2019年高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题55立体几何空间几何体的表面积和体积文含解析

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.一、柱体、锥体、台体的表面积 1．旋转体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：二、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体、锥体、台体的体积公式3．必记结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差； （2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等. 三、球的表面积和体积 1．球的表面积和体积公式设球的半径为R ，它的体积与表面积都由半径R 唯一确定，是以R 为自变量的函数，其表面积公式为24πR ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为34π3R . 2．球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为a ，则正方体的内切球半径是12a ；正方体的外接球半径是2；与正方体所有棱相切的球的半径是2a ．（2）若长方体的长、宽、高分别为a ，b ，h（3）若正四面体的棱长为a ；正四面体的外接球半径；与正四面体所有棱相切的球的半径是4a ． （4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径． （5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．考向一 柱体、锥体、台体的表面积1．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.3．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.典例1 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．20πB ．24πC ．32πD ．28π【答案】D【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱．典例2 若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底边长为2，1AC 与底面ABCD 成45°角，则三棱锥1B ACC -的表面积为A ．6+B ．4+C ．8+D ．10【答案】A【解析】由1AC 与底面ABCD 成45°角，且正四棱柱1111ABCD A B C D -的底边长为2，可知棱柱的高为1B ACC -的表面积为11112232222 3.2222⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯+故答案为A.1．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为A．992B．61C．62 D．732．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为A．192 B．186C．180 D．198考向二柱体、锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面求几何体体积的一种方法，多用解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.典例3 如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为A BC D【答案】A典例4 如图，几何体中，平面，是正方形，为直角梯形，，，△ACB是腰长为的等腰直角三角形．（1）求证：；（2）求几何体的体积.【解析】（1）因为△ACB 是腰长为的等腰直角三角形，所以. 因为平面，所以.又，所以. 又，所以平面. 所以. （2）因为△ABC 是腰长为的等腰直角三角形，所以，所以.所以，由勾股定理得，因为平面， 所以.又， 所以平面.所以13△几何体几何体几何体四边形=ABC EF ABCD A CDEF F ACB CDEF V V V S AD S CF CD DE AD ---=+⋅+⋅⋅⋅=+11111162222323323AC BC CF ⨯⋅⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=.3．甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V ，2V ，则A ．122V V >B ．122V V =C ．12163V V -=D ．12173V V -=4．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M 为棱BC 的中点，13BB =，1AB =160CBB ∠=︒. （1）求证：AM ⊥平面11BCC B ； （2）求斜三棱柱111ABC A B C -的体积.考向三 球的表面积和体积1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式：d =典例5 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 A ．8π B ．12π C ．20πD ．24π【答案】C【解析】如图，由题可知，底面△ABC 为直角三角形，且，则BC ==，则球O的直径25,5B C R=∴=O 的表面积24π20πS R ==.故选C.典例6 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．500π3cm 3B ．866π3cm 3C ．1372π3cm 3D ．2048π3cm 3【答案】A5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π6．三棱锥A −BCD 的所有顶点都在球的表面上，平面，2BC BD ==，2AB CD ==O 的体积为A ．64πB ．128π3 C ．64π3D ．256π3考向四 空间几何体表面积和体积的最值求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.典例7 如图,A 1A 是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上异于A ,B 的任意一点,A 1A =AB =2.（1）求证：BC ⊥平面A 1AC ;（2）求三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值.【解析】（1）因为C 是底面圆周上异于A ,B 的任意一点,且AB 是圆柱底面圆的直径, 所以BC ⊥AC .因为AA 1⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 所以AA 1⊥BC . 又AA 1∩AC =A , 所以BC ⊥平面AA 1C .（2）方法一：设AC =(0<<2), 在Rt △ABC 中,BC =, 故S △ABC ×AA 1=×AC ×BC ×AA 1=13.因为0<<2,0<2<4, 所以当2=2,即=时,三棱锥A 1-ABC 的体积取得最大值23. 方法二：在Rt △ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2=4, 从而S △ABC ×AA 1=×AC ×BC ×AA 1=13AC ×BC ≤,当且仅当 AC =BC =时等号成立.所以三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值为23.7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为A ．17π4B ．21π4C ．4πD ．5π1．这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是A．12πB．18πC．36πD．6π2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．1 B．2C．3 D．63．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．60 B．72C．81 D．1144．一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为，则球的表面积为A．B．C．D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈，直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺） A ．24642 B ．26011 C ．52022D ．780336．某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．60πB ．75πC ．90πD ．93π7．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是10+A ．3B ．3C ．3D ．838．如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，∥AD BC ，222BC CD AD ===，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．9．将若干毫升水倒入底面半径为4cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是__________cm.10．正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积是 ．11．如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，AB BC ⊥，平面QD ABCD ⊥，∥PA QD ，1PA =，2AD AB QD ===.（1）求证：平面平面PAB QBC ⊥； （2）求该组合体QPABCD 的体积.1．（2018年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是俯视图正视图A ．2B ．4C ．6D ．82．（2018年高考新课标Ⅲ理科）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为A． B． C．D．3．（2017新课标全国Ⅱ理科）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π4．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π45．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ．332π+ 6．（2016新课标全国Ⅰ理科）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π7．（2016山东理科）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为A ．12+π33B ．1+π33C ．1+π36D ．1+π68．（2016四川理科）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .9．（2016浙江理科）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2，体积是______cm 3.10．（2017山东理科）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为.11．（2017天津理科）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．12．（2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是.13．（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．14．（2018天津卷理）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 .15．（2018新课标II 理科）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．1．【答案】C2．【答案】A【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为263，，，下部分为长方体，棱长分别为663，，，其表面积为()4632662623192S =⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=. 故选A.【名师点睛】本题考查了求组合体的表面积问题，关键是由三视图还原几何体图形，注意题目中的计算. 3．【答案】D【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体的三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4．【解析】（1）如图，连接1B M ，因为底面ABC 是边长为2的正三角形，所以AM BC ⊥，且AM =， 因为13BB =，160CBB ∠=，1BM =，【名师点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题.（1）根据底面为正三角形，易得AM BC ⊥；由各边长度，结合余弦定理，可求得1B M 的值，再根据勾股定理逆定理可得1AM B M ⊥，从而可证AM ⊥平面11BCC B ；（2）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解. 5．【答案】A【解析】由三视图知：几何体是球体切去14后余下的部分，球的半径为2，∴几何体的表面积S =（1﹣14）×4π×22+π×22=16π．故答案为A. 【名师点睛】(1)本题主要考查由三视图找到几何体原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象推理能力.(2)通过三视图找几何体原图的方法有两种：直接法和模型法. 6．【答案】D【解析】因为2BC BD ==，CD =，所以(2222212πcos ,22223CBD CBD +-∠==-∴∠=⨯⨯，因此三角形BCD 的外接圆半径为122sin CD CBD⋅=∠, 设外接球O 的半径为R ，则32224256=2+41216,=ππ.233AB R S R =+=∴=（）故选D. 【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.先确定三角形BCD 外接圆的半径，再解方程得外接球半径，最后根据球的体积公式得结果. 7．【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，故选B ．【名师点睛】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的表面积后可求出最小值．（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球研究三棱锥的外接球的问题．1．【答案】A【解析】=，所以该球的表面积是24π12πS ==，故选A.【名师点睛】该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求得结果. 2．【答案】B【解析】由题意可知该几何体的形状如图：1AC =，2CD =，3BC =，AC CD ⊥，四边形BCDE 是矩形，AC BC ⊥，所以该几何体的体积为：123123⨯⨯⨯=．故选B ．【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，画出几何体的图形，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．三视图与几何体的对应关系的判断是解题的关键． 3．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积为12，底面周长为16，棱柱的高为3，故柱体的表面积S =2×12+16×3=72.6．【答案】B【解析】该图形的表面积为圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，其面积分别为：圆柱侧面积：16π742πS =⨯=，圆锥侧面积：216π15π2S =⨯=， 半个球面的面积：2314π318π2S =⨯⨯=，所以表面积为75π.故选B. 【名师点睛】本题主要考查表面积的计算，通过三视图确定表面积，注意熟练掌握面积公式，还原时注意部分面已经不存在，不要多求面积.根据题意可知该图形的表面积应包含圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，共三部分，分别根据相应的面积公式即可求出结果.7．【答案】B【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P ABCD -，其中PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以该几何体的表面积为211222221022S x =+⨯⨯+⨯⨯=+，解得x =所以该几何体的体积21233V =⨯=，故选B. 【名师点睛】该题考查的是有关应用几何体的三视图求其体积的问题，解题的思路就是根据三视图还原几何体，利用其表面积公式求得对应的高，之后借助于椎体的体积公式求得结果.8【解析】由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的组合体，9．【答案】4【解析】设倒圆锥形器皿中水面的高为h cm,则水面圆的半径为h tan30°=3,则由π×42×8=×)2× πh ,解得h =4.10．【答案】(85π-【名师点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 求出R ，以球心的位置特点抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法． 11．【解析】（1）∵平面QD ABCD ⊥，∥PA QD ， ∴平面PA ABCD ⊥， 又∵平面BC ABCD ⊂， ∴PA BC ⊥，又BC AB ⊥，平面PA PAB ⊂，平面AB PAB ⊂，PA AB A =，∴平面BC PAB ⊥， 又∵平面BC QBC ⊂， ∴平面平面PAB QBC ⊥.（2）连接BD ，过B 作BO AD ⊥于O ， ∵PA ⊥平面ABCD ，平面BO ABCD ⊂， ∴PA BO ⊥，又BO AD ⊥，平面AD PADQ ⊂，平面PA PADQ ⊂，PA AD A =，∴平面BO PADQ ⊥，∵2AD AB ==，60DAB ∠=︒， ∴△ABD 是等边三角形，1．【答案】C【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()112226,2⨯+⨯⨯=选C. 【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等. 2．【答案】B【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点D 在平面ABC 上的射影为三角形ABC 的重心时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到23BM BE ==再由勾股定理得到OM ，进而得到结果，属于较难题型. 3．【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 4．【答案】B【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.5．【答案】A【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为21113(21)13222Vπ⨯π=⨯⨯+⨯⨯=+，选A．【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；（2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；（3）画出整体，然后再根据三视图进行调整．6．【答案】A【解析】该几何体的直观图如图所示.该几何体是一个球被切掉左上角的18后剩余的部分,设球的半径为R ,则37428ππ833V R =⨯=,解得2R =,所以它的表面积是78的球面面积与三个扇形面积之和,即2271=4π2+3π2=17π84S ⨯⨯⨯⨯表面积．故选A ．7．【答案】C，正四棱锥的底面边长为1，高为1，所以其体积为3114111π323236⨯⨯+⨯=+，选C.8．【答案】3【解析】由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为1，底面边长为2,2，所以，该三棱锥的体积为1122132V =⨯⨯⨯=. 【名师点睛】本题考查三视图和几何体的体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．9．【答案】72，32【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．10．【答案】π22+ 【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆的半径为1,所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+. 【名师点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．11．【答案】92π 【解析】设正方体的边长为a，则2618a a =⇒=23R ==，故这个球的体积34π3V R ==4279ππ382⨯=． 【名师点睛】求多面体的外接球的表面积或体积的问题常用的方法有：①三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；②直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；③如果多面体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点即球心．12．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．13．【答案】43【名师点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常。

高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积第1篇：高考数学知识点之空间几何体的表面积和体积在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。

下面小编给大家介绍高考数学知识点之空间几何体的表面积和体积，赶紧来看看吧!1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πRh(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR+πR[(h+R)的平方根]体积:πRh/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、正方体a-边长,S=6a,V=a4、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-底面积h-高V=Sh6、棱锥S-底面积h-高V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C=2πrS底=πr,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πrh10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、直圆锥r-底半径h-高V=πr^2h/312、圆台r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R+Rr+r)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a+h)/6=πh(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r1+r2)+h]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr=π2Dd/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D+d)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D+Dd+3d/4)/15(母线是抛物线形)第2篇：高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，下面是小编整理的高考数学知识点：空间几何体的表面积和体积，希望对大家有帮助!1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πRh(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR+πR[(h+R)的平方根]体积:πRh/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、正方体a-边长,S=6a,V=aa-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-底面积h-高V=Sh6、棱锥S-底面积h-高V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3 8、拟柱体S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C=2πrS底=πr,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πrh10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、直圆锥r-底半径h-高V=πr^2h/312、圆台r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R+Rr+r)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a+h)/6=πh(3r-h)/3 15、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r1+r2)+h]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr=π2Dd/4D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D+d)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D+Dd+3d/4)/15(母线是抛物线形)第3篇：高考数学知识点:空间几何体的表面积和体积知识解析一、柱、锥、台和球的侧面积和体积典型例题1：1、几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和.对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行.2、求体积时应注意的几点：(1)、求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)、与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确*及数据的准确*.3、求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理.典型例题2：1、以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.2、多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.3、旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.典型例题3：1、计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解.2、注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握.3、等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时，可选择容易计算的方式来计算;②利用“等积法”可求“点到面的距离”.第4篇：空间几何体的表面积与体积的数学知识点一、课标要求：了解一些简单的几何体的表面积的计算方法，了解棱柱、棱锥、台的表面积计算公式(不要求记忆公式)二、教学目标：(1)了解平面展开图的概念及柱、锥、台的表面积公式;(2)会求一些简单几何体的表面积公式;(3)让学生经历空间几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状;(4)让学生通过对照比较，理顺柱体、锥体、台体侧面积之间的转换关系，体会数和形的完美结合.(5)通过学习使学生感受到空间几何体侧面积的求解过程，对自己空间思维能力的影响，从而增强学习数学的信心.三、教学重点、难点：重点;空间几何体侧面积的计算难点;空间几何体侧面展开四、设计思路：借助多媒体，通过动态演示一些多面体的平面展开图的过程，让学生在直观感知的基础上了解平面展开图的概念，进而结合前面已研究的柱、锥、台这三类几何体的概念，介绍正棱柱、正棱锥、正棱台的概念，结合模型组织学生感知探索侧面展开图的形成过程及侧面展开图的构成，得出它们侧面积的计算公式。

专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正（主)视图的下面,长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正(主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝错误!S。

[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(）［解析］两个木构件咬合成长方体时，小长方体（榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A.故选A。

[答案］A2．（2018·河北衡水中学调研）正方体ABCD－A1B1C1D1中,E 为棱BB1的中点(如图),用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）[解析］过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C。

［答案］C3．（2018·江西南昌二中模拟）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为()A．8 B．4 C．4错误!D．4错误![解析］由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB ＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP ＝12，S△BCD＝错误!×4错误!×2＝4错误!，故选D。

［答案]D4．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析]直观图的面积S′＝错误!×（1＋1＋错误!)×错误!＝错误!.故原平面图形的面积S＝错误!＝2＋错误!.[答案]2＋错误![快速审题］（1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(2）看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法,想到原图形与直观图的面积比为错误!.由三视图还原到直观图的3步骤(1）根据俯视图确定几何体的底面．(2）根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．（3）确定几何体的直观图形状．考点二空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式（1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高）；(2)S锥侧＝错误!ch′(c为底面周长,h′为斜高)；(3）S台侧＝错误!（c＋c′）h′（c′,c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高）；(2)V锥体＝错误!Sh（S为底面面积，h为高）；(3)V台＝错误!(S＋错误!＋S′）h(不要求记忆）．3．球的表面积和体积公式S表＝4πR2(R为球的半径）,V球＝43πR3(R为球的半径）．[对点训练]1．(2018·浙江卷）某几何体的三视图如图所示(单位:cm）,则该几何体的体积(单位:cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8［解析]由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm，2 cm，高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V＝1＋22×2×2＝6 cm3.[答案]C2．（2018·哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（)A.错误!＋2B.错误!＋2C.错误!＋3 D。

题型一 求空间几何体的表面积例1一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．【答案】 12点拨 空间几何体表面积的求法(1) 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (2) 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．巩固1如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为a ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，则其全面积为________．例2：（2018全国新课标Ⅰ文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A ．B ．12πC ．D ．10π【解析】截面面积为8，所以高h =r =22212S πππ=⋅⋅+=.【答案】 B巩固2（2018全国新课标Ⅱ理）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为__________．例3 (1)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．(2)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋32＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.【答案】 (1)A (2)12 点拨 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．巩固3 如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．题型二 求空间几何体的体积例4 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π【答案】 C巩固4（2018浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8俯视图正视图例5 (2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．【解析】 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.【答案】7点拨 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．巩固5（2018全国新课标Ⅱ文）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30 ， 若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为__________． 题型三 与球有关的切、接问题例6 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310【解析】 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝522＋62＝132.【答案】 C变式1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？变式2．已知棱长为a 的正四面体，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？ 【解析】 正四面体的表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ， 因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π.变式3．已知侧棱和底面边长都是32的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？ 【解析】 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为22－122＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.点拨 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．巩固6（2018全国新课标Ⅲ文、理）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．答案与解析巩固1【解析】 如题图，过B 作BD ⊥AA 1于D ，连接CD ，则△BAD ≌△CAD ，所以∠ADB ＝∠ADC ＝90°，所以AD ⊥CD ，AD ⊥BD ， 所以△BCD 为垂直于侧棱AA 1的截面． 又因为∠BAD ＝60°，AB ＝a ，所以BD ＝32a . 所以△BDC 的周长为(3＋1)a ，从而S 侧＝(3＋1)a 2，S 底＝12×a 2sin 60°＝34a 2.故S 全＝S 侧＋2S 底＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1a 2. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1a2【答案】巩固3【解析】 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S ＝S 长方体表－2S 半圆柱底－S 圆柱轴截面＋S 半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋12×2π×1＝26.【答案】 26巩固4【解析】该几何体的立体图形为四棱柱，(12)2262V +⨯=⨯=. 【答案】：C巩固5．【解析】如下图所示，30SAO ∠=︒，90ASB ∠=︒，又，解得4SA =，所以，AO 所以该圆锥的体积为．【答案】8π【答案】B。

专题20 空间几何体的表面积和体积解题方法一．【学习目标】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质．2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．3．能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图．二．【知识要点】1.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视．2．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．3.有关斜二测画法的常用结论与方法(1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝2 4S.(2)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.4.有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则.5..特殊多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.三．高考题型典例及训练（一）空间几何体例1．如图，透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面EFGH所在四边形的面积为定值；④棱A1D1始终与水面所在平面平行；⑤当容器倾斜如图(3)所示时，BE•BF是定值．其中所有正确命题的序号是____．格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为__________．练习2．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是________．（七）柱、锥、台的体积例7．由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_________．练习1．四棱锥的三视图如图所示（单位：），则该四棱锥的体积是__________．练习2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中正确的序号是_____．①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③△AEF的面积与△BEF的面积相等．④三棱锥A﹣BEF的体积为定值（八）组合体的表面积例8．如图,用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为_______．练习1．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球的体积为________．学-科网练习2．如图所示的几何体是一个五面体，四边形为矩形，，，且，，与都是正三角形，则此五面体的体积为_______．高难拉分攻坚特训(一)1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( ) A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(3,6)D ．(3,5) 答案 D解析 由于椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎨⎧ a 2>6－a 2，6－a 2>1，解得3<a 2<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0x a 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)，故选D. 2．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n，且f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)(a 4－2)＋…＋(a n －1)(a n ＋1－2)，若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的最小值为________．答案 －1解析 ∵a 1＝4，a n ＋1＝4－4a n ，∴2a n ＋1－2＝24a n －4a n －2＝a n a n －2＝1＋2a n －2，又2a 1－2＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n －2是以1为首项，1为公差的等差数列，∴2a n －2＝1＋n －1＝n ，a n －2＝2n ，令b n ＝(a n －2)(a n ＋1－2)＝2n ·2n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)·(a 4－2)＋…＋(a n －2)(a n ＋1－2)＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1. 若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立，则f (n )min ≥m 2－2m .易知f (n )＝4n n ＋1在[3，＋∞)上是增函数， ∴f (n )min ＝f (3)＝3，即m 2－2m －3≤0，解得－1≤m ≤3，∴实数m 的最小值为－1.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 和上顶点B 在直线3x －3y ＋3＝0上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且AF ⊥x 轴，M ，N 为椭圆C 上不同于A 的两点，且∠MAF ＝∠NAF .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求实数d 的取值范围．解 (1)依题意得椭圆C 的左焦点为F (－1,0)，上顶点为B (0，3)，故c ＝1，b ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AM 的斜率为k ，因为∠MAF ＝∠NAF ，所以AM ，AN 关于直线AF 对称，所以直线AN 的斜率为－k ，易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32， 所以直线AM 的方程是y －32＝k (x ＋1)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y －32＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋(12＋8k )kx ＋(4k 2＋12k －3)＝0，所以x 1＝－4k 2－12k ＋33＋4k 2， 将上式中的k 换成－k ，得x 2＝－4k 2＋12k ＋33＋4k 2， 所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k [(x 1＋x 2)＋2]x 1－x 2＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2＋2－24k3＋4k 2＝－12， 所以直线MN 的方程是y ＝－12x ＋d ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得x 2－dx ＋d 2－3＝0，所以Δ＝(－d )2－4(d 2－3)>0，解得－2<d <2，又因为MN 在A 点下方，所以－1×12＋32>d ⇒d <1，所以－2<d <1.4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)．(1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有1个极值点；当0<a <12时，由f ′(x )>0得x <ln 2a 或x >0，由f ′(x )<0得0>x >ln 2a ，∴f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f ′(x )≥0，∴f (x )在R 上单调递增，∴f (x )没有极值点；当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln 2a ，由f ′(x )<0得0<x <ln 2a ，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点．综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点；当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2－x ≥0.当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0，即a ≤e x －x 2－1x 对任意的x >0恒成立．设g (x )＝e x －x 2－1x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x －1)x 2.设h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x －1.∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e －2，∴实数a 的取值范围是(－∞，e －2]．。

专题55 立体几何 空间几何体的表面积和体积【考点讲解】一、具本目标：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. 二、知识概述： 1.体积公式：柱体：h S V ⋅=，圆柱体：h r V ⋅=2π。

斜棱柱体积：l S V ⋅'=（其中，S '是直截面面积，l 是侧棱长）；锥体：h S V ⋅=31， 圆锥体：, 台体：圆台体：, 球体：334r V π=。

正方体的体积 3a V = ；正方体的体积 abc V =. 2.侧面积：直棱柱侧面积：h c S ⋅=，斜棱柱侧面积：l c S ⋅'=；正棱锥侧面积：h c S '⋅=21，正棱台侧面积：；圆柱侧面积：，圆锥侧面积：，圆台侧面积：，球的表面积：24r S π=。

3.几个基本公式：弧长公式：r l ⋅=α（α是圆心角的弧度数，α>0）；扇形面积公式：r l S ⋅=21； 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：πθ2⋅=lr； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：；球面上两点间的距离公式：r l θ=。

4.几何体的表面积：圆柱的表面积 ；圆锥的表面积；圆台的表面积球体的表面积 24R S π=.柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.【温馨提示】1.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3.（1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．4.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.【常考题型】以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况. 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【真题分析】1.【2015高考课标2】已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=900,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36π B.64π C.144π D.256π-【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时，R=，则球O的表面积为，故选C．故6【答案】C2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20πB.24πC.28πD.32π【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.【答案】C3.【2016高考新课标3】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.18+B.54+【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积是：，故选B ． 【答案】B4.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．12+πB ．32+πC ．123+πD ．323+π【解析】本题的考点是根据三视图还原立体图形后求体积的问题，由三视图可知，原立体图形是一个组合体，是圆锥的一半与一个三棱锥的组合，圆锥的底面半径是1，三棱锥的底面是以2为底边的等腰直角三角形，两锥体的高是3.体积为.【答案】A5.【2017山东，理13】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【解析】由三视图可知长方体的长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径是，高也为1.长方体的体积为，圆柱一半的体积为：.几体的体积为：【答案】22π+6.【2018年天津卷】已知正方体的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.【解析】根据题中给出的条件，要求四棱锥的体积，首先要求出四棱锥的底面积，然后求出四棱锥的高.观察图形可得底面四边形EFGH 的正方形，面积为.顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为12d =，所以四棱锥M EFGH -的体积为.【答案】1127．【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【解析】先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，所以该多面体的体积为.【答案】438．【2018年全国卷II 】已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为__________．【解析】本题先要根据三角形的面积公式求出母线的长，再根据母线与底面所成角求出圆锥的底面半径，最后求出圆锥的侧面积.由母线,SA SB 所成角的余弦值为78，可求得母线,SA SB 由SAB ∆的面积为l ，可知l SA SB ==，由三角形的面积公式可得，所以可得2=80l ，又因为SA 与圆锥底面所成角为45°，底面半径为，圆锥的侧面积为.【答案】【模拟考场】1. 【2015高考新课标2】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61 D ．51【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ． 【答案】D2.，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【解析】因底面边长为3,故底面中心到顶点的距离是1,即球的截面圆的半径为1,所以,其表面积为,故应选B.【答案】B3.【2015高考课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（）A.1B.2C.4D.8【解析】由正视图与俯视图可以看出，此几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱与球的半径都是r，圆柱的高为2r，表面积为.可得=2r.【答案】B4.【原题】（必修2第28页习题1.3第3题）如图将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。

专题55 立体几何 空间几何体的表面积和体积【考点讲解】一、具本目标：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. 二、知识概述： 1.体积公式：柱体：h S V ⋅=，圆柱体：h r V ⋅=2π。

斜棱柱体积：l S V ⋅'=（其中，S '是直截面面积，l 是侧棱长）；锥体：h S V ⋅=31， 圆锥体：, 台体：圆台体： , 球体：334r V π=。

正方体的体积 3a V = ；正方体的体积 abc V =. 2.侧面积：直棱柱侧面积：h c S ⋅=，斜棱柱侧面积：l c S ⋅'=；正棱锥侧面积：h c S '⋅=21，正棱台侧面积：；圆柱侧面积：，圆锥侧面积：，圆台侧面积：，球的表面积：24r S π=。

3.几个基本公式：弧长公式：r l ⋅=α（α是圆心角的弧度数，α>0）；扇形面积公式：r l S ⋅=21； 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：πθ2⋅=lr； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：；lθ=。

球面上两点间的距离公式：r4.几何体的表面积：圆柱的表面积；圆锥的表面积；圆台的表面积球体的表面积2=.Sπ4R柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.【温馨提示】1.多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3.（1）已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．4.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.【常考题型】以结合三视图、几何体的结构特征考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况. 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【真题分析】1.【2015高考课标2】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=900,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A．36π B.64π C.144π D.256π-【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时，R=，则球O的表面积为，故选C．故6【答案】C2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.20πB.24πC.28πD.32π【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.【答案】C3.【2016高考新课标3】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.18365+B.54185+C.90D.81【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积是：，故选B ． 【答案】B4.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．12+πB ．32+π C ．123+πD ．323+π【解析】本题的考点是根据三视图还原立体图形后求体积的问题，由三视图可知，原立体图形是一个组合体，是圆锥的一半与一个三棱锥的组合，圆锥的底面半径是1，三棱锥的底面是以2为底边的等腰直角三角形，两锥体的高是3.体积为.【答案】A5.【2017山东，理13】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【解析】由三视图可知长方体的长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径是，高也为1.长方体的体积为，圆柱一半的体积为：.几体的体积为：【答案】22π+6.【2018年天津卷】已知正方体的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.【解析】根据题中给出的条件，要求四棱锥的体积，首先要求出四棱锥的底面积，然后求出四棱锥的高. 观察图形可得底面四边形EFGH 是边长为22的正方形，面积为.顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为12d =，所以四棱锥M EFGH -的体积为.【答案】1127．【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【解析】先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为.【答案】438．【2018年全国卷II 】已知圆锥的顶点为S ，母线,SA SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB ∆的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．【解析】本题先要根据三角形的面积公式求出母线的长，再根据母线与底面所成角求出圆锥的底面半径，最后求出圆锥的侧面积.由母线,SA SB 所成角的余弦值为78，可求得母线,SA SB 所成角的正弦值158，由SAB ∆的面积为515，设母线的长为l ，可知l SA SB ==，由三角形的面积公式可得，所以可得2=80l ，又因为SA 与圆锥底面所成角为45°，底面半径为，圆锥的侧面积为.【答案】402π【模拟考场】1. 【2015高考新课标2】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61 D ．51【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ． 【答案】D2.正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π【解析】因底面边长为3,故底面中心到顶点的距离是1,即球的截面圆的半径为1,所以,其表面积为,故应选B.【答案】B3.【2015高考课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（）A.1B.2C.4D.8【解析】由正视图与俯视图可以看出，此几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱与球的半径都是r，圆柱的高为2r，表面积为.可得=2r.【答案】B4.【原题】（必修2第28页习题1.3第3题）如图将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。