构成空间几何体的基本元素

【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 构成空间几何体的基本元素2. 棱柱、棱锥和棱台的结构特征3. 圆柱、圆锥、圆台和球二. 教学目的1. 认识构成空间几何体的基本元素2. 掌握柱、锥、台和球的结构特征三. 教学重点、难点1. 柱、锥、台和球的结构特征2. 学生看图、识图的能力的培养和尝试模型制作四. 知识分析我们生活的世界有各种各样的物体，我们总是试着去观察它们，区分它们。

区分这些物体的方法很多，但最直接的方法是什么呢？对，是它们占有空间部分的形状和大小。

这也是我们研究几何体的方向和内容。

（一）构成空间几何体的基本元素但是什么是几何体呢？我们将要认识和研究几何体的哪些方面的问题？几何体指的是一个物体所占有的空间部分。

常见的有柱体、锥体、台体、球体等等。

（见上图）同学们应该明确一点就是几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分，或者说它是有皮有瓤的。

我们研究几何体，不用理睬它的物理性质和化学成分，不用关心它的历史，也不用研究它的经济价值，而只考虑它的形状和大小，研究一下它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等等就行了。

我们现在要学习的内容是立体几何初步，它包括两节内容：第一节是空间几何体，第二节是点、线、面之间的位置关系。

学习的重点是认识柱、锥、台、球的结构特征，会用平行投影法、中心投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台、球等几何体的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容，其他部分也就迎刃而解了。

现在，同学们先观察你的周围，发现了哪些几何体？你都认识它们吗？在我们认识的几何体中，最熟悉的莫过于长方体了，你能说出长方体的结构特征吗？观察长方体，会发现它的表面有六个矩形，我们把这六个矩形（含矩形内部）称为长方体的面，相邻两个面的公共边叫做长方体的棱，长方体的三条两两相交成直角的棱交会到一点，就是长方体的顶点。

空间几何体的结构____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．概括简单组合体的结构特征．1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间几何体的基本元素．(2)平面及其表示方法：①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．②平面的表示方法：图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名．深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。

空间几何体的概念与结构空间几何体的基本元素：1．几何体：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．2．构成几何体的基本元素：点、线、面．3．多面体：由若干个平面多边形所围成的封闭的几何体．凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的截面．例：按照要求完成下面两个相交平面的作图，图中AB 表示两个平面的交线：经典精讲：考点1：空间几何体基本元素的认识【例1】 ⑴下面四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中不能沿两个正方形相邻边折叠成一个正方体的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．体对角线面对角线C'B'A'C BA顶点棱面截面D'D非凸多面体BA ABABBAA BBA⑵如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A ，B ，C 对面的字母分别是________．⑵如图，模块⑵~⑵均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑵由15个棱长为1的小正方体构成，现从模块⑵~⑵中选出3个放到模块⑵上，使得模块⑵成为一个棱长为3的大正方体，则能够完成任务的模块为________．多面体的结构特征1．棱柱：特殊直棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱． 特殊的四棱柱：D ACC EBACB 模块①模块②模块③模块④模块⑤模块⑥底面是正方形底面为长方形底面是平行四边形长方体直平行六面体平行六面体高侧棱对角面侧面底面考点2：棱柱的基本概念【例2】 下列关于棱柱的命题，其中真命题的序号是________．⑵ 棱长相等的直四棱柱是正方体；⑵ 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； ⑵ 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑵ 若两个过相对棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ⑤若侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；⑵ 若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱；⑵ 若底面是正方形，且有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为正四棱柱； ⑵ 若每个侧面都是全等的矩形，则该四棱柱为正四棱柱；⑵ 若底面是正方形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱为正四棱柱； ⑵ 若底面是正方形，且有两个侧面是矩形，则该四棱柱为正四棱柱．考点3：棱柱的结构与性质【例3】⑵正方体的对角线长为l ，则侧面对角线长是（ ）Ａ．2⑵，这个长方体的对角线长为_____．2．棱锥：正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高． 正四面体：各棱长都相等的正三棱锥．侧面底面ABCDE对角面SAC高侧棱HS E AB C DSCBAEDSCBAS HOABCD考点4：棱锥的基本概念【例4】 下列关于棱锥的命题，其中真命题的序号是________．⑵ 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；⑵ 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ⑵ 棱锥的高线可能在几何体之外；⑵ 若底面为正多边形，则该棱锥为正棱锥； ⑵ 若各侧棱都相等，则该棱锥为正棱锥；⑵ 若各侧面都是等腰三角形，则该棱锥为正棱锥； 考点5：正棱锥的结构与性质【铺1】 正四棱锥的斜高为2，求中截面(即过高线的中点且平行于底面的截面)的面积．【例5】 已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面的截面111A B C △的面积，并求S ABC V -．3．棱台：正棱台：由正棱锥截得的棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高． 右图为一个正三棱台，记为棱台ABC A B C '''-，侧棱AA '，BB '，CC '延长后必交于一点．O O '，为上下底面的中心，它们的连线O O '是棱台的高，H H '是棱台的斜高．例：判断下列说法是否正确．⑵ 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；（ ） ⑵ 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；（ ） ⑵ 上、下底面为相似的正多边形的棱台一定是正棱台．（ ）O'OH'HA BCA'B'C'AC侧面侧棱高下底面上底面表中c c '、分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高．考点6：正棱台的结构与性质【例6】 ⑵正四棱台的侧棱长为19，两底面边长分别是4和16，它的表面积和体积分别为_______．⑵正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分别为 ．旋转体的结构特征：1．圆柱、圆锥和圆台：12下底面半径．考点7：旋转体的结构与性质【例7】 ⑵用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是14∶，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长．⑵如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，那么此圆锥的母线与轴的夹角等于 ；⑶圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于2392cm ，母线与底面的夹角是45︒，求这个圆台的母线长．h h '【例8】 ⑵已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．⑵有一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱，将它的内部挖去一个与它同底等高的圆锥，求余下来的几何体的表面积与体积．⑵如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，135ADC ∠=︒，5AB =，CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．2．球与球面：球的表面积和体积公式：24πS R =表，34π3V R =． 考点8：球的截面【例9】 ⑵已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12π和16π，求这两个截面间的距离．⑵设M N ，是球O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过N M O ，，作垂直于OP 的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为( )A ．3:5:6B ．3:6:8C ．5:7:9D ．5:8:9A BCD。

张喜林制单元知识整合二、单元要点整合1．空间几何体的结构(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面．(2)多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，其中，把一个多面体的任一面伸展成平面，如果其余各面都位于这个平面的同一侧，则这个多面体叫做凸多面体．(3)棱柱．①棱柱的概念：有两个面互相平行，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱．②棱柱的分类：a．按侧棱与底面位置关系：b．按底面多边形的边数：三棱柱、四棱柱、……③特殊的四棱柱：四棱柱——平行六面体——直平行六面体——长方体——正四棱柱——正方体．④棱柱的性质：侧棱都相等，侧面都是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面都是矩形．(4)棱锥．①棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形越些面围成的几何体叫做棱锥；如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥为正棱锥．②棱锥的性质：棱锥的一般性质：平行于底面的截面与底面相似，面积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高媳比的平方．正棱锥的性质：侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；正棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影构成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱和斜高在底面的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．(5)棱台，①棱台的概念：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．②正棱台的性质：侧面是全等的等腰梯形，斜高相等；正棱台的高、斜高和两底面的边心距构成一个直角梯形；正棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径构成一个直角梯形；正棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也构成一个直角梯形．(6)圆柱、圆锥、圆台．①圆柱、圆锥、圆台的概念：分别以矩形的一边；直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台． ’ ②圆柱、圆锥、圆台的性质：轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；平行于底面的截面都是圆．(7)球，①球面与球的概念：定义1：半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，定义2：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做球面．球面所围成的几何体叫做球体，简称球．②球的截面性质：球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为d=.22r R③两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，是经过这两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离．2．直观图与三视图(1)平行投影与中心投影．①平行投影：已知图形F ，直线L 与平面α相交，过F 上任一点M 作直线平行于L ，交平面α于,/M 则点/M 叫做点M 在平面α内关于直线L 的平行投影（或象）；如果图形F 上的所有点在平面α内关于直线L 的平行投影构成图形,/F 则图形/F 叫做图形，在平面α内关于直线L 的平行投影．平面α叫做投射面，L 叫做投射线．②中心投影：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．③平行投影与中心投影的区别：平行投影和中心投影的本质区别在于：平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线是由同一个点发出的，④平行投影的性质：直线或线段的平行投影是直线或线段，也可能是一个点；平行直线的平行投影是平行或重合的直线，也可能是两个点；平行于投射面的线段，它的平行投影与这条线段平行且等长；与投射面平行的平面图形，它的平行投影与这个图形全等；在同一直线或平行直线上，两条线段的平行投影的比等于这两条线段的比．(2)直观图与斜二测画法．直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图，斜二测画法是一种较为简单的画直观图的方法，其规则为：①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox 、Oy ，再作Oz 轴，使.90,90 =∠=∠yOz xOz②画直观图时，把Oz Oy Ox 、、画成对应的轴、、////y O x O ,//z O 使),135(45///o o y O x 或=∠//////.90y O x z O x =∠所确定的平面表示水平平面，③已知图形中，平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于///z y x 轴、轴、轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中，平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半，⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．(3)正投影与三视图，正投影：在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影． 正投影有如下性质：垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．三视图：选取三个两两互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图．将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．[注意] ①正投影是作几何体三视图的根据．画三视图时，可以把垂直于投射面的视线想象成平行光线，体会可见的轮廓线． ②画出的三视图要检验是否符合“长对正，宽相等，高平齐”的基本特征．③由三视图想象几何体也要根据“长对正，宽相等，高平齐”的基本特征，想象视图中每部分对应的实物的形状，特别注意几何体中与投射面垂直或平行的线及面的位置．3.柱、锥、台、球的表面板与体积(1)柱、锥、台的表面积，①直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积．,21,/ch S ch S ==正棱锥侧直棱柱侧 .)(21//h c c S +=正棱台侧 （其中/c c 为底面周长，h 为高，/h 为斜高）②圆柱、圆锥、圆台的侧面积．,,2rl S rl S ππ==圆锥侧圆柱侧.)(/l r r S +=π圆台侧（其中r 、r /为底面半径，L 为母线长）[注意]柱体或台体的表面积等于侧面积与两个底面面积的和，锥体的表面积是侧面积与一个底面积的和．③柱、锥、台的侧面积公式的内在联系．(2)柱、锥、台的体积．①棱柱、棱锥、棱台的体积．,31,Sh V Sh V ==椎体柱体 ).(31s SS S h V ++=台体 （其中/s s 、为底面积．h 为高）②圆柱、圆锥、圆台的体积．,31,22h r V h r V ππ==圆锥圆柱 ⋅++=)3122r r h V ππ（圆台 （其中/r r 、为底面半径．h 为高）[注意] a ．计算多面体体积的基础仍是多面体中一些主要线段的关系，要求概念清楚，点、线、面的位置关系要明确，关键是正确计算其底面面积和相应的高．b ．在计算多面体体积时要注意“割补法”和“等积变换”的应用，③柱、锥、台的体积公式的内在联系．(3)球的表面积与体积．.34,4S 32R V R ππ==球球 （其中R 为球的半径）4．平面的基本性质(1)性质．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过不在一条直线上的三点 ，有且只有一个平面，公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理2的三个推论：推论1：过直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2：过两条相交直线，有且只有一个平面，推论3：过两条平行直线，有且只有一个平面．(2)性质的应用．①公理1是判定直线是否在平面内的依据，运用公理1可判定直线是否在莱一平面内．②公理2及其推论是确定平面的依据，确定一个平面，包括两层意思：a ．存在一个平面．b ．只有一个平面，公理2及其三个推论是四个等价命题．③公理3是确定两个平面相交于一条直线的依据，运用公理3可判定多点共线或点在线上．5．空间中的平行关系(1)平行线的传递性，公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)直线与平面平行的判定与性质判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.性质定理：一条直线与一个平面平行：则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．(3)平面与平面平行的判定与性质．判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．性质定理：两个 平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线互相平行．6．空间中的垂直关系(1)直线与平面垂直的判定与性质．判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与平面垂直．性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．(2)平面与 平面垂直的判定与性质．判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，三、单元能力整合1．规律总结(1)对于多面体的结构特征，要从其反映的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可统一为一个公式．(2)旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转而成的，一定要弄清楚圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转而成的，从而掌握旋转体中各元素间的关系，也就掌握了它们各自的性质．(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．(4)三视图和直观图是空问几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图也可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．(5)平面性质的应用①证明共面问题．证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合，②证明三点共线问题．证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三点是两个平面的公共点，当然必定在两个平面的交线上．③证明三线头点问题，证明空间三线共点问题，可先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点，把问题转化为证明点在直线上的问题．(6)证明直线和平面平行的方法．①定义：;//ααa a⇒∅=ααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄③面面平行的性质：βαβα////a a ⇒⋅⎭⎬⎫⊂ (7)证明直线与直线平行的方法．①平行的传递性：;////,//c a c b b a ⇒②直线与平面平行的性质：b a b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=βαβα③直线与平面垂直的性质： b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα ④ 平面与平面平行的性质：b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα(8)证明平面与平面平行的方法．①定义：;//|,βαωβαJ ∅=②判定定理1：βαββαα////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a p b a b a③判定定理2：βαββαα////,//,,,⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⊂⊂⊂⊂d b c a Q d c p b a d c b a ④直线与平面垂直的性质：.//βαβα⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l (9)证明直线与平面垂直的方法．①线面垂直的定义：a 与α内的任何直线都垂直;α⊥⇒aαα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⊂l n l m l A n m n m ,, 、 ③判定定理2：;//αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a ④面面平行的性质：;//βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a ⑤面面垂直的性质：βαβαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a l a a l (10)证明线线垂直的方法．①定义：两条直线所成的角为;90②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质： b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα (11)证明两个平面垂直的方法．判定定理：βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥a a (12)平行关系与垂直关系的转化．(13)空间中距离的求法一般都归结为点到点、点到线、点到面的距离来求．①点到直线或平面的距离是最常见的问题，求解的关键是正确作出图形，确定垂足的位置，应充分利用图形的性质，例如：点到平面的距离，有时要利用两个平面垂直的性质，在其中一个平面内作出两平面交线的垂线即可，要注意引垂线的随意性，②注意各种距离之间的相互转化，“等积”求法及“平行移动”的思想方法．③求距离的一般步骤：a ．找出或作出有关的距离；b ．证明它符合定义：c ．放置到某个三角形中求解．(14)平面图形的翻折问题．①将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为轴的一个旋转．通过对翻折问题的研究，进一步培养空间想象能力．②求解翻折问题的基本方法：先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立体几何问题，③把平面图形翻折成空间图形的有关计算问题，必须抓住在翻折过程中点、线、面之间的位置关系和数量关系中，哪些是变量，哪些是不变量，特别要抓住不变量，一般地，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及两个半平面的几何元素之间的关系是变化的，2．方法技巧(1)简单的空间几何体的结构特征及平面表示．简单空间几何体是指棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台、球及其简易组合．要求认识其结构特征，特别是从运动的观点认识其形成过程，能根据正投影的定义画出它们的三视图或识别三视图表示的立体模型，会用斜二测画法画出其直观图．[例1]关于棱柱的特征叙述正确的是____（把所有正确的序号都填上）．①两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行；②侧面是平行四边形；③面数最少的棱柱是一个五面体；④任何两条侧棱平行且相等；⑤长方体是一个四棱柱，它的三视图是三个矩形；⑥长方体1111D C B A ABCD -一定是由矩形ABCD 平移得到的．[解析] ⑤中，只有把一个侧面作为正前方时，其三视图才是3个矩形；⑥中，长方体的侧面矩形都可以平移形成这个长方体． ∴ 应填①②③④．[答案]①②③④[点拨] 准确掌握棱柱定义中的平移及三视图是解题的关键．[例2] 如图1-3所示，有矩形ABCD 与直线l BC AB AB l l ,1,2,//,==与AB 的距离为l ，将矩形ABCD 绕着直线L 旋转一周，试画出这个几何体的直观图、三视图（取与轴垂直的一个方向为正前方）．[答案] 所得几何体是一个圆柱，再在中间挖去一个以原轴线为轴的圆柱，因为矩形ABCD 的边AB 、CD 绕Z 旋转一周所得的几何体都是圆柱，因此矩形ABCD 绕L 旋转一周后所得的几何体从外观观察是一个大圆柱，从上部看，它的内部被挖去了一个小圆柱，如图1 -4(1)所示．上述组合体的主视图和左视图都是矩形且有两条不可见的轮廓线，其俯视图是两个同心圆包含圆心（直线的俯视图是一个点）．(2)空间中的线线旗面、面面的平行与垂直关系．立体几何中的线面关系指的就是直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系，要熟练掌握它们之间的转化关系．[例3] 对于四面体A- BCD ，给出下列四个命题：①若,,CD BD AC AB ==则;AD BC ⊥②若==AC CD AB ,,BD 则;AD BC ⊥③若,,CD BD AC AB ⊥⊥则;AD BC ⊥④若⊥AB ,,AC BD CD ⊥则.AD BC ⊥其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）[解析] 对于命题①，如图1 -5(1)，取BC 的中点E ，连接,,,DE BC AE BC DE AE ⊥⊥则、 .AD BC ⊥∴对于命题④，如图1-5(2)，过A 向平面BCD 作垂线AO ，连接BO 与CD 交于E ．则,BE CD ⊥ 同理O BD CF ∴⊥,为△BCD 的垂心．连接DO ．则⊥BC ,DO 又.,AD BC AO BC ⊥∴⊥[答案] ①④[例4] 如图1-6所示，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ．且==AB EA G F a DC a 、,,2=分别为EB 和AB 的中点．(1)求证：FD ∥平面ABC ；(2)求证：.BD AF ⊥[解析] 利用线面平行判定定理及线面垂直性质定理．[答案] (1) ∵ F 、G 分别为EB 、AB 的中点，21.21===∴a CD EA FG ,EA 又DC EA 、都垂直于平面ABC ．故∴,//DC FG 四边形FGCD 为平行四边形，.//GC FD ∴又⊂GC 平面⋅⊂/FD ABC ,平面,ABC//FD ∴平面.ABC,)2(EA AB = 且F 为EB 中点，,①EB AF ⊥∴又,//EA FG 且⊥EA 平面⊥∴FG ABC ,平面G ABC .为等边三角形ABC 中AB 边的中点，⊥∴⊥∴⋅GC GC AG 平面,,GC AF AFG ⊥∴又//FD .,②FD AF GC ⊥∴由①②知⊥AF 平面⊂BD EBD 又,平面,EBD .BD AF ⊥∴[例5] 如图1 -7所示，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1．P 、Q 分别是线段1AD 和BD 上的点，且:1P D .12:5:==QB DQ PA (1)求证：//PQ 正面;11C CDD (2)求证：;AD PQ ⊥(3)求线段PQ 的长．[解析] 结合勾股定理及相应的平行、垂直的知识证明及求解．[答案] (1)在平面1AD 内，作AD PP //1与1DD 交于点,1P 在平面AC 内，作BC QQ //1交CD 于点,1Q 连接⋅11Q P ,1251==QB DQ PA P D //,,//1PP BC AD BC AD ∴=1QQ 由四边形11P PQQ 为平行四边形，知 ,//11Q P PQ 而⊂11Q P 平面,11C CDD ⋅⊂/PQ 平面,11C CDD 所以//PQ 平面⋅11C CDD ⊥AD )2(平面,,1111Q P AD DCC D ⊥∴又,//11Q P PQ ⋅.AD PQ ⊥∴(3)由(1)知,125,//1111==QB DQ C Q DQ PQ Q P 而棱长.1=CD ⋅=∴1751DQ 同理求得⋅=17121D P 在11DQ P Rt ∆中，应用勾股定理，得,1713)175()1712(22212111=+=+=DQ D P Q P 即⋅=1713PQ (3)反证法．在数学上，证明一个命题不是直接去证明命题的结论，而是从反面考虑，先提出与结论相反的假设，然后推导出与假设相矛盾的结果，说明假设不成立，肯定原结论是正确的，这种从反面考虑，从而证明命题的方法，常常能出奇制胜，达到证明的目的，反证法在社会实践和数学各个领域中都有着广泛的应用，它还是创造发明的一种工具，例如无理数和非欧几何的发展都得益于反证法，反证法在立体几何中用得较多，教材中的很多定理都是用反证法来证明的，具体地说，反证法可用来证明以下问题：①证明否定型命题；②证明唯一性命题；③证明平行；④证明相交；（勖证明线在面内；⑥证明“至多”“至少”问题等．【例6】 两条相交直线可以确定一个平面，已知：直线a 、b 相交于一点0．求证：a 、b 确定一个平面．[答案] 如图1-8所示，(1)存在性．在直线a 上，在交点0外另取一点A ．过点A 、直线6有一个平面，设为m∵ 点O 、A 都在平面α 内，又都在直线a 上．∴ a α⊂（公理1），∴ 过a 、b 有一个平面α.(2)唯一性（用反证法）．若过a 、b 不只有一个平面，设还有一个平面β也过a 、b ．.,.,,ααββ∈∴⊂∈∴∈⊂A a A a A a 又∴ A 同时在平面α、β内．又∵ ,,βα⊂⊂⋅b b这样，b 与其外一点A 就同在两个平面α、β内，这和推论1相矛盾．∴ 过a 、b 只能有一个平面． (4)截面问题．一个平面与几何体相交所得的几何图形（包括边界及内部）叫做几何体的截面，截面的边界叫做截线（或交线）．如果一个平面和一个多面体相交，那么截面是一个平面多边形，这个多边形的边是平面与多面体的交线，因此n 面体的截面多边形的边数最多是n ，最少是3．常见的截面有：对角面、轴截面、直截面、平行于底面的截面以及其他具有某种特性的截面（如平行或垂直于棱，规定角度的截面，以及经过某几个已知点的截面等）．在解有关截面问题时要注意： ①截面的位置；②截面的形状及有关性质； ③截面的元素及其相互关系； ④截面的有关数量；⑤截面能反映几何体的内部结构，截面上可集中几何体的主要元素，反映它们之间的内在联系，是研究几何体的必由之路.常常可以利用截面把几何体中的元素集中到平面图形中来，利用降维的思想实现空间问题向平面问题的转化.根据课程标准和考试大纲的要求，我们研究一些基本的截面．[例7] 求证平行于三棱锥两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形． [解析] 可按思路：线面平行一线线平行一平行四边形的定义进行证明．[答案] 已知：如图1-9所示，三棱锥//,SC ABC S -截面//,AB HF 截面.HF求证：截面EFGH 是平行四边形.证明：//SC 截面⊂SC HF ,平面,ASC 且平面 ASC 平面.HG HF =由线面平行的性质定理得.//HG SC 同理可证,//EF SC .//EF HG ∴ 同理可证.//GF HE∴ 四边形EFGH 是平行四边形，思考1：若三棱锥S -ABC 中的对棱,AB SC ⊥截面EFGH 是什么四边形？因为,AB SC ⊥所以,90=∠GHE 故四边形EFGH 矩形．思考2：若三棱锥ABC S -中，E 、F 、G 、H 分别为、SA SB BC CA 的中点，且,AB SC =截面EFGH什么四边形？因为由此条件可以得到,HE GH FG EF ===所以四边形EFGH 为菱形，思考3：若三棱锥ABC S -中，E 、F 、G 、H 分别为、、、SA SB BC CA 的中点，AB SC =且,AB SC ⊥ 截面EFGH 是什么四边形？因为由E 、F 、G 、H 分别为CA SA SB BC 、、、的中点，且=SC ,AB 可得,HE GH FG EF === 所以四边形EFGH 为菱形，又,AB SC ⊥故,90 =∠GHE所以四边形EFGH 为正方形．思考4：此平行四边形EFCH 取在什么位置时它的面积最大？[点拨] 同学们平时解题时，每当解完一个问题，你是就此“完成一件大事”，还是像解本题这样，进行再思考呢？对我们学习的知识和问题，进行更深一步的思索研究，是良好的学习品质的具体体现，是生动、主动学习的具体做法，是培养我们数学能力的具体措施，同学们应坚持做下去，一定大有收获．[例8] 如图1- 10所示，已知正三棱锥 S - ABC ，过B 和侧棱SA 、SC 的中点E 、F 作一截面，若这个截面与侧面SAC 垂直，，求此三棱锥的侧面积与底面积之比．[解析] 通过截面与侧面垂直，寻找斜高与底面边长的关系，找出两者的关系后，问题就可解决．[答案] 取AC 的中点M ，连接SM.设,D EF SM= 连接BD.在△SAC 中，E 、F 分别为SA 、SC 的中点，DMSDFC SF AC EF =∴⋅//而.,DM SD FC SF =∴= ∴ D 为SM 的中点． ∵ S -ABC 为正三棱锥， ∴ △SAC 为等腰三角形．.AC SM ⊥∴而.,//EF SM EF AC ⊥∴又截面⊥BEF 侧面⊥∴SM SAC ,平面.BEF,S .S DM SD BD M =⊥∴又∴ △SBM 为等腰三角形，.BM SB =∴ 设正三棱锥ABC S -的底面边长为利a 则,23a BM = 从而.23a BM SC SB SA ====又,22)2()23(2222a a a CM sc SM =-=-=,43,42322.32122a S a a a S ==⋅=∴底侧.1:6:=∴底侧S S(5)折叠问题，平面图形的翻折是一类常见问题，解这类问题时要注意对翻折前后线线、线面位置关系，所成角及距离加以比较，找出变量与不变量，一般地，位于折线同侧的元素相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生变化．不变量可结合原图形求证；变量应在折后的立体图形中求证．立体图形与平面图形相对照，分析、计算各量间的关系，即空间问题转化为平面问题，解决有关折叠问题时首先要解决好两个问题：①如何正确画出图形，这是解题的前提条件；②平面图形折叠成立体图形后，需要判断哪些量没有变，哪 些量发生了变化，这是解题的关键．[例9] 如图1- 11所示，△ACD 和△ABC 都是直角三角形，,30,=∠=CAD BC AB 把△ABC 沿AC 边折起，使△ABC 所在的平面与△ACD 所在的平面垂直，若,6=AB 求点C 到平面ABD 的距离．[答案] ∵ 平面ABC ⊥平面ACD ，且交线为⊂DC AC ,平面,,AC DC ACD ⊥⊥∴DC 平面.,AB DC ABC ⊥∴,,,C DC BC DC AB BC AB =⊥⊥ .BCD AB 平面⊥∴,BCD ABD 平面平面⊥⋅∴且交线为BD.过C 作,..H BD CH 于⊥ 则.ABD CH 平面⊥,90,6o ABC BC AB =∠==,32=∴AC在Rt △ACD 中，.2333230tan =⨯=⋅=o AC CD 在Rt △BCD 中，.104622=+=+=DC BC BD⋅=⋅=∴5152BDDC BC CH∴ C 点到平面ABD 的距离为⋅5152(6)函数的思想．立体几何在现实生活中有着广泛的应用，如空间距离的测量问题，用料最省问题，航程问题等． [例10] 从北京（靠近北纬40东经,120 以下经、纬度均取近似值）飞往南非首都约翰内斯堡（南纬、 30东经),30 有两条航空线可供选择：甲航空线：从北京沿纬度弧向西飞到土耳其首都安卡拉（北纬、o 40东经),30o 然后向南飞到目的地， 乙航空线：从北京向南飞到澳大利亚的帕斯（南纬、 30东经),120o 然后向西飞到目的地．请问：哪一条航空线较短？（地球视为半径km R 6370=的球）[答案] 把北京、约翰内斯堡、安卡拉、帕斯分别看作球面上的A 、B 、C 、D 四点（如图1 - 12所示），则甲航程为A 、C 两地间的纬线长 AC 与C 、B 两地间的球面距离BC 之和，乙航程是A 、D 两地间的球面距离AD 与D 、B 两地间的纬线长之和．设球心为21,O O O 、分别是北纬 40圆与南纬o30圆的圆心，则 ,903012021o o B DO C AO =-=∠=∠从而 ,40cos 221R C O AC ππ=⋅=,4330cos 222R R B O BD πππ==⋅=,187180)3040(360.2R R COB R CB o πππ=⋅+=∠=,187180).3040(360.2R R AOD R AD πππ=+=∠=故甲航程为 .18740s 21R Rco CB AC s oππ+=+=乙航程为 .187432R R BD AD s ππ+=+= 由,S ,.30cos 40cos 21<<S oo知所以甲航空线较短．。

1.1.1构成空间几何体的基本元素【学习目标】1.通过对长方体的认识，了解构成空间几何体的基本元素；理解平面的概念、画法及表示方法。

能直观认识空间点、直线、平面之间的位置关系。

2.借助实物模型，通过整体观察、直观感知，抽象概括出空间几何体，引导学生形成积极主动、勇于探索的学习方式3.引导学生通过自主学习、合作交流、数学联系生活等方式培养学生观察分析问题的能力和相互协作的团队精神，从而提高学生学习数学的兴趣。

【学习重点】发展空间意识，直观认识空间中点、直线、平面的位置关系.【学习难点】二维平面图形到三维空间图形的转换和发展空间想象能力.【联系生活，以情激趣】头脑风暴：3根火柴棒能拼出一个三角形，那么6根火柴棒首尾相接能拼出几个全等的三角形？【合作交流，探究新知】活动一：观察手中的模型，你认为构成空间几何体的基本元素有哪些？活动二：观察思考，回答下列问题1、点做连续运动时，其轨迹是什么？你能列举几个日常生活中点动成线的例子吗？2、空间中直线的运动轨迹是什么？你能列举几个日常生活中的例子吗？3、你能说出长方体是如何运动产生的吗？圆柱呢？球呢？【应用延伸，能力拓展】活动三：利用手中的模型，探究下列问题：问题1：点和直线有怎样的位置关系？问题2：直线和直线有怎样的位置关系？问题3：直线和平面有怎样的位置关系？问题4：平面和平面有怎样的位置关系？你能列举几个生活中的实例吗？【四、小试牛刀，体验成功】例1 观察长方体模型，如图，在长方体ABCD—A ′B ′C ′D ′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：(1)与直线B ′C ′既不平行也不相交的直线有哪几个？(2)与直线B ′C ′平行的平面有哪几个？垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC ′平行的平面有哪几个？垂直的平面有哪几个？(4)平面AC与平面A′C ′间的距离可以用哪些线段来表示？例2 如图，尝试画出(1)(2)(3)中线段L绕着直线l旋转一周形成的空间几何体，并用生活中的物体进行描述。

空间几何体知识讲解一、构成空间几何体的基本元素1.几何体的概念概念：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．2.构成几何体的基本元素：点、线、面（1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A B C L ，，来命名；（2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般 用一个小写字母a b l L ，，或用直线上两个点AB PQ L ，表示； 一条直线把平面分成两个部分．（3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；DCBAα其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母αβγL ，，来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面α，平面ABCD 或平面AC ； 一个平面将空间分成两个部分．3.用运动的观点理解空间基本图形间的关系理解：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体．二、多面体的结构特征1.多面体1）多面体的定义由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点 的线段叫做多面体的对角线． 2）多面体的分类按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．否则就叫做凹多面体．按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等． 3）简单多面体定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体；欧拉公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 和棱数E 有关系2V F E +-=． 4）正多面体定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体； 正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这5种；经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心，且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等．2.棱柱1）棱柱的定义由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．下图中的棱柱，两个底面分别是面ABCD ，A B C D ''''，侧面有ABBA''，DCC D ''等四个，侧棱为AA BB CC DD ''''，，，，对角面为面ACC A BDD B ''''，，A H '为棱柱的高．D C BAHA 'D 'B 'C'2）棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等． 3）棱柱的分类按底面分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……； 按侧棱是否与底面垂直分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱； 4）棱柱的记法①用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱； ②用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱．例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱''''ABCD A B C D 或棱柱'AC 等． 5）特殊的四棱柱：平行六面体四棱柱底面是平行四边形侧棱与 底面垂直正四棱柱底面是平行四边形直平行六面体底面为 正方形直四棱柱侧棱与 底面垂直底面为 长方形长方体底面是正方形侧面也为 正方形正方体棱长都相等的长方体3.棱锥1）棱锥的定义当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高． 2）棱锥的分类底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……；底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．对角面SACE高侧棱侧面底面ABCDEHSDCBA3）棱锥的记法用顶点和底面各顶点的字母表示或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表示．如上图的五棱锥记为棱锥S ABCDE -或棱锥S AC -．4.棱台1）棱台的定义棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高． 2）棱台的性质棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例； 3）棱台的记法用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示． 4）正棱台由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．HH'O'OC'B'A'CBA右图为一个正三棱台，记为棱台ABC A B C '''-，侧棱AA '，BB '，CC '延长后必交于一点．O ，O '为上下底面的中心，它们的连线O O '是棱台的高，H H '是棱台的斜高．三、旋转体的结构与特征1.圆柱、圆锥和圆台定义：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示． 性质：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．SOO'OAA'A2.球球的定义：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面．半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径．一般用球心的字母表示一个球．四、三视图1.投影定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．FMlF 'M '2.平行投影定义：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．3.正投影概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．4.中心投影定义：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影的直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何中，一般用平行投影原理来画图．5.三视图1）正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图形称为几何体称为正视图（主视图）.2）侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图形称为几何体称为侧视图（左视图）.3）俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图形称为几何体称为俯视图.将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．如右图为圆锥的三视图：俯视图主视图5.三视图的对应关系关系：正俯视图长相等、正侧视图图的高相等、俯侧视图图的宽相等，简称“长对正，宽平齐，高相等”或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．五、直观图1.定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法2.斜二测画法规则1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使90xOz ∠=︒，90yOz ∠=︒．（三维空间中） 2）画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O x O y O z ''''''，，，使45x O y '''∠=︒或135︒，90x O z '''∠=︒，x O y '''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上） 3）已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴，'y 轴或z ' 的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．4）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．五、简单空间几何体的表面积和体积1.直棱柱与圆柱的侧面积()S S ch =直棱柱侧圆柱，其中c 为底面的周长，h 为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2.正棱锥（圆锥）的侧面积11''22S ch nah ==正棱锥侧，其中a 为底面边长，'h 为斜高；1π2S cl rl ==圆锥侧，其中c 为底面周长，r 为圆锥的底面半径，l 为母线长；3.正棱台（圆台）的侧面积1(')'(')'22nS c c h a a h =+=+正棱台侧，其中,'a a 分别是正棱台上下底面的边长，'h 为斜高；4.球面面积：24πS R =球，R 为球的半径．5.柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V Sh =柱体，其中S 为底面积，h 为高；6.棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：13V Sh =棱体，其中S 为底面积，h 为高；7.台体（棱台，圆台）的体积公式： 1(')3V h S S =+台体，其中',S S 分别是台体上，下底面的面积，h 为台体的高；8.球的体积公式：34π3V R 球，R 为球的半径典型例题一．选择题（共8小题）1．（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A． B． C． D．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．2．（2016•汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选：B．3．（2018•郑州一模）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选：B．4．（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C． D．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．5．（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．6．（2016•新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．7．（2015•新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．8．（2017•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+3【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1，故选：A．二．填空题（共4小题）9．（2017•上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．10．（2011•南通三模）底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．【解答】解：如图所示，正三棱锥S﹣ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△ABC的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO中，．于是，，．所以．故答案为11．（2016•黄浦区一模）两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．【解答】解：设大球的半径为r，则根据体积相同，可知，即．故答案为：．12．（2015•盐城校级模拟）已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为2π．【解答】解：根据题意，圆柱的底面半径r=1，母线长l=2r=2∴圆柱的体积为V=Sl=πr2l=π×12×2=2π．故答案为：2π．三．解答题（共3小题）13．（1965•全国）如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积．【解答】解：二视图表示的是一个正六棱锥，其棱长为2a．底面边长为a，故底面积，棱锥的高，故正六棱锥的体积，，=．14．已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的底面边长为a，侧棱长为a（1）求它的外接球的体积（2）求他的内切球的表面积．【解答】解：（1）由题意，四棱锥为正四棱锥，∵该四棱锥的侧棱长为a，底面是边长为a的正方形，∴四棱锥的高为a，设外接球的半径为R，则有R2=（a）2+（a﹣R）2，∴R=a，∴外接球的体积为=；（2）设内切球的半径为r，则，∴r=a∴表面积为4πr2=．15．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．【解答】解：（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，由各个侧面都是矩形，得出侧棱垂直于底面，是直棱柱；所以这样的几何体是正六棱柱；（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形，这样的几何体是正四棱锥．。