东南大学数学分析

东南大学2002年数学分析试题解答一、叙述定义(5分+5分=10分)1．()+∞=−∞→x f x lim ． 解：M x f E x E M >−<∀>∃>∀)( , ,0 ,0．2．当+→a x 时，)(x f 不以A 为极限．解：二、计算（9分×7=63分）1．求曲线210 ),1ln(2≤≤−=x x y 的弧长． 解：dx x f s ∫+=βα 2)]('[1∫∫∫−=−++−=−+=−−+=21 0 210 22210 22213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x ． 2．设x y z e x g z y x f u y sin ,0),,( ),,,(2===，g f ,具有一阶连续偏导数，0≠∂∂z g ，求dxdu ． 解：由0),,(2=z e x g y 得02321=++dz g dy g e dx xg y，从而 xz z f x y y f x f dx du ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+． 3．求∫dx xx 2ln ( 解：令dt e dx e x x t t t === , ,ln ，∫=dx x x 2)ln (∫⋅dt e e t t t 22=∫=−dt e t t 2t t te e t −−−−22C e t +−−2 C xx x +++−=2ln 2)(ln 2． 4．求()20lim x a x a xx x −+→()0>a ． 解：()20lim x a x a xx x −+→22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++−+++++=→ 12a a+=． 5．计算第二型曲面积分∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧解：记222),,(,),,(,),,(z z y x R y z y x Q x z y x P ===，θθsin ,cos r y r x ==，则2r z =，且,10≤≤r πθ20≤≤．∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x 222=∫∫++S dxdydz z y x )(2 πθθθπ=++=∫∫dr r r r r d 2 0 10 2)sin cos (2． 6．求常数λ，使得曲线积分22 0, L x x r dx r dy r y yλλ−==∫v 滑闭曲线L 成立．解：7．在曲面)0,0,0(,14222>>>=++z y x z y x 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小．解：设14),,(222−++=z y x z y x F ，则2,2,2z z F y y F x x F =∂∂=∂∂=∂∂，所求切平面方程为： 0)(2)(2)(2=−+−+−z Z z y Y y x X x ， 求得在三个坐标轴上的截距分别为:,44 ,444 ,444222222222zz y x Z y z y x Y x z y x X ++=++=++= )1161161()44(2222222222z y x z y x Z Y X d ++++=++==2221611z y x ++． 令)14(1611),,(222222−+++++=z y x zy x z y x P λ，则由 02132,022,022333=+−=∂∂=+−=∂∂=+−=∂∂λλλz zz P y y y P x x x P ,,14222=++z y x 解得==y x ,16,2,21==λz =min d 16． 三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）1．判定级数∑∫∞=+1 0 1sin n n dx xx π的敛散性． 解：原级数为正项级数，据积分中值定理， 0sin (sin )ln 1ln 11nx dx x n n n ππππξ⎛⎞⎛⎞=+≤+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠∫， 又级数1ln 1n n n ππ∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑收敛，所以原级数收敛． 2．设)(x f 在区间[2,0]上具有二阶连续导数，且对一切]2,0[∈x ，均有 1)('' ,1)(<<x f x f ，证明：对一切]2,0[∈x ，成立2)('<x f ． 解：,)0(2)('')0)((')()0(2x f x x f x f f −+−+=ξ 2)2(2)('')2)((')()2(x f x x f x f f −+−+=η， ])('')2)((''[21)('2)0()2(22x f x f x f f f ⋅−−+=−ξη， ])('')2)((''[21)0()2()('222x f x f f f x f ⋅−−−−=ξη， ])('')2)((''[21)0()2(21)('22x f x f f f x f ⋅−−+−=ξη ++≤)0(21)2(21f f 22)(''21)2()(''21x f x f ⋅+−⋅ξη 2221)2(211x x +−+≤2)1(2+−≤x ， '()2f x ≤．3．证明积分∫∞+− 0 dy xe xy 在),0(+∞上不一致收敛．4．证明函数x x x f ln )(=在),1[+∞上一致连续． 证明：x x x x x xx f 22ln ln 21)('+=+=，1)(' ,1 ,021ln 21)(''max ===−−=x f x x x x x f 由拉格郎日中值定理，1212121212,[1,), , ()()'()x x x x f x f x f x x x x δξ∀∈+∞−<−=⋅−≤−。

东南大学2005年数学分析一、判断题（正确的证明，否则给出反例.每小题8分，共32分）1、设函数f 在区间(),a b 内可导，则f 在(),a b 上严格单调递增当且仅当对任何(),x a b ∈，()0f x '>.2、对[],a b 上的连续函数f ，积分()baf x dx ⎰为正当且仅当f 在[],a b 恒为正.3、若级数21n n u ∞=∑和21n n v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑也收敛.4、设L 是平面定向光滑曲线，(,)f x y 在L 上连续，则(,)(,)LLf x y dx f x y dx ≤⎰⎰.二、计算题（每小题7分，共56分）1、求极限213sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++.2、记()V t是曲线21y x=+在[]0,x t ∈上的弧段绕x 轴旋转所得到的体积，试求常数c ，使lim ()2()t V t V c →+∞=.3、设()x x t =是由方程21sin 0x tst eds ---=⎰所确定，试求值22t d x dt=.4、设()f u 为可微函数，(0)0f =，(0)0f '≠.记t D 为圆心在原点，半径为t 的圆. 若0t +→时，~tkD f d at σ⎰⎰，试求常数a 和k 的值.5、已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，求点P 的坐标及过该点的法线方程.6、求幂级数1(1)nn n x ∞=-∑的收敛域与和函数.7、计算曲线积分222222()()()LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中L 为平面1x y z ++=被三个坐标平面所截三角形的边界，并且若从x 轴正向看去为逆时针方向. 8、计算2()axdydz z a dxdy∑++⎰⎰其中∑为下半球面z =的上侧，a 为大于零的常数.三、（10分）若数列{}21321n n a a a a a a --+-++- 有界，则称{}n a 为有界变差数列，证明有界变差数列一定是收敛的数列. 四、（10分）设悬链线方程为1()2xxy e e-=+，它在区间[]0,t 上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为()s t 和()A t .该曲边梯形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积、侧面积和x t =处的端面积（即截面积）分别记为()V t ，()S t 与()F t . 证明：（1）()()s t A t =，0t ∀>；（2）()2()S t V t =，0t ∀>；（3）()lim1()t S t F t →+∞=.五、（10分）若f 在()0,+∞上连续，且对任何0a >，积分()ax xf t dt ⎰与()0,x ∈+∞无关，证明()c f x x=，()0,x ∈+∞，其中c 为常数.六、（10分）证明正数项级数1n ∞=∑收敛.七、（10分）令[]:0,1f R →为连续的，满足(0)(1)0f f ==.假设f ''在()0,1内存在，且具有20f f f '''++≥.证明对所有01x ≤≤，有()0f x ≤成立. 八、（12分）设积分()f x dx +∞-∞⎰绝对收敛，证明函数()()cos g f x xdx αα+∞-∞=⎰在(),-∞+∞上一致连续.。

东南大学 数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.()+∞=-∞→x f x lim .解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）1． 求曲线210),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。

解：=+=⎰dx x f s βα2)]('[1⎰⎰⎰-=-++-=-+=--+2102102221022213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导数，.,0dxduz g 求≠∂∂ 解：由xzz f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g yy∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==++=从而知,02,0),,(3212=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+ 3.求⎰dx xx 2)ln (解：令⎰====dx x x dt e dx e x x t tt2)ln (,,,ln 则⎰⋅dt e et tt 22=⎰=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t+--2C xx x +++-=2ln 2)(ln 2 4.求()2lim x a x a xxx -+→()0>a解：()2lim xa x a x xx -+→==22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++-+++++=→ =aa21+ 5.计算第二型曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。

一起考研社区 4万份考研真题全部免费下载 考研人的成功俱乐部一起考研社区 4万份考研真题全部免费下载 考研人的成功俱乐部东南大学数学分析2001一.(6*3)1. 2. 3.当时, 是x 的几阶无穷小量?)21(1sinsin lim 2230x Ln x x x +→4432lim y x y x y x ++∞→∞→0→x dt t e x t 20)1(--⎰二.(8*2)1.,求n=0,1,2,……..2sin )(x x f =),0()(n f 2,设由定义为x,y 的隐函数,其中a,b,c 均为常数,为连续可微δ0),(=--δδϕb cy a cx ϕ函数,求x ∂∂δ三.(8*2)1. 2. dx x x x x 240)cos sin cos sin (⎰+-π⎰10dt dx te t x ⎰-221四.(10*2)1.计算I=,其中L 为圆周+=2,取逆时针方向.⎰+-L y x ydx xdy 22322)1(-x 2y 2.计算曲面积分J=,此处S 是圆柱面dxdy y dx xyd xdyd S δδδδ++⎰⎰122=+y x 此处S 是椭圆柱面，三个坐标平面及旋转抛物面所围立体在122=+y x 222y x --=δ第一卦限部分的外侧面。

五.（10）计算曲线上由点（0，0）到点（）那段弧段饶直线y=x 旋转后所得22x y =21,21的旋转体的体积。

六．（8）判断级数，在[0，]上是否一致收敛，并且证明你得出的结x x n n n n n sin 1sin .)1(1+-∑∞=π论。

七．（6）设二元函数在平面区域G 内对x 连续，对y 关于x 一致连续，证明),(y x f 在区域G 内是二元连续函数。

),(y x f 八．（6）设 在[0，1]上二阶连续可导，记，)(x f |)(|max ]1,0[0x f M x ∈=|)(|max ']1,0[1x f M x ∈=，，证明|)(|max "]1,0[1x f M x ∈= 201212M M M +≤。

第六章 常微分方程数值解法——RK 4法、AB 4法******（学号） *****（姓名）上机题目要求见教材P307,23题。

一、算法原理题目要求采用RK 4法和AB 4法求解最简单的常微分方程初值问题(,),()y f x y a x by a η'=≤≤⎧⎨=⎩ (1)为求解式(1)，采用离散化方法，就是寻求解)(x y 在区间],[b a 上的一系列点<<<<<n x x x x 321上的近似值 ,,,,21n y y y 。

记1(1,2,)i i i h x x i -=-=表示相邻两个节点的间距，称为步长。

求微分方程数值解的主要问题：(1) 如何将微分方程(,)y f x y '=离散化,并建立求其数值解的递推公式; (2) 递推公式的局部截断误差、数值数n y 与精确解)(n x y 的误差估计； (3) 递推公式的稳定性与收敛性. a) Runge-Kutta 方法基本思想：通过在1[,]i i x x +多预报几个点求斜率，并将其加权平均作为k *的近似值，以此构造更高精度的计算公式。

如果每步计算四次函数 的值，完全类似的，可以导出局部截断误差为)(5h O 的四阶Runge-Kutta 公式(RK 4)：1123412132431(22),6(,),(,),221(,),22(,).n n n n n n n n n n y y k k k k k f x y h h k f x y k h k f x h y k k f x h y hk +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩ (2)b) Adams 显式公式Runge-Kutta 方法是单步法，计算1+n y 时，只用到n y ， 而已知信息1-n y 、2-n y 等没有被直接利用。

可以设想如果充分利用已知信息1-n y ，2-n y ，…来计算1+n y ，那么不但有可能提高精度，而且大大减少了计算量，这就是构造所谓线性多步法的基本思想。