小学五年级奥数高斯课本知识讲解

小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积•这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．（1）123 456 789除以111 的余数是多少？（2）224468 6678 的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算．例题5．（1）87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？（2）365366+367368 369370除以7、11、13的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．（1）2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？（2）32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数，大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节，猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。

第一讲整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论.什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道.人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科.确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科.我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧.X:: 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数;论是数学的皇冠” ?整除的定义如果整数a 除以整数 b ( b 0 ),除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除,也可以说b 能整除a,记作b | a .「丁M 丄［EfiAI邑九牛城帀，琴百捨吧円样的方式冉境OOOKH3C01B.以G 、乩出卞城布可胯号毀離00001 'oooowjja 序谏次脫锂A- B- C,懵快.軒iHflt 反应境闻瞭面丈旳埠茶逾稲伸只记聲车壇忙￥2.鼻、4. $、隔一亍？貝侔的推列浚记件yrmir =Flf 面丈谥氓功了毡豪酊r.舌方境出了颯珂停!* w<?帀的T/如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除 a.整除的一些基本性质:1. 尾数判断法3.奇偶位求差法|能被ii 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii 整除HI我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和” 把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．F 面我们来看一下如何运用这些性质.例题1.判断下面11个数的整除性：23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407 (1)这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？(2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？(3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？(4)哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下.练习 1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被4 整除,哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除.从中我们可以总结出如下规律:和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那它们的和与差也都能被a|能被2, 5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除.||能被4, 25整除的数的特征：末两位能被4或25整除. 1［能被8, 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.1数字求和法能被3, 9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除.|(1) (2) (3)2.整除.例题2. 17石是一个四位数?文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析.需要分别用到9、11和8的整除特性.练习2.在2S 的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除.上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题?下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决.例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上?但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“　6dd ”，其中方框表示破了的洞. 牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除?我们没有学过被45整除的数的特征.但注意到45 5 9，于是6dd应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数CC 能被36整除，那么这个四位数可能是多少?在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是45 5 9，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可.请同学们注意，虽然45 3 15，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15 整除?你能想明白为什么吗？例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话. 服务人员告诉他，目前只有形如“　1234 口6口8 ”的号码可以申请?也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动. 王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码.请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位Q8是8的倍数?想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4.七位数22 333 能被44整除，那么这个七位数是多少?有时候满足题目条件的答案会非常多. 如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可.例题5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、&….如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？例题6.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数.那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的.一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出.结果他开了两个洞一一大的给老猫，小的给小猫.其实在整除性的问题当中也有类似情况. 比如要在200 □匚的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4,只要考虑5和8即可，因为能被8整除的也必然能被4整除.如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了.作业1. 下面有9 个自然数：48, 75, 90, 122, 650, 594, 4305, 7836, 4100 .其中能被 4 整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2. 有如下5个自然数：12345, 189, 72457821, 333666, 54289?其中能被9整除的有哪些？3. 有如下5个自然数：3124, 3823, 45235, 5289, 5588 ?其中能被11整除的有哪些？4. 是一个四位数?王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除? ”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5. 阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：匚111.C 元（表示不明数字）.请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步例题1. 答案：(1)能被4整除的有3568、5880、6512、864;能被8整除的有3568、5880、6512、864 .(2)能被25 整除的有8875、93625 ;能被125 整除的有8875、93625 . ( 3) 能被 3 整除的有23487、6765、5880、198954、864;能被9 整除的有198954、864. (4) 能被11整除的有407、6765、6512.例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7 ?要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8?要想让四位数能被8整除，需要后三位即7C 是8的倍数，空格中要填 6 .三个数字之和是21 .例题3. 答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5,对应的百位是6或1 .例题 4. 答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8 .要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、&例题 5. 答案：10395; 98730详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数.那么五位数的末尾只能是0或5 ?先来看最小的数?要让前面数位上的数字尽量小，可以是1CD5 ?要满足它是9的倍数且最小，应该是10395 ?再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是98口口5或9CD0 ?要满足它是9的倍数且最大，应该是98730.例题6. 答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数.这六个数字的和是28 , 而最大的三个数的和是20,也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20,所以只能把28分成两个14，偶位为& 5、1，奇位为7、4、3.练习1. 答案：能被4整除的数有3124、312、5588;能被3整除的数有312、5289、7314 ; 能被11整除的数有3124、5588.练习2. 答案：本题的答案不止一种,要想被3整除,空格中可以填1、4、7.要想被 4 整除,空格中可填 2 或 6.要想被 5 整除,空格中可填0或 5.练习 3. 答案：3132 或3636简答：要想被36整除,这个四位数要既是4的倍数, 也是9的倍数. 要想是 4 的倍数, 个位上的空格中可填 2 或6.要想满足四位数是9的倍数,百位上的空格对应要填1或6.练习 4. 答案：2213332 或2283336简答：这个七位数既是4的倍数,也是11的倍数.要想是 4 的倍数,个位上的空格中可填2或6,剩下的空格中对应可填1或8.作业 1. 答案：48, 7836, 4100；75, 650, 4100简答： 4 和25 看末两位.作业 2. 答案：189, 72457821, 333666简答：被9 整除看数字和.作业 3. 答案：3124, 5588简答：被11 整除看奇位和与偶位和的差.作业4. 答案：11简答：填入的三个数字分别为1, 4, 6,数字和为11.作业 5. 答案：811.44 元简答：72 8 9 ,分别考虑8和9的整除特性.。

高思奥数导引小学五年级含详解答案第10讲几何计数在小学五年级的数学学习中，几何计数作为一个重要的内容，对培养学生的观察能力和逻辑思维有着重要的作用。

本文将带领读者详解高思奥数导引小学五年级第10讲的几何计数内容。

几何计数是指通过计数方法解决与几何图形相关的问题。

它不仅要求学生掌握基本的计数技巧，还要求学生具备观察能力和逻辑思维能力，能够从几何图形中发现规律，运用数学知识解决问题。

本讲的内容主要包括三个方面：图形的计数、方格中的计数和平面图形的计数。

首先，让我们来看一下图形的计数。

在图形的计数中，学生需要利用巧妙的计数方法来确定图形中的元素个数。

常见的计数方法包括分组计数、组合计数和递推计数。

分组计数是将图形划分为若干个部分，然后计算每个部分的元素个数，最后将它们相加；组合计数是通过列举所有可能的组合情况来计算元素个数；递推计数是通过找出图形中元素数量的递推规律来计算。

接下来，我们将关注方格中的计数。

方格中的计数是指在由小方格组成的大方格中计算元素个数。

在这个过程中，学生需要了解方格的排列方式和计数规律。

常见的计数规律有根据方格的边长计算总个数、根据方格的层数计算总个数等。

通过掌握这些计数规律，学生可以更准确地计算方格中的元素个数。

最后，我们来讨论平面图形的计数。

平面图形的计数是指在平面上通过对图形的划分和分组来计算元素的个数。

在这个过程中，学生需要具备一定的观察能力和判断能力，能够将复杂的图形划分为相对简单的部分，然后计算每个部分的元素个数，并将它们相加得出最终答案。

通过学习高思奥数导引小学五年级第10讲的几何计数内容，学生不仅可以提高自己在数学领域的解题能力，还可以培养自己的观察能力和逻辑思维能力。

几何计数不但在解决实际问题中有重要的应用，而且在培养学生的空间想象力和创造力方面也有着重要的作用。

总结起来，高思奥数导引小学五年级含详解答案第10讲的几何计数涉及到图形的计数、方格中的计数和平面图形的计数。

第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积•这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．(1)123 456 789除以111 的余数是多少？(2)224468 6678的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合,便可大大简化余数的计算．例题5．(1)87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？(2)365366+367368 369370除以7、11、13 的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来,再求余数,计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．( 1) 2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？(2) 32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数,大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节, 猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。

第一讲圆与扇形初步- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -圆是宇宙中最简单的图形：天上的太阳、月亮、行星和恒星，它们在太空中呈现圆和球形；地上的滚滚车轮，家里的盘子、碗、钟表也都是圆的．在自然界中，没有像圆那样美的图形了．圆匀称、饱满、光滑、对称，常用来象征吉祥如意，表达人们的良好愿望：圆满、圆梦、团圆……古希腊毕达哥拉斯学派认为：“一切立体图形中最美的是球体，一切平面图形中最美的是圆形”．他们认为，圆是神创造出来的最完美的东西．在纸上画一点O ，并在纸上找到所有与O 距离为1的点，如A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ……等．这些点合到一起，就构成一个圆．．点O 就称为该圆的圆心．．；圆心与圆周上任意一点的连线（例如线段OA 、OB 、OC 、OD 等）叫半径．．；通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫直．径．．直径长恰好是半径长的两倍．圆心确定了圆所在的位置，半径长度确定了圆的大小．一个圆只要确定了“圆心”和“半径”，就能完全确定下来．圆周长与直径的比值是一个固定不变的数，我们称之为圆周率．．．，用希腊字母π表示．很早的时候，人们就利用滚圆法知道了π大约是3．随着科学的进步，现在我们已经知道圆周率是一个无限不循环小数，无法写成分数的形式．在实际问题的计算中，常常取近似值3.14．直径长度通常用字母d 来表示，半径长度通常用r 来表示，圆周长通常用C 来表示．于是有圆周长公式：习惯上，圆面积用字母S 来表示．它的计算公式为：这一计算公式可以通过圆的周长公式推导出来．大家仔细观察下图，想想看应该如何推导？练一练下面的题目中，π都取为3.14．1.已知一个圆的半径为3厘米，那么这个圆的周长为_______厘米；2.已知一个圆的周长为50.24厘米，那么这个圆的直径为_______厘米；3.已知一个圆的半径为3厘米，那么这个圆的面积为_______平方厘米；4.已知一个圆的面积为78.5平方厘米，那么这个圆的半径为_______厘米．扇形是指圆上被两条半径和半径之间的弧所包围的部分．其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所成的夹角称为扇形的圆心角．扇形是圆的一部分．要想知道扇形的弧长与面积，只要知道它是所在圆的几分之几就可以．它是圆的几分之几，它的弧长就是圆周长的几分之几，它的面积也同样就是圆面积的几分之几．需要注意的是，扇形的弧长不是它的周长．．．．．．．．．．．，扇形的周长还必须加上两条半径！练一练5. 已知一个扇形的半径是2厘米，圆心角是45°，那么这个扇形所在圆的面积是_______平方厘米；扇形的圆心角占圆周角的____分之____，它的面积占圆面积的____分之____，这个扇形的面积是______．6. 已知一个扇形的半径为6厘米，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为________厘米，周长是_______厘米；面积为_______平方厘米．7. 已知一个扇形的半径为4厘米，面积为12.56平方厘米，它的弧长等于_______厘米，周长等于______厘米．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1．有一个圆形花坛，直径为20米，一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈，请问它飞了多少米？如果小蜜蜂沿着图中的虚线，飞一个“8”字，路线构成过花坛圆心的两个小圆，那么这次它飞了多少米？（π取3.14） 分析：小圆的直径是多少？练习1．半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米？（π取3.14）例题2．如图，在一块面积为28.26平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板．问：余下的边角料的总面积是多少平方厘米？（π取3.14） 分析：大圆的半径是多少？小圆的半径又是多少？练习2．如图，在一块面积为12.56平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板．问：余下的纸板的总面积是多少平方厘米？（π取3.14）- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -一个规则的圆或扇形直接利用公式就可以求解，但一个不规则图形就没那么容易．在求解之前，先得当一回“裁缝”，将图形拆分、重组，然后再利用规则图形的相加或相减来进行求解．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．如图，图中的三角形都是等腰直角三角形，求各图中阴影部分的面积．（π取3.14）分析：经过适当的分割和移动，图中不规则的阴影部分可以拼成规则的几何图形．练习3．图中的4个圆的圆心恰好是正方形的4个顶点，如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？（π取3.14）444例题4．如图是一个直径是3厘米的半圆，AB 是直径．如图所示，让A 点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）分析：图（2）中整个图形的面积是多少，空白部分的面积又是多少？先列出算式，看看有没有可以抵消的部分．练习4．下图（1）是一个半径为3厘米的半圆，AB 是直径．如图（2）所示，让A 点不动，把整个半圆顺时针转30°，此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？小知识圆有很多有意思的性质：➢ 圆心到圆上的每个点的距离都相等，这是圆的定义．➢ 每条经过圆心的直线都把圆平分为两半，都是圆的对称轴，因而圆有无数条对称轴． ➢ 圆绕着圆心任意旋转，所得的图形与原来的圆重合．➢ 所有的圆之间都可以通过缩放相互转换，因而圆只有唯一一种形状，任意两个圆都是相似的．➢ 所有平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．因而圆也被称为平面上最完美的图形．A BB （1）（1） A A B B （2）例题5．图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？分析：图中的阴影部分虽然很对称，但并不规则，无法用公式直接计算．那能不能通过恰当的割补将其变为一个规则图形进行求解呢？同学们不妨动手试一试．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例6． 右图是由一个圆与一个直角扇形重叠组成的，其中圆的直径与扇形的半径都是4．图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）分析：阴影部分的两个小弓形可以拼到哪里？圆的历史圆形，是一个看来简单，实际上十分奇妙的图形．古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的．在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆．到了陶器时代，许多陶器都是圆的．圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的．当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤．古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲．后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多．约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘．大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子．会作圆，但不一定就懂得圆的性质．古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形．一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468~前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330~前275年）给圆下定义要早100年．任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示．它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535…但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14．如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr．《周髀算经》上说“周三径一”，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值．美索不达米亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3．魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现“周三径一”只是圆内接正六边形周长和直径的比值．他创立了割圆术，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长．他算到圆内接正3072边形的圆周率，π=3927/1250．刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就．祖冲之（公元429~500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率．在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值．现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后12400亿位了．作业1. 面积为78.5平方厘米的圆，周长是多少厘米？（π取3.14）作业2. 一个半径为3分米的扇形，面积为6.28平方分米，那么它的圆心角是多少度？（π取3.14） 作业3. 如图，三角形ABC 为等边三角形，边长为2，D 为BC 边中点．分别以B 、C 为圆心、1为半径作两个扇形（即图中阴影部分）．那么阴影部分的面积是多少？（π取近似值3.14，结果保留2位小数） 作业4. 如图，ABCD 是正方形，且F A =AD =DE =1，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）作业5. 图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（图中长度单位为厘米，π取3.14）第4题图第3题图第一讲 圆与扇形初步例题1.答案：62.8米详解：小圆半径是5米，飞行路线为两个小圆周长，所以是2π5262.8⨯⨯=米．无论小圆有多少个，大小是否相等，只要所有小圆的直径之和等于大圆，那么它们的周长之和也等于大圆． 例题2.答案：6.28平方厘米详解：228.26 3.143÷=，大圆半径是3厘米．小圆半径是1厘米，所以边角料面积为228.2671 3.14 6.28-⨯⨯=平方厘米．例题3.答案：4；4.56；8详解：（1）割补法，将右边的弓形补到左边，两块阴影面积之和恰好为等腰直角三角形面积的一半．即44224⨯÷÷=．（2）割补法，如图，将图中的叶子形从中间分成面积相等的两个小弓形，阴影部分可拼成一个完整弓形，面积为1144 3.1444 4.5642⨯⨯⨯-⨯⨯=． （3）割补法．正好是把第二问的过程反过来，把两个小弓形补到空白部分，阴影部分面积之和正好是等腰直角三角形的面积，即4428⨯÷=．例题4.答案：4.71详解：图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个半圆面积与一个圆心角为60°的扇形面积之和．因此阴影面积等于圆心角为60°的扇形面积，即21π3 4.716⨯⨯=．例题5.答案：8平方厘米详解：如图，阴影部分总面积等于虚边正方形面积，该正方形的对角线长为圆直径的两倍，等于4厘米，所以面积为平方厘米．例题6.答案：4.56详解：如图，把两个阴影部分的小弓形补到空白部分之后，可以看出阴影部分的面积之和等于大扇形的面积减去圆中正方形的面积．21π4442 4.564⨯⨯-⨯÷=．4428⨯÷= 444练习1. 答案：62.8简答：()1234 3.14262.8+++⨯⨯=．练习2. 答案：6.28简答：大圆的面积是12.56，可求出大圆的半径是2，那么小圆的半径是1，面积是3.14．阴影部分的面积是12.56 3.14 3.14 6.28--=．练习3. 答案：10.28简答：图中的阴影部分恰好可以拼成一个边长为2的正方形和两个半径为1的圆，22 3.1411210.28⨯+⨯⨯⨯=．练习4. 答案：9.42简答：类似例题4的分析，可知阴影部分的面积与30°的扇形面积是相同的，都是21π69.4212⨯⨯=．作业1.答案：31.4 简答：278.5 3.1425r =÷=，5r =．2 3.14531.4C =⨯⨯=厘米． 作业2. 答案：80简答：扇形所在大圆的面积是23.14328.26⨯=，圆心角是6.283608028.26⨯=度． 作业3. 答案：1.05简答：阴影部分是两个60°的扇形，面积是213.1412 1.056⨯⨯⨯≈． 作业4. 答案：0.6075简答：连接BD ，将最左边的弓形补过来．阴影部分的面积就是平行四边形BDEC 的面积减去扇形的面积．24511 3.141=0.6075360S =⨯-⨯⨯n 影． 作业5. 答案：12平方厘米 简答：阴影部分可以合成三个斜边是4的等腰直角三角形，面积是344412⨯⨯÷=平方厘米；。

小学五年级奥数高斯课本Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-位值原理一、知识引领在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，而每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的。

比如一个数由1、2、3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1、2、3能组成很多数，例如213、321、123……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123。

从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：个位上的数字代表几个1；十位上的数字代表几个10；百位上的数字代表几个100；……那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123=1×100+2×10+3×1，这个结论被称为位值原理。

有的时候，为了分析问题方便，我们并不能将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如23456=23×1000+45×10+6，我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用。

二、精讲精练例题1：一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数。

练习一：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少例题2：在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这两个数。

练习2：在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数。

例题3：一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7。

试求两个数的差。

练习3：把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数最大可以是多少例题4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“学习爱̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=爱学习̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“学习爱”所表示的三位数最小是多少 练习4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“用微信交作业̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=交作业用微信̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“用微信交作业”所表示的六位数最小是多少 三、奥赛传真1、（1）851= ×100+ ×10+ ×1；（2）55984= ×1000+ ×10+ ×1.2、（1）nba̅̅̅̅̅= ×100+ ×10+ ×1; （2）3下5除2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅= ×10000 ×100+ ×1. 3、在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得到的三位数是原数的7倍，这个两位数是 .4、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。

此文档下载后即可编辑位值原理一、知识引领在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，而每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的。

比如一个数由1、2、3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1、2、3能组成很多数，例如213、321、123……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123。

从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：个位上的数字代表几个1；十位上的数字代表几个10；百位上的数字代表几个100；……那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123=1×100+2×10+3×1，这个结论被称为位值原理。

有的时候，为了分析问题方便，我们并不能将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如23456=23×1000+45×10+6，我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用。

二、精讲精练例题1：一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数。

练习一：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？例题2：在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这两个数。

练习2：在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数。

例题3：一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7。

试求两个数的差。

练习3：把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数最大可以是多少？例题4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“学习爱̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=爱学习̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“学习爱”所表示的三位数最小是多少？练习4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“用微信交作业̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=交作业用微信̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“用微信交作业”所表示的六位数最小是多少？三、奥赛传真1、（1）851= ×100+ ×10+ ×1；（2）55984= ×1000+ ×10+ ×1.2、（1）nba̅̅̅̅̅= ×100+ ×10+ ×1; （2）3下5除2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅= ×10000 ×100+ ×1.3、在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得到的三位数是原数的7倍，这个两位数是 .4、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。

第十二讲几何计数漫画，共一格一群古代的人在田地中劳作，田地中阡陌交错。

旁边文字描述：西周时期，道路和渠道纵横交错，把土地分隔成方块，形状像“井”字，因此称做“井田”。

分割田地大概有3条横线、4条竖线左右，可适当增减。

人的耕作情况要符合西周时的实际情况，比如不能有拖拉机，不能有牛耕。

后面给出问题：在图中，有多少个“井”字？几何计数，同学们一看这一讲的名字就知道了，我们学习的内容就是专门数几何图形的个数．可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画好了，一边看图一边数，肯定不会数错的．真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？学完这一讲后，大家就知道答案了．三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧．例题1．下列图形中各有多少个三角形？「分析」对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举，并注意寻找规律．那么，本题应该按照怎样的顺序去枚举呢？下图中有多少个三角形？例题2．右图中共有多少个三角形？「分析」对于这道题目，我们也首先想到枚举法．应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现其中的规律吗？练习2:．请数出这个图形中有多少个三角形．下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法.例题3．下列图形中，分别有多少个正方形？「分析」同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．围棋棋盘是由19条横线和19条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？例题4．在右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形）（1）一共有多少个长方形？（2）包含“★”的长方形共多少个？（3）包含“☆”的长方形共多少个？（4）两个五角星都包含的长方形共多少个？（5）至少包含一个五角星的长方形共多少个？（6）两个五角星都不包含的长方形共多少个？★☆「分析」如果还用枚举法处理这道题目，就会越数越复杂．那有没有好一点的方法？我们换一个角度来思考这个问题．同学们可以想想看，怎样才能在图中画出一个长方形来？当然很简单，只需要画出它的两条长和两条宽就可以了，也就是只需要画出两条横线和两条竖线．如右图所示．因此，长方形的个数就是选择两条横线和两条竖线的所有方法数．下图中是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形．那么：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？通过上面的学习我们可以知道，几何计数与我们之前学过的有序思考、分类枚举、乘法原理以及排列组合都有着密切的关系．同学们在学习过程中要勤于观察，勤于思考，这样才能发现和总结出更好的方法．例题5．右图中共有多少个长方形？（注意：长方形包括正方形）「分析」我们可以考虑下方3×5的长方形和右边6×2的长方形，分别计算出两部分中长方形的个数，这样所有的长方形都考虑到了，但是其中有重复计算的．哪些重复计算了？容易看出来重复计算的是右下角重叠的3×2的部分，那么把这部分中的长方形减去就能得到最后答案．例题6．右图中有多少个平行四边形？「分析」题目中要求数出平行四边形的个数，那么你能发现图中有几类平行四边形吗？如何数出每一种的数量呢？数学家的墓志铭一些数学家生前献身于数学，死后在他们的墓碑上，刻着代表着他们生平业绩的标志．古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马敌兵之手（死前他还在叮嘱：“不要弄坏我的圆”．）后，人们为纪念他便在其墓碑上刻上球内切于圆柱的图形，以纪念他发现球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二．德国数学家高斯在他研究发现了正十七边形的尺规作法后，便放弃原来立志学文的打算而献身于数学，以至在数学上作出许多重大贡献．甚至他在遗嘱中曾建议为他建造正十七边形的棱柱为底座的墓碑．16世纪德国数学家鲁道夫，花了毕生精力，把圆周率算到小数点后35位，后人称之为鲁道夫数，他死后别人便把这个数刻到他的墓碑上．瑞士数学家雅谷·伯努利，生前对螺线（被誉为生命之线）有研究，他死之后，墓碑上就刻着一条对数螺线，同时碑文上还写着：“我虽然改变了，但却和原来一样”．这是一句既刻划螺线性质又象征他对数学热爱的双关语．阿基米德（公元前287年—公元前212年）作业1. 右图中共有多少个三角形？作业2. 右图中共有多少个三角形？作业3. 右图是由12个11⨯的小正方形组成的，数一数图中一共有多少个正方形．作业4. 右图是由15个11⨯的小正方形组成的，数一数图中一共有多少个长方形．（长方形包括正方形．）作业5. 在右图中（下列各小题中，长方形均包括正方形）（1）包含“★”的长方形共多少个？ （2）包含“☆”的长方形共多少个？ （3）两个五角星都包含的长方形共多少个？第十二讲几何计数例题1.答案：16；15详解：注意有序枚举：（1）左图中由一部分组成的三角形有6个，由两部分组成的三角形有3个，由三部分组成的三角形有6个，由六部分组成的三角形有1个，共计16个．（2）右图中由一部分组成的三角形有4个，由两部分组成的三角形有6个，由三部分组成的三角形有2个，由四部分组成的三角形有2个，由六部分组成的三角形有1个，共计15个．例题2.答案：78详解：恰当分类，有序枚举．图中的三角形可以分为两类，一类是尖朝上的，一类是尖朝下的．设最小的三角形边长为1．（1）尖朝上的：边长为1的三角形有123410+++=个；边长为2的三角形有1236++=个；边长为3的三角形有123410+++=个；边长为4的三角形有1236++=个；边长为5的三角形有123+=个；边长为6的三角形有1个．共计56个．（2）尖朝下的：边长为1的三角形有1234515++++=个；边长为2的三角形有1236++=个；边长为3的三角形有1个．共计22个．图中一共有78个三角形．例题3.答案：91，112详解：分别考虑边长为1、2、3、4、5、6的正方形各有多少个即可．左图有66554433221191⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=个，右图有766554433221112⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=个．例题4.答案：（1）756；（2）216；（3）240；（4）108；（5）348；（6）408详解：（1）7条横线选2条作为长，9条竖线选2条作为宽，有22792136756C C⨯=⨯=个．（2）含★的长方形上下左右边分别有3、4、3、6种选法，这样长方形有3436216⨯⨯⨯=个．（3）含☆的长方形上下左右边分别有4、3、5、4种选法，这样长方形有4354240⨯⨯⨯=个．（4）两个五角星都含的长方形上下左右边分别有3、3、3、4种选法，长方形有3334108⨯⨯⨯=个．（5）根据容斥原理，至少包含一个五角星的长方形有216240108348+-=个．（6）用排除法，两个五角星都不包含的长方形有756348408-=个．例题5.答案：135个详解：如图，下方阴影部分中一共有长方形224690C C⨯=个；右方阴影部分中一共有长方形227363C C⨯=个．其中右下方3×2长方形中的长方形被重复计算了，共有224318C C⨯=个．所以图中一共包含长方形906318135+-=个．例题6.答案：45个．详解：所有平行四边形一共有三种不同的方向：尖朝右、尖朝左和尖朝上，如图：这就提示我们可以按这个特点来分类，因为根据图形的对称性，这三种平行四边形的个数是一样多的．只需数出其中的一种，就能算出最后的答案了．下面我们来数尖朝上的平行四边形．所有这种平行四边形的边都是斜的，没有横线，所以要数它们的个数，可以把图中的所有横线都去掉，变成如下图形：这样一来图形就简单了，这个图里的平行四边形很容易数出来：最小的平行四边形有10个，两个小平行四边形拼成的有12个，三个小平行四边形拼成的有6个，四个小平行四边形拼成的有5个，六个小平行四边形拼成的有2个，共35个．而对于另外两种平行四边形，也可根据同样的方法数出，都是35个．因此原来图形中一共有353105⨯=个平行四边形．练习1.答案：8个；12个简答：（1）左图中由一部分组成的三角形有3个，由两部分组成的三角形有4个，由四部分组成的三角形有1个，共计8个．（2）右图中由一部分组成的三角形有5个，由两部分组成的三角形有4个，由三部分组成的三角形有2个，由五部分组成的三角形有1个，共计12个．练习2.答案：48个简答：由1个小三角形组成的三角形有151025+=个；由4个小三角形组成的三角形有10313+=个；由9个小三角形组成的三角形有6个；由16个小三角形组成的三角形有3个；由25个小三角形组成的三角形有1个；共有48个．练习3.答案：2470个简答：按正方形的大小分类，共有2222191817119203962470++++=⨯⨯÷=个．练习4.答案：（1）450；（2）144简答：（1）5条横线选2条作为长，10条竖线选2条作为宽，有225101045450C C⨯=⨯=个．（2）含黑点的长方形上下左右边分别有2、3、6、4种选法，这样长方形有2364144⨯⨯⨯=个．作业1.答案：10个简答：由一个部分组成的三角形有5个，由两个部分组成的三角形有4个，由三个部分组成的三角形有1个，共计10个．作业2.答案：14个简答：边长为1的有10个，边长为2的有4个，共计14个．作业3.答案：20个简答：正方形数目：边长为1的12个，边长为2的6个，边长为3的2个，共计20个．作业4. 答案：90个简答：长方形有2246C C 90⨯=个．作业5. 答案：（1）180个；（2）192个；（2）108个简答：（1）3354180⨯⨯⨯=个；（2）4443192⨯⨯⨯=个；（3）3343108⨯⨯⨯=个．。

位值原理一、知识引领在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，而每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的。

比如一个数由1、2、3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1、2、3能组成很多数，例如213、321、123……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123。

从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：个位上的数字代表几个1；十位上的数字代表几个10；百位上的数字代表几个100；……那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123=1×100+2×10+3×1，这个结论被称为位值原理。

有的时候，为了分析问题方便，我们并不能将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如23456=23×1000+45×10+6，我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用。

二、精讲精练例题1：一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数。

练习一：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？例题2：在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这两个数。

练习2：在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数。

例题3：一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7。

试求两个数的差。

练习3：把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数最大可以是多少？例题4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“学习爱̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=爱学习̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“学习爱”所表示的三位数最小是多少？练习4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“用微信交作业̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×2=交作业用微信̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅×5”中，“用微信交作业”所表示的六位数最小是多少？三、奥赛传真1、（1）851= ×100+ ×10+ ×1；（2）55984= ×1000+ ×10+ ×1.2、（1）nba̅̅̅̅̅= ×100+ ×10+ ×1; （2）3下5除2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅= ×10000 ×100+ ×1.3、在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得到的三位数是原数的7倍，这个两位数是 .4、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。

第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积•这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．(1)123 456 789除以111 的余数是多少？(2)224468 6678的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合,便可大大简化余数的计算．例题5．(1)87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？(2)365366+367368 369370除以7、11、13 的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来,再求余数,计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．( 1) 2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？(2) 32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数,大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节, 猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。

第1讲：分数计算与比较大小内容概述：理解分数的概念，熟练掌握分数四则运算中的通分、约分等技巧，了解分数运算中的一些速算方法；学会比较分数大小的各种方法，包括通分母、通分子、交叉相乘、倒数比较法、间接比较法等等。

典型问题：兴趣篇1.计算：（1）220200373737++；（2）1111220200---。

2.计算：8153 1332114114⎛⎫-+-⎪⎝⎭。

3.计算：1151411 451312⎛⎫-÷⨯+÷⎪⎝⎭。

4.计算：43615416273 7575⨯-⨯+⨯+⨯。

5.计算：8888888888 9999999999 9999999999+++。

6.计算：（1）123403124⨯；（2）113155156⨯。

7.计算：567891234556789⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯。

8.将下列分数由小到大排列起来：1419，1324，1423，1519，1323。

9.比较下列分数的大小：（1）313与940；（2）79320与2079。

10.比较下列分数的大小：（1）9899与19941995；（2）1111022221与4444388887。

拓展篇：1.计算：12317 36182434320⎛⎫⎛⎫+++⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2.计算：2121 215315353⎛⎫+⨯÷-⎪⎝⎭。

3.要使算式1512(0.7)2467--⨯=成立，方框内应填入的数是多少？4.计算：724 124182525⨯+⨯。

5.计算：111111111111 133557799111113 363636363636⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

6.计算：111111 762353235353762376⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯+-⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

7.比较：200420062005⨯与200320052004⨯的大小，并计算它们的差。

肖老师讲奥数(五年级基础教程)-高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

例1. 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2. 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

第一讲整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论. 什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道.人们在对整数的应用和研究中， 探索出很 多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律， 吸引了古往今来的许多数学家， 于是就出现 了数论这门学科.确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科.我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧.X:: 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过： “数学是科学的皇后，数;论是数学的皇冠” •整除的定义「丁 M 丄［EfiAI邑九牛城帀，琴百捨 吧円样的方式冉境 OOOKH3C01B.以G 、乩出卞城布 可胯号毀離00001 'oooowjja 序谏 次脫锂A- B- C, 懵快.軒iHflt 反应境 闻瞭面丈旳埠茶逾稲 伸只记聲车壇忙¥2. 鼻、4. $、隔一亍・ 貝侔的推列浚记件yrmir =Flf 面丈谥氓功了毡 豪酊r.舌方境 出了颯珂停!* w<«帀的T /整除的一些基本性质:1. 尾数判断法3.奇偶位求差法|能被ii 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii 整除HI 我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位， ，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和” 把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”.F 面我们来看一下如何运用这些性质.例题1.判断下面11个数的整除性：23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407 (1) 这些数中，有哪些数能被 4整除？哪些数能被 8整除？ (2) 哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ (3) 哪些数能被3整除？哪些数能被 9整除？ (4) 哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不 妨根据整除特性判断一下.练习 1.在数列 3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除,哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被 3整除；同样的， 如果将其中能被11整除的数相加或相减， 会发现得到的结果同样能被 11整除.从中我们可以总结出如下规律:(1) (2) (3)2.例题2. 17石是一个四位数•文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析.需要分别用到9、11和8的整除特性.练习2.在2S 的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除.上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题•下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决.例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上•但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“ 6dd ”，其中方框表示破了的洞. 牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除•我们没有学过被45整除的数的特征.但注意到45 5 9，于是6dd应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数CC 能被36整除，那么这个四位数可能是多少?在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是45 5 9，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可.请同学们注意，虽然45 3 15，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15 整除•你能想明白为什么吗？例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话. 服务人员告诉他，目前只有形如“ 1234 口6口8 ”的号码可以申请•也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动. 王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码.请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位Q8是8的倍数•想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4.七位数22 333 能被44整除，那么这个七位数是多少?有时候满足题目条件的答案会非常多. 如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可.例题5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、&….如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？例题6.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数.那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的.一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出.结果他开了两个洞一一大的给老猫，小的给小猫.其实在整除性的问题当中也有类似情况. 比如要在200 □匚的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4,只要考虑5和8即可，因为能被8整除的也必然能被4整除.如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了.作业1. 下面有9 个自然数：48, 75, 90, 122, 650, 594, 4305, 7836, 4100 .其中能被4 整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2. 有如下5个自然数：12345, 189, 72457821, 333666, 54289•其中能被9整除的有哪些？3. 有如下5个自然数：3124, 3823, 45235, 5289, 5588 •其中能被11整除的有哪些？4. 是一个四位数•王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除• ”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5. 阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：匚111.C 元（表示不明数字）.请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步例题1. 答案：(1)能被4整除的有3568、5880、6512、864;能被8整除的有3568、5880、6512、864 .(2)能被25 整除的有8875、93625 ;能被125 整除的有8875、93625 . ( 3) 能被 3 整除的有23487、6765、5880、198954、864;能被9 整除的有198954、864. (4) 能被11整除的有407、6765、6512.例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7 •要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8•要想让四位数能被8整除，需要后三位即7C 是8的倍数，空格中要填6 .三个数字之和是21 .例题3. 答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5,对应的百位是6或1 .例题 4. 答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8 .要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、&例题 5. 答案：10395; 98730详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数.那么五位数的末尾只能是0或5 •先来看最小的数•要让前面数位上的数字尽量小，可以是1CD5 •要满足它是9的倍数且最小，应该是10395 •再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是98口口5或9CD0 •要满足它是9的倍数且最大，应该是98730.例题6. 答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数.这六个数字的和是28 , 而最大的三个数的和是20,也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20,所以只能把28分成两个14，偶位为& 5、1，奇位为7、4、3.练习1. 答案：能被4整除的数有3124、312、5588;能被3整除的数有312、5289、7314 ; 能被11整除的数有3124、5588.练习2. 答案：本题的答案不止一种,要想被3整除,空格中可以填1、4、7.要想被 4 整除,空格中可填 2 或6.要想被 5 整除,空格中可填0或5.练习 3. 答案：3132 或3636简答：要想被36整除,这个四位数要既是4的倍数, 也是9的倍数. 要想是 4 的倍数, 个位上的空格中可填 2 或6.要想满足四位数是9的倍数,百位上的空格对应要填1或6.练习 4. 答案：2213332 或2283336简答：这个七位数既是4的倍数,也是11的倍数.要想是 4 的倍数,个位上的空格中可填2或6,剩下的空格中对应可填1或8.作业 1. 答案：48, 7836, 4100；75, 650, 4100简答： 4 和25 看末两位.作业 2. 答案：189, 72457821, 333666简答：被9 整除看数字和.作业 3. 答案：3124, 5588简答：被11 整除看奇位和与偶位和的差.作业4. 答案：11简答：填入的三个数字分别为1, 4, 6,数字和为11.作业 5. 答案：811.44 元简答：72 8 9 ,分别考虑8和9的整除特性.。

第五讲分数基本计算一、分数的定义实际生活中，人们在进行测量和计算时往往不能得到整数的结果，为了适应实际的需要，人们发明了分数来表示这些非整数的结果．一般来说，把一个整体分成若干等份，取其中的一份或几份所表示的数就叫做分数．注意，一个物体或一些物体都可以看做一个整体．如图所示，如果将一个圆平均分成四份，那么取其中的一份用分数表示就是14，取另外的三份用分数表示就是34，如果将四份都取出，那用分数表示就是44，也就是单位“1”了．1434二、分数的分类及转化所有分数可以分成三类：真分数，假分数和带分数．我们把分母比分子大的分数称为真分数，例如：12、723、49、…；把分子比分母大或分子分母相等的分数称为假分数，例如：3221、77、239、…；把包含整数部分的分数称为带分数，例如：596、317、3104、…．注意：（1）在书写分数的时候不要将带分数与假分数混淆起来，即不能出现所谓的“带假分数”如：523，正确的写法是233或113；（2）带分数都可以写成一个整数与一个真分数相加的形式．假分数转化成带分数：非常简单，只需做一个带余除法．．．．．分母不变，分子除以分母所得整数为带分数左边整数部分，余数作分子．例如：将5221化为带分数，5221210÷=，则521022121=．有的时候会发现假分数的分子除以分母之后，刚好除尽没有余数，那么这时假分数就转换成了整数．例如：2847=、919=．带分数转化成假分数：刚好是带余除法的逆运算．．．．．．．．．分母不变，用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为分子．例如：1022110522212121⨯+==．【分析】熟练掌握假分数与带分数的转化法则即可．（1）将下面的假分数转化成带分数或整数．74，3215，7813，107，2919． （2）将下面的带分数转化成假分数．154，519，263，9713，7115．三、分数的基本性质及约分、通分在学习分数的运算之前，我们要先学会分数的基本性质：分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变． 利用分数的这种性质，我们可以把分数的分子、分母同时除以某个数，使得分数的大小不变，这个过程叫作约分．例如：7515590186==．56不能再约分了，像这样的，不能再约分的分数叫做最简分数．根据分数基本性质，把几个分母不同的分数分别化成与原分数相等的同分母分数，叫做通分．如：将13，38这两个分数通分，可以分别变为：18324=，39824=．（1）将下面的假分数转化成带分数或整数．3533214128+-，9711427⨯，1553216÷，7412181122⨯÷，7212． （2）将下面的带分数转化成假分数．133，327，112，11111，51012．【分析】在进行约分和通分时，一定要注意分子和分母要同时．．乘或除以一个数，否则分数的大小就会发生改变．（1）将下列分数约分成最简分数：8014，9177，3969，3415． （2）将下面几组分数进行通分：①34，25；②14，16，58；③12，34，25，710．四、分数的四则运算首先，先来看一下分数的加减法：分数加减：先把分数通分，再加减，计算结果能约分的，要约成最简分数．（1）将下列分数约分成最简分数：2836，3524，3857，9184，（2）将下面几组分数进行通分：①16，38；②23，34，512；③79，34，16，712．【分析】前面练习过通分的方法，现在终于能派上用场了．计算下列各式：（1）4556+；（2）131306-；（3）3526424129+-；（4）24932651510-+．然后来看一下分数的乘法．分数的乘法计算起来比加减法更方便，但同学们要注意，计算时要把带分数化为假分数再计算．分数乘法：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，其中能约分的可以先约分． 在介绍分数的除法之前，我们先要介绍一下倒数．顾名思义，倒数就是倒过来的分数，将一个分数的分子和分母倒过来得到的新的分数就叫做原分数的倒数，例如23的倒数就是32．注意：（1）一个整数的倒数就是这个整数分之一．例如，5的倒数就是15．（2）带分数需要化成假分数，才能计算倒数．例如，112的倒数就是23．（3）倒数与原数的乘积为1．知道了倒数的概念，就可以计算分数的除法了． 分数除法：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数．计算下列各式： （1）5173+；（2）71204-；（3）2775321481224+-；（4）749465121520-+．例 题 3【分析】熟练掌握乘除法的运算法则即可．（1）731214⨯；（2）153138149⨯⨯；（3）157118188⨯÷；（4）3221124332÷÷．掌握了分数运算的基本方法之后，我们就可以来做分数的混合运算了．分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序是一样的．如果有括号要先算括号里边的，先乘除后加减，同级运算就按照从左到右的顺序计算．计算下列各式： （1）854921720⨯⨯；（2）27168348219⨯⨯；（3）79111151421⨯÷； （4）22114772÷÷．【分析】熟练掌握分数加减乘除的运算法则即可．同整数计算一样，也要先乘除后加减．【分析】这个新的运算“*”看起来很是陌生，还是赶紧转化成我们比较熟悉的运算方式吧．定义新运算“*”如下：对于两个整数a 和b ，有*aba b b a =+，比如1211*22212=+=． （1）计算：()()2*43*12÷= _____________________． （2）____193*3=．153217412⎛⎫⨯+÷= ⎪⎝⎭_____________；855101516279⨯+÷=______________； 121153513⎡⎤⎛⎫÷+⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦____________；291411583⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭_______________．课堂内外古代的分数在历史上，分数几乎与自然数一样古老。

第十四讲公约数与公倍数初步蜥蜴是蝉的天敌之一，它的生命周期是5年』也就是说*毎五年，蜥蜴就会大量出现一次.因为15和5的.最小公倍数”是15*所以，要是蝉的生命周期是心年’在某一次大甩钻岀土壤时，被蜥蜴大量猎杀，那下一次蝉钻岀土壤时，也必然会有同样的遭遇.如果卿的生命周期是】7年，那么每过85年才会出现一次与大呈蜥埸碰面的情况一除了蜥蜴，蝉的其他天敌也有牛同的生命周期.科学家调查发现，在北部，蝉的生命周期为1 了年，在南部，蝉的生命周期为13年.为什么没有以】4、15. 16年为生命周期的蝉呢？旨 费 蔚 旨 蔚防■ ■ -------- -----------当蝉的生命周期是质数时.它与天敌生命周期的最小公倍数都比较大.这样一来，蝉 遇见大量天敌的机会大大减少，蝉的存活率大幅提升，它们就能一代代地在自然界存活下 来了.的约数.其他公倍数都是36的倍数.通常，我们把两个数a , b 的最大公约数记为 a, b ; a, b 的最小公倍数记为 a ,b •三 个数a , b , c 的最大公约数记为a ,b ,c ; a , b , c 的最小公倍数记为 a , b , c .如：14 和21的最大公约数是 7,记作：14,21 7 ; 14和21的最小公倍数是 42，记作：14,21 42 . 15、10、21 的最大公约数是 1，记作：15,10,21 1 ； 15、10、21 的最小 公倍数是210,记作：15,10,21210 .公约数就是几个数公共的约数， 其中最大的一个称为 最大公约数；公倍数就是几个数公1为所有数的公约数. 24 : 1234630: 12 35 61215 24301、2、3和6都是1、2、 3 和 6 都是 6121812 24 36 4860 72 8496 108 183654729010812和18的公倍数有 36、72、108、72、 108 及810 共的倍数，其中最小的一个称为 最小公倍数•特别的,24和30的公约数，6是最大公约数•可以发现 36、,36是最小公倍数.可以发现在现实生活中我们常常关心几个数的最大公约数和最小公倍数， 那么我们怎样来求几个数的最大公约数和最小公倍数呢？除了直接枚举之外， 还有以下几种：短除法、分解质因数法、辗转相除法.计算两个数的最大公约数及最小公倍数，最常用的方法是短除法.例题 1.用短除法计算：(1) (54 , 90), [54 , 90]; ( 2) (45, 75, 90). 「分析」熟练掌握短除法即可.用短除法计算：(1) ( 36, 48), [36, 48]; (2) (28 , 42 , 70).分解质因数法比较实用，也利于我们分析数的构成.(12, [12,18)= 18]= 23x32 3xx 2x3 233例题2•利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数. (1) 144 和 250(2) 240、80 和 96「分析」熟练掌握分解质因数法即可.利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数.如果两个数都比较大，不容易看出来它们的质因数.那我们还有第三种方法：辗转相除 法.厂二3: _4 :取相同质因数中指] 1 L 3 I 1 1 1 1 1 1 5 ;1 < ----------1 I ) 1 1 1 1 1 1 1 3弓1 1 1F 1 1 1 1 1 1 1 15竹1 1 i ■ 1 | 3 311 1 1 1 I 5L一jL取相同质因数中指325 < ----------最小公倍数最大公约数(1) 1024 和 72(2) 60、84、90 和 700例3•利用辗转相除法求下列各组数的最大公约数.(1)377 和221 (2)511 和1314「分析」熟练掌握辗转相除法即可.利用辗转相除法求出3009和2537的最大公约数.例题4•老师在墨莫的班上发水果，一共有59个苹果，97个梨，平均分给班上的学生，最后剩下5个苹果，7个梨•请问班里一共有多少名学生？「分析」因为每个学生分到的苹果和梨都是一样多的，可知学生数是分到的苹果数和梨数的公约数.小高把62个奶糖和75个水果糖平均分给他的朋友们，最后剩下2个奶糖,3个水果糖•请问小高把糖分给了多少个朋友？在计算三个数的最大公约数时, 还可以先求出两个数的最大公约数, 然后再求出这个最大公约数与第三个数的最大公约数. 最后求出的就是三个数的最大公约数.求三个数的最小公倍数也可以使用这个方法.计算多个数的最大公约数和最小公倍数的方法依次递推即可.例题5.计算( 1573, 1547, 1859).「分析」这些数看上去都不好分解质因数, 那我们不妨利用辗转相除法来求最大公约数. 求三个数的最大公约数, 可以先求其中两个的最大公约数, 再求这个公约数与第三个数的最大公约数.例题6.有些自然数既能够表示成连续9个整数之和,又能够表示成连续11 个整数之和, 还能够表示成连续12个整数之和,则所有这样的数中最小的一个是多少？「分析」能表示乘9个连续整数的和, 说明这个自然数是中间数的9倍, 是9的倍数. 根据后面两个条件,我们还能知道这个自然数是多少的倍数呢？画蛇添足战国时代, 楚王派大将昭阳率军攻打魏国, 得胜后又转而攻打齐国。