初中数学学案全集之一元二次方程的根与系数的关系第2课时学案

*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、导学 1.导入课题: 如果一个方程的两根之和为 1，两根之积为-2，你能说出这个方程吗？ 今天我们进一步学习一元二次方程根与系数的关系. 2.学习目标: 知道一元二次方程的根与系数的关系. 3.学习重、难点: 重点：一元二次方程根与系数的关系. 难点：能应用一元二次方程根与系数的关系解决问题. 4.自学指导： (1)自学内容：教材第 15 页到第 16 页的内容. (2)自学时间：5 分钟. (3)自学方法：独立探究一元二次方程根与系数的关系. (4)探究提纲： ①方程 x2+px+q=0 的两根分别是 x1，x2，那么 x1+ x2= -p，x1 x2=q .你是怎么得到的？ 假设方程两根分别为 x1，x2.那么方程可表示为(x-x1)(x-x2)=0. 化简,得 x2-(x1+x2)x+x1x2=0. ∴x1+x2=-p, x1x2=q.③独立完成例 4，说说运用根与系数的关系求一元二次方程的两根之和与两根之积时应注意什么？①把方程化为一般形式，明确二次项系数、一次项系数和常数项的值；②方程必须有实数根.④不解方程，求以下方程两根的和与积.x2-3x=15；3x2+2=1-4x；x1+x2=3，x1+x2= - ，x1x2= -15 5x2-1=4x2+x； x1+x2=1，x1x2= 2x2-x+2=3x+1.x1+x2=2，x1x2= -1x1x2=二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：了解学生探究两个方程的根与系数的关系的方式和易错点.(2)差异指导：指导学生通过比拟的方式探究方程 x2+px+q=0 根与系数的关系,通过直接计算的方式探究方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系.对学习有困难的学生予以指导，并帮他们分析根与系数之间的关系.2.生助生：同桌之间可以互动、研讨.四、强化x2+px+q=0 有两个实根 x1，x2，那么 x1+x2=-p,x1x2=q.x2+bx+c=0 中，在 a≠0，b2-4ac≥0 的条件下，x1+x2=－ , x1x2= . 3.运用一元二次方程根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意： (1)先把方程化成一般形式，明确方程的二次项系数，一次项系数和常数项的值，然后 直接代入关系式. (2)确定方程的各项系数时一定要包括其符号. (3)只有在一元二次方程有实根的前提下，才能使用根与系数的关系.如果所给一元二次 方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系. 五、评价 1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课你学到了哪些知识？有何收获或缺乏？说说 运用一元二次方程根与系数的关系时应注意的问题. 2.教师对学生的评价： (1)表现性评价：点评学生的学习态度、积极性、学习方法、效果及缺乏之处等.(2)纸笔评价：课堂评价检测. (教学反思)： (1)通过从熟知的解法解一元二次方程的过程中探究根与系数的关系，并发现可用求根 公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、 开展和出现的过程以及知识的应用. (2)教学过程从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜测到论证，使学生在 体验知识发生、开展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想. (3)教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均 有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同 学们学习的兴趣.(时间：12 分钟总分值：100 分) 一、根底稳固(70 分) 1.(10 分)关于 x 的方程 x2+px+q=0 的根为 x1=1+ ，x2=1- ，那么 p= -2，q= -1.2.(10 分)方程 5x2+kx－6=0 的一根是 2，那么另一根是 - ，k＝-7.3.(40 分)求以下方程的两根 x1，x2 的和与积：(1)x2－3x+2=0；(2)5x2+x－5=0；解：x1+x2=3 x1x2=2(3)x2+x=5x+6； 解：方程化为 x2-4x-6=0解：x1+x2= x1x2= -1(4)7x2－5=x+8. 解：方程化为 7x2-x-13=0x1+x2=4x1+x2=x1x2= -6x1x2= -4.(10 分)两个数的和为 8，积为 9.75，求这两个数.解：设其中一个数为 x,那么另一个数为(8-x).根据题意，得 x(8-x)=9.75,整理，得 x2-8x+9.75=0.解得 x1=6.5, x2=1.5. 当 x=6.5 时，8-x=1.5;当 x=1.5 时，8-x=6.5,∴这两个数是 6.5 和 1.5.二、综合应用(20 分)5.(20 分)x1，x2 是方程 x2－5x－7=0 的两根，不解方程求以下各式的值：三、拓展延伸(10 分)6.(10 分)关于 x 的方程 x2-(2m+3)x+m2=0 的两根之和等于两根之积，求 m 的值.解：设方程 x2-(2m+3)x+m2=0 的两根为 x1，x2.∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.根据题意得 m2=2m+3，解得 m1=3,m2= -1.当 m=3 时，原方程为 x2-9x+9=0, b2-4ac=45>0.方程有实数根.当 m= -1 时，原方程为 x2-x+1=0, b2-4ac=-3<0.方程无实数根，此 m 值舍去.∴m 的值为 3.24.2.1 点和圆的位置关系教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆 的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． (二)能力训练要求 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力． 2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题 的策略． (三)情感与价值观要求 1．形成解决问题的一些根本策略，体验解决问题策略的多样性，开展实践能力与创新 精神． 2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 教学重点 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论． 2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法． 3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学难点 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的 三个点作圆． 教学方法 教师指导学生自主探索交流法． 教具准备 投影片三张 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点 能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．Ⅱ．新课讲解 1．回忆及思考 投影片(§3．4A) 1．线段垂直平分线的性质及作法． 2．作圆的关键是什么？ [生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．1 作法：如以以下图，分别以 A、B 为圆心，以大于 AB 长为半径画弧，在 AB 的两侧2 找出两交点 C、D，作直线 CD，那么直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线，直线 CD 上的 任一点到 A 与 B 的距离相等．[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做 圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆 心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．2．做一做(投影片§3．4B) (1)作圆，使它经过点 A，你能作出几个这样的圆？ (2)作圆，使它经过点 A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布 有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ (3)作圆，使它经过点 A、B、C(A、B、C 三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你 能作出几个这样的圆？ [师]根据刚刚我们的分析，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并 作出解答． [生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过点 A 作圆，只要圆心确定下来，半 径就随之确定了下来．所以以点 A 以外的任意一点为圆心，以这一点与点 A 所连的线段为 半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)． (2)点 A、B 都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到 A、B 的距离相等．根 据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等，那么圆心应在线段 AB 的垂直平分线上．在 AB 的垂直平分线上任意取一点，都能 满足到 A、B 两点的距离相等，所以在 AB 的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点 到 A 的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段 AB 的垂直平分线上有无数点，因此有无 数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)． (3)要作一个圆经过 A、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离 相等．因为到 A、B 两点距离相等的点的集合是线段 AB 的垂直平分线，到 B、C 两点距离 相等的点的集合是线段 BC 的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到 A、B、C 三点 的距离相等，就是所作圆的圆心． 因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？ 3．过不在同一条直线上的三点作圆． 投影片(§3．4C)作法图示1．连结 AB、BC2．分别作 AB、BC 的垂直 平分线 DE 和 FG，DE 和 FG 相交于点 O3．以 O 为圆心，OA 为半径作 圆 ⊙O 就是所要求作的圆他作的圆符合要求吗？与同伴交流． [生]符合要求． 因为连结 AB，作 AB 的垂直平分线 ED，那么 ED 上任意一点到 A、B 的距离相等； 连结 BC，作 BC 的垂直平分线 FG，那么 FG 上的任一点到 B、C 的距离相等．ED 与 FG 的满足条件． [师]由上可知，过一点可作无数个圆．过两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的 三点可以作一个圆，并且只能作一个圆． 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 4．有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆 (circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． Ⅲ．课堂练习 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有 怎样的特点？ 解：如以以下图． O 为外接圆的圆心，即外心． 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心 在三角形的外部．Ⅳ．课时小结 本节课所学内容如下： 1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程． 方法． 3．了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念． Ⅴ．课后作业 习题 3．6 Ⅵ．活动与探究 如以以下图，CD 所在的直线垂直平分线段 AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的 圆心？ 解：因为 A、B 两点在圆上，所以圆心必与 A、B 两点的距离相等，又因为和一条线段 的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在 CD 所在的直线上．因此 使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．。

一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1、 知道一元二次方程的根与系数的关系。

2、 能运用一元二次方程的根与系数的关系进行已知一根求另一根的简便运算。

学习重点、难点：重点：一元二次方程的根与系数关系的推导和它的运用。

难点：灵活运用一元二次方程的根与系数的关系。

学习流程： 一、旧知回顾：（独立完成，组长检查指导） 1、 写出一元二次方程的一般式和求根公式。

2、 已知232+=x ，232-=y 求22y xy x ++的值。

二、合作交流：（独学、互学，交流归纳）1、 仔细观察一元二次方程)04,0(022≥-≠=++ac b a c bx ax 的两个实数根a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---=它们有什么相同点和不同点。

试求222121x x x x ++的值。

归纳：一元二次方程的根21,x x 与系数c b a ,,之间有什么关系呢？=+21x x ， =⋅21x x2、若方程4522=-x x 的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。

3、已知方程0652=-+kx x 的一个根是2，求它的另一个根和k 的值。

三、课堂检测：1、若方程x x 4322=-的两个根是x 1和x 2，则=+21x x ， =⋅21x x 。

2、已知方程0322=-+kx x 的一个根x 1=3，求它的另一个根x 2和k 的值。

3、关于x 的方程01622=+-+m x x 的两个根互为倒数，则m= 。

四、课堂整理1、 熟记一元二次方程的根与系数的关系，你记住了吗？请写下来：2、这节课你学了什么？会了什么？还有不会的吗？五、拓展延伸（挑战自我）1、当k 取何值时，013)13(2322=-++-k x k x（1）有一根为零？（2）有两个互为相反数的根？（3）两根互为倒数？2、已知关于x 的方程0)1(2=-+-a a x x 有两不等的正数根，求a 的取值范围。

《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标:1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系,培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。

2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。

3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值,并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。

教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。

教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。

数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。

一、自学互研 探索发现(每小题10分，共30分)(自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视,随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。

学生独立完成导学案,观察、对比、发现问题，逐步由易到难,探索出一元二次方程的根与系数的关系;小组长检查小组成员完成情况;分小组汇报自学成果。

【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。

通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。

培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。

【学案内容】:1、方程:X 2+3X –4=0（1)二次项系数是_____ ,一次项系数是______，常数项是______.（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ .(3）则X 1+X 2=_______， 方程中（）二次项系数一次项系数=- (4） X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1)二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。

《一元二次方程的根与系数的关系》教案教学目标1、知识目标：使学生掌握一元二次方程根与系数关系，并初步应用．2、能力目标：不断提高学生呃观察分析及推理运用能力．2、思想目标：使学生进一步了解事物都是相互制约得辩证唯物主义关系以及由特殊到一般在有一班到特殊的思想方法．教学重点根与系数的关系与应用．难点：根与系数的发现与准确掌握．教学方法1、搞清来源．2、分清条件和结论．3、注意应用．4、精选练习．5、注意思维能力的培养．教学过程一、复习提问一元二次方程一般式及求根公式让学生认识求根公式反映了根与系数关系(强调a≠0)引言、一元二次方程求根公式反映了根与系数关系吗？一元二次方程还有其他的根与系数关系吗？我们说有：今天我们就讲一元二次方程的根与系数关系．引出新课，板书课题．二、学生活动一(出示小黑板)解下列方程并观察x1+x2，x1x2与a，b，c的关系．(1)x2-2x=0(2)x2-3x-4=0(3)x2-5x+6=0学生答：二次项系数为1有是为了研究问题的方便，我们把二次项系数为1的方程设为x2+px +q =0的形式，同学们归纳总结x 1，x 2与x 2+px +q =0系数的关系x 1+x 2=-px 1x 2=q ．板书型如x 2+px +q =0的方程的两根x 1，x 2那么x 1+x 2=-px 1x 2=q ．三、学生活动二出示小黑板，解下列方程并观察x 1+x 2，x 1x 2与a ，b ，c 的关系．1212板书型如ax 2+bx +c =0的方程的两根x 1，x 2那么x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=ac，这就是一元二次方程的根与系数的关系，同学们探索如果已知a ，b ，c 我们可求出x 1，x 2在a ，b ，c ，x 1，x 2是否已知3个量就可以求出其他3个量呢，看下面的问题．例、求下列方程两根的和与两根的积． (1)x 2+2x -5=0；(2)2x 2+x =1 四、学生练习 (1)x 2-3x +1=0(2)2x 2-9x +5=0 (3)4x 2-7x +1=0 (4)2x 2+3x =0 (5)6x 2-1=0 (6)3x 2-2x =-2 (7)3x 2=1教师讲解同时归纳运用根与系数应注意哪些． 1、化成一般式． 2、二次项系数化1． 3、不要漏掉“—“．学生练习已知方程3x 2-19x +m =0的一根是1，求另一根及m 的值．(学生板演) 五、课堂小结今天这节课你学到了什么，由学生完成，教师适当讲解． 作业P23页1、2题． 思考题m取何值时方程x2+mx+m-1=0(1)两根之和为1.(2)两根之积为-1.(3)两根互为倒数.(4)两根互为相反数.(5)一根为0.。

九年级根与系数的关系教案一、教学目标1. 让学生理解根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数之间的联系。

2. 培养学生运用根与系数的关系解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的抽象思维能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：理解并掌握根与系数的关系，能够运用根与系数的关系解决实际问题。

2. 教学难点：根与系数的关系在实际问题中的应用。

三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探索、发现、总结根与系数的关系。

2. 运用案例分析法，让学生通过实际问题理解并掌握根与系数的关系。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解根与系数的关系。

四、教学准备1. 教师准备相关案例和问题，以便在教学中引导学生进行探索和分析。

2. 准备多媒体教学设备，以便进行数形结合的教学。

五、教学过程1. 导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考根与系数的关系。

2. 探索与发现：让学生通过分组讨论、探索，发现根与系数之间的关系。

3. 总结与讲解：引导学生总结根与系数的关系，并进行讲解。

4. 案例分析：分析实际问题，运用根与系数的关系解决问题。

5. 练习与巩固：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

6. 总结反馈：对学生的学习情况进行总结反馈，查漏补缺。

六、教学内容与要求1. 教学内容：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握根的判别式，理解根与系数在解方程中的应用。

2. 教学要求：学生能够运用根的判别式判断方程的根的情况，能够将实际问题转化为方程求解，并运用根与系数的关系进行分析。

七、教学步骤1. 回顾与导入：复习一元二次方程的基本概念，引入根与系数的关系。

2. 探索与发现：引导学生通过具体的一元二次方程，探究根与系数之间的关系。

3. 讲解与总结：讲解根的判别式，总结根与系数之间的关系，并进行例题解析。

4. 应用与拓展：提供几个实际问题，让学生运用根与系数的关系进行求解。

5. 巩固与练习：布置相关的练习题，让学生进行巩固练习。