(1 f(x)在 ( −∞ , − 1) ， , + ∞ ) 上是增函数， 在 上是增函数，
f(x)在 (−1, 1) 上是减函数。 在 上是减函数。 所以， 是极大值； 所以， f ( −1) = 2 是极大值； 是极小值。 f (1) = −2 是极小值。
y = x 3 − 3 x ，点 （2）曲线方程为 ）
B
D
B
A C2 x
t
1 1 1 = | BD | ⋅ | 1 − 0 |= | BD |= (−3t 3 + 3t ), 2 2 2
即 （Ⅱ）
3 3 f (t ) = − (t − t ). (0 < t < 1). 2 3 9 2 3 . f ′ ( t ) = − t + .令 f ′(t ) = 0 解得 t = 3 2 2
∴ 当 cos x = 3 时， ymin = 4 . 5
已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx. 例10 已知函数 － ， 的最大值； （Ⅰ）求函数f(x)的最大值； 求函数 的最大值 证明: （Ⅱ）(难)设0<a<b, 证明 难设 0<g(a)+g(b)-2g( a + b )<(b-a)ln2.
n
n −1
Ⅲ、求导法则
Ⅳ、复合函数求导 Ⅴ、导数的几何意义 函数 y = f（x）在点x0处的导数 f （x0）， ′
)处 就是曲线 y = f（x）在点P ( x0 ，f（x0）
1．判断函数的单调性 3．求函数的最值 ．
的切线的斜率．
Ⅵ、导数的应用
2．求函数的极值 4. 定积分
近几年该 知识点的 考查情况 高考命 题结构
例3、已知 (x) =2x2+3x f ′(1), f ′(0)= 、已知f
解: 由已知得: f ′(x)=4x+3 f ′(1),
-6
∴ f ′(1)=4+3 f ′(1), ∴ f ′(1)=-2 ∴ f ′(0)= 4×0+3 f ′(1)=3×(-2)=-6 × ×
+2bx在点 在点x=1 例4（2001文）已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点 （ 文 已知函数f(x)=x 处有极小值-1，试确定a、 的值 并求出f(x) 的值， f(x)的单调 处有极小值 ，试确定 、b的值，并求出f(x)的单调 区间。 区间。 分析：f(x)在x=1处有极小值分析：f(x)在x=1处有极小值-1，意味着f(1)=-1且 处有极小值 意味着f(1)=f(1)= (1)=0，故取点可求a 的值， f’(1)=0，故取点可求a、b的值，然后根据求函数 单调区间的方法， 单调区间的方法，求出单调区间 。
主要题型
1、以 填空题 考查导 数的 对导数的考查客观题为一 概念，求函数的导数，求 个，与导数的知识有关的解 （1）2008年高考第14题关于极值问 函数的极、最值。 答题也为一个。 题，第17题第（2）问证明导数的实 2、与 导数的 几何意 义相 际应用；2009年高考第3题考查函数 结合的函数综合问题，利 的单调性；2010年高考的第14题与第 用导数证明函数的单调性 20题，分别考查函数的最值与函数的 单调性。 或求函数的单调区间，多 为中档题。 3、利用导数求实际问题 中的最值问题，为中档偏 难题
′ ′ （5 − 3 cos x）sin x − 5 − 3 cos x） sin x） （ （ 解：y ' ＝ sin 2 x ＝ 3 − 5 cos x 2 sin x 令 y ' = 0 ⇒ cos x = 3 5 当 cos x > 3 时 ，y ' < 0 ， 当 cos x < 3 时， y ' > 0 5 5
3 2 3 16 − ( x 0 − 3 x 0 ) = 3( x 0 − 1)(0 − x 0 ) ⇒ x0 = −8 即 x0 = −2
所以， 所以，切点为 M ( −2, − 2) ， 切线方程为
9 x − y + 16 = 0
5 − 3 cos x π （0 < x < ）的最小值 . 例9 求 y = sin x 2
2
解： （Ⅰ）函数 f (x ) 的定义域为 ( −1,+∞ )
f ′( x) =
当 − 1 < x < 0 时, f ′( x) > 0,
−x 1+ x
令 f ′( x) = 0 ，解得x = 0.
当 x > 0 时, f ′( x) < 0. 又 f (0) = 0 ,
f ( x) = ax 3 + bx 2 − 3x 在 x = ±1 处取得极值。 处取得极值。 例8 已知函数
(1)讨论 f (−1) 和 f (1) 是函数 f (x ) 的极大值还是极小值； 讨论 的极大值还是极小值； (2)过点 A(0, 16) 作曲线 y = f (x ) 的切线，求此切线方程。 过点 的切线，求此切线方程。 解：(1) f ′( x ) = 3ax 2 + 2bx − 3 依题意， f ′(1) = f ′( −1) = 0 依题意，
(2) (3)
1 1 + cos x y′ = ⋅ ( x + sin x)′ = x + sin x x + sin x
′ = 2e 2 x ⋅ cos x − e 2 x ⋅ sin x y
(4)
2 x log 3 e 1 2 y′ = 2 log 3 e ⋅ ( x − 1)′ = x −1 x2 −1
例题讲解： 例题讲解：
例2：用公式法求下列导数： （1）y= x − 2 (3x + 1) 2 （2）y= e cos x
1
（3）y=ln(x+sinx)
log 3 ( x 2 − 1) （4）y=
2x
解(1)y′=
− 1 ( x − 2) 2 ⋅ (3x + 1) 2 + x − 2 ⋅ 2 ⋅ (3x + 1) ⋅ 3 2 (3x + 1) 2 = + 6(3 x + 1) ⋅ x − 2 2 x−2
例7 如图，已知曲线C1 ：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交 于O，A,直线x=t(0<t<1)与曲线C1,C2分别交于B，D. （Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t); （Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值. y y = x3 解：（Ⅰ）由 得 3 y = −2x + 3x, 交点O、A的坐标分别是（0，0）， （1，1）.
3a + 2b − 3 = 0, ⇒ a = 1, b = 0 ⇒ 3a − 2b − 3 = 0.
∴ f ( x) = x 3 − 3 x, f ′( x) = 3 x 2 − 3 = 3( x + 1)( x − 1)
令 f ′( x ) = 0 ， x = −1, x = 1 则
当 x ∈ (−∞, − 1) U (1, + ∞ ) 时， f ′( x) > 0 当 x ∈ (−1, 1) 时， f ′( x ) < 0
答案（ 答案（1）a=-3,b=0,c=0 a=（2）单增区间为(-∞,0)和(2,+∞) 单增区间为( ∞,0)和
解：由已知,函数f (x)过原点 过原点(0,0), 过原点 ∴ f (0) =c=0 ∵ f ′(x)=3x2+2ax+b 且函数f 在原点相切， 且函数 (x)与y=0在原点相切， 与 在原点相切 ∴ f ′(0)=b=0 即f (x)=x3+ax2 由f ′(x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a 得
A(0, 16) 不在曲线上 .
3 y 0 = x 0 − 3x0
设切点为 M ( x0 , y 0，则点 的坐标满足 ) 则点M的坐标满足 2 因为 f ′( x 0 ) = 3( x 0 − 1) 故切线的方程为
2 0
y − y 0 = 3( x − 1)( x − x 0 )
注意到点A（ ， ）在切线上， 注意到点 （0，16）在切线上，有
当0 < t < 是增函数； 当
3 3 )上 时 , f ′ ( t ) > 0 , 从而 f (t ) 在区间 ( 0 , 3 3
是减函数；
3 3 ,1 ) 上 < t < 1时 , f ′ ( t ) < 0 , 从而 f (t ) 在区间 ( 3 3
3 f (t )有最大值为 f ( 3 ) = 3 . 所以当 t = 时， 3 3 3
略解：
f (1 ) = − 1 ⇒ a = ' f (1 ) = 0
1 3
,b = −
1 2
单增区间为（ ， 单增区间为（-∞，-1/3）和（1，+∞） ） ， ） 单间区间为（ 单间区间为（-1/3，1） ， ）
练习巩固1 练习巩固1：
设函数y=x +bx+c的图象如图所示 且与y=0 的图象如图所示， y=0在 设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在 原点相切，若函数的极值为原点相切，若函数的极值为-4 ）、求 （1）、求a、b、c的值 ）、求函数的单调区间 （2）、求函数的单调区间
∆y f (x0 + ∆x) − f (x0 ) →A ∆X →0,比值 = ∆x ∆x
c′ = 0 （c为常数） （x ） = nx （n ∈ Q） ′ （sin x） = cos x ，（cos x） = − sin x ′ ′ （ln x） = 1 ′ ，（log a x） = 1 log a e ′ x x （e x） = e x ′ ， （a x） = a x ln a ′
