东南大学数学分析
- 格式:doc
- 大小:194.00 KB
- 文档页数:2
东南大学2002年数学分析试题解答一、叙述定义(5分+5分=10分)1.()+∞=−∞→x f x lim . 解:M x f E x E M >−<∀>∃>∀)( , ,0 ,0.2.当+→a x 时,)(x f 不以A 为极限.解:二、计算(9分×7=63分)1.求曲线210 ),1ln(2≤≤−=x x y 的弧长. 解:dx x f s ∫+=βα 2)]('[1∫∫∫−=−++−=−+=−−+=21 0 210 22210 22213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x . 2.设x y z e x g z y x f u y sin ,0),,( ),,,(2===,g f ,具有一阶连续偏导数,0≠∂∂z g ,求dxdu . 解:由0),,(2=z e x g y 得02321=++dz g dy g e dx xg y,从而 xz z f x y y f x f dx du ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+. 3.求∫dx xx 2ln ( 解:令dt e dx e x x t t t === , ,ln ,∫=dx x x 2)ln (∫⋅dt e e t t t 22=∫=−dt e t t 2t t te e t −−−−22C e t +−−2 C xx x +++−=2ln 2)(ln 2. 4.求()20lim x a x a xx x −+→()0>a . 解:()20lim x a x a xx x −+→22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++−+++++=→ 12a a+=. 5.计算第二型曲面积分∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分,积分沿曲面的下侧解:记222),,(,),,(,),,(z z y x R y z y x Q x z y x P ===,θθsin ,cos r y r x ==,则2r z =,且,10≤≤r πθ20≤≤.∫∫++S dxdy z dzdx y dydz x 222=∫∫++S dxdydz z y x )(2 πθθθπ=++=∫∫dr r r r r d 2 0 10 2)sin cos (2. 6.求常数λ,使得曲线积分22 0, L x x r dx r dy r y yλλ−==∫v 滑闭曲线L 成立.解:7.在曲面)0,0,0(,14222>>>=++z y x z y x 上求一点,使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小.解:设14),,(222−++=z y x z y x F ,则2,2,2z z F y y F x x F =∂∂=∂∂=∂∂,所求切平面方程为: 0)(2)(2)(2=−+−+−z Z z y Y y x X x , 求得在三个坐标轴上的截距分别为:,44 ,444 ,444222222222zz y x Z y z y x Y x z y x X ++=++=++= )1161161()44(2222222222z y x z y x Z Y X d ++++=++==2221611z y x ++. 令)14(1611),,(222222−+++++=z y x zy x z y x P λ,则由 02132,022,022333=+−=∂∂=+−=∂∂=+−=∂∂λλλz zz P y y y P x x x P ,,14222=++z y x 解得==y x ,16,2,21==λz =min d 16. 三、证明题(6分+7分+7分+7分=27分)1.判定级数∑∫∞=+1 0 1sin n n dx xx π的敛散性. 解:原级数为正项级数,据积分中值定理, 0sin (sin )ln 1ln 11nx dx x n n n ππππξ⎛⎞⎛⎞=+≤+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠∫, 又级数1ln 1n n n ππ∞=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠∑收敛,所以原级数收敛. 2.设)(x f 在区间[2,0]上具有二阶连续导数,且对一切]2,0[∈x ,均有 1)('' ,1)(<<x f x f ,证明:对一切]2,0[∈x ,成立2)('<x f . 解:,)0(2)('')0)((')()0(2x f x x f x f f −+−+=ξ 2)2(2)('')2)((')()2(x f x x f x f f −+−+=η, ])('')2)((''[21)('2)0()2(22x f x f x f f f ⋅−−+=−ξη, ])('')2)((''[21)0()2()('222x f x f f f x f ⋅−−−−=ξη, ])('')2)((''[21)0()2(21)('22x f x f f f x f ⋅−−+−=ξη ++≤)0(21)2(21f f 22)(''21)2()(''21x f x f ⋅+−⋅ξη 2221)2(211x x +−+≤2)1(2+−≤x , '()2f x ≤.3.证明积分∫∞+− 0 dy xe xy 在),0(+∞上不一致收敛.4.证明函数x x x f ln )(=在),1[+∞上一致连续. 证明:x x x x x xx f 22ln ln 21)('+=+=,1)(' ,1 ,021ln 21)(''max ===−−=x f x x x x x f 由拉格郎日中值定理,1212121212,[1,), , ()()'()x x x x f x f x f x x x x δξ∀∈+∞−<−=⋅−≤−。
东南大学2005年数学分析一、判断题(正确的证明,否则给出反例.每小题8分,共32分)1、设函数f 在区间(),a b 内可导,则f 在(),a b 上严格单调递增当且仅当对任何(),x a b ∈,()0f x '>.2、对[],a b 上的连续函数f ,积分()baf x dx ⎰为正当且仅当f 在[],a b 恒为正.3、若级数21n n u ∞=∑和21n n v ∞=∑都收敛,则级数21()n n n u v ∞=+∑也收敛.4、设L 是平面定向光滑曲线,(,)f x y 在L 上连续,则(,)(,)LLf x y dx f x y dx ≤⎰⎰.二、计算题(每小题7分,共56分)1、求极限213sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++.2、记()V t是曲线21y x=+在[]0,x t ∈上的弧段绕x 轴旋转所得到的体积,试求常数c ,使lim ()2()t V t V c →+∞=.3、设()x x t =是由方程21sin 0x tst eds ---=⎰所确定,试求值22t d x dt=.4、设()f u 为可微函数,(0)0f =,(0)0f '≠.记t D 为圆心在原点,半径为t 的圆. 若0t +→时,~tkD f d at σ⎰⎰,试求常数a 和k 的值.5、已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,求点P 的坐标及过该点的法线方程.6、求幂级数1(1)nn n x ∞=-∑的收敛域与和函数.7、计算曲线积分222222()()()LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰,其中L 为平面1x y z ++=被三个坐标平面所截三角形的边界,并且若从x 轴正向看去为逆时针方向. 8、计算2()axdydz z a dxdy∑++⎰⎰其中∑为下半球面z =的上侧,a 为大于零的常数.三、(10分)若数列{}21321n n a a a a a a --+-++- 有界,则称{}n a 为有界变差数列,证明有界变差数列一定是收敛的数列. 四、(10分)设悬链线方程为1()2xxy e e-=+,它在区间[]0,t 上的一段弧长和曲边梯形的面积分别记为()s t 和()A t .该曲边梯形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积、侧面积和x t =处的端面积(即截面积)分别记为()V t ,()S t 与()F t . 证明:(1)()()s t A t =,0t ∀>;(2)()2()S t V t =,0t ∀>;(3)()lim1()t S t F t →+∞=.五、(10分)若f 在()0,+∞上连续,且对任何0a >,积分()ax xf t dt ⎰与()0,x ∈+∞无关,证明()c f x x=,()0,x ∈+∞,其中c 为常数.六、(10分)证明正数项级数1n ∞=∑收敛.七、(10分)令[]:0,1f R →为连续的,满足(0)(1)0f f ==.假设f ''在()0,1内存在,且具有20f f f '''++≥.证明对所有01x ≤≤,有()0f x ≤成立. 八、(12分)设积分()f x dx +∞-∞⎰绝对收敛,证明函数()()cos g f x xdx αα+∞-∞=⎰在(),-∞+∞上一致连续.。
东南大学 数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.()+∞=-∞→x f x lim .解:设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→解:设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算(9分×7=63分)1. 求曲线210),1ln(2≤≤-=x x y 的弧长。
解:=+=⎰dx x f s βα2)]('[1⎰⎰⎰-=-++-=-+=--+2102102221022213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2. 设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导数,.,0dxduz g 求≠∂∂ 解:由xzz f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g yy∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==++=从而知,02,0),,(3212=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+ 3.求⎰dx xx 2)ln (解:令⎰====dx x x dt e dx e x x t tt2)ln (,,,ln 则⎰⋅dt e et tt 22=⎰=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t+--2C xx x +++-=2ln 2)(ln 2 4.求()2lim x a x a xxx -+→()0>a解:()2lim xa x a x xx -+→==22222220)]()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim xx o a x a x x o a a x a x x +++-+++++=→ =aa21+ 5.计算第二型曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分,积分沿曲面的下侧。
一起考研社区 4万份考研真题全部免费下载 考研人的成功俱乐部一起考研社区 4万份考研真题全部免费下载 考研人的成功俱乐部东南大学数学分析2001一.(6*3)1. 2. 3.当时, 是x 的几阶无穷小量?)21(1sinsin lim 2230x Ln x x x +→4432lim y x y x y x ++∞→∞→0→x dt t e x t 20)1(--⎰二.(8*2)1.,求n=0,1,2,……..2sin )(x x f =),0()(n f 2,设由定义为x,y 的隐函数,其中a,b,c 均为常数,为连续可微δ0),(=--δδϕb cy a cx ϕ函数,求x ∂∂δ三.(8*2)1. 2. dx x x x x 240)cos sin cos sin (⎰+-π⎰10dt dx te t x ⎰-221四.(10*2)1.计算I=,其中L 为圆周+=2,取逆时针方向.⎰+-L y x ydx xdy 22322)1(-x 2y 2.计算曲面积分J=,此处S 是圆柱面dxdy y dx xyd xdyd S δδδδ++⎰⎰122=+y x 此处S 是椭圆柱面,三个坐标平面及旋转抛物面所围立体在122=+y x 222y x --=δ第一卦限部分的外侧面。
五.(10)计算曲线上由点(0,0)到点()那段弧段饶直线y=x 旋转后所得22x y =21,21的旋转体的体积。
六.(8)判断级数,在[0,]上是否一致收敛,并且证明你得出的结x x n n n n n sin 1sin .)1(1+-∑∞=π论。
七.(6)设二元函数在平面区域G 内对x 连续,对y 关于x 一致连续,证明),(y x f 在区域G 内是二元连续函数。
),(y x f 八.(6)设 在[0,1]上二阶连续可导,记,)(x f |)(|max ]1,0[0x f M x ∈=|)(|max ']1,0[1x f M x ∈=,,证明|)(|max "]1,0[1x f M x ∈= 201212M M M +≤。
第六章 常微分方程数值解法——RK 4法、AB 4法******(学号) *****(姓名)上机题目要求见教材P307,23题。
一、算法原理题目要求采用RK 4法和AB 4法求解最简单的常微分方程初值问题(,),()y f x y a x by a η'=≤≤⎧⎨=⎩ (1)为求解式(1),采用离散化方法,就是寻求解)(x y 在区间],[b a 上的一系列点<<<<<n x x x x 321上的近似值 ,,,,21n y y y 。
记1(1,2,)i i i h x x i -=-=表示相邻两个节点的间距,称为步长。
求微分方程数值解的主要问题:(1) 如何将微分方程(,)y f x y '=离散化,并建立求其数值解的递推公式; (2) 递推公式的局部截断误差、数值数n y 与精确解)(n x y 的误差估计; (3) 递推公式的稳定性与收敛性. a) Runge-Kutta 方法基本思想:通过在1[,]i i x x +多预报几个点求斜率,并将其加权平均作为k *的近似值,以此构造更高精度的计算公式。
如果每步计算四次函数 的值,完全类似的,可以导出局部截断误差为)(5h O 的四阶Runge-Kutta 公式(RK 4):1123412132431(22),6(,),(,),221(,),22(,).n n n n n n n n n n y y k k k k k f x y h h k f x y k h k f x h y k k f x h y hk +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩ (2)b) Adams 显式公式Runge-Kutta 方法是单步法,计算1+n y 时,只用到n y , 而已知信息1-n y 、2-n y 等没有被直接利用。
可以设想如果充分利用已知信息1-n y ,2-n y ,…来计算1+n y ,那么不但有可能提高精度,而且大大减少了计算量,这就是构造所谓线性多步法的基本思想。
第一章绪论误差的基本概念:了解误差的来源,理解绝对误差、相对误差和有效数的概念,熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。
机器数系:了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。
数值稳定性:理解算法数值稳定性的概念,掌握分析简单算例数值稳定性的方法,了解病态问题的定义,学习使用秦九韶算法。
第二章非线性方程解法简单迭代法:熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容,理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。
牛顿迭代法:熟练掌握Newton迭代格式及其应用,掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容,了解Newton法的变形和重根的处理方法。
第三章线性方程组数值解法(1)Guass消去法:会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组,掌握求解三对角方程组的追赶法。
(2)方程组的性态及条件数:理解向量范数和矩阵范数的定义、性质,会计算三种常用范数,掌握谱半径与2- 范数的关系,会计算条件数,掌握实用误差分析法。
(3)迭代法:熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法,能够判断迭代格式的收敛性。
(4)幂法:掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。
第四章插值与逼近(1)Lagrange插值:熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。
(2)Newton插值:理解差商的定义、性质,会应用差商表计算差商,熟练掌握Newton插值多项式的表达形式,了解Newton型插值余项的表达式。
(3)Hermite插值:掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。
(4)高次插值的缺点和分段低次插值:了解高次插值的缺点和Runge现象,掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。
(5)三次样条插值:理解三次样条插值的求解思路,会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数,了解收敛定理的内容。
(6)最佳一致逼近:掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数,理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理,掌握最佳一致逼近多项式的求法。
东南大学2007年数学分析
一、判断题(正确的证明,否则给出反例.每小题6分,共24分)
1、若数列{}n a 收敛于0,则必定存在正数α,使对一切充分大的n ,有1n a n α≤
. 2、若级数1n n a
∞=∑和1n n b ∞=∑皆收敛,则级数1n n n a b ∞=∑必收敛.
3、函数2
()f x 在[],a b 上Riemann 可积当且仅当()f x 在[],a b 上Riemann 可积. 4、若二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的两个偏导数00(,)x f x y ',00(,)y f x y '都存在,则(,)z f x y =在点00(,)x y 必连续.
二、计算题(每小题7分,共56分)
5
~n
ax (0x →),求a 和n . 6、求函数122(6)()(4)arctan x x x e f x x x +-=
-的所有渐近线. 7
、求积分1
1[ln(()]x f x dx -++⎰,其中,()f x 满足2()arcsin f x x '=,(0)0f =.
8、求幂级数21
1(1)2n
n n x n ∞=+-∑的和函数的极值. 9、数量场222u x yz y =-+在点(1,2,1)M -沿什么方向的方向导数达到最大值?并求此最大值.
10、设()z f u =可微,而(,)u u x y =是由方程()()x
y u u p t dt ϕ=+⎰确定的函数,
其中()p t ,()u ϕ'连续且()1u ϕ'≠,求()()z z p y p y x y
∂∂+∂∂. 11、设函数()f t 满
足()1D f t f dxdy =+⎰⎰,其中由D 为圆环222244a x y t ≤+≤,0a >为常数,求()f t .
12、计算曲面积分(2)S x z dydz zdxdy ++⎰⎰,其中S 为曲面22z x y =+(01z ≤≤),其法
向量与z 轴正向的夹角为锐角.
三、证明题(6小题,共70分)
13、(10
分)证明()f x =[)0,+∞上一致连续.
14、(12分)设()f x 在[]0,1上二次可微,且(0)(1)0f f ==,证明:存在()0,1ξ∈,使
得()cos ()sin 0f f ξξξξ'''+=.
15、(12分)证明级数111(1)(1)n n n e n ∞
-=⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦∑条件收敛. 16、(12分)设()f t 为连续函数,证明
11()()()()1b
y b n
n a a a dy y x f x dx b x f x dx n +-=-+⎰⎰⎰. 17、(12分)设(,)u x y ,(,)v x y 是D 上的连续可微函数,D 是由分段光滑闭曲线围成的平面区域,D ∂表示其正向边界.证明
D D D v u u dxdy uvdy u dxdy x
x ∂∂∂=-∂∂⎰⎰
⎰⎰⎰. 18、(12分)证明积分 01cos x e xdx x
α-+∞-⎰ 关于[]0,1α∈一致收敛,并由此计算积分
01cos x e xdx x
-+∞
-⎰.。