小学五年级奥数高斯课本

位值原理一、知识引领在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，而每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的。

比如一个数由1、2、3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1、2、3能组成很多数，例如213、321、123……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123。

从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：个位上的数字代表几个1；十位上的数字代表几个10；百位上的数字代表几个100；……那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123=1×100+2，这个结论被称为位值原理。

有的时候，为了分析问题方便，我们并不能将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如23456=231000+45我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用。

二、精讲精练例题1：一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数。

练习一：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？例题2：在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这两个数。

练习2：在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数。

例题3：一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7。

试求两个数的差。

. .练习3：把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数最大可以是多少？例题4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“2=5”中，“学习爱”所表示的三位数最小是多少？练习4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“2=5”中，“用微信交作业”所表示的六位数最小是多少？三、奥赛传真1、（1）851= ×100+ ×10+ ×1；（2）55984= ×1000+ ×10+ ×1.2、（1）= ×100+ ×10+ ×1;（2）= ×10000 ×100+ ×1.3、在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得到的三位数是原数的7倍，这个两位数是 .4、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。

第十二讲几何计数漫画，共一格一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。

旁边文字描述：西周时期，道路和渠道纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。

分割田地大概有3条横线、4条竖线左右，可适当增减。

人的耕作情况要符合西周时的实际情况，比如不能有拖拉机，不能有牛耕。

后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？几何计数，同学们一看这一讲的名字就知道了，我们学习的内容就是专门数几何图形的个数．可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画好了，一边看图一边数，肯定不会数错的．真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？学完这一讲后，大家就知道答案了．三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧．例题1．下列图形中各有多少个三角形？「分析」对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举，并注意寻找规律．那么，本题应该按照怎样的顺序去枚举呢？下图中有多少个三角形？例题2．右图中共有多少个三角形？「分析」对于这道题目，我们也首先想到枚举法．应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现其中的规律吗？练习2:．请数出这个图形中有多少个三角形．下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.例题3．下列图形中，分别有多少个正方形？「分析」同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？例题4．在右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形）（1）一共有多少个长方形？（2）包含“★”的长方形共多少个？（3）包含“☆”的长方形共多少个？（4）两个五角星都包含的长方形共多少个？（5）至少包含一个五角星的长方形共多少个？（6）两个五角星都不包含的长方形共多少个？★☆「分析」如果还用枚举法处理这道题目，就会越数越复杂．那有没有好一点的方法？我们换一个角度来思考这个问题．同学们可以想想看，怎样才能在图中画出一个长方形来？当然很简单，只需要画出它的两条长和两条宽就可以了，也就是只需要画出两条横线和两条竖线．如右图所示．因此，长方形的个数就是选择两条横线和两条竖线的所有方法数．下图中是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形．那么：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？通过上面的学习我们可以知道，几何计数与我们之前学过的有序思考、分类枚举、乘法原理以及排列组合都有着密切的关系．同学们在学习过程中要勤于观察，勤于思考，这样才能发现和总结出更好的方法．例题5．右图中共有多少个长方形？（注意：长方形包括正方形）「分析」我们可以考虑下方3×5的长方形和右边6×2的长方形，分别计算出两部分中长方形的个数，这样所有的长方形都考虑到了，但是其中有重复计算的．哪些重复计算了？容易看出来重复计算的是右下角重叠的3×2的部分，那么把这部分中的长方形减去就能得到最后答案．例题6．右图中有多少个平行四边形？「分析」题目中要求数出平行四边形的个数，那么你能发现图中有几类平行四边形吗？如何数出每一种的数量呢？数学家的墓志铭一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志．古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在叮嘱：“不要弄坏我的圆”．）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二．德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献．甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑．16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数点后35位，后人称之为鲁道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上．瑞士数学家雅谷·伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”．这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语．阿基米德（公元前287年—公元前212年）作业1. 右图中共有多少个三角形？作业2. 右图中共有多少个三角形？作业3. 右图是由12个11⨯的小正方形组成的，数一数图中一共有多少个正方形．作业4. 右图是由15个11⨯的小正方形组成的，数一数图中一共有多少个长方形．（长方形包括正方形．）作业5. 在右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形）（1）包含“★”的长方形共多少个？ （2）包含“☆”的长方形共多少个？ （3）两个五角星都包含的长方形共多少个？第十二讲几何计数例题1.答案：16；15详解：注意有序枚举：（1）左图中由一部分组成的三角形有6个，由两部分组成的三角形有3个，由三部分组成的三角形有6个，由六部分组成的三角形有1个，共计16个．（2）右图中由一部分组成的三角形有4个，由两部分组成的三角形有6个，由三部分组成的三角形有2个，由四部分组成的三角形有2个，由六部分组成的三角形有1个，共计15个．例题2.答案：78详解：恰当分类，有序枚举．图中的三角形可以分为两类，一类是尖朝上的，一类是尖朝下的．设最小的三角形边长为1．（1）尖朝上的：边长为1的三角形有123410+++=个；边长为2的三角形有1236++=个；边长为3的三角形有123410+++=个；边长为4的三角形有1236++=个；边长为5的三角形有123+=个；边长为6的三角形有1个．共计56个．（2）尖朝下的：边长为1的三角形有1234515++++=个；边长为2的三角形有1236++=个；边长为3的三角形有1个．共计22个．图中一共有78个三角形．例题3.答案：91，112详解：分别考虑边长为1、2、3、4、5、6的正方形各有多少个即可．左图有66554433221191⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=个，右图有766554433221112⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=个．例题4.答案：（1）756；（2）216；（3）240；（4）108；（5）348；（6）408详解：（1）7条横线选2条作为长，9条竖线选2条作为宽，有22792136756C C⨯=⨯=个．（2）含★的长方形上下左右边分别有3、4、3、6种选法，这样长方形有3436216⨯⨯⨯=个．（3）含☆的长方形上下左右边分别有4、3、5、4种选法，这样长方形有4354240⨯⨯⨯=个．（4）两个五角星都含的长方形上下左右边分别有3、3、3、4种选法，长方形有3334108⨯⨯⨯=个．（5）根据容斥原理，至少包含一个五角星的长方形有216240108348+-=个．（6）用排除法，两个五角星都不包含的长方形有756348408-=个．例题5.答案：135个详解：如图，下方阴影部分中一共有长方形224690C C⨯=个；右方阴影部分中一共有长方形227363C C⨯=个．其中右下方3×2长方形中的长方形被重复计算了，共有224318C C⨯=个．所以图中一共包含长方形906318135+-=个．例题6.答案：45个．详解：所有平行四边形一共有三种不同的方向：尖朝右、尖朝左和尖朝上，如图：这就提示我们可以按这个特点来分类，因为根据图形的对称性，这三种平行四边形的个数是一样多的．只需数出其中的一种，就能算出最后的答案了．下面我们来数尖朝上的平行四边形．所有这种平行四边形的边都是斜的，没有横线，所以要数它们的个数，可以把图中的所有横线都去掉，变成如下图形：这样一来图形就简单了，这个图里的平行四边形很容易数出来：最小的平行四边形有10个，两个小平行四边形拼成的有12个，三个小平行四边形拼成的有6个，四个小平行四边形拼成的有5个，六个小平行四边形拼成的有2个，共35个．而对于另外两种平行四边形，也可根据同样的方法数出，都是35个．因此原来图形中一共有353105⨯=个平行四边形．练习1.答案：8个；12个简答：（1）左图中由一部分组成的三角形有3个，由两部分组成的三角形有4个，由四部分组成的三角形有1个，共计8个．（2）右图中由一部分组成的三角形有5个，由两部分组成的三角形有4个，由三部分组成的三角形有2个，由五部分组成的三角形有1个，共计12个．练习2.答案：48个简答：由1个小三角形组成的三角形有151025+=个；由4个小三角形组成的三角形有10313+=个；由9个小三角形组成的三角形有6个；由16个小三角形组成的三角形有3个；由25个小三角形组成的三角形有1个；共有48个．练习3.答案：2470个简答：按正方形的大小分类，共有2222191817119203962470++++=⨯⨯÷=个．练习4.答案：（1）450；（2）144简答：（1）5条横线选2条作为长，10条竖线选2条作为宽，有225101045450C C⨯=⨯=个．（2）含黑点的长方形上下左右边分别有2、3、6、4种选法，这样长方形有2364144⨯⨯⨯=个．作业1.答案：10个简答：由一个部分组成的三角形有5个，由两个部分组成的三角形有4个，由三个部分组成的三角形有1个，共计10个．作业2.答案：14个简答：边长为1的有10个，边长为2的有4个，共计14个．作业3.答案：20个简答：正方形数目：边长为1的12个，边长为2的6个，边长为3的2个，共计20个．作业4. 答案：90个简答：长方形有2246C C 90⨯=个．作业5. 答案：（1）180个；（2）192个；（2）108个简答：（1）3354180⨯⨯⨯=个；（2）4443192⨯⨯⨯=个；（3）3343108⨯⨯⨯=个．。

小学五年级奥数高斯课本Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-位值原理一、知识引领在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，而每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的。

比如一个数由1、2、3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1、2、3能组成很多数，例如213、321、123……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123。

从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：个位上的数字代表几个1；十位上的数字代表几个10；百位上的数字代表几个100；……那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123=1×100+2×10+3×1，这个结论被称为位值原理。

有的时候，为了分析问题方便，我们并不能将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如23456=23×1000+45×10+6，我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用。

二、精讲精练例题1：一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数。

练习一：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少例题2：在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这两个数。

练习2：在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数。

例题3：一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7。

试求两个数的差。

练习3：把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数最大可以是多少例题4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“学习爱̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=爱学习̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“学习爱”所表示的三位数最小是多少 练习4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“用微信交作业̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=交作业用微信̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“用微信交作业”所表示的六位数最小是多少 三、奥赛传真1、（1）851= ×100+ ×10+ ×1；（2）55984= ×1000+ ×10+ ×1.2、（1）nba̅̅̅̅̅= ×100+ ×10+ ×1; （2）3下5除2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅= ×10000 ×100+ ×1. 3、在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得到的三位数是原数的7倍，这个两位数是 .4、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。

第十二讲几何计数漫画，共一格一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。

旁边文字描述：西周时期，道路和渠道纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。

分割田地大概有3条横线、4条竖线左右，可适当增减。

人的耕作情况要符合西周时的实际情况，比如不能有拖拉机，不能有牛耕。

后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？几何计数，同学们一看这一讲的名字就知道了，我们学习的内容就是专门数几何图形的个数．可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画好了，一边看图一边数，肯定不会数错的．真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？学完这一讲后，大家就知道答案了．三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧．例题1．下列图形中各有多少个三角形？「分析」对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举，并注意寻找规律．那么，本题应该按照怎样的顺序去枚举呢？下图中有多少个三角形？例题2．右图中共有多少个三角形？「分析」对于这道题目，我们也首先想到枚举法．应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现其中的规律吗？练习2:．请数出这个图形中有多少个三角形．下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.例题3．下列图形中，分别有多少个正方形？「分析」同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？例题4．在右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形）（1）一共有多少个长方形？（2）包含“★”的长方形共多少个？（3）包含“☆”的长方形共多少个？（4）两个五角星都包含的长方形共多少个？（5）至少包含一个五角星的长方形共多少个？（6）两个五角星都不包含的长方形共多少个？★☆「分析」如果还用枚举法处理这道题目，就会越数越复杂．那有没有好一点的方法？我们换一个角度来思考这个问题．同学们可以想想看，怎样才能在图中画出一个长方形来？当然很简单，只需要画出它的两条长和两条宽就可以了，也就是只需要画出两条横线和两条竖线．如右图所示．因此，长方形的个数就是选择两条横线和两条竖线的所有方法数．下图中是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形．那么：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？通过上面的学习我们可以知道，几何计数与我们之前学过的有序思考、分类枚举、乘法原理以及排列组合都有着密切的关系．同学们在学习过程中要勤于观察，勤于思考，这样才能发现和总结出更好的方法．例题5．右图中共有多少个长方形？（注意：长方形包括正方形）「分析」我们可以考虑下方3×5的长方形和右边6×2的长方形，分别计算出两部分中长方形的个数，这样所有的长方形都考虑到了，但是其中有重复计算的．哪些重复计算了？容易看出来重复计算的是右下角重叠的3×2的部分，那么把这部分中的长方形减去就能得到最后答案．例题6．右图中有多少个平行四边形？「分析」题目中要求数出平行四边形的个数，那么你能发现图中有几类平行四边形吗？如何数出每一种的数量呢？数学家的墓志铭一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志．古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在叮嘱：“不要弄坏我的圆”．）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二．德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献．甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑．16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数点后35位，后人称之为鲁道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上．瑞士数学家雅谷·伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”．这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语．阿基米德（公元前287年—公元前212年）作业1. 右图中共有多少个三角形？作业2. 右图中共有多少个三角形？作业3. 右图是由12个11⨯的小正方形组成的，数一数图中一共有多少个正方形．作业4. 右图是由15个11⨯的小正方形组成的，数一数图中一共有多少个长方形．（长方形包括正方形．）作业5. 在右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形）（1）包含“★”的长方形共多少个？ （2）包含“☆”的长方形共多少个？ （3）两个五角星都包含的长方形共多少个？第十二讲几何计数例题1.答案：16；15详解：注意有序枚举：（1）左图中由一部分组成的三角形有6个，由两部分组成的三角形有3个，由三部分组成的三角形有6个，由六部分组成的三角形有1个，共计16个．（2）右图中由一部分组成的三角形有4个，由两部分组成的三角形有6个，由三部分组成的三角形有2个，由四部分组成的三角形有2个，由六部分组成的三角形有1个，共计15个．例题2.答案：78详解：恰当分类，有序枚举．图中的三角形可以分为两类，一类是尖朝上的，一类是尖朝下的．设最小的三角形边长为1．（1）尖朝上的：边长为1的三角形有123410+++=个；边长为2的三角形有1236++=个；边长为3的三角形有123410+++=个；边长为4的三角形有1236++=个；边长为5的三角形有123+=个；边长为6的三角形有1个．共计56个．（2）尖朝下的：边长为1的三角形有1234515++++=个；边长为2的三角形有1236++=个；边长为3的三角形有1个．共计22个．图中一共有78个三角形．例题3.答案：91，112详解：分别考虑边长为1、2、3、4、5、6的正方形各有多少个即可．左图有66554433221191⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=个，右图有766554433221112⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=个．例题4.答案：（1）756；（2）216；（3）240；（4）108；（5）348；（6）408详解：（1）7条横线选2条作为长，9条竖线选2条作为宽，有22792136756C C⨯=⨯=个．（2）含★的长方形上下左右边分别有3、4、3、6种选法，这样长方形有3436216⨯⨯⨯=个．（3）含☆的长方形上下左右边分别有4、3、5、4种选法，这样长方形有4354240⨯⨯⨯=个．（4）两个五角星都含的长方形上下左右边分别有3、3、3、4种选法，长方形有3334108⨯⨯⨯=个．（5）根据容斥原理，至少包含一个五角星的长方形有216240108348+-=个．（6）用排除法，两个五角星都不包含的长方形有756348408-=个．例题5.答案：135个详解：如图，下方阴影部分中一共有长方形224690C C⨯=个；右方阴影部分中一共有长方形227363C C⨯=个．其中右下方3×2长方形中的长方形被重复计算了，共有224318C C⨯=个．所以图中一共包含长方形906318135+-=个．例题6.答案：45个．详解：所有平行四边形一共有三种不同的方向：尖朝右、尖朝左和尖朝上，如图：这就提示我们可以按这个特点来分类，因为根据图形的对称性，这三种平行四边形的个数是一样多的．只需数出其中的一种，就能算出最后的答案了．下面我们来数尖朝上的平行四边形．所有这种平行四边形的边都是斜的，没有横线，所以要数它们的个数，可以把图中的所有横线都去掉，变成如下图形：这样一来图形就简单了，这个图里的平行四边形很容易数出来：最小的平行四边形有10个，两个小平行四边形拼成的有12个，三个小平行四边形拼成的有6个，四个小平行四边形拼成的有5个，六个小平行四边形拼成的有2个，共35个．而对于另外两种平行四边形，也可根据同样的方法数出，都是35个．因此原来图形中一共有353105⨯=个平行四边形．练习1.答案：8个；12个简答：（1）左图中由一部分组成的三角形有3个，由两部分组成的三角形有4个，由四部分组成的三角形有1个，共计8个．（2）右图中由一部分组成的三角形有5个，由两部分组成的三角形有4个，由三部分组成的三角形有2个，由五部分组成的三角形有1个，共计12个．练习2.答案：48个简答：由1个小三角形组成的三角形有151025+=个；由4个小三角形组成的三角形有10313+=个；由9个小三角形组成的三角形有6个；由16个小三角形组成的三角形有3个；由25个小三角形组成的三角形有1个；共有48个．练习3.答案：2470个简答：按正方形的大小分类，共有2222191817119203962470++++=⨯⨯÷=个．练习4.答案：（1）450；（2）144简答：（1）5条横线选2条作为长，10条竖线选2条作为宽，有225101045450C C⨯=⨯=个．（2）含黑点的长方形上下左右边分别有2、3、6、4种选法，这样长方形有2364144⨯⨯⨯=个．作业1.答案：10个简答：由一个部分组成的三角形有5个，由两个部分组成的三角形有4个，由三个部分组成的三角形有1个，共计10个．作业2.答案：14个简答：边长为1的有10个，边长为2的有4个，共计14个．作业3.答案：20个简答：正方形数目：边长为1的12个，边长为2的6个，边长为3的2个，共计20个．作业4. 答案：90个简答：长方形有2246C C 90⨯=个．作业5. 答案：（1）180个；（2）192个；（2）108个简答：（1）3354180⨯⨯⨯=个；（2）4443192⨯⨯⨯=个；（3）3343108⨯⨯⨯=个．。

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比如一个数由1、2、3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1、2、3能组成很多数，例如213、321、123……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123。

从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：个位上的数字代表几个1；十位上的数字代表几个10；百位上的数字代表几个100；……那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123=1×100+2×10+3×1，这个结论被称为位值原理。

有的时候，为了分析问题方便，我们并不能将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如23456=23×1000+45×10+6，我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用。

二、精讲精练例题1：一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数。

练习一：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？例题2：在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这两个数。

练习2：在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数。

例题3：一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7。

试求两个数的差。

练习3：把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数最大可以是多少？例题4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“学习爱̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=爱学习̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“学习爱”所表示的三位数最小是多少？练习4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“用微信交作业̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=交作业用微信̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“用微信交作业”所表示的六位数最小是多少？三、奥赛传真1、（1）851= ×100+ ×10+ ×1；（2）55984= ×1000+ ×10+ ×1.2、（1）nba̅̅̅̅̅= ×100+ ×10+ ×1; （2）3下5除2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅= ×10000 ×100+ ×1.3、在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得到的三位数是原数的7倍，这个两位数是 .4、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。

第二十二讲物不知数与同余- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -故事中的余数问题就是我们今天要研究的“物不知数”问题，也称为中国古余数问题．简单来说，这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题．通常在不同的题目中，余数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．（1）一个数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少？（2）一个数除以11余7，除以10余6．这个数最小是多少？第二小是多少？「分析」（1）这个数除以21和20都余17，那么减去17以后得到的差跟21和20有什么关系呢：（2）除以11和10的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？练习1．（1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？（2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？例题2．（1）一个三位数除以8余3，除以12也余3．这个三位数最小是多少？（2）一个三位数除以6余1，除以10余5．这个三位数最小是多少？「分析」看起来和例题1没有太多区别．不过要小心哦，8和12的最小公倍数是81296⨯=吗？练习2．一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？例题3．（1）一个数除以7余2，除以11余1．这个数最小是多少？（2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1，2，3，，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1，2，3，，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4．请问：一共有多少名战士？「分析」所求自然数要满足两个余数条件，直接处理并不容易，但我们可以先让它满足其中一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件．一个三位数除以5余2，除以7余3．这个三位数最小是多少？如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余．例如195除以9余6，15除以9也余6，我们就说“195和15除以9同余”．我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如195与它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的．而处理余数问题的方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外，我们还有一个极其有用的手段：转化成整除问题！195与15除以9的时候同余，19515180-=则是9的倍数；1135与35除以4的时候同余，则1135351100-=是4的倍数．也就是说：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．（1）1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？（2）100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？被除数除数商余数，被除数是1024，余数是23，说明除数和商要满「分析」（1）由÷=足什么条件？（2）利用同余的定义就可以解决这个问题．练习4．（1）用150除以一个整数，所得余数是15，请问：这个除数可能是多少？（2）80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0．这个除数可能是多少？例题5．刘叔叔养了400多只兔子．如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只．请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？「分析」兔子数量要满足哪些余数条件？把63个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25个水果没有分出去．请问：剩下个数最多的水果剩下多少个？「分析」这些同学一共分了多少个水果？人数和分掉的水果数有什么关系？未来的数学家——节选自《怎样解题》乔治·波利亚未来的数学家应该是一个聪明的解题者，但仅仅做一个聪明的解题者是不够的．在适当的时候，他应该去解答重大的数学题目，而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型的题目．对他来说，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答．通过考察他的工作过程和最后的解答形式，他会发现要认识的东西真是千变万化，层出不穷．他可以深思题目的困难之处及决定性的观念，他可以尝试去了解是什么阻碍了他，又是什么最后帮助了他．他可以注意寻找简单直观的念头：你能一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法：你能以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将当前的题目和以前的解过的题目作比较以使当前的题目更加清晰．他可以尝试创造一些新题目，而这些新题目可以根据他刚刚完成的工作解答出来：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？如果他对解答过的题目尽可能地完全消化吸收，他就可以获得井然有序的知识，以备今后随时调用．和其他所有人一样，未来的数学家通过模仿和练习来学习．他应该注意寻找正确的模范；他应该觉察到一个能激励人心的教师；他应该和一位能干的朋友竞赛．然后，可能最重要的是，他不仅应该阅读通用的教材，还应阅读优秀作者的作品，直到他找到一个作者，其方式是他天生倾向于模仿的．他应该欣赏和寻求在他看来简单的或有启发性的或美的东西．他应该解题，选择适合他思路的那些题目，思考它们的解答，并创造新的题目．他应该通过这些方法及所有其他方法来努力做出他的第一个重大发现：他应该发现自己的好恶、趣味以及自己的思路．陶哲轩（1975-）澳籍华裔数学家，“菲尔兹”奖获得者．13岁成为国际奥林匹克数学金牌得主．20岁获得普林斯顿大学博士学位．24岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授．2006年，31岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖．目前已发表超过230篇学术论文．作业1.在小于50的数中，与67除以11同余的数有哪些？作业2.一个自然数除以7余3，除以27余5，这个自然数最小是多少？作业3.2025除以一个两位数，余数是75，这个两位数是多少？作业4.1986和2011这两个数除以同一个两位数，得到相同的余数，这个两位数是多少？作业5.韩信点兵：有兵四五百，五五数之余三，七七数之余四，九九数之余五．那么这队兵有多少人？第二十二讲物不知数与同余例题1.答案：（1）17；437．（2）106；216详解：（1）这是一道余同的问题．这个数最小是17，第二小是[21,20]17437+=．（2）这是一道缺同的问题．这个自然数加上4即可被11和10整除，[11,10]110=，因此这个数最小为1104106⨯-=．-=．第二小的是11024216例题2.答案：（1）123．（2）115详解：（1）这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[8,12]3⨯+，其中n为自然n数．要求满足条件的最小三位数，应令n为5，即[8,12]53123⨯+=．（2）这是一道缺同的问题．满足条件的数可表示为[6,10]5⨯-，其中n为自然数．要求满足条件的最n小三位数，应令n为4，即[6,10]45115⨯-=．例题3.答案：（1）23；（2）165详解：（1）采用逐步满足条件法．满足第二个条件的数为1，12，23，……发现23同时满足第一个条件，因此这个数最小是23；（2）战士的人数除以9余3，除以7余4，满足这两个条件最小的数是39，不断加63，直到满足限制条件，最后得到165．例题4.答案：（1）77、91；（2）16、8详解：（1）1024231001-=，可知除数是1001的约数．其中大于23的有77和91；（2）-=，可知除数是16的约数，可能是1、2、4、8和16．但因为余数不为0，1008416只能是16和8．例题5.答案：467详解：兔子数除以3余2，除以5余2，除以7余5．所有满足前两个条件的数为2[3,5]n+⨯，其中n为自然数，即2，17，32，47，……其中47同时满足第三个条件．所有满足条件的数为47[3,5,7]n+⨯，其中n为自然数．n取4时满足条件，为467．例题6.答案：20详解：从整体的角度出发考虑问题，水果总数减去没有分出去的水果数，得到的数应为学生数的倍数．639013025258++-=，258的约数有1、2、3、6、43、86、129、258，其中43满足条件．苹果剩下20个，桔子剩下4个，梨剩下1个，因此剩下个数最多的水果剩下20个．练习1.答案：（1）3．（2）31简答：（1）这个自然数减去3以后是4和5的公倍数，所以最小是3；（2）这个自然数加上4以后是5和7的公倍数，所以最小是31．练习2.答案：999这是一道余同的问题．满足条件的数可表示为[4,6]3⨯+，其中n为自然数．要求满n足条件的最大三位数，应令n为83，即[4,6]833999⨯+=．练习3.答案：122简答：使用逐步满足条件法，满足第一个条件的数依次为2、7、12、17，17正好除以7余3，那么同时满足两个条件的数最小是17．然后依次为52、87、122．最小是三位数是122．练习4.（1）27、45、135；（2）24、12、6、3简答：（1）15015135-=，除数是135的约数．其中大于15的有135、45和27；（2）-=，除数是24的约数，可能是1、2、3、4、6、8、12和24．但要满足余数805624不为0，除数只能是3、6、12和24．作业1.答案：1，12，23，34，45简答：除以11的余数都是1．作业2.答案：59简答：除以27余5的数有5、32、59、…，其中除以7余3的第一个数是59．作业3.答案：78简答：这个两位数是2025751950-=的约数，其中比75大的只有78．作业4.答案：25简答：这个两位数是2011198625-=的约数，只能是25．作业5.答案：473简答：先列出除以9余5的数，从中找除以7余4的数，再从剩下的数中找除以5余3的数．。

位值原理一、知识引领在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，而每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的。

比如一个数由1、2、3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1、2、3能组成很多数，例如213、321、123……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123。

从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：个位上的数字代表几个1；十位上的数字代表几个10；百位上的数字代表几个100；……那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123=1×100+2×10+3×1，这个结论被称为位值原理。

有的时候，为了分析问题方便，我们并不能将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如23456=23×1000+45×10+6，我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用。

二、精讲精练例题1：一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数。

练习一：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？例题2：在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这两个数。

练习2：在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数。

例题3：一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7。

试求两个数的差。

练习3：把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数最大可以是多少？例题4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“学习爱̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=爱学习̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“学习爱”所表示的三位数最小是多少？练习4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“用微信交作业̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=交作业用微信̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“用微信交作业”所表示的六位数最小是多少？三、奥赛传真1、（1）851= ×100+ ×10+ ×1；（2）55984= ×1000+ ×10+ ×1.2、（1）nba̅̅̅̅̅= ×100+ ×10+ ×1; （2）3下5除2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅= ×10000 ×100+ ×1.3、在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得到的三位数是原数的7倍，这个两位数是 .4、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。

第九讲流水行船问题故事中飞机倒飞的情况真的会出现吗？学习完今天的课程，你就知道了．如同飞机在飞行的时候会受到风速的影响一样，当船在水中航行时，也会受到水速的影响，而具体是怎样的影响呢，我们今天就来研究一下．当船在水中航行时，如果水是静止不动的，那船的行驶速度就只由船本身决定，这个速度称为船的静水速度，即船本身的速度．大家可以设想一下，如果船本身停止运动，那么它还是会顺着水流前进，这时的速度等于水流的速度，我们可以把水流的速度简称为水速．当船顺水而行时，船的静水速度和水速会叠加起来，行驶速度会变快，此时的速度我们称之为顺水速度；相反的，如果船逆水而行，水速会抵消掉一部分船本身的速度，行驶速度会变慢，此时的速度我们称之为逆水速度．下面的两个基本公式就给出了对应的计算方法：顺水速度静水船速水速；=+逆水速度静水船速水速；=-很容易的，根据和差问题的计算方法，我们可以得到如下结论：()2=÷水速顺水速度-逆水速度；()2船速顺水速度+逆水速度．=÷这四个公式是流水行船问题中最基本的速度计算公式．下面我们就利用这四个公式，解决几个典型的流水行船问题．例题1.甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度．【分析】能不能先把顺水速度和逆水速度算出来？一艘飞艇，顺风6小时行驶了900公里；在同样的风速下，逆风行驶600公里，也用了6小时．那么在无风的时候，这艘飞艇行驶1000公里要用多少小时？例题2. 甲河是乙河的支流，甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米．一艘船沿甲河顺水7小时后到达乙河，共航行133千米．这艘船在乙河逆水航行84千米，需要花多少小时？「分析」要求出船在乙河中航行84千米所用的时间，只需知道船在乙河行驶的速度，那么只需要知道船的静水速度就可以了．能通过船在甲河中的运动过程求出静水速度么？A 、B 两港相距120千米．甲船的静水速度是20千米/时，水流速度是4千米/时．那么甲船在两港间往返一次需要多少小时？在解答流水行船问题时，我们需要牢牢抓住水速对船速的影响．同一艘船在顺水航行与逆水航行中的速度不相同，所以我们在解题时应该把船在不同情况下的运动过程分开考虑． 对于有些问题，如果发现题目中条件不足，可以采用设具体数值的方法来解决．例题3. 轮船从A 城行驶到B 城需要3天，而从B 城回到A 城需要4天．请问：在A 城放出一个无动力的木筏，它漂到B 城需多少天？甲乙84千米 水流方向行驶方向133千米 水 流 方 向行 驶 方 向【分析】我们要求木筏从A城到B城的漂流时间，只需知道木筏漂流的速度即可．由于木筏是无动力的，也就是说木筏漂流的速度就等于水速．但现在只知道时间，不知道任何的速度或者距离，那该怎么办呢？一艘船在A、B两地往返航行，如果船顺水漂流，从A地到达B地需要60小时，而开船从B地到达A地需要30小时．那么这艘船从A地开到B地需要多长时间？对于有些复杂的流水行船问题，我们需要分段考虑．例题4.甲、乙两船分别从A港出发逆流而上驶向180千米外的B港，静水中甲船每小时航行15千米，乙船每小时航行12千米，水流速度是每小时3千米．乙船出发后两小时，甲船才出发，当甲船追上乙船的时候，甲已离开A港多少千米？若甲船到达B港之后立即返回，则甲、乙两船相遇地点离刚才甲船追上乙船的地点多少千米？「分析」乙船比甲船早两小时出发所行驶的距离，就是甲船追乙船时的路程差．练习4：A码头在B码头的上游，两个码头之间的距离是180千米．货船的静水速度是9千米/时，从A码头出发开往B码头；客船的静水速度是15千米/时，与货船同时出发，从B 码头开往A码头．水速是3千米/时．两船相遇后，货船马上掉头，与客船同时开向A码头．那么货船到达A码头的时间比客船晚几小时？下面我们来看看流水行船问题中的相遇与追及问题．通过一些具体的例子我们可以发现，如果两船相向而行，两船的速度和就是静水速度之和；如果两船同向而行，两船的速度差就是静水速度之差．因此，相遇时间和追及时间与水速大小无关．例题5. A 、B 两码头间河流长为300 千米，甲、乙两船分别从A 、B 码头同时起航．如果相向而行 5 小时相遇，如果同向而行10小时甲船追上乙船．求两船在静水中的速度．【分析】不妨设A 码头在上游，B 码头在下游．如果相向而行，甲船的实际速度为甲速＋水速，乙船的实际速度为乙速－水速，两船的速度之和就是甲速＋乙速，所以相遇时间和水速大小没有关系．如果同向而行，追及时间是不是也与水速大小没有关系呢？例题6. 某人在河里游泳，逆流而上．他在A 处掉了一只水壶，向前又游了20分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离A 处2千米的地方追到．假定此人在静水中的游泳速度为每分钟60米，求水流速度．【分析】游泳者丢失水壶时，他并没有发觉，仍旧逆流而上，此时游泳者的速度是：-静水速度水速，而水壶则顺流而下，速度和水速相同．两者背向而行，相当于一个相遇问题的逆过程．速度和为“()-+静水速度水速水速”，恰好为游泳者的静水速度．当游泳者返回的时候，他开始追自己的水壶，此时他和水壶的速度又是怎样的？追及时的速度差又是多少呢？帆船帆船起源于欧洲，其历史可以追溯到远古时代。

第四讲环形路线为什么会出现最后一名超过第一名的现象呢？同学们可能已经想清楚了，这是因为跑道是一个圆．今天我们就来学习一下环形路线问题．顾名思义，环形路线的运动路径是一个封闭的曲线，这就意味着从一个点出发，跑完一圈之后会回到出发点，这是完全不同于直线运动的．同样的，环形中的相遇问题与直线形问题也是略有不同的．如图所示，从一个点出发，背向而行的两人，会在圆周上的一点相遇．这时他们走过的路程和为一个圆周．而如果他们从同一个点出发同向而行，慢的那个人会在圆周上的一点被快的那人追上．这时他们走过的路程之差是一个圆周．这里要特别说明，在圆周上两点之间的距离是这样定义：两点间较短一段圆弧的长度．如右图，AB 两点间的距离就是AB 间粗实线的长度．起点路程和是跑道的周长 相遇时间＝周长 ÷（甲速＋乙速）相向而行起点路程差是跑道的周长追及时间＝周长 ÷（乙速－甲速） A从例题1可以看出，两只小猫从出发到第一次相遇需要25秒．第一次相遇时两只小猫在一起，继续出发的话，到下一次相遇仍然需要25秒．由此可见，环形路线上的相遇问题也具有周期性．同样的，环形路线上的追及问题也具有周期性．若甲、乙两人同地同向出发，甲快乙慢，那么甲第一次追上乙时，恰好比乙多跑一整圈；从此刻开始，甲想要再次追上乙，就必须再多跑一整圈．如此反复不断地追下去，甲每次追上乙都恰好要多跑一整圈，所以每次追及的路程差是一样的．如果两人的速度差保持不变，那每次追上的时间也就相同了．在环形路线问题中，善用周期性会使一些问题变得简单，特别是一些多次相遇和多次追及的问题．如果不是同地出发，这样的环形路线问题还具有周期性吗？总的来说，环形上的行程问题比直线上的情况变化更多，更繁琐．在运动过程较复杂的题目中，我们必须认真画图，仔细分析每一段运动过程．练习4． 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A 、B 两地出发相向而行，第一次相遇在距离A 点100米处的C 点，第二次相遇在距离B 点200米处的D 点．已知AB 长是跑道总长的四分之一，请问跑道周长为多少米？例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快．如果从同一起点出发背向而行，1小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过1小时才第一次追上．请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少．想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？【分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，一定是刚到达某个墙角的时候．应该是哪个墙角呢？如图，一个正方形房屋的边长为12米．阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3米．问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？B DC A华罗庚爷爷的故事温室里难开出鲜艳芬芳耐寒傲雪的花儿。

第四讲环形路线广:!口正在进行的是万米赛跑比赛，运动员们正 在跑道上奋力拼搏！同学们，解说员 说的情况真的会出现 吗？ 大家快看.最后一 名超过了第一名！为什么会出现最后一名超过第一名的现象呢？同学们可能已经想清楚了，这是因为跑道是一个圆•今天我们就来学习一下环形路线问题.顾名思义，环形路线的运动路径是一个封闭的曲线，这就意味着从一个点出发，跑完一圈之后会回到出发点，这是完全不同于直线运动的. 同样的，环形中的相遇问题与直线形问题也是略有不同的.如图所示，从一个点出发，背向而行的两人，会在圆周上的一点相遇. 这时他们走过的路程和为一个圆周. 而如果他们从同一个点出发同向而行，慢的那个人会在圆周上的一点被快的那人追上•这时他们走过的路程之差是一个圆周.相向而行同向甲起点路程和是跑道的周长起点路程差是跑道的周长相遇时间=周长 *（甲速+乙速）追及时间=周长 +（乙速一甲速）这里要特别说明，在圆周上两点之间的距离是这样定义：两点间较短一段圆弧的长度•如右图，AB两点间的距离就是AB间粗实线的长度.例题1.黑、白两只小猫沿着周长为300 米的湖边跑，黑猫的速度为每秒5米，白猫的速度为每秒7米•若两只小猫同时从同一点出发，背向而行，那么多少秒后第1次相遇？如果它们继续不停跑下去，2分钟内一共会相遇多少次？最后一次相遇时距离出发点多远?「分析」请同学们在右边的圆上，画出两只猫运动的过程.两只小猫第一次相遇需要多长时间？第二次相遇需要多长时间？那两分钟之内相遇多少次呢？练习1.在420米的圆形跑道上，甲、乙两人从同一点出发，背向而行.甲的速度是8米/秒，乙的速度是6米/秒，那么两人第8次相遇时，距离出发点多远？从例题1可以看出，两只小猫从出发到第一次相遇需要25秒•第一次相遇时两只小猫在一起，继续出发的话，到下一次相遇仍然需要25秒.由此可见，环形路线上的相遇问题也具有周期性.同样的，环形路线上的追及问题也具有周期性. 若甲、乙两人同地同向出发，甲快乙慢，那么甲第一次追上乙时，恰好比乙多跑一整圈；从此刻开始，甲想要再次追上乙，就必须再多跑一整圈. 如此反复不断地追下去，甲每次追上乙都恰好要多跑一整圈，所以每次追及的路程差是一样的•如果两人的速度差保持不变，那每次追上的时间也就相同了.在环形路线问题中，善用周期性会使一些问题变得简单，特别是一些多次相遇和多次追及的问题.例题2.有一个周长是40米的圆形水池•甲沿着水池散步，每秒钟走1米；乙沿着水池跑步，每秒跑3.5米，甲、乙从同一地点同时出发，同向而行•当乙第8次追上甲时，他还要跑多少米才能回到出发点？「分析」在环形路线上，快的每追上一次慢的，就要多跑一圈.本题乙第8次追上甲时,就比甲多跑了8圈，这时怎么确定两人的位置?练习：2.环形跑道周长400米，甲、乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑275米.甲第4次追上乙时距离起点多少米？如果不是同地出发，这样的环形路线问题还具有周期性吗？例题3.甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步.甲以每分钟300米的速度从起点跑出.1分钟后，乙以每分钟280米的速度从起点同向跑出.请问：甲出发后多少分第一次追上乙？如果追上后他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第10次追上乙？「分析」从乙出发到甲第一次追上乙，跟从甲第一次追上乙到第二次追上乙，间隔的时间一样吗？从第几次追上开始就具有周期性了？练习：3.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A, B两点.甲、乙两人分别从A、B 两点同时相背而跑，速度分别是3米/秒和2米/秒.多少秒后两人第一次相遇？如果相遇后两人的速度保持不变，再过多少秒两人第10次相遇？总的来说，环形上的行程问题比直线上的情况变化更多，更繁琐.在运动过程较复杂的题目中，我们必须认真画图，仔细分析每一段运动过程.例题4. 如图，甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点开始，形路线运动.当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前遇.求此圆形场地的周长.「分析」题目中的已知条件很少，只知道两个与路程有关的量，我们很难直接计算周长，先画图分析一下运动过程.观察你所画出的示意图，题目给出的100米和60米是图中的哪一段？如何利用这两段长度？同时匀速反向绕此圆60米处又第二次相练习4.如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B两地出发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB 长是跑道总长的四分之B一，请问跑道周长为多少米？D如图，一个正方形房屋的边长为12米•阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3米•问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？【分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候, 定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢?4. 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B 两地出C发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B一，请问跑道周长为多少米？D例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快. 如果从同一起点出发背向而行，1 小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过 1 小时才第一次追上.请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少. 想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？例题6如图，一个正方形房屋的边长为12 米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3 米.问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢？4. 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B 两地出C一，请问跑道周长为多少米？D例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快. 如果从同一起点出发背向而行，1 小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过 1 小时才第一次追上.请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少. 想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？例题6如图，一个正方形房屋的边长为12 米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3 米.问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B一，请问跑道周长为多少米？D 分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢？4. 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B 两地出C例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快. 如果从同一起点出发背向而行，1 小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过 1 小时才第一次追上.请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少. 想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？例题6如图，一个正方形房屋的边长为12 米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3 米.问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B一，请问跑道周长为多少米？D例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快. 如果从同一起点出发背向而行，1 小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过 1 小时才第一次追上.请问，小分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢？4. 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B 两地出C鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少. 想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？例题6如图，一个正方形房屋的边长为12 米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3 米.问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B一，请问跑道周长为多少米？D例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快. 如果从同一起点出发背向而行，1 小时后正好第5 次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过 1 小时才第一次追上.请问，小分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢？4. 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B 两地出C鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少. 想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？例题6如图，一个正方形房屋的边长为12 米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5 米，阿瓜每秒钟行3 米.问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？发相向而行，第一次相遇在距离A点100米处的C点，第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B一，请问跑道周长为多少米？D例题5. 小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步，小鹿比小山羊稍快. 如果从同一起点出发背向而行，1 小时后正好第5次相遇；如果从同一起点出发同向而行，那么经过 1 小时才第一次追上.请问，小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间？【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少. 想一想，跑道的周长是一个确定的数吗？如果不是，如果周长的取值不同，对于结果有没有影响？分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢？4. 如图，有一个环形跑道，甲、乙二人分别从A、B 两地出C例题6如图，一个正方形房屋的边长为12 米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发，阿呆每秒钟行5米，阿瓜每秒钟行3 米.问：阿呆第一次看见阿瓜时，阿瓜距离出发点多少米？分析】阿呆第一次看见阿瓜的时候，定是刚到达某个墙角的时候. 应该是哪个墙角呢？。

第十四讲公约数与公倍数初步蜥蜴是蝉的天敌之一，它的生命周期是5年』也就是说*毎五年，蜥蜴就会大量出现一次.因为15和5的.最小公倍数”是15*所以，要是蝉的生命周期是心年’在某一次大甩钻岀土壤时，被蜥蜴大量猎杀，那下一次蝉钻岀土壤时，也必然会有同样的遭遇.如果卿的生命周期是】7年，那么每过85年才会出现一次与大呈蜥埸碰面的情况一除了蜥蜴，蝉的其他天敌也有牛同的生命周期.科学家调查发现，在北部，蝉的生命周期为1 了年，在南部，蝉的生命周期为13年.为什么没有以】4、15. 16年为生命周期的蝉呢？旨 费 蔚 旨 蔚防■ ■ -------- -----------当蝉的生命周期是质数时.它与天敌生命周期的最小公倍数都比较大.这样一来，蝉 遇见大量天敌的机会大大减少，蝉的存活率大幅提升，它们就能一代代地在自然界存活下 来了.的约数.其他公倍数都是36的倍数.通常，我们把两个数a , b 的最大公约数记为 a, b ; a, b 的最小公倍数记为 a ,b •三 个数a , b , c 的最大公约数记为a ,b ,c ; a , b , c 的最小公倍数记为 a , b , c .如：14 和21的最大公约数是 7,记作：14,21 7 ; 14和21的最小公倍数是 42，记作：14,21 42 . 15、10、21 的最大公约数是 1，记作：15,10,21 1 ； 15、10、21 的最小 公倍数是210,记作：15,10,21210 .公约数就是几个数公共的约数， 其中最大的一个称为 最大公约数；公倍数就是几个数公1为所有数的公约数. 24 : 1234630: 12 35 61215 24301、2、3和6都是1、2、 3 和 6 都是 6121812 24 36 4860 72 8496 108 183654729010812和18的公倍数有 36、72、108、72、 108 及810 共的倍数，其中最小的一个称为 最小公倍数•特别的,24和30的公约数，6是最大公约数•可以发现 36、,36是最小公倍数.可以发现在现实生活中我们常常关心几个数的最大公约数和最小公倍数， 那么我们怎样来求几个数的最大公约数和最小公倍数呢？除了直接枚举之外， 还有以下几种：短除法、分解质因数法、辗转相除法.计算两个数的最大公约数及最小公倍数，最常用的方法是短除法.例题 1.用短除法计算：(1) (54 , 90), [54 , 90]; ( 2) (45, 75, 90). 「分析」熟练掌握短除法即可.用短除法计算：(1) ( 36, 48), [36, 48]; (2) (28 , 42 , 70).分解质因数法比较实用，也利于我们分析数的构成.(12, [12,18)= 18]= 23x32 3xx 2x3 233例题2•利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数. (1) 144 和 250(2) 240、80 和 96「分析」熟练掌握分解质因数法即可.利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数.如果两个数都比较大，不容易看出来它们的质因数.那我们还有第三种方法：辗转相除 法.厂二3: _4 :取相同质因数中指] 1 L 3 I 1 1 1 1 1 1 5 ;1 < ----------1 I ) 1 1 1 1 1 1 1 3弓1 1 1F 1 1 1 1 1 1 1 15竹1 1 i ■ 1 | 3 311 1 1 1 I 5L一jL取相同质因数中指325 < ----------最小公倍数最大公约数(1) 1024 和 72(2) 60、84、90 和 700例3•利用辗转相除法求下列各组数的最大公约数.(1)377 和221 (2)511 和1314「分析」熟练掌握辗转相除法即可.利用辗转相除法求出3009和2537的最大公约数.例题4•老师在墨莫的班上发水果，一共有59个苹果，97个梨，平均分给班上的学生，最后剩下5个苹果，7个梨•请问班里一共有多少名学生？「分析」因为每个学生分到的苹果和梨都是一样多的，可知学生数是分到的苹果数和梨数的公约数.小高把62个奶糖和75个水果糖平均分给他的朋友们，最后剩下2个奶糖,3个水果糖•请问小高把糖分给了多少个朋友？在计算三个数的最大公约数时, 还可以先求出两个数的最大公约数, 然后再求出这个最大公约数与第三个数的最大公约数. 最后求出的就是三个数的最大公约数.求三个数的最小公倍数也可以使用这个方法.计算多个数的最大公约数和最小公倍数的方法依次递推即可.例题5.计算( 1573, 1547, 1859).「分析」这些数看上去都不好分解质因数, 那我们不妨利用辗转相除法来求最大公约数. 求三个数的最大公约数, 可以先求其中两个的最大公约数, 再求这个公约数与第三个数的最大公约数.例题6.有些自然数既能够表示成连续9个整数之和,又能够表示成连续11 个整数之和, 还能够表示成连续12个整数之和,则所有这样的数中最小的一个是多少？「分析」能表示乘9个连续整数的和, 说明这个自然数是中间数的9倍, 是9的倍数. 根据后面两个条件,我们还能知道这个自然数是多少的倍数呢？画蛇添足战国时代, 楚王派大将昭阳率军攻打魏国, 得胜后又转而攻打齐国。

第一讲 整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论．什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧．数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠”．一、 整除的定义二、整除的一些基本性质：1．尾数判断法（1）（2（32．数字求和法3．奇偶位求差法我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，……，统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．下面我们来看一下如何运用这些性质．例题1.判断下面11个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？（4）哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下．练习1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除．从中我们可以总结出如下规律：例题2.173是一个四位数．文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除．”问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析．需要分别用到9、11和8的整除特性．练习2.在23的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除．上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决．例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上．但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“678”，其中方框表示破了的洞．牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元．请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除．我们没有学过被45整除的数的特征．但注意到4559=⨯，于是678应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数33能被36整除，那么这个四位数可能是多少？在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可．请同学们注意，虽然，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15整除．你能想明白为什么吗？例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话．服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可以申请．也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动．王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码．请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位68是8的倍数．想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4. 七位数22333能被44整除，那么这个七位数是多少？有时候满足题目条件的答案会非常多．如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可．例题5. 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、8、…．如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？例题6. 由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数．那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？45315=⨯ 4559=⨯200的方框中填入两个数整除，实际根本不用考虑4，只要考虑整除．如果你还要再考虑4的整除性，那就多作业1.下面有9个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100．其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2.有如下5个自然数：12345，189，72457821，333666，54289．其中能被9整除的有哪些？3.有如下5个自然数：3124，3823，45235，5289，5588．其中能被11整除的有哪些？4.125是一个四位数．王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除．”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5.阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：11.4元（ 表示不明数字）．请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步例题1.答案：（1）能被4整除的有3568、5880、6512、864；能被8整除的有3568、5880、6512、864．（2）能被25整除的有8875、93625；能被125整除的有8875、93625．（3）能被3整除的有23487、6765、5880、198954、864；能被9整除的有198954、864．（4）能被11整除的有407、6765、6512．例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7．要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8．要想让四位数能被8整除，需要后三位即73是8的倍数，空格中要填6．三个数字之和是21．例题3.答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5，对应的百位是6或1．例题4.答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8．要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、8．例题5.答案：10395；98730详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数．那么五位数的末尾只能是0或5．先来看最小的数．要让前面数位上的数字尽量小，可以是105．要满足它是9的倍数且最小，应该是10395．再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是985或980．要满足它是9的倍数且最大，应该是98730．例题6.答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数．这六个数字的和是28，而最大的三个数的和是20，也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20，所以只能把28分成两个14，偶位为8、5、1，奇位为7、4、3．练习1.答案：能被4整除的数有3124、312、5588；能被3整除的数有312、5289、7314；能被11整除的数有3124、5588．练习2.答案：本题的答案不止一种，要想被3整除，空格中可以填1、4、7．要想被4整除，空格中可填2或6．要想被5整除，空格中可填0或5．练习3.答案：3132或3636简答：要想被36整除，这个四位数要既是4的倍数，也是9的倍数．要想是4的倍数，个位上的空格中可填2或6．要想满足四位数是9的倍数，百位上的空格对应要填1或6．练习4.答案：2213332或2283336简答：这个七位数既是4的倍数，也是11的倍数．要想是4的倍数，个位上的空格中可填2或6，剩下的空格中对应可填1或8．作业1.答案：48，7836，4100；75，650，4100简答：4和25看末两位．作业2.答案：189，72457821，333666简答：被9整除看数字和．作业3.答案：3124，5588简答：被11整除看奇位和与偶位和的差．作业4.答案：11简答：填入的三个数字分别为1，4，6，数字和为11．作业5.答案：811.44元简答：7289=⨯，分别考虑8和9的整除特性．。

第七讲解方程与解方程组方程这个词，最早见于我国古代算书《九章算术》．可见人们在很早以前就已经掌握了与方程有关的知识和方法．相信同学们已经会解简单的一元一次方程．下面我们先对相关的概念做一个简要的复习． 我们将用等号“＝”连接，表示相等关系的式子，叫做等式．而方程就是含有未知数的等式．等式有两个基本性质：等式性质1：等式两边加上或减去一个数，结果仍相等．如果a b =，那么______a c b ±=．等式性质2:等式两边乘上一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等．如果a b =，那么_______a c b ⨯=．如果a b =，那么()0a b c c c=≠． 利用等式的性质我们可以解一些简单的方程．首先我们来看一下一元一次方程． 所谓一元一次方程就是只含有一种未知数且未知数的最高次数是1的方程．在解一元一次方程的时候，我们需要将含有未知数的项一起算，也就是合并同类项．有的时候，当含有未知数的项不在等式同一侧时，我们还需要将这样的项从等式的一侧移动到另一侧，也就是所谓的移项．注意方程中的每一项都包括数值与符号两部分，移项的时候要改变符号．例题1. 解下列方程：（1）4338x x +=+；（2）153194x x -=-；（3）123718x x -=-．【分析】移项的时候记得要变号哦．（1）65103x x +=+；（2）56179x x -=-；（3）102511x x -=-．有的时候，方程如果含有括号，我们要先去括号．去括号的时候特别要注意的是，如果括号前面是减号，去掉括号后，原有的项要変号．例题2. 解下列方程：（1）531965x x +-=（）；（2）73222x x --=（）． 【分析】去括号的时候也要注意符号．（1）16243x x +-=（）；（2）1836x x --=（）．对于更为复杂的一元一次方程，还可能含有分母，这个时候我们要先去分母．例题3.解下列方程： （1）357523x x +-=；（2）1135x x --=． 【分析】以第一个方程为例，等号左边的分母是2，要去掉它需要左右两边都乘2或2的倍数．而要消掉右边的分母需要左右两边都乘3或3的倍数，那只需要都乘多少就可以了？（1）318225x x +-=；（2）3155148x x +-+=．通过前面的练习，相信同学们对于一元一次方程有了进一步认识．下面我们总结一下一元一次方程的一般解法：（1）去分母（如果有分母）：等号两边同时乘以各分母的最小公倍数；（2）去括号（如果有括号）：由内向外去括号；（3）移项：把含有未知数的项移到等号的一边（通常是左边），已知数移到等号的另一边；（4）合并同类项：把方程两边分别合并，化简成()0ax b a =≠的形式；（5）系数化1：在方程两边同除以未知数系数a ，得到方程的解b x a=； （6）把得到的解代回原方程检验．一元一次方程我们已经会解了，在解决实际问题的过程中我们还会遇到需要设两个未知数的情形．也就是可能要解二元一次方程．所谓二元一次方程就是方程中含有两种未知数，且未知数的次数是1．解决二元一次方程的关键就是将两个未知数变为一个未知数，也就是所谓的消元．加减消元法是比较常用的消元方法．该方法的步骤和要点可总结如下：1. 若有某个未知数，它前面的系数在两个方程中恰好相反或者相同，就可以通过把两个方程相加或者相减的方法消去该未知数；如果没有上述特点，可以通过等式两边同乘以一个数，将其凑出可以加减消元的形式；2. 解消元后得到的一元一次方程；3. 把得到的解带入原方程中，求出另一个未知数；4. 代回原方程检验．注意：最后方程的解要写成x a y b =⎧⎨=⎩的形式．例题4. 解下列方程组：（1）233429x y x y -=⎧⎨+=⎩；（2）272516x y x y +=⎧⎨+=⎩． 【分析】加减消元法掌握好了吗？解下列方程组：（1）352532x y x y -=⎧⎨+=⎩；（2）372715x y x y +=⎧⎨+=⎩．例题5. 解方程：（1）213148y y --=-；（2）21322x x +=+；（3）()2352x x x x +-=+． 【分析】熟练掌握一元一次方程的解法，向更高的难度进发吧！例题6.解下列方程组：（1）9220351x yx y+=⎧⎨-=⎩；（2）52162313x yx y+=⎧⎨+=⎩．【分析】解二元一次方程组最基本的想法就是“消元”，想想看，对于这两个题目是消x还是消y更好做？应用方程和方程组可以解决应用题、几何、数论等各种类型的题目，同学们在后续的学习中就会体会到方程的强大威力．方程的来历方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》．《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章．这一章里的所谓“方程”，是指一次方程组．其中有一个问题实际上就是求解三元一次方程组：323923342326x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③古代是将它用算筹布置起来解的．如下图所示，图中各列由上而下列出的算筹表示x 、y 、z 的系数与常数项．一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程．上述方程的概念，在世界上要数《九章算术》中的“方程”章最早出现．其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产．这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族．作业1. 求下列方程的解：（1）615x -=；（2）3517x +=．作业2. 求下列方程的解：（1）58320x x +=+；（2）65820x x -=-．作业3. 求下列方程的解：（1）321545x x +-=（）；（2）922219x x --=（）．作业4. 解方程：376745x x +-=． 作业5. 解下列方程组：（1）40326x y x y -=⎧⎨+=⎩．（2）54335319x y x y +=⎧⎨-=⎩．第七讲解方程与解方程组例题1.答案：（1）5；（2）4；（3）3．例题2.答案：（1）4；（2）5．例题3.答案：（1）5；（2）6．例题4.答案：（1）72xy=⎧⎨=⎩；（2）32xy=⎧⎨=⎩．例题5.答案：（1）73；（2）4；（3）5．例题6.答案：（1）21xy=⎧⎨=⎩；（2）23xy=⎧⎨=⎩．练习1.答案：（1）2；（2）4；（3）3．练习2.答案：（1）8；（2）6．练习3.答案：（1）9；（2）1．练习4.答案：（1）112xy=⎧⎨=⎩；（2）41xy=⎧⎨=⎩．作业1.答案：（1）21；（2）4．作业2.答案：（1）6；（2）2简答：提示，注意移项的时候要改变符号．作业3.答案：（1）15；（2）3简答：提示，去括号的时候注意括号前面是减号，去掉括号要变号．作业4.答案：7简答：首先要去分母，方程两边同时乘以20即可．作业5.答案：（1）82xy=⎧⎨=⎩；（2）52xy=⎧⎨=⎩简答：提示，第一个方程组采用代入消元法较为方便，第二个方程组采用加减消元法较为方便．。

第十二讲几何计数漫画，共一格一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。

旁边文字描述：西周时期，道路和渠道纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。

分割田地大概有 3 条横线、 4 条竖线左右，可适当增减。

人的耕作情况要符合西周时的实际情况，比如不能有拖拉机，不能有牛耕。

后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？几何计数，同学们一看这一讲的名字就知道了，我们学习的内容就是专门数几何图形的个数.可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画好了，一边看图一边数，肯定不会数错的.真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？学完这一讲后，大家就知道答案了.三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧.例题1下列图形中各有多少个三角形?「分析」对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举, 并注意寻找规律?那么，本题应该按照怎样的顺序去枚举呢?下图中有多少个三角形?例题2 ?右图中共有多少个三角形?「分析」对于这道题目，我们也首先想到枚举法. 应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现其中的规律吗？练习2:.请数出这个图形中有多少个三角形.下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法?例题3.下列图形中，分别有多少个正方形?「分析」同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏.围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？例题4.在右图中(下列各小题中，长方形均包括正方形)(1 )一共有多少个长方形？(2)包含“★”的长方形共多少个？(3)包含“☆”的长方形共多少个？(4)两个五角星都包含的长方形共多少个？(5)至少包含一个五角星的长方形共多少个？(6)两个五角星都不包含的长方形共多少个？「分析」如果还用枚举法处理这道题目，就会越数越复杂?那有没有好一点的方法?我们换一个角度来思考这个问题?同学们可以想想看，怎样才能在图中画出一个长方形来？当然很简单，只需要画出它的两条长和两条宽就可以了，也就是只需要画出两条横线和两条竖线?如右图所示?因此，长方形的个数就是选择两条横线和两条竖线的所有方法数.下图中是一个长为9,宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形.那么:(1)从中可以数出多少个长方形？(2)从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？通过上面的学习我们可以知道，几何计数与我们之前学过的有序思考、分类枚举、乘法原理以及排列组合都有着密切的关系.同学们在学习过程中要勤于观察，勤于思考，这样才能发现和总结出更好的方法.例题5.右图中共有多少个长方形？(注意：长方形包括正方形)「分析」我们可以考虑下方3拓的长方形和右边6疋的长方形，分别计算出两部分中长方形的个数，这样所有的长方形都考虑到了，但是其中有重复计算的. 哪些重复计算了？容易看出来重复计算的是右下角重叠的3X2的部分，那么把这部分中的长方形减去就能得到最后答案.例题6?右图中有多少个平行四边形?「分析」题目中要求数出平行四边形的个数, 那么你能发现图中有几类平行四边形吗？如何数出每一种的数量呢?“不要弄坏我的圆”.）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二.德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献.甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑.16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数点后35位,后人称之为鲁道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上. 瑞士数学家雅谷?伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”.这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语.一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志.古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在叮嘱：“不要弄坏我的圆”?）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二.德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献.甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑.16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数点后35 位，后人称之为鲁道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上. 瑞士数学家雅谷?伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”?这阿基米德（公元前287 年—公元前212年）一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志.古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在叮嘱：是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语.“不要弄坏我的圆”?）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二.德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献.甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑.16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数点后35 位，后人称之为鲁道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上. 瑞士数学家雅谷?伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上就刻阿基米德（公元前287 年—公元前212年）一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志.古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在叮嘱：着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”?这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语.阿基米德（公元前287 年—公元前212年）一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志.古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在叮嘱：“不要弄坏我的圆”.）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二. 德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献. 甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑.16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数点后35位，后人称之为鲁道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上. 瑞士数学家雅谷?伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”.这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语.阿基米德（公元前287年—公元前212年）一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志.古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在叮嘱：“不要弄坏我的圆”?）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二.德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献.甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑.16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数点后35 位，后人称之为鲁道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上. 瑞士数学家雅谷?伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”?这阿基米德（公元前287 年—公元前212年）一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志.古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在叮嘱：是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语.“不要弄坏我的圆”?）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二.德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献.甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑.16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数点后35 位，后人称之为鲁道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上. 瑞士数学家雅谷?伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上就刻着一阿基米德（公元前287 年—公元前212年）一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志.古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在叮嘱：条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”?这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语.阿基米德（公元前287 年—公元前212年）。

第二十五讲燕尾模型之前我们学过等高三角形的比例关系，如下左图所示，△ABC 被线段AD 一分为二，且有比例关系12::S S a b =．如下右图所示，在增加了两条线段后，图中有4个小三角形，这4个小三角形的面积之间的比例关系如图中所示．由于图中的阴影部分看起来很像燕子的尾巴，所以这个图形我们形象的把它称为燕尾模型．阴影部分我们称之为燕尾形．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1．如图，AD =6，CD =14，三角形ABE 的面积是24，求三角形BEC 的面积．「分析」ABE BCE S ADS DC =△△，据此就可以求出△BEC 的面积．练习1．已知三角形ABC 中，三角形ABF 的面积是60，三角形AFC 的面积是20，三角形BFC 的面积是56，求三角形BDF 和三角形CDF 的面积．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -给出不同边上的比例关系，我们就可以用“燕尾模型”解决三角形面积的问题，下面我们先看一个给出两个外比的问题．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -ab= 外比：31312424S S S S BDS S S S CD +===+D内比：12123434S S S S AOS S S S OD+===+ A B DC EF- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 练一练根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数．例题2．如图，△ABC 的面积等于28平方厘米．其中AE EC =，:3:1BD DC =，求阴影三角形的面积．「分析」图中并没有燕尾模型，所以第一步需要把它构造出来．应该连哪条线呢？练习2．在三角形ABC 中，2AE EB =，AD CD =，阴影部分占△ABC- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -有时题目给的不是两个外比，而是一个内比和一个外比，此时在利用燕尾模型解题的时候，既需要由长度的比推出面积的比，也需要由面积的比推出长度的比．这类问题较简单的一类是已知的内比和外比在同一个燕尾形中．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -外比：AD :DB =2:1 外比：AF :FC =1:1 外比：CD :DB =2:1 外比：AE :EC =1:3 外比：CD :DB =3:1 外比：AE :EC =1:3练一练根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数．例题3． 如图，△ABC 中AE ED =，:1:3BD DC =，阴影部分的面积占三角形ABC 面积的几分之几？ 「分析」这道题目属于知道一外比和一内比的第一种类型，按顺序填份数就可以了．练习3在三角形ABC 中，2AE EC =，:1:1BF FE =，阴影部分占△ABC 的几分之几？练一练根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数．外比：AD :DC =1:1外比：AD :DC =1:2外比：BE :EC =2:1外比：AE :EB =2:1例题4如图，△ABC 中，，13AE AC =，求四边形CEFD 的面积是三角形ABC 的几分之几．「分析」这道题目属于知道一外比和一内比的第二种类型，按顺序填份数就可以了．练习4．在三角形ABC 中，12AE EC =，3CF DF =，四边形ADFE 的面积是三角形ABC 的几分之几？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -有些图形不能直接使用燕尾模型，我们需要添加辅助线后方可使用燕尾模型．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题5．如图，正方形ABCD 的边长是6，E 、F 分别是DC 和AD 边的中点，阴影部分的面积是多少？「分析」连结AC ，燕尾模型就出来了．AF FD =AB F EAB DC FE例题6．如图，四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，BCDE 是平行四边形．那么四边形ABCD 的面积是多少？「分析」例题5中，我们通过连结正方形对角线构造出了燕尾模型．本题中，我们应该连结哪条线段呢？A BCD E F O含有“燕”字的诗句中国古代的诗句中，有很多都和燕子有关系。