高斯小学奥数五年级上册含答案_整除问题初步

第二讲整除问题进阶例题1. 答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有□2 0 O是99的倍数，只能是99 •两个空中先后要填1和7.例题2. 答案：123483789详解：设这个九位数为1234ab789，两位截断求和1 23 b7 89 160 ba是99 的倍数，只能是198 .所以a=8, b=3.例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，口89 59 □30能被7整除，只能填6.例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数.所以只需要满足13|兀帀就可以了.空格中要填5.例题5. 答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成.又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了.答案不唯一.例题6. 答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定.313913 232323239 f39 f 739626269 999 99999999练习1. 答案：6237简答：两位截断后的和是99 .练习2. 答案：12327678简答：两位截断后的和是198.练习3.答案：5712 或5782简答：利用7的整除特性，右2与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8.练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111,后面依次去掉333333，最后剩下匚•它是13的倍数, 那么空格中只能填0.作业1.答案：7 的倍数有7315, 58674, 360360; 13 的倍数有325702, 360360简答：牢记7和13的判断方法.作业2.答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可.作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知和6能被7整除，框中填5满足条件.作业4.答案：9简答：应用三位截断，可知8C 能被7和13整除，即8C 是91的倍数，框中填9 满足条件.作业5.答案：3简答：应用三位截断，可知口3能被7整除，框中填3满足条件.第二讲整除问题进阶厂我只能填在中同、怎样才能保证是11的倍数呢7 /"我翌填在白位和、个位上+怎么填才好呢?墨莫和小高在黑板前玩一个填三位数的游戏.如果填岀的三位数是H的倍数，那么小高就ST, 如果不是11的倍数则墨莫嬴.观察小高和墨英的话，逆冇必胜的策略上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等•现在我们再来学习一些新的判断方法.一、截断作和六位数L_l2003LJ能冋时被9和11整除.这个六位数是多少？皿U 能被99整除的数的特征:从个位开始每两位一截,得到的所有两位数（最前面的可以是一位【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除.想一想，99的整除特性是什么？四位数23 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数.这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数123口口678能被99整除，这个八位数是多少?、截断作差阿呆写了一个两位数59,阿瓜写了一个两位数89,他们让小咼写一个一位数放在59与89之间辩需一金右佶豹kal I PQ估徂仪金右佶貓■台次朮7敕阵洁白•小直官的貓■具虫/卜：【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化.四位数5^[2能被7整除，那么这个四位数可能是多少?接下来我们处理一些较复杂的问题.25个5 25个9变得简短一些.因为 1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘 积，说明它们都是13的倍数.那我们是不是可以去掉这个 51位数上的一些5和9,并仍然 保证它能被13整除？已知多位数[1L 1 {33L 3能被13整除，那么中间方格内的数字是多少?2010 个 12010 个 3【分析】能被6, 7, 8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被 7整除, 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被 7整除呢？题目只要求我们 写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可.【分析】在本题中，55L 35^992L39能被13整除.这个数的位数太多，我们可以想办法使它用数字6, 7, 8各两个，要组成能同时被6, 7, 8整除的六位数.请写出一个满足要求的六位数.【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑•我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积•接下来，大家想到该怎么办了吗？枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用.当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路.胡适（学者，诗人，1946〜1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是.我今为下一转语，自古成功在尝试”这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功.而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功.我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试.作业i1. 在7315, 58674, 325702 , 96723 , 360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些?2. 四位数33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?3. 四位数2^8能被7整除，那么这个四位数是多少?4. 已知多位数81口154258切2l§8 （2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是2012 个258多少？5. 已知多位数［1L 1 03L 3能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?2011 个1 2011 个3。

第2讲：数的整除内容概述：掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。

通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。

典型问题：兴趣篇1.下面有9个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，24125。

在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？（2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？2.有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。

这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？3.一个三位数64的十位数字未知。

请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：（1）如果要求这个三位数能被3整除，“”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被4整除，“”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“”可能等于多少？4.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。

雯雯收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。

老师给了雯雯一张纸条，上面写着“交来校服费238元”其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清了。

牛牛看了看，很快就算出了方格处的数字。

聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？5.四位数29能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数。

6.四位偶数64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。

7.多位数323232321n 个能被11整除，满足条件的n 最小是多少？8.一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话。

服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可以申请。

也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动。

王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码。

请问：他申请的号码可能是多少？9.一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除。

从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论．什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧．数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠．”高思教育一、整除的定义如果整数a 除以整数b （0b ≠），除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说b 能整除a ，记作|b a ．如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除a ．二、整除的一些基本性质1.尾数判断法（1）能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除．（2）能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除．（3）能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．2.数字求和法能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除．3.奇偶位求差法能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除．我们把一个数从右往左数的第1位、第3位、第5位，……统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2位、第4位、第6位，……统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．下面我们来看一下如何运用这些性质．分析 关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下．23487高思教育练习1.在3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除？哪些数能被3整除？哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除．从中我们可以总结出如下规律：和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a 整除，那它们的和与差也都能被a 整除．分析 本题包括三个小问题，我们逐个分析：第一个数字使得173□能被9整除，由9的整除特征，我们只要考虑数字和即可；第二个数字使得173□能被11整除，由11的整除特征，需要考虑奇位和与偶位和之差；第三个数字使得173□能被8整除，由8的整除特征，需要考虑它的末三位73□．练习2.在23□的方框内先后填入3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次能被3、4、5整除．上面我们已经学习了如何利用“整除特征”解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看涉及多个数的整除问题应该如何解决．后填入师先后填入的高思分析 这45名员工的工资都一样，所以总工资能被45整除．即678□□能被45整除．我们没有学过被45整除的数的特征．但注意到4559=×，于是678□□应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.七位数22333□□能被44整除，那么这个七位数是多少？在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是4559=×，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可．请同学们注意，虽然45315=×，但是在考虑能否被45整除时，不能考虑被3和15整除．你能想明白为什么吗？ 小幽默——天才未必事事都聪明 牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的．一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出．结果他开了两个洞——大的给老猫，小的给小猫．在整除性的问题当中也有类似情况．比如要在36□200□的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4，只要考虑5和8即可，因为能被8整除的数也必然能被4整除．如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了．不知为何，记帐的这张纸破了两个洞，上面只剩下“是破的两个洞．刘经理记得每名员工的工资都一样，并且都是整数元，那么这高思还有一些数的整除特征具有特殊规律．4.三位截断法能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除．例如：29071 的末三位是071，前面是29．它们的差为712942−=，42能被7整除，所以29071能被7整除．而42不能被13整除，所以29071不能被13整除．分析 根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化．练习4.五位数7329□能被13整除，那么这个五位数除以13等于多少？分析 能被7整除的数的特征是末三位与末三位以前的数之差也能被7整除，能被125整除的数的特征是末三位能被125整除，我们可以利用这些性质将问题解决．们让小高写一个一位数放在个五位数能被36□35，并告诉墨莫说这个五位数既是小高写的五位数可能是多少？例题5高思教练习5.如果六位数36□7337□既是13的倍数，又是125的倍数，那么这个六位数可能是多少？本讲知识点汇总一、尾数判定法：适用于2、5；4、25；8、125；…二、数字和判定法：适用于3、9、99等．三、奇偶位求差法：适用于11等．四、三位截断法：适用于7、11、13．作业1.（1）四位数72A A 能被5整除，那么A 可以代表哪个数字？（2）六位数1245F G 能被8整除，那么这个六位数最小是多少？2.（1）四位数71BB 能被9整除，那么B 代表哪个数字？（2）五位数2656D 能被7整除，那么D 代表哪个数字？高思教育3.萱萱买了14支铅笔、4支圆珠笔和7块橡皮．已知圆珠笔每支售价2元8角，橡皮每块售价6角，售货员让萱萱一共付款12元5角，售货员是否算错了呢？4.阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎被水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：11.4□□元（□表示不明数字）．你能帮助阿呆找出不明数字吗？5.现有一个六位数8732x y（x、y允许相同）：（1）如果它能同时被5和11整除，这个六位数可能是什么？（2）如果它能被56整除，这个六位数可能是什么？高思教育。

第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积•这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．（1）123 456 789除以111 的余数是多少？（2）224468 6678 的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算．例题5．（1）87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？（2）365366+367368 369370除以7、11、13的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．（1）2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？（2）32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数，大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节，猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。

第二讲整除问题进阶例题1.答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有208++是99的倍数，只能是99．两个空中先后要填1和7．例题2.答案：123483789详解：设这个九位数为1234789++++=+是99a b baab，两位截断求和1234789160的倍数，只能是198．所以a=8，b=3．例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，895930-=能被7整除，只能填6．例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数．所以只需要满足13|59就可以了．空格中要填5．例题5.答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成．又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了．答案不唯一．例题6.答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定．练习1.答案：6237简答：两位截断后的和是99．练习2.答案：12327678简答：两位截断后的和是198． 练习3. 答案：5712或5782简答：利用7的整除特性，72与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8．练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111，后面依次去掉333333，最后剩下．它是13的倍数，那么空格中只能填0．作业1. 答案：7的倍数有7315，58674，360360；13的倍数有325702，360360简答：牢记7和13的判断方法．作业2. 答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可．作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知能被7整除，框中填5满足条件．作业4. 答案：9简答：应用三位截断，可知能被7和13整除，即是91的倍数，框中填9满足条件．作业5. 答案：3简答：应用三位截断，可知能被7整除，框中填3满足条件． 第二讲 整除问题进阶13 81 81 76上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等．现在我们再来学习一些新的判断方法．一、截断作和能被99整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99整除．六位数2008能同时被9和11整除．这个六位数是多少？【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除．想一想，99的整除特性是什么？四位数能同时被9和11整除，这个四位数是多少？【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数．这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数能被99整除，这个八位数是多少？二、截断作差能被7、11、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7或11或13整除．【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化．阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数5989，使得这个五位数能被7整除．请问：小高写的数是多少？123678 已知九位数1234789能被99整除，这个九位数是多少？23四位数572能被7整除，那么这个四位数可能是多少？接下来我们处理一些较复杂的问题．【分析】在本题中，255259555999□个个能被13整除．这个数的位数太多，我们可以想办法使它变得简短一些．因为1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘积，说明它们都是13的倍数．那我们是不是可以去掉这个51位数上的一些5和9，并仍然保证它能被13整除？已知多位数2010120103111333个个能被13整除，那么中间方格内的数字是多少？【分析】能被6，7，8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7整除，我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7整除呢？题目只要求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可．用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．已知51位数255259555999个个能被13整除，中间方格内的数字是多少？一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑．我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积．接下来，大家想到该怎么办了吗？课堂内外自古成功在尝试枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用．当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路．胡适（学者，诗人，1946～1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是．我今为下一转语，自古成功在尝试”．这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功．而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功．我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试．作业1. 在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？2. 四位数33能同时被9和11整除，这个四位数是多少？3. 四位数278能被7整除，那么这个四位数是多少？4. 已知多位数201225881258258258□个（2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是多少？5. 已知多位数2011120113111333个个能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？。

第一讲 整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论．什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧．数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠”．一、 整除的定义二、整除的一些基本性质：1．尾数判断法（1）（2（32．数字求和法3．奇偶位求差法我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，……，统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．下面我们来看一下如何运用这些性质．例题1.判断下面11个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？（4）哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下．练习1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除．从中我们可以总结出如下规律：例题2.173是一个四位数．文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除．”问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析．需要分别用到9、11和8的整除特性．练习2.在23的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除．上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决．例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上．但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“678”，其中方框表示破了的洞．牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元．请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除．我们没有学过被45整除的数的特征．但注意到4559=⨯，于是678应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数33能被36整除，那么这个四位数可能是多少？在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可．请同学们注意，虽然，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15整除．你能想明白为什么吗？例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话．服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可以申请．也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动．王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码．请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位68是8的倍数．想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4. 七位数22333能被44整除，那么这个七位数是多少？有时候满足题目条件的答案会非常多．如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可．例题5. 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、8、…．如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？例题6. 由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数．那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？45315=⨯ 4559=⨯200的方框中填入两个数整除，实际根本不用考虑4，只要考虑整除．如果你还要再考虑4的整除性，那就多作业1.下面有9个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100．其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2.有如下5个自然数：12345，189，72457821，333666，54289．其中能被9整除的有哪些？3.有如下5个自然数：3124，3823，45235，5289，5588．其中能被11整除的有哪些？4.125是一个四位数．王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除．”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5.阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：11.4元（ 表示不明数字）．请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步例题1.答案：（1）能被4整除的有3568、5880、6512、864；能被8整除的有3568、5880、6512、864．（2）能被25整除的有8875、93625；能被125整除的有8875、93625．（3）能被3整除的有23487、6765、5880、198954、864；能被9整除的有198954、864．（4）能被11整除的有407、6765、6512．例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7．要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8．要想让四位数能被8整除，需要后三位即73是8的倍数，空格中要填6．三个数字之和是21．例题3.答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5，对应的百位是6或1．例题4.答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8．要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、8．例题5.答案：10395；98730详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数．那么五位数的末尾只能是0或5．先来看最小的数．要让前面数位上的数字尽量小，可以是105．要满足它是9的倍数且最小，应该是10395．再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是985或980．要满足它是9的倍数且最大，应该是98730．例题6.答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数．这六个数字的和是28，而最大的三个数的和是20，也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20，所以只能把28分成两个14，偶位为8、5、1，奇位为7、4、3．练习1.答案：能被4整除的数有3124、312、5588；能被3整除的数有312、5289、7314；能被11整除的数有3124、5588．练习2.答案：本题的答案不止一种，要想被3整除，空格中可以填1、4、7．要想被4整除，空格中可填2或6．要想被5整除，空格中可填0或5．练习3.答案：3132或3636简答：要想被36整除，这个四位数要既是4的倍数，也是9的倍数．要想是4的倍数，个位上的空格中可填2或6．要想满足四位数是9的倍数，百位上的空格对应要填1或6．练习4.答案：2213332或2283336简答：这个七位数既是4的倍数，也是11的倍数．要想是4的倍数，个位上的空格中可填2或6，剩下的空格中对应可填1或8．作业1.答案：48，7836，4100；75，650，4100简答：4和25看末两位．作业2.答案：189，72457821，333666简答：被9整除看数字和．作业3.答案：3124，5588简答：被11整除看奇位和与偶位和的差．作业4.答案：11简答：填入的三个数字分别为1，4，6，数字和为11．作业5.答案：811.44元简答：7289=⨯，分别考虑8和9的整除特性．。

第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积•这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．(1)123 456 789除以111 的余数是多少？(2)224468 6678的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合,便可大大简化余数的计算．例题5．(1)87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？(2)365366+367368 369370除以7、11、13 的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来,再求余数,计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．( 1) 2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？(2) 32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数,大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节, 猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。

第二十一讲余数的性质与计算- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -这一讲我们来学习余数问题．在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况．当不能整除时，就会产生余数．一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a b q r=⨯+）, 0≤r＜b；r=时，我们称a能被b整除；当0r≠时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商当0余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数×商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数．余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a，被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014，甲数除以乙数商99余14，求甲、乙两数．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性．这些数的整除特性稍加改造，即可成为求解余数的一类简便算法：（1）一个数除以2或5的余数，等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数，等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数，等于这个数的末三位数除以8或125的余数；（2）一个数除以3或9的余数，等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；一个数除以99（包括11、33）的余数，等于将它两位截断再求和之后的余数；此外，求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11和13的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．．．．．．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题2．（1）20132013除以4和8的余数分别是多少？（2）20142014除以3和9的余数分别是多少？「分析」根据4、8、3、9的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221除以5和25的余数分别是多少？（2）20130209除以3和9的余数分别是多少？例题3．（1）123456789除以7和11的余数分别是多少？87654321呢？（2）360360360除以99的余数是多少？「分析」根据7、1、99的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012除以13和99的余数分别是多少？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：（1）211除以9的余数是______；（2）137除以9的余数是______；（3）211137+的和除以9的余数是______； （4）211137-的差除以9的余数是______；（5）211137⨯的积除以9的余数是______； （6）2137除以9的余数是______． 比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：这三条性质分别称为余数的可加性．．．、可减性．．．和可乘性．．．．在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性质进行简算．例如计算33371580+⨯-的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算．这一简算方法又称替换求余法．．．．．． 需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：（1）如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数．例如：在计算423317+除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了358+=，86>，所以还需要再次计算8除以6的余数是2，才是423317+除以6最后的余数．再比如：在计算423317⨯除以6的余数时，也会遇到35156⨯=>的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果．（2）在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可．例如：在计算423317-除以6的余数时，会发现结果变成了35-不够减．此时，只要再加上6，用6354+-=来计算即可．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个．年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个．请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数．33371580+⨯- 5213+⨯- 每个数都用它除以7的练习4．++除以111的余数是多少？（1）123456789-的结果除以22余数是多少？（2）2244686678- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题5．+⨯除以4、9的余数分别是多少？（1）877844923581368⨯除以7、11、13的余数分别是多少？（2）365366+367368369370「分析」要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．（1）1002的个位数字是多少？20143除以10的余数是多少？（2）20143除以7的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10的余数，大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节，猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。

第一讲 整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论．什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道．人们在对整数的应用和研究中，探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科．确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科．我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧．数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠”．一、 整除的定义二、整除的一些基本性质：1．尾数判断法（1）（2（32．数字求和法3．奇偶位求差法我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，……，统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．下面我们来看一下如何运用这些性质．例题1.判断下面11个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？（4）哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不妨根据整除特性判断一下．练习1.在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除．从中我们可以总结出如下规律：例题2.173是一个四位数．文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除．”问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析．需要分别用到9、11和8的整除特性．练习2.在23的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除．上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题．下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决．例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上．但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“678”，其中方框表示破了的洞．牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元．请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除．我们没有学过被45整除的数的特征．但注意到4559=⨯，于是678应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数33能被36整除，那么这个四位数可能是多少？在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可．请同学们注意，虽然，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15整除．你能想明白为什么吗？例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话．服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可以申请．也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动．王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码．请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位68是8的倍数．想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4. 七位数22333能被44整除，那么这个七位数是多少？有时候满足题目条件的答案会非常多．如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可．例题5. 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、8、…．如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？例题6. 由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数．那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？45315=⨯ 4559=⨯200的方框中填入两个数整除，实际根本不用考虑4，只要考虑整除．如果你还要再考虑4的整除性，那就多作业1.下面有9个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100．其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2.有如下5个自然数：12345，189，72457821，333666，54289．其中能被9整除的有哪些？3.有如下5个自然数：3124，3823，45235，5289，5588．其中能被11整除的有哪些？4.125是一个四位数．王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除．”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5.阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：11.4元（ 表示不明数字）．请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步例题1.答案：（1）能被4整除的有3568、5880、6512、864；能被8整除的有3568、5880、6512、864．（2）能被25整除的有8875、93625；能被125整除的有8875、93625．（3）能被3整除的有23487、6765、5880、198954、864；能被9整除的有198954、864．（4）能被11整除的有407、6765、6512．例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7．要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8．要想让四位数能被8整除，需要后三位即73是8的倍数，空格中要填6．三个数字之和是21．例题3.答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5，对应的百位是6或1．例题4.答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8．要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、8．例题5.答案：10395；98730详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数．那么五位数的末尾只能是0或5．先来看最小的数．要让前面数位上的数字尽量小，可以是105．要满足它是9的倍数且最小，应该是10395．再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是985或980．要满足它是9的倍数且最大，应该是98730．例题6.答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数．这六个数字的和是28，而最大的三个数的和是20，也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20，所以只能把28分成两个14，偶位为8、5、1，奇位为7、4、3．练习1.答案：能被4整除的数有3124、312、5588；能被3整除的数有312、5289、7314；能被11整除的数有3124、5588．练习2.答案：本题的答案不止一种，要想被3整除，空格中可以填1、4、7．要想被4整除，空格中可填2或6．要想被5整除，空格中可填0或5．练习3.答案：3132或3636简答：要想被36整除，这个四位数要既是4的倍数，也是9的倍数．要想是4的倍数，个位上的空格中可填2或6．要想满足四位数是9的倍数，百位上的空格对应要填1或6．练习4.答案：2213332或2283336简答：这个七位数既是4的倍数，也是11的倍数．要想是4的倍数，个位上的空格中可填2或6，剩下的空格中对应可填1或8．作业1.答案：48，7836，4100；75，650，4100简答：4和25看末两位．作业2.答案：189，72457821，333666简答：被9整除看数字和．作业3.答案：3124，5588简答：被11整除看奇位和与偶位和的差．作业4.答案：11简答：填入的三个数字分别为1，4，6，数字和为11．作业5.答案：811.44元简答：7289=⨯，分别考虑8和9的整除特性．。

第二讲整除问题进阶例题1. 答案：120087详解：能被9 和11 整除可以看作是能被99 整除，可以两位截断求数段和，那么有2 0 8 是99 的倍数，只能是99．两个空中先后要填 1 和7．例题2. 答案：123483789详解：设这个九位数为1234ab789 ，两位截断求和 1 23 4a b7 89 160 ba 是99的倍数，只能是198．所以a=8，b=3．例题3. 答案：6详解：利用7 的整除特性，89 59 30 能被7 整除，只能填6．例题4. 答案：5详解：555555、999999 能被13 整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999 后仍然是13 的倍数．所以只需要满足13 |5 9 就可以了．空格中要填5．例题5. 答案：768768详解：形如abcabc 一定能被7 整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8 组成．又可知这个六位数一定能被 3 整除，所以只要保证后三位能被8 整除就可以了．答案不唯一．例题6. 答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定．3 1 3 9 1 32 3 2 3 2 3 2 3→→→9 3 9 7 3 96 2 6 2 69 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9练习1. 答案：6237简答：两位截断后的和是99．练习2. 答案：12327678简答：两位截断后的和是198．练习3. 答案：5712 或5782简答：利用7 的整除特性，7 2 与5 的差是7 的倍数，空格中可以填 1 或8．练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111，后面依次去掉333333，最后剩下．它是13 的倍数，那么空格中只能填0．作业1. 答案：7 的倍数有7315，58674，360360；13 的倍数有325702，360360简答：牢记7 和13 的判断方法．作业2. 答案：6336简答：这个四位数是99 的倍数，两位截断后求和即可．作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知7 6 能被7 整除，框中填 5 满足条件．作业4. 答案：9简答：应用三位截断，可知能被7 和13 整除，即是91 的倍数，框中填981 81满足条件．作业5. 答案：3简答：应用三位截断，可知能被7 整除，框中填 3 满足条件．1 3第二讲整除问题进阶上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等．现在我们再来学习一些新的判断方法．一、截断作和能被99 整除的数的特征：从个位开始每两位一截，得到的所有两位数（最前面的可以是一位数）之和能被99 整除．例题 1六位数2008 能同时被9 和11 整除．这个六位数是多少？【分析】能同时被9 和11 整除，说明这个六位数能被99 整除．想一想，99 的整除特性是什么？练习 1四位数23 能同时被9 和11 整除，这个四位数是多少？例题 2已知九位数1234 789 能被99 整除，这个九位数是多少？【分析】这个九位数是99 的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99 的倍数．这个99 的倍数可能是多少呢？练习 2已知八位数能被99 整除，这个八位数是多少？123 678二、截断作差能被7、11、13 整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7 或11 或13 整除．例题 3阿呆写了一个两位数59，阿瓜写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59 与89 之间拼成一个五位数59 89 ，使得这个五位数能被7 整除．请问：小高写的数是多少？【分析】根据能被7 整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7 整除，我们可以由此将问题简化．练习 3四位数57 2 能被7 整除，那么这个四位数可能是多少？接下来我们处理一些较复杂的问题．例题 4已知51 位数55L 5 99L 9能被13 整除，中间方格内的数字是多少？1 2 3 1 2 32 5个5 25个9能被13 整除．这个数的位数太多，我们可以想办法使它【分析】在本题中，5152L35□9192L3925个 5 25个9变得简短一些．因为1001 是13 的倍数，而555555、999999 分别是555、999 与1001 的乘积，说明它们都是13 的倍数．那我们是不是可以去掉这个51 位数上的一些 5 和9，并仍然保证它能被13 整除？练习 411L 1 33L 3能被13 整除，那么中间方格内的数字是多少？已知多位数{ {2010 1 2010 3个个例题 5用数字6，7，8 各两个，要组成能同时被6，7，8 整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数．【分析】能被6，7，8 整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被7 整除，我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被7 整除呢？题目只要求我们写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可．例题 6一个五位数，它的末三位为999．如果这个数能被23 整除，那么这个五位数最小是多少？【分析】我们没有学过能被23 整除的数的特征，而且23 也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑．我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23 整除，就是说它能写成23 与另一个数的乘积．接下来，大家想到该怎么办了吗？课堂内外自古成功在尝试枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用．当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路．胡适（学者，诗人，1946～1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是．我今为下一转语，自古成功在尝试”．这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功．而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功．我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试．作业1.在7315，58674，325702，96723，360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些？2.四位数33能同时被9和11整除，这个四位数是多少？3.四位数278能被7整除，那么这个四位数是多少？4.已知多位数81□1258424528L424358（2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是2012个258多少？5.已知多位数{{11L133L3能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？2011120113个个。

第二讲整除问题进阶例题1. 答案：120087详解：能被9和11整除可以看作是能被99整除，可以两位截断求数段和，那么有□2 0 O是99的倍数，只能是99 •两个空中先后要填1和7.例题2. 答案：123483789详解：设这个九位数为1234ab789，两位截断求和1 23 b7 89 160 ba是99 的倍数，只能是198 .所以a=8, b=3.例题3.答案：6详解：利用7的整除特性，口89 59 □30能被7整除，只能填6.例题4.答案：5详解：555555、999999能被13整除，前面依次去掉555555，后面一次去掉999999后仍然是13的倍数.所以只需要满足13|兀帀就可以了.空格中要填5.例题5. 答案：768768详解：形如abcabc一定能被7整除，可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数，三位数由6、7、8组成.又可知这个六位数一定能被3整除，所以只要保证后三位能被8整除就可以了.答案不唯一.例题6. 答案：20999详解：利用数字谜，从后往前逐位确定.313913 232323239 f39 f 739626269 999 99999999练习1. 答案：6237简答：两位截断后的和是99 .练习2. 答案：12327678简答：两位截断后的和是198.练习3.答案：5712 或5782简答：利用7的整除特性，右2与5的差是7的倍数，空格中可以填1或8.练习4. 答案：0简答：前面依次去掉111111,后面依次去掉333333，最后剩下匚•它是13的倍数, 那么空格中只能填0.作业1.答案：7 的倍数有7315, 58674, 360360; 13 的倍数有325702, 360360简答：牢记7和13的判断方法.作业2.答案：6336简答：这个四位数是99的倍数，两位截断后求和即可.作业3. 答案：2758简答：应用三位截断法，可知和6能被7整除，框中填5满足条件.作业4.答案：9简答：应用三位截断，可知8C 能被7和13整除，即8C 是91的倍数，框中填9 满足条件.作业5.答案：3简答：应用三位截断，可知口3能被7整除，框中填3满足条件.第二讲整除问题进阶厂我只能填在中同、怎样才能保证是11的倍数呢7 /"我翌填在白位和、个位上+怎么填才好呢?墨莫和小高在黑板前玩一个填三位数的游戏.如果填岀的三位数是H的倍数，那么小高就ST, 如果不是11的倍数则墨莫嬴.观察小高和墨英的话，逆冇必胜的策略上次课我们学习了一些比较常用的整除判断方法，如利用末位数字判断、利用数字和判断等•现在我们再来学习一些新的判断方法.一、截断作和六位数L_l2003LJ能冋时被9和11整除.这个六位数是多少？皿U 能被99整除的数的特征:从个位开始每两位一截,得到的所有两位数（最前面的可以是一位【分析】能同时被9和11整除，说明这个六位数能被99整除.想一想，99的整除特性是什么？四位数23 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?【分析】这个九位数是99的倍数，说明两位截断以后，各段之和是99的倍数.这个99的倍数可能是多少呢？已知八位数123口口678能被99整除，这个八位数是多少?、截断作差阿呆写了一个两位数59,阿瓜写了一个两位数89,他们让小咼写一个一位数放在59与89之间辩需一金右佶豹kal I PQ估徂仪金右佶貓■台次朮7敕阵洁白•小直官的貓■具虫/卜：【分析】根据能被7整除的数的特征：末三位组成的数与末三位以前的数组成的数之差能被7整除，我们可以由此将问题简化.四位数5^[2能被7整除，那么这个四位数可能是多少?接下来我们处理一些较复杂的问题.25个5 25个9变得简短一些.因为 1001是13的倍数，而555555、999999分别是555、999与1001的乘 积，说明它们都是13的倍数.那我们是不是可以去掉这个 51位数上的一些5和9,并仍然 保证它能被13整除？已知多位数[1L 1 {33L 3能被13整除，那么中间方格内的数字是多少?2010 个 12010 个 3【分析】能被6, 7, 8整除的数有什么特点呢？最难把握的在于这个六位数能被 7整除, 我们应该怎样安排数字才能使得它的前三位与后三位的差能被 7整除呢？题目只要求我们 写出一个满足要求的六位数，所以只需要找出一种特殊情况即可.【分析】在本题中，55L 35^992L39能被13整除.这个数的位数太多，我们可以想办法使它用数字6, 7, 8各两个，要组成能同时被6, 7, 8整除的六位数.请写出一个满足要求的六位数.【分析】我们没有学过能被23整除的数的特征，而且23也不能拆分成两个特殊数的乘积，因此不可能根据整除特征来考虑•我们尝试从整除的定义来入手，这个五位数能被23整除，就是说它能写成23与另一个数的乘积•接下来，大家想到该怎么办了吗？枚举法和尝试法在解决数论问题时经常使用.当看到一个问题很难下手时，不妨先从简单情形出发试一试，也许能找出规律和思路.胡适（学者，诗人，1946〜1948年任北京大学校长），在他的作品《尝试集》的序言中写到：“尝试成功自古无，放翁这话未必是.我今为下一转语，自古成功在尝试”这首诗中第一句为陆游所说，但他所说的尝试只是简单的浅尝辄止，当然不能成功.而最后一句则是胡适对第一句的改编：如果尝试是大胆的，深入的，那么一定能够成功.我们在解决某些数学问题时，需要的正是胡适所说的这种尝试.作业i1. 在7315, 58674, 325702 , 96723 , 360360中，7的倍数有哪些？13的倍数有哪些?2. 四位数33 能同时被9和11整除，这个四位数是多少?3. 四位数2^8能被7整除，那么这个四位数是多少?4. 已知多位数81口154258切2l§8 （2012个258）能同时被7和13整除，方格内的数字是2012 个258多少？5. 已知多位数［1L 1 03L 3能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?2011 个1 2011 个3。

第一讲整除问题初步从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论. 什么是数论呢？人类从学会数数开始，就一直和整数打交道.人们在对整数的应用和研究中， 探索出很 多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律， 吸引了古往今来的许多数学家， 于是就出现 了数论这门学科.确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科.我们就从最基本的性质一一整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧.X:: 数论在数学中的地位是独特的，伟大的数学家高斯曾经说过： “数学是科学的皇后，数;论是数学的皇冠” •整除的定义「丁 M 丄［EfiAI邑九牛城帀，琴百捨 吧円样的方式冉境 OOOKH3C01B.以G 、乩出卞城布 可胯号毀離00001 'oooowjja 序谏 次脫锂A- B- C, 懵快.軒iHflt 反应境 闻瞭面丈旳埠茶逾稲 伸只记聲车壇忙¥2. 鼻、4. $、隔一亍・ 貝侔的推列浚记件yrmir =Flf 面丈谥氓功了毡 豪酊r.舌方境 出了颯珂停!* w<«帀的T /整除的一些基本性质:1. 尾数判断法3.奇偶位求差法|能被ii 整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被ii 整除HI 我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，……，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位， ，统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和” 把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”.F 面我们来看一下如何运用这些性质.例题1.判断下面11个数的整除性：23487, 3568, 8875, 6765, 5880, 7538, 198954, 6512, 93625, 864, 407 (1) 这些数中，有哪些数能被 4整除？哪些数能被 8整除？ (2) 哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ (3) 哪些数能被3整除？哪些数能被 9整除？ (4) 哪些数能被11整除？【分析】关于4、8、25、125以及3、9、11的整除特征刚才都已经介绍过了，大家不 妨根据整除特性判断一下.练习 1.在数列 3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314 中哪些数能被 4 整除,哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题1中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被 3整除；同样的， 如果将其中能被11整除的数相加或相减， 会发现得到的结果同样能被 11整除.从中我们可以总结出如下规律:(1) (2) (3)2.例题2. 17石是一个四位数•文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？【分析】本题包括三个小问题，我们逐个分析.需要分别用到9、11和8的整除特性.练习2.在2S 的方框内先后填上3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除.上面我们已经学习了如何利用“整除特征”，解决单个数的整除问题•下面我们再来看一看，涉及多个数的整除问题应该如何解决.例题3.牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上•但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“ 6dd ”，其中方框表示破了的洞. 牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元.请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？【分析】这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除•我们没有学过被45整除的数的特征.但注意到45 5 9，于是6dd应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特征比较好呢？练习3.四位数CC 能被36整除，那么这个四位数可能是多少?在例3中，我们并不知道45的整除特征，但是45 5 9，能被45整除的数，也能被5和9整除，那么只需考虑5和9的整除特征即可.请同学们注意，虽然45 3 15，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15 整除•你能想明白为什么吗？例题4. 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话. 服务人员告诉他，目前只有形如“ 1234 口6口8 ”的号码可以申请•也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动. 王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码.请问：他申请的号码可能是多少？【分析】要被8整除，说明号码的后三位Q8是8的倍数•想一下，这样的三位数是唯一的吗？练习4.七位数22 333 能被44整除，那么这个七位数是多少?有时候满足题目条件的答案会非常多. 如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端情况考虑即可.例题5.在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？【分析】要想让五位数最大且数字不重复，每个数位上的数字应该依次是9、&….如果想让五位数尽量小，是不是应该依次是1、2、…呢？例题6.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？【分析】要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数.那么奇位和与偶位和的和又是什么呢？天才未必事事都聪明牛顿小时候的一个故事告诉我们，天才有时也傻乎乎的.一次，粮仓里闹鼠灾了，大人让牛顿在粮仓的门底开一个洞让猫进出.结果他开了两个洞一一大的给老猫，小的给小猫.其实在整除性的问题当中也有类似情况. 比如要在200 □匚的方框中填入两个数字使得这个五位数同时能被4、5、8整除，实际根本不用考虑4,只要考虑5和8即可，因为能被8整除的也必然能被4整除.如果你还要再考虑4的整除性，那就多此一举了.作业1. 下面有9 个自然数：48, 75, 90, 122, 650, 594, 4305, 7836, 4100 .其中能被4 整除的有哪些？能被25整除的有哪些？2. 有如下5个自然数：12345, 189, 72457821, 333666, 54289•其中能被9整除的有哪些？3. 有如下5个自然数：3124, 3823, 45235, 5289, 5588 •其中能被11整除的有哪些？4. 是一个四位数•王老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9, 11, 8整除• ”问：王老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？5. 阿呆买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：匚111.C 元（表示不明数字）.请问总价应该是多少？第一讲整除问题初步例题1. 答案：(1)能被4整除的有3568、5880、6512、864;能被8整除的有3568、5880、6512、864 .(2)能被25 整除的有8875、93625 ;能被125 整除的有8875、93625 . ( 3) 能被 3 整除的有23487、6765、5880、198954、864;能被9 整除的有198954、864. (4) 能被11整除的有407、6765、6512.例题2.答案：21详解：要想让四位数能被9整除，数字和得是9的倍数，空格中要填7 •要想让四位数能被11整除，奇位和与偶位和的差得是11的倍数，空格中要填8•要想让四位数能被8整除，需要后三位即7C 是8的倍数，空格中要填6 .三个数字之和是21 .例题3. 答案：67680或67185详解：根据题意，这个数能被45整除，即能同时被5和9整除，个位只能是0或5,对应的百位是6或1 .例题 4. 答案：12345608、12341648、12348688详解：末三位被8整除，十位数字只能是0、4、8 .要满足号码能被11整除对应的千位数字只能是5、1、&例题 5. 答案：10395; 98730详解：要被45整除，五位数既得是5的倍数，也得是9的倍数.那么五位数的末尾只能是0或5 •先来看最小的数•要让前面数位上的数字尽量小，可以是1CD5 •要满足它是9的倍数且最小，应该是10395 •再来看最大，要让前面数位上的数字尽量大，可以是98口口5或9CD0 •要满足它是9的倍数且最大，应该是98730.例题6. 答案：875413详解：要想是11的倍数，奇位和与偶位和的差得是11的倍数.这六个数字的和是28 , 而最大的三个数的和是20,也就是说无论是奇位还是偶位之和都不会超过20,所以只能把28分成两个14，偶位为& 5、1，奇位为7、4、3.练习1. 答案：能被4整除的数有3124、312、5588;能被3整除的数有312、5289、7314 ; 能被11整除的数有3124、5588.练习2. 答案：本题的答案不止一种,要想被3整除,空格中可以填1、4、7.要想被 4 整除,空格中可填 2 或6.要想被 5 整除,空格中可填0或5.练习 3. 答案：3132 或3636简答：要想被36整除,这个四位数要既是4的倍数, 也是9的倍数. 要想是 4 的倍数, 个位上的空格中可填 2 或6.要想满足四位数是9的倍数,百位上的空格对应要填1或6.练习 4. 答案：2213332 或2283336简答：这个七位数既是4的倍数,也是11的倍数.要想是 4 的倍数,个位上的空格中可填2或6,剩下的空格中对应可填1或8.作业 1. 答案：48, 7836, 4100；75, 650, 4100简答： 4 和25 看末两位.作业 2. 答案：189, 72457821, 333666简答：被9 整除看数字和.作业 3. 答案：3124, 5588简答：被11 整除看奇位和与偶位和的差.作业4. 答案：11简答：填入的三个数字分别为1, 4, 6,数字和为11.作业 5. 答案：811.44 元简答：72 8 9 ,分别考虑8和9的整除特性.。