所以 PA ⊥ DE ，在∆ABC 中，因为 AB = AC ， F 分别是 BC 的中点， 所 以 AF ⊥ BC ， ............................................................................................................ 8 分 因为 DE / / BC ，所以 DE ⊥ AF ，又因为 AF PA = A ， AF ⊂ 平面PAF , PA ⊂ 平面PAF ，所以 DE ⊥ 平面PAF ， .............................................................................................. 12 分因为 DE ⊂ 平面PDE ，所以平面PAF ⊥ 平面PDE ． ..................................... 14 分16.（本题满分 14 分）解：（1）因为 f (x ) = sinx + sin x cos x - ， 21- c os 2x 所 以 f (x ) = +1 sin 2x - 1 = 1 (sin 2x - cos 2x )……………2 分2 2 2 2 = (sin 2x cos π- cos 2x sin π = sin(2x - π)……………4 分2 4 4 2 4当 2x - π = 2k π+ π(k ∈ Z) ，即 x = k π+3π(k ∈ Z) 时， f (x ) 取最大值 ， 4 28252)2 2 2 2 1± 3388 ))) ( ) α- ∈ , ) ) ] ) cos ) sin 所以 f (x ) 的最大值为2 ，此时 x 的取值集合为⎧x x = k π+3π,k ∈ ⎫．………7 分⎨Z ⎬ 2⎩ ⎭（2）因为 f (α) =，则 2 sin(2α- π =，即sin(2α- π = 1 ，6 2 46 4 3因为α∈(- π , 3π ) ，所以 2 π (- π π ， 8 8 4 2 2 π π 1 则cos(2α- ) = 1 -sin 2(2α- = 1 - 2 = ， ................................. 10 分4 4 3 3所以sin 2α= sin[(2α- π + π = sin(2α- π π+ cos(2α- π π4 4 4 4 4 4= 1⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 = 4 + 2 . ……………14 分 3 2 3 2 617.（本题满分 14 分）解：（1）在 Rt ∆ABM 中，因为 AB = 24 ，θ= π，4所以 MB = AM = 12 ， MD = 24 cos π-12 = 12 4-12 ，所以池内休息区总面积 S = 2 ⋅ 1MB ⋅ DM = 12 2(12 2-12) = 144(2 - 2) ．（2）在 Rt ∆ABM 中，因为 AB = 24 ， ∠MAB =θ， ……………4 分所以 MB = 24sin θ, AM = 24 cos θ， MD = 24 cos θ-12 ，由 MB = 24sin θ> 0, MD = 24 c os θ-12 > 0 得θ∈⎛ 0,π⎫ ， .................................... 6 分 3⎪⎝⎭则池内休息区总面积 S = 2 ⋅ 1MB ⋅ DM = 24sin θ(24 cos θ-12) ，θ∈⎛ 0,π⎫； 23 ⎪设 f (θ) = sin θ(2 cos θ-1) ，θ∈⎛ 0,π⎫，因为⎝ ⎭……………9 分3 ⎪ ⎝ ⎭f '(θ) = cos θ(2 cos θ-1) - 2sin 2 θ= 4 cos 2 θ- cos θ- 2 = 0 ⇒ cos θ= ，又cos θ=1+ 33 > 1 ，所以∃θ ∈ ⎛ 0,π⎫，使得cos θ = 1+ 33 ， 8 2 0 3 ⎪ 0 8⎝ ⎭则当 x ∈(0,θ0 ) 时， f '(θ) > 0 ⇒ f (θ) 在(0,θ0 )上单调增， 2 2 2a 2+ b 22 4 1+ k 21+ k 21+ k 22 24 1+ k 2 ⎨ 2 ⎩2 当 x ∈⎛θ,π⎫时， f '(θ) < 0 ⇒ f (θ) 在(0,θ ) 上单调减， 0 3 ⎪ 0⎝ ⎭即 f (θ0 )是极大值，也是最大值，所以 f max (θ) =f (θ0 )，此时 AM = 24 cos θ0 = 3+ 3 ． ................................................................................ 13 分答：（1）池内休息区总面积为144(2 - 2)m 2；（2）池内休息区总面积最大时 AM 的长为 AM = (3 + 3 33)m ．………14 分18.（本题满分 16 分）⎧ = ⎪ 解：（1）由题意： ⎪ 1ab = b ⎪3b ，解得 a = 2, b = c = ，⎪a 2 = b 2 + c 22所以椭圆 M 的标准方程为x+y= 1． ........................................................... 4 分4 2（2） 显然直线 AB 的斜率存在，设为 k 且 k > 0 ，则直线 AB 的方程为 y = k (x + 2)，即 kx - y + 2k = 0 ，⎧ y = k (x + 2) ⎪ 2 2 2 2联立⎨ x 2 + y 2 = ⎩ 4 2得(1+ 2k ) x + 8k x + 8k - 4 = 0 ，解得 x B = 2 - 4k 2 1+ 2k 2 ， y B = 4k 1+ 2k 2 ，所以 AB = = 1+ 2k 2 ，直线CD 的方程为 y = kx ，即 kx - y = 0 ，所以 BC ==2k ，4 1 + k 22k 8k88所以矩形 ABCD 面积 S =1+ 2k2⋅= = 1+ 2k 21 + 2k k≤ = 2 ， 2 2所以当且仅当 k =时，矩形 ABCD 面积 S 的最大值为 2 2（3） 若矩形 ABCD 为正方形，则 AB = BC ，． .............. 11 分 即 1+ 2k 22k ，则 2k 1+ k 23 - 2k 2+ k - 2 = 0 (k > 0) ， 33 (x + 2)2 + y 2B B2k 1+ k 22 = 1x 1 2 令 f (k ) = 2k 3 - 2k 2+ k - 2(k > 0) ，因为 f (1) = -1 < 0, f (2) = 8 > 0 ，又 f (k ) = 2k 3- 2k 2+ k - 2(k > 0) 的图象不间断， 所以 f (k ) = 2k 3- 2k 2+ k - 2(k > 0) 有零点，所以存在矩形 ABCD 为正方形．19.（本题满分 16 分）解：（1）函数 f (x ) = -1是“Y Z 函数”，理由如下：e x……………16 分因 为 f (x ) = xe x -1，则f '(x ) =1- x ， e x当 x < 1时， f '(x ) > 0 ；当 x > 1 时， f '(x ) < 0 ，x 1所 以 f (x ) = -1的极大值 f (1) = -1 < 0 ，e x e x故函数 f (x ) = -1是“Y Z 函数”． ............................................................ 4 分e x（2）定义域为(0, +∞) ， g '(x ) = 1- m ，x当 m ≤ 0 时， g '(x ) = 1- m > 0 ，函数单调递增，无极大值，不满足题意；x 当 m > 0 时，当0 < x <1 时， g '(x ) = 1- m > 0 ，函数单调递增， m x 当 x > 1 时， g '(x ) = 1- m < 0 ，函数单调递减，m x1 1 1所以 g ( x ) 的极大值为 g ( ) = ln - m ⋅ = - ln m -1，m m m1 1由题意知 g ( ) = - ln m -1 < 0 ，解得 m > m ． (10)分 e（3）证明： h '(x ) = x 2 + ax + b ，因为 a ≤ -2 ， 0 < b < 1，则∆ = a 2 - 4b > 0 ，所以 h '(x ) = x 2+ ax + b = 0 有两个不等实根，设为 x , x ，⎧x 1 + x 2 = -a > 0因为⎨x x = b > 0，所以 x 1 > 0, x 2 > 0 ，不妨设0 < x 1 < x 2 ， ⎩ 1 2当0 < x < x 1 时， h '(x ) > 0 ，则 h (x ) 单调递增； 当 x 1 < x < x 2 时， h '(x ) < 0 ，则 h (x ) 单调递减，1 所以 h (x ) 的极大值为 h (x ) = 1x 3+ 1ax 2+ bx - b ， .......................... 13 分13 12 113由 h '(x ) = x 2 + ax + b = 0 得 x 3 = x (-ax - b ) = -ax 2- bx ，1 1 1因为 a ≤ -2 ， 0 < b < 1，所以 h (x ) = 1x 3+ 1ax 2+ bx 1 1 1 1 1- 1b = 1(-ax 2 - bx ) + 1ax 2 + bx - 1b13 12 1 13 31 1 21 1 3 = 1 ax2 + 2 bx - 1 b ≤ - 1 x 2 + 2 bx - 1 b6 1 3 13 3 1 3 1 3= - 1 (x - b )2 + 1b (b -1) < 0 ．3 1 3所以函数 h (x ) 是“Y Z 函数”． ........................................................................ 16 分（其他证法相应给分）20.（本题满分 16 分）解：（1）设等比数列{a n }的公比为 q ，则 c n = 2a n +1 + a n = 2a n q + a n = (2q +1)a n ， 当 q = - 1时， c = 0 ，数列{c }不是等比数列， ............................................. 2 分2n n1c n +1(2q +1)a n +1当 q ≠ - 2时，因为 c n ≠ 0 ，所以 c=(2q +1)a = q ，所以数列{c n }是等比数nn列． .............................................................................................................................. 5 分（2） 因为 a n 恰好是一个等差数列的前 n 项和，设这个等差数列为{d n } ，公差为 d ，因为 a n = d 1 + d 2 + + d n ，所以 a n +1 = d 1 + d 2 + + d n + d n +1 ， 两式相减得 a n +1 - a n = d n +1 ， 因为 a n +2 = a n + b n ，所以b n +1 - b n = (a n +3 - a n +1 ) - (a n +2 - a n ) = (a n +3 - a n +2 ) - (a n +1 - a n ) = d n +3 - d n +1 = 2d ，所以数列{b n }是等差数列． .......................................................................................... 10 分（3） 因为数列{c n }是等差数列，所以c n +3 - c n +2 = c n +1 - c n ，又因为c n = 2a n +1 + a n ，所以 2a n +4 + a n +3 - (2a n +3 + a n +2 ) = 2a n +2 + a n +1 - (2a n +1 + a n ) ，即 2(a n +4 - a n +2 ) = (a n +3 - a n +1) + (a n +2 - a n ) ，则 2b n +2 = b n +1 + b n ，又因为数列{b }是等比数列，所以b= b b，则b = b ⋅ b n +1 + b n ，n即(b n +1 - b n )(2b n +1 + b n ) = 0 ，n +1 n n +2n +1 n 2222 n q 1 2 n q 0 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎦⎪ ⎣ 因为数列{b n }各项均为正数，所以b n +1 = b n ， .......................................................... 13 分则 a n +3 - a n +1 = a n +2 - a n ， 即 a n +3 = a n +2 + a n +1 - a n ，又因为数列{c n }是等差数列，所以 c n +2 + c n = 2c n +1 ， 即(2a n +3 + a n +2 ) + (2a n +1 + a n ) = 2(2a n +2 + a n +1) ， 化简得 2a n +3 + a n = 3a n +2 ，将 a n +3 = a n +2 + a n +1 - a n 代入得2(a n +2 + a n +1 - a n ) + a n = 3a n +2 ，化简得 a n +2 + a n = 2a n +1 ，所以数列{a n }是等差数列． .....................................16 分 （其他证法相应给分）数学Ⅱ（附加题）21. A ． [选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）⎡3 解：因为 4⎤⎡a ⎤ = ⎡b - 2⎤ ，所以⎧3a + 20 = b - 2 ，解得⎧a = -6 ， .............. 4 分 ⎢1 2⎥⎢5⎥ ⎢ b ⎥⎨ a +10 = b ⎨ b = 4 ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎩设 M -1= ⎡m p ⎤ ，则⎡3 4⎤ ⎡m p ⎤ = ⎡1 0⎤ ，⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎧m = 1⎧3m + 4n = 1 ⎪3 p + 4q = 0 ⎪n = - 1 ⎡ 1 - 2⎤ ⎪ ⎪ 即 ，解得 2 ， 所 以 M -1 = ⎢ 13 ⎥ ， .............................. 8 分 ⎨m + 2n = 0 ⎪⎩ p + 2q = 1 ⎨ p = -2 ⎪q = 3 ⎢⎣- 2 2 ⎥⎦ ⎩ 2⎡b ⎤ ⎡ 1 -2⎤⎡ 4 ⎤ ⎡ 16 ⎤ 所 以 M -1 ⎢ ⎥ = ⎢ 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥10分⎣a ⎦ ⎢-⎥ ⎣-6⎦ ⎣-11⎦ 2 2B.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）ππ解：由题：直线方程即为ρ(sin θcos + cos θsin) = 4 ，4 4由ρcos θ= x ， ρsin θ= y 得直线的直角坐标方程为 x + y - 8 = 0 ， ..................... 4 分设 P 点的坐标为(cos α, 3 sin α)，cos α+ 3 sin α- 812 +122AE ⋅ DF = [( b )2 2sin ⎛α+ π⎫ - 86 ⎪ ∴ 点 P 到直线的距离 d = = ⎝ ⎭ ， 8 分当α+ π = 2k π- π(k ∈ Z ) ，即α= 2k π- 2π(k ∈ Z) 时， d 取得最大值5，6 2 3此时点 P 的坐标为⎛ - 1 , - 3 ⎫10 分2 2 ⎪ ⎝ ⎭C.[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）证明：由柯西不等式，得3(a + b + c ) = (b + c + a )( a + b 2 + c b c a)2 ]………………5 分a ⋅ )所以 a + b + c ≤ 3 ． .............................................................................................. 10 分 22.（本小题满分 10 分）π解：因为平面 ADE ⊥ 平面 ABCD ,又∠ADE = ，2即 DE ⊥ AD ，因为 DE ⊂ 平面ADE ，平面ADE 平面ABCD = AD ， ∴ DE ⊥ 平面 ABCD ,由四边形 ABCD 为边长为 2 的正方形, 所以 DA , DC , DE 两两互相垂直．以 D 为坐标原点，{DA , DC , DE }为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系 ......... 2 分由 EF ⊥ 平面 ADE 且 EF = 1 ,∴ D (0, 0, 0), A (2, 0, 0), E (0, 0, 2),C (0, 2, 0), B (2, 2, 0), F (0,1, 2),（1） AE = (-2, 0, 2) , DF = (0,1, 2) ，则cos < AE , DF >=AE ⋅ DF = 4 = 10 ,2 2 ⨯ 5 52 ≥ ( b ⋅ 22 )+ ( c )2 + ( a )2][( a )2 + ( b )2 + ( c b c a a + c ⋅ b + b c c 2 a = (a + b + c ) 2⎧ ⋅ n (n +1) m n 所以 AE 和 DF 所成角的余弦值为10 (5)分 5（2） DB = (2, 2, 0) , DF = (0,1, 2) ,设平面 BDF 的一个法向量为n = ( x , y , z ) ，n ⋅ DB = 2x +2 y = 0 由⎨,取 z = 1,得 n = (2,-2,1) , ⎩n ⋅ DF = y + 2z = 0平面 DFC 的一个法向量为 m = (1, 0, 0) ,∴cos < >= m ⋅n = 2 = 2 ,m ,n 3⨯1 32由二面角 B - DF - C 的平面角为锐角,所以二面角 B - DF - C 的余弦值为 3.……10 分23.（本小题满分 10 分）解：（1）1, 2, 3的所有排列为1, 2,3;1,3, 2; 2,1,3; 2,3,1;3,1, 2;3, 2,1，因为 S 3 = 6 ，所以对应的 k P 分别为 2,1, 2,1,1,1，所以T 3 = 8 ； ............................... 3 分（2）（i ）设 n 个不同数的某一个排列 P 为 a 1 , a 2 , ⋅⋅⋅, a n ，因为 n = 4l +1,l ∈ N *，所以 S n == (4l + 1)(2l + 1) 为奇数，2而 2S k 为偶数，所以不存在 k (k ∈ N *,1≤ k ≤ n ) 使得 2S k = S n ； ...........................5 分 (ii) 因为 2S k ≤ S n ，即 a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a k ≤ a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ， 又由（i ）知不存在 k (k ∈ N *,1≤ k ≤ n ) 使得 2S k = S n ， 所以 a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a k < a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ；所以满足 2S k ≤ S n 的最大下标 k 即满足 a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a k < a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ① 且 a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a k + a k +1 > a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ②， 考虑排列 P 的对应倒序排列 P ' : a n , a n -1, ⋅⋅⋅, a 1 ，①②即 a n + ⋅⋅⋅ + a k +2 < a k +1 + a k + ⋅⋅⋅ + a 2 + a 1 ， a n + ⋅⋅⋅ + a k +2 + a k +1 > a k + ⋅⋅⋅ + a 2 + a 1 , 由题意知 k P ' = n - k -1，则 k P + k P ' = n - 1 ； ..................................................................................................... 8 分 又1, 2, 3,⋅⋅⋅, n ，这 n 个不同数共有 n !个不同的排列，可以构成 n !个对应组合( P , P ') ，2且每组( P , P ') 中 k P + k P ' = n - 1 ，所以T n =n !(n -1) ． .................................... 10 分2。

江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）2020届高三数学下学期第三次调研考试试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1. 已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则A B＝_______．【答案】{﹣1，0，1，2}【解析】【分析】直接利用集合的并集运算求解.【详解】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，∴A B＝{﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2. 设复数z满足(3﹣i)z，其中i为虚数单位，则z的模是_______．【答案】1【解析】【分析】先利用复数的除法求出复数z，再求复数的模得解.【详解】解：∵(3﹣i)z，∴z====，∴1z==．故答案为：1【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3. 如图是一个算法流程图，则输出的k的值是____．【答案】5【解析】【分析】->模拟程序的运行结果，即可得由已知中的框图可知进入循环的条件为不满足条件2k4k0，到输出的k值【详解】模拟执行程序，可得k=1->执行循环体，k=2不满足条件2k4k0,->执行循环体，k=3不满足条件2k4k0,->执行循环体，k=4不满足条件2k4k0,->执行循环体，k=5不满足条件2k4k0,->退出循环，输出k的值为5满足条件2k4k0,故答案为5【点睛】本题考查程序框图的应用，明确每次循环，准确判断何时结束循环是关键，是基础题4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了20名学生，则n的值是_______．【答案】55【解析】【分析】根据分层抽样每个个体入样的可能性相同，计算可得；【详解】解：依题意可得20(443)55 4⨯++=．故答案为：55【点睛】本题考查分层抽样的应用，属于基础题.5. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果, 功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出2种,则恰好选出1药1方的概率是_______.【答案】3 5【解析】【分析】根据组合的方法结合古典概型的概率公式求解即可.【详解】从“三药三方”中随机选出2种共2615C=个基本事件,其中1药1方的事件数有11 339C C=个.故概率P＝93 155=.故答案为：3 5【点睛】本题主要考查了利用组合的方法解决随机事件的概率问题,属于基础题.6. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2＝4x的准线是双曲线22212x ya-=(a＞0)的左准线,则实数a的值是_______．【解析】【分析】根据抛物线以及双曲线的准线方程列式求解即可.【详解】因为抛物线y2＝4x的准线是双曲线22212x ya-=(a＞0)的左准线,故21-=即()()24222210a a a a +=⇒-+=,因为0a >故解得a ＝2． 故答案为：2【点睛】本题主要考查了抛物线与双曲线的简单性质,属于基础题. 7.已知5cos()13αβ+=，3sin 5β=，α，β均为锐角，则sin α的值是_______． 【答案】3365【解析】 【分析】计算得到12sin()13αβ+=，4cos 5β=，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】∵α，β均为锐角，∴()0,αβπ+∈，从而sin()0αβ+>，cos 0β>，∵5cos()13αβ+=，3sin 5β=，∴12sin()13αβ+=，4cos 5β=， ∴sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=. 故答案为：3365. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.8. 公园里设置了一些石凳供游客休息,这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V 1,正方体的体积为V 2,则12V V 的值是_______．【答案】56【解析】 【分析】设正方体的棱长为2a 即可得出V 2,再利用总体积减去正方体八个角上的三棱锥的体积求出V 1,继而得出12V V 即可.【详解】解析：设正方体的棱长为2a ,则V 2＝8a 3,23331211420883233V V a a a a a =-⨯⨯⋅=-=, 故3132205386aV V a ==． 【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积问题,属于基础题. 9. 已知x ＞1，y ＞1，xy ＝10，则14lg lg x y+的最小值是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】依题意可得lg lg 1x y +=，再由基本不等式计算可得；【详解】解：∵10xy =,1x >,1y >，∴lg lg 1x y +=，lg 0x >，lg 0>y ，所以1414lg 4lg ()(lg lg )55lg lg lg lg lg lg y x x y x y x y x y +=++=++≥+59=+=，当且仅当lg 4lg lg lg y x x y=，即1310x =时取“＝”． 故答案为：9【点睛】本题考查对数的运算及基本不等式的应用，属于基础题.10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若24S ,4S ,32S -成等差数列,且232a a +=,则6a 的值是_______．【答案】32- 【解析】 【分析】根据等差等比数列的性质列式求解得2q =-,再利用等比数列各项的关系求解6a 即可. 【详解】∵24S ,4S ,32S -成等差数列,∴423242S S S =-,即4223S S S S -=-, 所以343a a a +=-,故432a a =-.∴2q =-. 又232a a +=,则()2122a -=,所以22a =-,46232a a q ==-．故答案为：32-【点睛】本题主要考查了等比数列的简单性质,等差中项的运用等,属于基础题.11. 海伦（Heron ，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a ，b ，c 计算其面积的公式S △ABC其中2a b cp ++=，若a ＝5，b ＝6，c ＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC 的内切圆的半径r 的值是_______．【解析】 【分析】首先根据海伦公式求得三角形ABC 的面积，然后根据三角形内切圆计算公式，计算出三角形ABC 的内切圆.详解】567922a b c p ++++===，S △ABC =由于()12ABC S a b c r ∆=++⋅，所以225673S r a b c ⨯===++++．【点睛】本小题主要考查三角形面积的计算，考查三角形内切圆半径的计算，属于基础题. 12. 如图,△ABC 为等边三角形,分别延长BA ,CB ,AC 到点D ,E ,F ,使得AD ＝BE ＝CF ．若BA 2AD =,且DE＝13,则AF CE ⋅的值是_______．【答案】92-【解析】 【分析】设AD ＝x ,再在△BDE 中根据余弦定理求解得出1x =,再利用数量积公式求解AF CE ⋅即可. 【详解】易知△DEF 也为等边三角形,设AD ＝x ,则BD ＝3x , △BDE 中,由余弦定理得：()()221133232x x x x ⎛⎫=+-⨯-⎪⎝⎭,解得x ＝1, 故BD ＝3,则9AF CE 33cos1202⋅=⨯⨯︒=-． 故答案为：92-【点睛】本题主要考查了平面向量数量积以及余弦定理的运用,属于基础题.13. 已知函数22(1),0()2,0k x f x x x k x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩,若函数()()()g x f x f x =-+有且仅有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是_______． 【答案】()27,+∞ 【解析】 【分析】根据题意可求得222,0()4,02,0kx k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩,再分0,0,0k k k =<>三种情况求函数的单调性,进而根据零点存在性定理求出函数的最小值求解不等式即可.【详解】由题, ()22212,0()22,0221,0k x k x x g x k k x x k k x x ⎧⎛⎫++-> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=--=⎨⎪⎛⎫⎪--+-< ⎪⎪⎝⎭⎩,即222,0()4,02,0k x k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩,当k ＝0时,原函数有且只有一个零点,不符题意,故k ≠0, 观察解析式,可知函数()g x 有且仅有四个不同的零点, 可转化为22(),0kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点, 当k ＜0,函数()g x 在(0,+∞)单调递增,最多一个零点,不符题意,舍；当k ＞0,322()(),0x k g x x x -'=>,令()0g x '=有13x k =,故要使()g x 在(0,+∞)有且仅有两个不同的零点, 则1233min 132()()0k g x gk k k k==+-<,因为0k >,故213333k k k <⇒<,解得k ＞27,综上所述,实数k 的取值范围是(27,+∞)． 故答案为：(27,+∞)【点睛】本题主要考查了根据分段函数的零点个数求解参数范围问题,需要根据函数的性质求出单调性以及最值,进而根据零点存在性定理列式求解.属于中档题.14. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P (2，﹣6)作直线交圆O ：x 2＋y 2＝16于A ，B 两点， C (0x ，0y )为弦AB _______．【答案】[10，42) 【解析】 【分析】求出点C 的轨迹，转化条件2200(1)(3)x y ++-为点C (0x ，0y )到点()1,3Q -距离，数形结合即可得解.【详解】因为C (0x ，0y )为弦AB 的中点，所以OC PC ⊥， 圆O ：x 2＋y 2＝16的圆心为()0,0O ，半径为4， 所以436210OP =+=，OP 的中点()1,3T -，C 在以OP 为直径的圆即圆22:(1)(3)10T x y -++=上，且C 在圆O 内，如图所示，圆T 上的劣弧EF （不含端点）即为C 的轨迹，2200(1)(3)x y ++-C (0x ，0y )到点()1,3Q -距离，由图可知，min 1010CQ TQ ==联立方程()()2222131016x y x y ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩可得45x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或45x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点E ⎝⎭，F ⎝⎭，所以EQ FQ ===)． 故答案为：).【点睛】本题考查了直线与圆的综合应用，考查了数形结合思想与转化化归思想，属于中档题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15. △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若5(sin C sin B)5sin A 8sin Ba b c--=+．（1）求cosC 的值；（2）若A ＝C ，求sinB 的值． 【答案】（1）45（2）2425【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）由（1）4cos 5C =，由同角三角函数的基本关系求出sin C ，再由诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：（1）由正弦定理：sin sin sin a b cA B C ==，且5(sin C sin B)5sin A 8sin B a b c--=+得5()58c b a ba b c--=+，整理得：()22258a b c ab +-=，故由余弦定理：2224cos 25a b c C ab +-==；（2）由（1）4cos 5C =，又C 为△ABC 内角，故23sin 1cos 5C C =-=， A C =，则24sin sin()sin()sin 22sin cos 25B AC A C C C C π=--=+===． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题. 16. 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC ⏊BC ,D ,E 分别是A 1B 1,BC 的中点．求证：（1）平面ACD ⊥平面BCC 1B 1； （2）B 1E ∥平面ACD ．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据直三棱柱的性质,证明1,AC BC AC CC ⊥⊥进而得到AC ⊥平面11BCC B 即可. (2) 取AC 中点F ,连结EF ,DF ,再证明四边形B 1DFE 为平行四边形即可. 【详解】证明：（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,CC 1⊥底面ABC ,又AC ⊂底面ABC 故AC ⊥CC 1,又因为AC ⊥BC ,CC 1∩BC ＝CCC 1⊂平面BCC 1B 1,BC ⊂平面BCC 1B 1所以,AC ⊥平面BCC 1B 1,又因为AC ⊂平面ACD 所以,平面ACD ⊥平面BCC 1B 1； （2）取AC 中点F ,连结EF ,DF 因为E ,F 分别为BC ,AC 中点 所以,EF ∥AB ,EF ＝12AB三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB // A 1B 1,AB ＝A 1B 1 又因为D 为A 1B 1中点,所以B 1D ∥AB ,B 1D ＝12AB 所以,EF ∥B 1D ,EF ＝B 1D因此,四边形B 1DFE 为平行四边形所以B 1E //DF ,又因为DF ⊂平面ACD ,B 1E ⊄平面ACD 所以,B 1E ∥平面ACD ．【点睛】本题主要考查了根据线面垂直与平行的性质证明面面垂直以及线面垂直等,属于中档题.17. 某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为1cm ，2cm 的两个同心圆的圆心，等腰△ABC 的顶点A 在外圆上，底边BC 的两个端点都在内圆上，点O ，A 在直线BC 的同侧．若线段BC 与劣弧BC 所围成的弓形面积为S 1，△OAB 与△OAC 的面积之和为S 2， 设∠BOC ＝2θ．（1）当3πθ=时，求S 2﹣S 1的值；（2）经研究发现当S 2﹣S 1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos θ的值．（求导参考公式：(sin 2x )'＝2cos 2x ，(cos 2x )'＝﹣2sin 2x ） 【答案】（1533π- (2cm )；（215-+【解析】【分析】依题意可得2(0,)BOC θπ∠=∈，故(0,)2πθ∈，1sin cos S θθθ=-，22sin S θ=，（1）当3πθ=时，代入计算可得；（2）由2112sin sin 22S S θθθ-=+-，(0,)2πθ∈ 令1()2sin sin 22f θθθθ=+-，(0,)2πθ∈，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值； 【详解】解：过点O 作ODBC 于点D ，则D 为BC 的中点，又ABC 为等腰三角形，所以A 、O 、D 三点共线，BOA AOC πθ∠=∠=-2(0,)BOC θπ∠=∈，故(0,)2πθ∈111211sin 2sin cos 22S OB OC θθθθθ=⋅⋅⋅-⋅=-()21212sin 2sin 2S πθθ=⨯⨯⨯-=（1）3πθ=时，1334S π=-，23S =21343S S π-=-， 答：当3πθ=时，求21S S -的值为343π- (2cm )； （2）2112sin sin 22S S θθθ-=+-，(0,)2πθ∈ 令1()2sin sin 22f θθθθ=+-，(0,)2πθ∈ 2()2cos 2cos 2f θθθ'=+-令()0f θ'=，得15cos θ-+=或15cos θ--=（舍去） 记015cos 2θ-+=，0(0,)2πθ∈θ()00,θ0θ0,2πθ⎛⎫⎪⎝⎭()f θ'＋ 0 － ()f θ单调递增极大值单调递减故0=θθ，即15cos θ-+=时，()f θ最大，即21S S -的值最大， 答：纪念章最美观时，cos θ的值为15-+． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，三角形面积公式的应用，属于中档题.18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点．已知椭圆的短轴长为22，离心率为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线MN11||||F M F N +的值；（3）若以MN 为直径的圆与x 轴相交的右交点为P (t ，0)，求实数t 的取值范围．【答案】（1）22162x y +=（2（3）2t ∈+．【解析】 【分析】（1）设焦距2c ，由题得到关于,,a b c 的方程组，解方程组即得解；（2）先求出点,M N 的坐标，再利用两点间的距离公式得解；（3）先讨论当直线MN斜率不存在时，23t =+；再讨论直线MN 斜率存在的情况,联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再根据0PM PN ⋅=得到222(6)(31210)0t t t t >⎧⎨--+≥⎩，解不等式组综合即得解.【详解】解：（1）设焦距2c，222226b b a c a c a⎧⎪=⎪⎪=-∴=⎨⎪⎪=⎪⎩，b =故椭圆的标准方程为：22162x y +=；（2）由（1）知，c ＝2，则F 2(2，0)2292)4364x y x x y y ⎧=⎪⎧=-⎪⎪∴⎨⎨+=⎪⎩⎪=⎪⎩或322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即93(,(,4422M N -，或93(,(,)4422N M -，因此，11||||4F M F N +==；（3）当直线MN 斜率不存在时，MN ：x ＝2，||MN ＝3， 以MN 为直径的圆方程为：222(2)3x y -+=,其与x 轴相交的右交点为(2+，0)，即2t =+当MN 的斜率存在时，设MN ：(2)y k x =-，M(1x ，1y )，N(2x ，2y )222222(2)(31)12126036y k x k x k x k x y =-⎧∴+-+-=⎨+=⎩， 所以224(1)k ∆=+，21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+， 则221212121222(2)(2)[2()4]31k y y k x k x k x x x x k =--=-++=-+，因为P 在以MN 为直径的圆上，则0PM PN =， 所以1212()()0x t x t y y --+= 所以2121212()0x x t x x t y y -+++=所以22222221261*********k k k t t k k k --⋅+-=+++ 所以222(31210)6t t k t -+=-， 因为2312100t t -+≠，所以222631210t k t t -=-+.∵P 是右交点，故t ＞2，因此222(6)(31210)0t t t t >⎧⎨--+≥⎩，解得23t ∈+．综合得23t ∈+. 【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的范围问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19. 已知{}n a 是各项均为正数的无穷数列，数列{}n b 满足n n n k b a a +=⋅(n N *∈)，其中常数k 为正整数．（1）设数列{}n a 前n 项的积(1)22n n nT -=，当k ＝2时，求数列{}n b 的通项公式；（2）若{}n a 是首项为1，公差d 为整数的等差数列，且21b b -＝4，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和；（3）若{}n b 是等比数列，且对任意的n N *∈，22n n k n k a a a ++⋅=，其中k ≥2，试问：{}n a 是等比数列吗？请证明你的结论． 【答案】（1）4n n b ；（2）202020202021S =（3）数列{}n a 是等比数列．证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出12()n n a n N -*=∈，即得数列{}n b 的通项公式；（2）通过分析得到d ＝1，得到n a n =，再求出k ＝1，即得(1)n b n n =+，再利用裂项相消法求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和；（3）设{}n b 公比为q 2，则对任意n N *∈，22k n k n k n k n n n k b a a q b a a ++++==，由已知得到k n k naq a +=，证明得到1n na q a +=，即得数列{}n a 是等比数列． 【详解】解：（1）因为(1)22n n n T -=，所以(2)(1)212(2)n n n Tn ---=≥，两式相除，可得(1)(1)(2)1222(2)n n n n n na n -----==≥，当n ＝1时，111112a T -===，符合上式，所以12()n n a n N -*=∈，当k ＝2时，112224n n n n n n b a a -++=⋅=⋅=；（2）因为n n n k b a a +=⋅，且11a =，所以1111k k b a a a ++==，2221(1)()k k b a a d a d ++==++， 所以2211(1)4k b b d d a +-=++=，因为{}n a 是各项均为正数的无穷数列，{}n a 是首项为1，公差d 为整数的等差数列， 所以d ，k 均为正整数，所以1d ≥，所以1212k a a d +≥=+≥，所以221(1)43k d d a d d +++=≥+，解得d ≤1，所以d ＝1，即n a n =. 所以211(1)42k k d d a a ++++==+，即12k a +=，解得k ＝1，所以1(1)n n n b a a n n +==+，则1111n b n n =-+， 记n b 的前n 项和为n S ， 则111111111()()()12233411n S n n n =-+-+-++-=-++， 所以202012020120212021S =-=； （3）因为{}n b 成等比数列，设公比为q 2，则对任意n N *∈，22k n k n k n kn n n kb a a q b a a ++++==， 因为0n a >，且22n n k n ka a a ++⋅=，所以2n k n k n n k a a a a +++=，所以k n kna q a +=， 因为222111112()kn n n k n n k n n n k n nb a a a q a q b a a a q a +++++++====，所以1n n a q a +=，所以数列{}n a 是等比数列．【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列的求和问题，考查数列性质的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20. 已知函数ln ()a xf x x=，ln ()x x a g x e +=，其中e 是自然对数的底数．（1）若函数()f x 的极大值为1e，求实数a 的值；（2）当a ＝e 时，若曲线()y f x =与()y g x =在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值； （3）设函数()()()h x g x f x =-，若()h x ＞0对任意的x ∈(0，1)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）a ＝1；（2）01x =；（3）[1e，+∞)． 【解析】 【分析】（1）利用导数求出()f x 的极大值1()a f e e e==，即得a 的值；（2）由00()()1f x g x ''⋅=-得到000ln x x e e x e +=，设()ln xx xe e x ϕ=+，根据函数的单调性和(1)e ϕ=得到01x =；（3）由题得ln()ln x xae x ae x>对任意x ∈(0，1)恒成立，设ln ()x H x x =，得到x ae x >对任意x ∈(0，1)恒成立，即x x a e >，设()xxG x e =，x ∈(0，1)，求出()G x 的最大值得解.【详解】解：（1）因为ln ()a x f x x=，则2(1ln )()a x f x x -'=，因为ln ()xx ag x e +=，所以a ＞0，则当x ∈(0，e )时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当x ∈(e ，+∞)时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以当x ＝e 时，()f x 的极大值1()a f e e e==，解得a ＝1；（2）当a ＝e 时，ln ()e x f x x=，1()x x g x e +=，则2(1ln )()e x f x x -'=，()exxg x -'=， 由题意知，0000020(1ln )()()1x e x x f x g x x e--''⋅=⋅=-， 整理得000ln xx e e x e +=，设()ln xx xe e x ϕ=+，则()(1)0xex x e xϕ'=++>，所以()ϕx 单调递增， 因为(1)e ϕ=，所以01x =； （3）由题意可知，ln ln ()0xx a a xh x e x+=->对任意x ∈(0，1)恒成立， 整理得ln()ln x xae xae x>对任意x ∈(0，1)恒成立， 设ln ()xH x x=，由（1）可知，()H x 在(0，1)上单调递增， 且当x ∈(1，+∞)时，()0H x >，当x ∈(0，1)时，()0H x <， 若1x ae x ≥>，则()0()xH ae H x ≥>，若01x ae <<，因为()()x H ae H x >，且()H x 在(0，1)上单调递增，所以x ae x >， 综上可知，x ae x >对任意x ∈(0，1)恒成立，即x x a e>， 设()x x G x e =，x ∈(0，1)，则1()0xxG x e-'=>，所以()G x 单调递增， 所以1()(1)G x G a e <=≤，即a 的取值范围为[1e，+∞)．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查利用导数研究不等式的恒成立问题和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.江苏省七市2020届高三第三次调研考试数学附加题【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．选修4—2：矩阵与变换21. 已知m R ∈，11α⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵121M m ⎛=⎫⎪⎝⎭的一个特征向量，求M 的逆矩阵1M -．【答案】11233M 2133-⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】根据特征向量定义及矩阵乘法运算，先求得矩阵M ；设矩阵M 的逆矩阵1M a b c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由矩阵乘法运算可得方程组，解方程组即可确定M 的逆矩阵1M -． 【详解】设11α⎛⎫= ⎪⎝⎭是属于特征值n 的一个特征向量，则M n αα，因为1112113m m M α+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11n n n n α⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13m n +==，解得2m =，所以矩阵1221⎛⎫= ⎪⎝⎭M ，设矩阵M 的逆矩阵1M a b c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112212210M2201a b a c b d c d a c b d M -⎛⎫ ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭⎝⎪⎭⎝⎭所以21202021a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得13232313a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩，所以11233M 2133-⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了矩阵特征向量的应用，逆矩阵的求法，属于中档题. 选修4—4：坐标系与参数方程22. 在极坐标系中，圆C 的方程为()2sin 0r r ρθ=>.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．若直线l 与圆C 恒有公共点，求r 的取值范围． 【答案】[)2,+∞ 【解析】 【分析】将圆的极坐标方程化为普通方程，确定圆心和半径，并将直线l 的方程化为一般方程，利用圆心到直线l 的距离不大于r 可得出关于r 的不等式，进而可求得正数r 的取值范围.【详解】因为圆C 的极坐标方程为2sin r ρθ=，所以22sin r ρρθ=，因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以222x y ry +=，整理得()222x y r r +-=，即圆C 是圆心为()0,r ，半径为r 的圆，因为直线l的参数方程为1x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去t20y --=，所以，直线l20y --=，因为直线l 和圆C 有公共点，所以圆心C 到直线l的距离22r d r +==≤，解得2r ≥， 因此，r 的取值范围是[)2,+∞.【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数的取值范围，同时也考查曲线的极坐标方程、参数方程与普通方程之间的相互转化，考查计算能力，属于中等题. 选修4—5：不等式选讲23. 已知1x >，1y >，且4x y +=，求证：22811y x x y +≥--． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】设1x m -=，1y n -=，可得出2m n +=，然后利用基本不等式可证得22811y x x y +≥--. 【详解】设1x m -=，1y n -=，因1x >，1y >，所以0m >，0n >，且22m n x y +=+-=，()()((2222221144811n m y xn mx y m n mnm n++∴+=+≥+=+≥=--. 当且仅当1m n ==，即2x y ==时，上述等号成立，原命题得证．【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式进行化简变形，考查推理能力与计算能力，属于中等题.【必做题】每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 24. 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙（其中有且只有1把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束．（1）设随机变量X 为试开第一扇门所用的钥匙数，求X 的分布列及数学期望()E X ； （2）求恰好成功打开4扇门的概率． 【答案】（1）见解析，()3E X =；（2）80243． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值为1、2、3、4，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的概率分布列，利用数学期望公式可求得()E X ；（2）计算出每扇门被打开的概率，然后利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值为1、2、3、4，则()116P X ==，()5112656P X ==⨯=， ()541136546P X ==⨯⨯=，()5431543214654365432P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以随机变量X 的分布列为：X1234P1616 1612所以随机变量的数学期望()1111123436662E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）由（1）可知，每扇门被打开的概率为54322165433P =-⨯⨯⨯=， 设恰好成功打开四扇门为事件A ，则()445218033243P A C ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭．【点睛】本题考查随机变量及其分布列以及数学期望的计算，同时也考查了独立重复试验概率的计算，考查计算能力，属于中等题.25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴的交点为E ．过点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，EA 、EB 分别与y 轴相交于M 、N 两点，当AB x ⊥轴时，2EA =．（1）求抛物线的方程；（2）设EAB 的面积为1S ，EMN 面积为2S ，求12S S 的取值范围． 【答案】（1）2y =；（2）[)4,+∞． 【解析】 【分析】（1）当AB x ⊥轴时，求出AF ，利用勾股定理可求得正数p 的值，进而可得出抛物线的标准方程；（2）设直线AB的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，求出点M 、N 的坐标，进而可求得1S 、2S 关于m 的表达式，可得出12S S 关于m 的表达式，利用不等式的基本性质可求得12S S 的取值范围. 【详解】（1）当AB x ⊥轴时，直线AB 的方程为2p x =，联立222p x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩，可得y p =， 则AF p =，且EF p =，2EA ∴===，解得p =，因此，抛物线的标准方程为2y =； （2）设直线AB的方程为2x my =+，由22y x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得220y --=， 设点()11,A x y 、()22,B x y，所以12y y +=，122y y =-，直线AE方程为12y x ⎛=⎭，令0x =，得1112M y y y ==，同理2222N y y y ==所以M N y y -===其中(()2222121212224222my mym y y y y m m m =++=-++=+，则122121244412M NEF y y S m S EO y y-==+≥-，当0m =时等号成立， 因此12S S 的取值范围为[)4,+∞．【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中三角形面积比的取值范围的求解，考查计算能力，属于中等题.。

2020届江苏省泰州市高三下学期调研测试数学试题一、填空题1．已知集合{}1,2A =，{}2,48B =,，则A B =U _______． 【答案】{}1,2,4,8【解析】利用并集的定义可求得集合A B U . 【详解】{}1,2A =Q ，{}2,48B =,，{}1,2,4,8A B ∴=U . 故答案为：{}1,2,4,8. 【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.2．若实数x 、y 满足()1x yi x y i +=-+-（i 是虚数单位），则xy =_______． 【答案】12【解析】根据复数相等建立方程组，求出x 、y 的值，进而可得出xy 的值. 【详解】()1x yi x y i +=-+-Q ，1x y x y =-⎧∴⎨=-⎩，解得112x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此，12xy =.故答案为：12. 【点睛】本题考查利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[)6,18内的频数为_______．【答案】80【解析】将样本数据落在区间[)6,18内的频率乘以100可得出结果. 【详解】由直方图可知，样本数据落在区间[)6,18内的频率为()0.080.090.0340.8++⨯=， 因此，样本数据落在区间[)6,18内的频数为1000.880⨯=. 故答案为：80. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数，解题时要明确频率、频数与总容量之间的关系，考查计算能力，属于基础题.4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为_______．【答案】8【解析】根据算法程序列举出算法的每一步，进而可得出输出的S 的值. 【详解】15I =<成立，123I =+=，336S =+=； 35I =<成立，325I =+=，538S =+=； 55I =<不成立，跳出循环体，输出S 的值为8.故答案为：8. 【点睛】本题考查利用算法程序计算输出的值，一般要求将算法的每一步计算出来，考查计算能力，属于基础题.5．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于___.5【解析】根据双曲线方程得渐近线方程，再根据条件得ba＝2，最后得离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 所以，ba＝2，离心率为：c e a ==== 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程以及离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x 、y ，则1x y -=的概率是_______． 【答案】518【解析】计算出基本事件总数，列举出事件“1x y -=”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，基本事件总数为2636=，其中，事件“1x y -=”所包含的基本事件有：()1,2、()2,1、()2,3、()3,2、()3,4、()4,3、()4,5、()5,4、()5,6、()6,5，共10种情况，因此，所求事件的概率为1053618=. 故答案为：518. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为_______． 【答案】12【解析】设点P 的坐标为()00,x y ，根据抛物线的定义可得出关于0x 的方程，解出0x 的值即可得解. 【详解】设点P 的坐标为()00,x y ，则00x >，抛物线的准线方程为1x =-， 由于点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则0013x x +=，解得012x =. 因此，点P 的横坐标为12. 故答案为：12. 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标的求解，考查了抛物线定义的应用，考查计算能力，属于基础题.8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________ 【答案】192【解析】根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列，又由6天走完378里，利用求和公式即可得出． 【详解】根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为12的等比数列， 又由6天走完378里，则S 6611[1)2112a ⎛⎤- ⎥⎝⎦==-378， 解可得：a 1＝192，即该人第一天走的路程为192里． 故答案为：192里． 【点睛】本题考查了等比数列求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，注重了数学文化的考查，属于基础题．9．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()11f =，则()()()678f f f ++的值为_______．【答案】1-【解析】利用函数()y f x =的周期性和奇偶性分别求出()6f 、()7f 、()8f 的值，进而可得出结果. 【详解】由于定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()4f x f x +=，则该函数是周期为4的周期函数，且()11f =，则()()800f f ==，()()()7111f f f =-=-=-，()()()622f f f =-=， 又()()22f f -=-，()20f ∴=，则()60f =， 因此，()()()6781f f f ++=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，考查计算能力，属于中等题.10．将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R =_______．【答案】6【解析】设圆锥的底面半径为r ，根据半圆弧长等于圆锥底面圆的周长可得出r 与R 的等量关系，并求出圆锥的高，得出圆锥的体积，由此可求得R 的值. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，由于半圆弧长等于圆锥底面圆的周长，则2r R ππ=，2R r ∴=，圆锥的高为2h R ==，则圆锥的体积为22311334224R V r h R R ππ==⨯⨯==，解得6R =.故答案为：6. 【点睛】本题考查由圆锥的体积求参数，考查计算能力，属于中等题. 11．若函数()2,1,x a x af x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】(](],10,1-∞-U【解析】分1a ≤-、11a -<≤、1a >三种情况讨论，结合函数()y f x =只有一个零点得出关于实数a 的不等式（组），即可求得实数a 的取值范围. 【详解】函数21y x =-的零点为±1.①当1a ≤-时，函数()y f x =在区间(),a -∞上无零点，则函数()y f x =在区间[),a +∞上有零点a -，可得a a -≥，解得0a ≤，此时1a ≤-； ②当11a -<≤时，函数()y f x =在区间(),a -∞上有零点1-，则函数()y f x =在区间[),a +∞上无零点，则a a -<，解得0a >，此时01a <≤； ③当1a >时，函数()y f x =在区间(),a -∞上的零点为±1，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(](],10,1-∞-U . 故答案为：(](],10,1-∞-U . 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，解答的关键就是对参数进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()11,A x y 、()22,B x y 在圆22:4O x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是_______．【答案】-【解析】求得23AOB π∠=，设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ，设b a >，可得出()223k k N πβαπ=++∈，然后利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得1212x x y y +++的最小值. 【详解】由题意可得()11,OA x y =u u u r 、()22,OB x y =u u u r ，12122OA OB x x y y ⋅=+=-u u u r u u u r，所以，1cos 2OA OB AOB OA OB ⋅∠==-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，0AOB π<∠<Q ，23AOB π∴∠=，设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ，设b a >，则()223k k N πβαπ=++∈， 所以，12122cos 2cos 2sin 2sin x x y y αβαβ+++=+++222cos 2cos 22sin 2sin 233k k ππααπααπ⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()13sin 13cos 22sin αααϕ=-++=--，ϕ为锐角，且31tan 2331ϕ+==+-，因此，1212x x y y +++的最小值22-. 故答案为：22-. 【点睛】本题考查代数式最值的计算，考查了平面向量数量积的应用，同时也考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.13．在锐角ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =u u u r u u u r，AC AF λ=u u u r u u u r ，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，1ED =u u u r ，则实数λ的值为_______．【答案】3【解析】将EF u u u r表示为11133EF BC AC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，由题意得知ED u u u r 与AC u u u r 不垂直，由3ED EF ⋅=u u u r u u u r 可得出1103λ-=，进而可求得实数λ的值.【详解】 如下图所示：3AB AD =u u u r u u u r Q ，AC AF λ=u u ur u u u r ，13AD AB ∴=u u u r u u u r ，1AF AC λ=u u u r u u u r ，()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r，ABC QV 是锐角三角形，则ED u u u r 与AC u u ur 不垂直，即0ED AC ⋅≠u u u r u u u r ，1ED =u u u r Q ，6ED BC ⋅=u u u r u u u r，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED ACλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ， 0ED AC ⋅≠u u u r u u u r Q ，1103λ∴-=，因此，3λ=.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积求参数，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.14．在ABC V 中，点D 在边BC 上，且满足AD BD =，23tan 2tan 30B A -+=，则BDCD的取值范围为_______． 【答案】(]1,2 【解析】作出图形，由23tan 2tan 30B A -+=得出()23tan tan 12A B =+，利用正弦定理和三角恒等变换思想得出24tan 41133tan 2tan 33tan 2tan BD B CD B B B B=+=+-++-，然后利用不等式的性质和基本不等式可求得BDCD的取值范围. 【详解】 如下图所示：23tan 2tan 30B A -+=Q ，()23tan tan 12A B ∴=+， AD BD =Q ，BAD B ∴∠=，CAD A B ∠=-，且B 为锐角，在ACD V 中，()()sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin A B BD AD CA B A B CD CD CAD A B A B A B++====∠--()()222223tan 1tan tan tan 3tan 2tan 34tan 2113tan tan 3tan 2tan 33tan 2tan 3tan 1tan 2B BA B B B B A B B B B B B B +++++====+>--+-++-， 另一方面24tan 4111233tan 2tan 313tan 232tan 2tan tan BD B CD B B B B B B=+=+≤=-++-⨯⋅-， 当且仅当4B π=时，等号成立，因此，BDCD的取值范围是(]1,2. 故答案为：(]1,2. 【点睛】本题考查三角形中边长比值的取值范围的计算，考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.二、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．（1）求证：//BC 平面PDE ； （2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）利用中位线的性质得出//DE BC ，然后利用线面平行的判定定理可证得//BC 平面PDE ；（2）证明出DE PA ⊥，DE AF ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得DE ⊥平面PAF ，再利用面面垂直的判定定理可得出平面PAF ⊥平面PDE ． 【详解】（1）在ABC V 中，因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以//DE BC ， 因为BC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以//BC 平面PDE ； （2）因为PA ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以PA DE ⊥， 在ABC V 中，因为AB AC =，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥， 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥，又因为AF PA A =I ，AF ⊂平面PAF ，PA ⊂平面PAF ，所以DE ⊥平面PAF ， 因为DE ⊂平面PDE ，所以平面PAF ⊥平面PDE ． 【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题. 16．已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()2f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α+=. 【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()sin 224f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得出函数()y f x =的最大值，解方程()2242x k k Z πππ-=+∈可得出对应的x 的取值集合；（2）由()6f α=得出1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用同角三角函数的基本关系求得cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，然后利用两角和的正弦公式可求得sin 2α的值.【详解】 （1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值，所以函数()y f x =的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()6f α=，则sin 2246πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122224232326+=⋅+⋅=. 【点睛】本题考查正弦型函数最值的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.17．某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M 、N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为圆心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM 、AN 分别交于点D 、E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池内休息区，设MAB θ∠=．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）；（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长． 【答案】（1）2144(22)m -；（2）(3333)AM m =+【解析】（1）计算出BM 、DM 的长，利用三角形的面积公式可求得III 和IV 两个部分面积的和；（2）将BM 、DM 用含θ的代数式表示出来，可得出池内休息区的总面积S 关于θ的函数表达式，令()()sin 2cos 1fθθθ=-，利用导数求出()f θ的最大值，并求出对应的θ的值，由此可求得AM 的长. 【详解】（1）在Rt ABM V 中，因为24AB =，4πθ=，所以24cos1224MB AM π===24cos12122124MD π=-=，所以池内休息区总面积)(()2121214422S MB DM m =⋅⋅==；（2）在Rt ABM V 中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin BM θ=，24cos AM θ=，24cos 12MD θ=-，由24sin 0BM θ=>，24cos 120MD θ=->得πθ0,3骣琪Î琪桫， 则池内休息区总面积()()1224sin 24cos 12288sin 2cos 12S MB DM θθθθ=⋅⋅=-=-，πθ0,3骣琪Î琪桫； 设()()sin 2cos 1f θθθ=-，πθ0,3骣琪Î琪桫， 因为()()221cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos 8f θθθθθθθ=--=--=⇒='又1cos 2θ=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得01cos 8θ+=， 则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增，当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调递减， 即()0fθ是极大值，也是最大值，所以()()0max f f θθ=，此时024cos 3AM θ==+【点睛】本题考查导数的实际应用，涉及三角函数的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，AOB V 的面积为b ，且AB =．（1）求椭圆M 的标准方程； （2）求矩形ABCD 面积S 的最大值； （3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．【答案】（1）22142x y +=；（2）22（3）ABCD 为正方形，理由见解析. 【解析】（1）根据题意得出关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，即可得出椭圆M 的标准方程；（2）设直线AB 的方程为()2y k x =+，其中0k >，将直线AB 的方程与椭圆M 的方程联立，求出点B 的坐标，利用两点间的距离公式求出AB ，并求出BC ，可得出四边形ABCD 的面积S 关于k 的表达式，然后利用基本不等式可求得S 的最大值； （3）由四边形ABCD 为正方形得出AB BC =，可得出()3222200k k k k -+-=>，构造函数()()322220f k k k k k =-+->，利用零点存在定理来说明函数()y f k =在()0,k ∈+∞时有零点，进而说明四边形ABCD 能成为正方形. 【详解】（1）由题意：22312a b b ab b +=⎨=⎪⎩，解得2a =，2b =所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=；（2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >，则直线AB 的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，联立()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222128840k x k x k +++-=，解得222412B k x k-=+，2412B k y k =+，所以AB ==， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2881122k S k k k====++所以当且仅当2k =时，矩形ABCD面积S 取最大值为 （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC==，则()3222200k k k k -+-=>，令()()322220f k k k k k =-+->，因为()110f =-<，()280f =>，又()()322220f k k k k k =-+->的图象不间断，所以()()322220f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了四边形面积最值的计算，以及动点问题的求解，考查运算求解能力，属于中等题.19．定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”． （1）判断函数()1x xf x e=-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()()ln g x x mx m R =-∈是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围； （3）已知()32111323h x x ax bx b =++-，()0,x ∈+∞，a 、b R ∈，求证：当2a ≤-，且01b <<时，函数()h x 是“YZ 函数”．【答案】（1）()f x 是“YZ 函数”，理由见解析；（2）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【解析】（1）利用导数求出函数()y f x =的极大值，结合题中定义判断即可；（2）分0m ≤和0m >两种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =的单调性，利用题中定义得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；（3）求出函数()y h x =的导数()2h x x ax b =++'，利用导数分析函数()y h x =的单调性，设函数()y h x =的极值点分别为1x 、2x ，可知1x 、2x 是方程()0h x '=的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数()y h x =的极大值为负数，由此可证得结论. 【详解】（1）函数()1xxf x e =-是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x e =-，则()1x xf x e='-，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<， 所以函数()1x x f x e =-的极大值()1110f e =-<，故函数()1xxf x e =-是“YZ 函数”；（2）函数()ln g x x mx =-的定义域为()0,+∞，()1g x m x'=-. 当0m ≤时，()10g x m x-'=>，函数()y g x =单调递增，无极大值，不满足题意； 当0m >时，当10x m<<时，()10g x m x -'=>，函数单调递增，当1x m>时，()10g x m x -'=<，函数单调递减，所以函数()y g x =的极大值为111ln ln 1g m m m m m ⎛⎫=-⋅=--⎪⎝⎭， 易知1ln 10g m m ⎛⎫=--<⎪⎝⎭，解得1m e >， 因此，实数m 的取值范围是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3） ()2h x x ax b =++'，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以()20h x x ax b =++='有两个不等实根，设为1x 、2x ，因为121200x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以1>0x ，20x >，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，则函数()y h x =单调递增； 当12x x x <<时，()0h x '<，则函数()y h x =单调递减. 所以函数()y h x =的极大值为()321111111323h x x ax bx b =++-， 由()21110h x x ax b =++='得()3211111x x ax b ax bx =--=--， 因为2a ≤-，01b <<， 所以()()322211111111111111323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- ()()22211111121121111063333333ax bx b x bx b x b b b =+-≤-+-=--+-<． 所以函数()y h x =是“YZ 函数”． 【点睛】本题考查函数的新定义“YZ 函数”的应用，考查利用导数求函数的极值、利用极值求参数，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+． （1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列； （3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，分12q =-和12q ≠-两种情况讨论，结合等比数列的定义判断即可；（2）设n a 是公差为d 的等差数列{}n d 的前n 项和，推导出11n n n a a d ++-=，由2n n n a a b +=+推导出12n n b b d +-=，进而可证得结论成立；（3）利用数列{}n c 是等差数列结合12n n n c a a +=+推导出212n n n b b b ++=+，再结合数列{}n b 是等比数列，推导出1n n b b +=，由数列{}n c 是等差数列得出212n n n c c c +++=，推导出3223n n n a a a +++=，并将321n n n n a a a a +++=+-代入化简得212n n n a a a +++=，从而可证明出数列{}n a 是等差数列.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则()12221n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+， 当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列； 当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以()()112121n n n n q a c q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数列； （2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因为12n n a d d d =+++L ，所以1121n n n a d d d d ++=++++L ， 两式相减得11n n n a a d ++-=， 因为2n n n a a b +=+， 所以()()()()1312321312n n n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++++-=---=---=-=，所以数列{}n b 是等差数列；（3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-， 又因为12n n n c a a +=+，所以()()43322112222n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+，即 ()()()423122n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+，又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n nn n b b b b +++=⋅， 即()()1120n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， 则312n n n n a a a a +++-=-，即321n n n n a a a a +++=+-， 又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=，即()()()321212222n n n n n n a a a a a a ++++++++=+，化简得3223n n n a a a +++=， 将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的证明，考查了等差、等比中项法以及等差、等比数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.21．已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵 3 41 2M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1b M a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【答案】1611⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】利用25a b M b -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦列出方程组求出a 、b 的值，求出矩阵M 的逆矩阵1M -，利用矩阵的乘法可求得矩阵1b M a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【详解】 因为342125a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩， 设1m p M n q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩， 所以1121322M --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦， 所以112416=1361122M b a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的变换，同时也考查了逆矩阵的求解以及矩阵乘法的应用，考查计算能力，属于中等题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．【答案】【解析】将直线l的极坐标方程化为普通方程，设点()cos P αα，利用点到直线的距离公式结合正弦型函数的有界性可求得点P 到直线l 距离的最大值． 【详解】由题：直线方程即为sin coscos sin44ππρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线l 的直角坐标方程为80x y +-=， 设P点的坐标为()cos αα，∴点P到直线的距离6d πα⎛⎫===+ ⎪⎝⎭， 当()262k k Z ππαπ+=-∈，即()223k k Z αππ=-∈时，d取得最大值 此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用椭圆的参数方程求点到直线距离的最值，同时也考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知实数a 、b 、c 满足0a >，0b >，0c >，2223a b c b c a++=，求证：3a b c ++≤． 【答案】见解析【解析】利用柯西不等式证明出()()2222a b c b c a a b c b c a ⎛⎫++++≥++⎪⎝⎭，由此可证明出3a b c ++≤. 【详解】由柯西不等式，得()()2223a b c a b c b c a b c a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭()()()222222b c a b c a ⎡⎤⎡⎤=++⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22b c a a b c b c a ⎛≥⋅+⋅+⋅=++ ⎪⎝⎭， 所以3a b c ++≤．【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查推理能力，属于中等题.24．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ADE V 是等腰直角三角形，且2ADE π∠=，EF ⊥平面ADE ，1EF =．（1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值；（2）求二面角B DF C --的余弦值．【答案】（1）105；（2）23. 【解析】（1）利用面面垂直的性质定理证明出DE ⊥平面ABCD ，然后以D 为坐标原点，{},,DA DC DE u u u r u u u r u u u r为一组基底建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线AE 和DF 所成角的余弦值；（2）求出平面BDF 和CDF 的法向量，然后利用空间向量法可求出二面角B DF C --的余弦值．【详解】（1）2ADE π∠=Q ，即DE AD ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE I 平面ABCD AD =，DE ⊂平面ADE ， DE ∴⊥平面ABCD ，由于四边形ABCD 为边长为2的正方形, 所以DA 、DC 、DE 两两互相垂直．以D 为坐标原点，{},,DA DC DE u u u r u u u r u u u r为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.EF ⊥Q 平面ADE 且1EF =，()0,0,0D ∴、()2,0,0A 、()0,0,2E 、()0,2,0C 、()2,2,0B 、()0,1,2F ， ()2,0,2AE =-u u u r ，()0,1,2DF =u u u r ，则10cos ,225AE DF A AE DF E DF ⋅<===⨯⋅>u u u r u u u r u u u u r u u u u ur r u u u r ， 所以AE 和DF 10 （2）()2,2,0DB =u u u r ，()0,1,2DF =u u u r ，设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r ， 由22020n DB x y n DF y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得()2,2,1n =-r ， Q 平面CDF 的一个法向量为()1,0,0m =u r ，22cos ,313m n m n m n ⋅∴<>===⨯⋅u r r u r r u r r ， 由二面角B DF C --的平面角为锐角，所以二面角B DF C --的余弦值为23. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成角和二面角的余弦值，解答的关键就是建立合适的空间直角坐标系，考查计算能力，属于中等题.25．给定()3,n n n N *≥∈个不同的数1、2、3、L 、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ．（1）若3n =，求3T ；（2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =； ②求n T （用n 表示）．【答案】（1）38T =；（2）①见解析；②()!12n n T n =-. 【解析】（1）列出1、2、3的所有排列，求出6个排列P 中P k 的值，进而可求得3T 的值；（2）①设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ，求得()()()141212n n n S l l +==++为奇数，再由2k S 为偶数可得出结论； ②由题意可得出2k n S S <，可得出1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+，考虑排列P 的对应倒序排列P '，推导出1P k n k '=--，由此可得出1P P k k n '+=-，再由1、2、3、L 、n 这n 个不同数可形成!2n 个对应组合(),P P '，进而可求得n T 的值. 【详解】（1）1、2、3的所有排列为1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1.因为36S =，所以对应的P k 分别为2、1、2、1、1、1，所以38T =；（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ，因为41n l =+，l N *∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S = （ii ）因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =， 所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+①， 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②，考虑排列P 的对应倒序排列:P 'n a 、1n a -、L 、1a ，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++，由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-；又1、2、3、L 、n 这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '，且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． 【点睛】本题考查数列中的新定义，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题.。