最新1.1.1构成空间几何体的基本元素教学讲义PPT

1.1.1 构成空间几何体的基本元素教材知识检索考点知识清单1．长方体由六个 （包括它的内部）围成，围成长方体的各个____，叫做长方体的——；相邻两个面的公共边，叫做长方体的 ；棱和棱的公共点，叫做长方体的____．长方体有____ 个 面， 条棱，——个顶点．2．在立体几何中，平面是 ，通常画一个 表示一个平面，平面一般用 来命名，还可以用表示它的 来命名．3．既不平行又不相交的两条直线叫做 ．4．观察长方体容易看到，除了直线在平面内，还有两种关系：直线与平面____或直线与平面____．5．观察平面与平面的位置关系，有两个平面相交于一条直线，除此之外，还有两个平面____或两个平面____ 的关系．要点核心解读1．空间中点、线、面之间的关系空间中的线与面都是由点组成的集合，点A 在线l 上，记作l A ∈，点A 在平面α内，记作l A ∈，线l 在平面α内，记作α⊂l 如图1 -1 -1 -1.2．对平面的深层理解(1)平面是绝对平的．(2)平面没有厚度，也可理解成其厚度为零．(3)平面是无限延展的．(4)平面和点、直线一样，是我们以后研究空间图形的基本对象之一，也是空间图形的一个重要组成部分．(5)有限的图形．如：三角形、平行四边形等．用平行四边形表示平面，只是一种形式上的表示方法，绝对不能认为平行四边形就是平面．(6)无限的平面，平面将无限的空间分成两部分，如果想从平面的一侧到另一侧，必须穿过这个平面．(7)平面可以看作空间中点的集合，它当然是一个无限集．(8)用希腊字母α、β、γ等表示平面时，在不会引起混淆的情况下，“平面”二字可以省略不写；但用英文字母表示平面，如平面AC ，“平面”二字不可省略，甚至在一些复杂的图形中为了区别起见，还要表示为平面ABCD.表示三角形所在的平面，一般将三个顶点的字母都写出来，如平面ABC 、平面ABD 等．(9)在平面几何中，凡是后引的辅助线都画成虚线，立体几何则不然，凡是被平面遮住的线（简称暗线）都画成虚线或不画；凡是不被遮住的线（简称明线，无论是题中原有的还是后引的辅助线）都画成实线．3．以特殊的几何体为例观察空间中线、面的关系以长方体为例，观察得到：(1)空间中直线的位置关系：平行、相交、异面．(2)空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．(3)空间中平面的关系：两个平面相交（包括两个平面垂直），两个平面平行．典例分类剖析考点1平面的概念命题规律(1)正确理解平面的原始概念，把握其与一般的桌面、黑板面之间的区别，． (2)平面的表示法及画法．[例1] 判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)四条边相等的四边形是菱形；(2)若四边形的两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形；(3)平行四边形是一个平面；(4)任何一个平面图形都是一个平面；(5)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线．[答案] (1)不正确，因为四条边相等的四边形不一定是平面图形：(2)不正确，两个对角是直角的四边形有可能是空间四边形，故不一定是圆内接四边形；(3)不正确，平行四边形是平面上四条线段所构成的图形，是不能无限延展的；(4)不正确．平面和平面图形是完全不同的两个概念．平面图形是有大小的，是不可能无限延展的；(5)不正确，在空间图形中，为了增强图形的立体感，都是把能够看得见的线画成实线，把被平面遮住的线画成虚线（无论是图形中原有的，还是后来引入的辅助线）．[点拨] (1)在立体几何中，我们通常用平行四边形表示平面，但绝不是说平行四边形就是平面．(2)在平面几何中，引入的辅助线都要画成虚线，但在立体几何中却不然．在学习立体几何时，若认识不到这一点，必将影响空间立体感的形成，阻碍空间想象能力的培养，考点2 空间中线与面之间的关系命题规律(1)空间中线与平面的关系有线在平面内和线在平面外两种．(2)空间中平面与平面有相交、平行两种位置关系．[例2] 一个平面将空间分成____个部分，两个平面将空间分成个部分，三个平面将空间分成____个部分．[解析]本题对平面在空间的位置进行分类讨论．一个平面将空间分成2个部分．两个平面有公共点时将空间分成4个部分，没有公共点时将空间分成3个部分，所以，两个平面将空间分成3个部分或4个部分，三个平面没有公共点时将空间分成4个部分；有公共点时分别将空间分成6、7、8个部分．如图1—1 -1 -2.[答案] 23或44或6或7或8[点拨] 先对两个平面在空间的位置进行分类讨论，再让第三个平面以不同的形式介入，这种设计分类讨论的程序，在研究空间图形位置关系时会经常用到，母体迁移1．-个正方体的六个面所在平面将空间分成几个部分？考点3 长方体的有关概念命题规律(1)长方体的特征．(2)长方体中的线面关系．[例3] 如图1-1 -1 -3所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，回答下列问题：(1)与直线11C B 平行的平面有哪几个？(2)与直线11C B 垂直的平面有哪几个？(3)与平面l BC 平行的平面有哪几个？(4)与平面1BC 垂直的平面有哪几个？[解析] 根据线面平行和垂直的概念判断即可．[答案](1)与直线11C B 平行的平面有：平面1AD 平面AC.(2)与直线11C B 垂直的平面有：平面,1B A 平面⋅1CD(3)与平面1BC 平行的平面有：平面⋅1AD(4)与平面1BC 垂直的平面有：平面1AB 平面⋅11C A 平面⋅1CD 平面AC.母题迁移2．下列关于长方体的叙述不正确的是( )．A ．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体B ．长方体中相对的面都相互平行C ．长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离D ．两底面之间的棱互相平行且等长考点4 用集合的语言表示平面中点、线、面之问的关系命题规律(1)用集合的语言理解点、线、面之间的关系，将点看作元素，线与面看作集合，,)2(l A ∈表示点A 在直线L 上α⊂l ;表示L 是平面α内的一条直线．[例4] 若点Q 在直线b 上，b 在平面β 内，则β、、b Q 之间的关系可记作( )．C.Qcbcpβ∈∈⋅b Q A β⊂∈⋅b Q B β⊂⊂⋅b Q C β∈⊂⋅b Q D[试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析]本题考查用集合的语言表示点、线、面之间的关系，关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系，直线与平面是集合与集合之间的关系.解法一（直接法）： ∵点Q 在直线b 上，.b Q ∈∴又 ∵ 直线b 在平面β内，⋅⊂∈∴⊂∴ββb Q b ,答案为B ．解法二（排除法）： ∵ 点Q 与直线b 的关系是元素与集合之间的关系，∵ 只能用符号“”∈或“∉”表示∴ 排除C 和D(容易出现β∈⊂b b Q 或类错误）又∵ b 与β是集合与集合之间的关系，∴ 应该用符号“””或“⊂/⊂来表示． ∴ A 应该排除，答案为B ．[答案] B[点拨]认清点与线、面的实质是元素与集合之间的关系，线与面是集合与集合之间的关系． 母题迁移 3．已知,,,,A b a b a m =⊂⊂= βαβα则直线m 与A 的位置关系用集合语言表示为____．优化分层测讯学业水平测试α、间的关系．1．识别图1 -1 -1 -4中的点A、线Z与面β2．如图1 -1 -1 -5所示，下列说法正确的是( )．A．表示直线a在a内B．将平面a延展就可以表示直线a在a内C．因为直线是无限延伸的，所以直线a不在a内D．不可以表示直线a在d内，因为画法不对3．已知下列四个命题：①很平的桌面是一个平面；②一个平面的面积可以是4 m 2；③平面是矩形或平行四边形；④两个平面叠在一起比一个平面厚，其中正确的命题个数是( )．A.O个B.l个C.2个D.3个4．长方体有个面，条棱，个顶点；长方体的六个面都是．5．给出下列四个命题：①平行四边形是一个平面；②任何一个平面图形都是一个平面；③空间图形中，先画的是实线，后画的是虚线；④直线平行移动，不但可以形成平面，而且也可以形成曲面．其中正确命题的序号为．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．下列说法中表示平面的是( )．A．平静的水面 B．黑板面C．桌面 D．铅垂面2．下列说法中错误的是( )．A．平面用一个希腊字母就可以表示B．平面可用表示平面的平行四边形对角顶点的两个英文字母表示C．三角形ABC所在的平面不可写成平面ABCD．-条直线和一个平面可能没有公共点3．图l -1 -1 -7四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的公共边折叠围成一个正方体且正方形互不重叠的图形是( )．4．如图1 -1 -1 -8所示的两个相交平面，其中画法正确的个数有( )．5. 若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分6.下列推理错误的是（ ） ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A A ,;,.AB B B A A B =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,;,.αα∉⇒∈⊂/A l A l C ,.,,.βα∈∈C B A C B A D h 、、且A 、B 、C 不共线βα与⇒重合7．下列命题中，正确命题的个数为( )．①桌面是平面；②一个平面长2米，宽3米；③用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；④空间图形是由空间中的点、线、面构成的．A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个8．（2009年全国高考卷Ⅱ）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是( )．A ．南B ．北C ．西D ．下二、填空题（5分x4 =20分）9一个立方体的六个面上分别标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图1 -1 -1 -10所示是此立方体的两种不同放置方式，则与D 面相对的面的字母不可能是10.当三个平面只有一条交线时，可以将空间分成____个部分；没有交线时，可以将空间分成____个部分；有三条交线，且两两互相平行时，可以将空间分成 个部分．11.如图1-1 -1 -11所示，在长方体1111D C B A ABCD 中，棱与棱11D A 异面的棱有____；与11D A 平行的平面有____；与棱11D A 垂直的平面有12.下列说法：①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD （水平放置）上各点沿铅垂线方向向上移动相同距离到矩形////D C B A 所形成的几何体；③长方体一个面上任一点到对面的距离相等．其中正确命题的序号是三、解答题（10分x4 =40分）13.按照给出的要求（如图l-1-1 -12），画出下面两个相交的平面，其中线段AB 是两个平面的交线．14.要将一个正方体模型展开成平面图形，需要剪断多少条棱？你的结论可以作为一条规律来用吗？15.将图1-1 -1 -13中的平面图形沿虚线折叠，制作几何体并将直观图画出来．16.如图1-1 -1 -14是边长为Im 的正方体，有一蜘蛛潜伏在A 处，B 处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．。

§1.1空间几何体1．1.1构成空间几何体的基本元素【学习要求】1．了解空间中点、线、面、体之间的关系．2．了解轨迹和图形的关系．3．初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．【学法指导】通过探究点、线、面之间的相互关系，掌握文字语言、符号语言、图示语言之间的相互转化；通过用集合论的观点和运动的观点讨论点、线、面、体之间的相互关系，培养从多角度、多方面观察和分析问题的能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体．2．长方体由六个矩形围成，围成长方体的各个矩形叫做长方体的面；相邻两个面的公共边叫做长方体的棱；棱和棱的公共点叫做长方体的顶点；长方体有 12 条棱， 8 个顶点．3．构成几何体的基本元素：点、线、面．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分．如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．那么构成几何体的基本元素有哪些？这些元素之间有怎样的关系？探究点一构成几何体的基本元素问题1平面几何研究的主要对象是什么？构成平面图形的基本元素是什么？答：平面图形；点与直线．问题2构成几何体的基本元素是什么？答：点、线、面．探究点二平面及其表示法问题1我们说平面图形是指由同一平面的点、线组成的图形，我们通常把平面这个词挂在嘴边，可什么叫平面呢？数学中怎样理解平面呢？如何表示平面？答：平面是从诸如桌面、墙壁、黑板面等现实的物理世界中抽象出来的．平面是处处平直的面，在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面，并把它想象成是无限延展的．问题2立体几何中，通常．．画平行四边形表示平面，那么对画出的平行四边形有怎样的要求？答：(1)画的平行四边形表示的是整个平面；(2)加“通常．．”二字的意思是因为有时根据需要也可以用其他平面图形来表示平面：如用三角形、矩形、圆等；(3)画图表示平面的平行四边形时，通常将其画成长边是短边的2倍．问题3平面怎样命名？答：平面一般用一个希腊字母α，β，γ，…来命名，还可用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名，例如平面α，β，平面ABCD或平面AC等．问题4从集合的角度来看，点、线、面、体之间有怎样的相互关系？答：点是元素，直线是点的集合，平面是点的集合，直线是平面的子集．问题5从运动学的角度解释点、线、面、体之间的相互关系是怎样的？答：(1)点运动成直线和曲线；(2)直线有两种运动方式：平行移动和绕点转动．平行移动形成平面和曲面；绕点转动形成平面和曲面；(3)面运动成体．探究点三点、线、面之间的位置关系问题1如何用运动观点来理解空间基本图形之间的关系呢？答：(1)在几何中，可以将线看成点运动的轨迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段．同样，一条线运动的轨迹可以是一个面，面运动的轨迹(经过空间的部分)可以形成一个几何体．(2)直线平行移动，可以形成平面或曲面，也就是说曲面可以包含直线；直线绕定点转动，可以形成锥面．问题2点和线有怎样的位置关系？直线与直线有怎样的位置关系？答：点在线上或点在线外．平行，相交，既不平行也不相交．问题3直线和平面有怎样的位置关系？平面和平面有怎样的位置关系？答：在平面内，平行，相交．平行，相交．问题4怎样说明直线和平面平行？怎样说明直线与平面垂直？答：直线和平面没有公共点，我们说直线和平面平行．如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线与平面垂直．问题5怎样说明两个平面平行？如何说明两个平面互相垂直？答：如果两个平面没有公共点，则说这两个平面平行．如果两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，我们说这两个平面互相垂直．例1如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？(2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC′平行的平面有哪几个？(4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？(5)平面AC与平面A′C′间的距离可以用哪些线段来表示？解：(1)有平面ADD′A′与平面ABCD；(2)有平面ABB′A′、平面CDD′C′；(3)有平面ADD′A′；(4)有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′与平面ABCD；(5)可用线段AA′，BB′，CC′，DD′来表示．小结：如果直线AA′垂直于平面ABCD的两条相交直线，我们说直线AA′就垂直于平面ABCD，A为垂足，记作直线AA′⊥平面AC，直线AA′称为平面AC的垂线，平面AC称作直线AA′的垂面．线段AA′为点A′到平面AC 内的点所连线段中最短的一条，线段AA′的长称作点A′到平面AC的距离．跟踪训练1判断以下说法的正误：(1)长方体是由六个平面围成的几何体；(2)长方体ABCD—A′B′C′D′可以看作矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；(3)长方体一个面内的所有点到其对面的距离都相等．解：(1)错误．因为长方体由六个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别．(2)正确．(3)正确．例2判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)平面的形状是平行四边形；(2)任何一个平面图形都是一个平面；(3)圆和平面多边形都可以表示平面；(4)若S▱ABCD>S▱A′B′C′D′，则平面ABCD大于平面A′B′C′D′；(5)用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界．解：(1)不正确．平行四边形只是平面的一种表示方式，它不能延展，而平面能无限延展，平面没有确定的形状；(2)不正确．任何一个平面图形，如点、线都不是平面；角、圆、多边形等都是平面的一部分，而不是平面；(3)正确．这样的图形可以表示平面，点、线这样的平面图形是平面的基本元素；(4)不正确．平面是不可度量的，不涉及大小；(5)不正确．平面是无限延展的，无边界．小结：本题主要考查平面的特征等基础知识以及空间想象能力．跟踪训练2下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：平面无大小、无厚度、无边际，所以只有④是正确的．练一练：当堂检测、目标达成落实处1．下列关于平面的说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．平面是有厚薄的C．平面是有边界线的D．平面是无限延展的解析：平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形并不是一个平面．由于平面是无限延展的，故选D.2．下列说法正确的是()A．在空间中，一个点运动成直线B．在空间中，直线平行移动形成平面C．在空间中，直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体解析：一个点运动也可以成曲线，故A错；在空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B错；在空间中，矩形上各点沿铅垂线向上(或向下)移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错．3．以下结论中不正确的是()A．平面上一定有直线B．平面上一定有曲线C．曲面上一定无直线D．曲面上一定有曲线解析：由于直线平行移动可以形成平面或曲面，所以曲面上不一定无直线，故C不正确．课堂小结：1．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．3．平面的记法(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；(2)平面图形顶点法．4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．。