构成空间几何体的基本元素

【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 构成空间几何体的基本元素2. 棱柱、棱锥和棱台的结构特征3. 圆柱、圆锥、圆台和球二. 教学目的1. 认识构成空间几何体的基本元素2. 掌握柱、锥、台和球的结构特征三. 教学重点、难点1. 柱、锥、台和球的结构特征2. 学生看图、识图的能力的培养和尝试模型制作四. 知识分析我们生活的世界有各种各样的物体，我们总是试着去观察它们，区分它们。

区分这些物体的方法很多，但最直接的方法是什么呢？对，是它们占有空间部分的形状和大小。

这也是我们研究几何体的方向和内容。

（一）构成空间几何体的基本元素但是什么是几何体呢？我们将要认识和研究几何体的哪些方面的问题？几何体指的是一个物体所占有的空间部分。

常见的有柱体、锥体、台体、球体等等。

（见上图）同学们应该明确一点就是几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分，或者说它是有皮有瓤的。

我们研究几何体，不用理睬它的物理性质和化学成分，不用关心它的历史，也不用研究它的经济价值，而只考虑它的形状和大小，研究一下它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等等就行了。

我们现在要学习的内容是立体几何初步，它包括两节内容：第一节是空间几何体，第二节是点、线、面之间的位置关系。

学习的重点是认识柱、锥、台、球的结构特征，会用平行投影法、中心投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台、球等几何体的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容，其他部分也就迎刃而解了。

现在，同学们先观察你的周围，发现了哪些几何体？你都认识它们吗？在我们认识的几何体中，最熟悉的莫过于长方体了，你能说出长方体的结构特征吗？观察长方体，会发现它的表面有六个矩形，我们把这六个矩形（含矩形内部）称为长方体的面，相邻两个面的公共边叫做长方体的棱，长方体的三条两两相交成直角的棱交会到一点，就是长方体的顶点。

空间几何体的结构____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．概括简单组合体的结构特征．1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间几何体的基本元素．(2)平面及其表示方法：①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．②平面的表示方法：图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名．深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。

空间几何体的概念与结构空间几何体的基本元素：1．几何体：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．2．构成几何体的基本元素：点、线、面．3．多面体：由若干个平面多边形所围成的封闭的几何体．凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的截面．例：按照要求完成下面两个相交平面的作图，图中AB 表示两个平面的交线：经典精讲：考点1：空间几何体基本元素的认识【例1】 ⑴下面四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中不能沿两个正方形相邻边折叠成一个正方体的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．体对角线面对角线C'B'A'C BA顶点棱面截面D'D非凸多面体BA ABABBAA BBA⑵如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A ，B ，C 对面的字母分别是________．⑵如图，模块⑵~⑵均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑵由15个棱长为1的小正方体构成，现从模块⑵~⑵中选出3个放到模块⑵上，使得模块⑵成为一个棱长为3的大正方体，则能够完成任务的模块为________．多面体的结构特征1．棱柱：特殊直棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱． 特殊的四棱柱：D ACC EBACB 模块①模块②模块③模块④模块⑤模块⑥底面是正方形底面为长方形底面是平行四边形长方体直平行六面体平行六面体高侧棱对角面侧面底面考点2：棱柱的基本概念【例2】 下列关于棱柱的命题，其中真命题的序号是________．⑵ 棱长相等的直四棱柱是正方体；⑵ 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； ⑵ 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑵ 若两个过相对棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ⑤若侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；⑵ 若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱；⑵ 若底面是正方形，且有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为正四棱柱； ⑵ 若每个侧面都是全等的矩形，则该四棱柱为正四棱柱；⑵ 若底面是正方形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱为正四棱柱； ⑵ 若底面是正方形，且有两个侧面是矩形，则该四棱柱为正四棱柱．考点3：棱柱的结构与性质【例3】⑵正方体的对角线长为l ，则侧面对角线长是（ ）Ａ．2⑵，这个长方体的对角线长为_____．2．棱锥：正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高． 正四面体：各棱长都相等的正三棱锥．侧面底面ABCDE对角面SAC高侧棱HS E AB C DSCBAEDSCBAS HOABCD考点4：棱锥的基本概念【例4】 下列关于棱锥的命题，其中真命题的序号是________．⑵ 棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥；⑵ 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ⑵ 棱锥的高线可能在几何体之外；⑵ 若底面为正多边形，则该棱锥为正棱锥； ⑵ 若各侧棱都相等，则该棱锥为正棱锥；⑵ 若各侧面都是等腰三角形，则该棱锥为正棱锥； 考点5：正棱锥的结构与性质【铺1】 正四棱锥的斜高为2，求中截面(即过高线的中点且平行于底面的截面)的面积．【例5】 已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面的截面111A B C △的面积，并求S ABC V -．3．棱台：正棱台：由正棱锥截得的棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高． 右图为一个正三棱台，记为棱台ABC A B C '''-，侧棱AA '，BB '，CC '延长后必交于一点．O O '，为上下底面的中心，它们的连线O O '是棱台的高，H H '是棱台的斜高．例：判断下列说法是否正确．⑵ 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；（ ） ⑵ 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；（ ） ⑵ 上、下底面为相似的正多边形的棱台一定是正棱台．（ ）O'OH'HA BCA'B'C'AC侧面侧棱高下底面上底面表中c c '、分别表示上、下底面周长，表示高，表示斜高．考点6：正棱台的结构与性质【例6】 ⑵正四棱台的侧棱长为19，两底面边长分别是4和16，它的表面积和体积分别为_______．⑵正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分别为 ．旋转体的结构特征：1．圆柱、圆锥和圆台：12下底面半径．考点7：旋转体的结构与性质【例7】 ⑵用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是14∶，截去的圆锥的母线长是3，求圆台的母线长．⑵如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为18π，那么此圆锥的母线与轴的夹角等于 ；⑶圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于2392cm ，母线与底面的夹角是45︒，求这个圆台的母线长．h h '【例8】 ⑵已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．⑵有一个轴截面是边长为4的正方形的圆柱，将它的内部挖去一个与它同底等高的圆锥，求余下来的几何体的表面积与体积．⑵如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，135ADC ∠=︒，5AB =，CD =，2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．2．球与球面：球的表面积和体积公式：24πS R =表，34π3V R =． 考点8：球的截面【例9】 ⑵已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别为12π和16π，求这两个截面间的距离．⑵设M N ，是球O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过N M O ，，作垂直于OP 的平面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为( )A ．3:5:6B ．3:6:8C ．5:7:9D ．5:8:9A BCD。

构成空间几何体的基本元素【教学过程】一、问题导入我们已经知道，长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体（几何体也简称为“体”），包围着几何体的是“面”，面与面相交给人“线”的形象，线与线相交给人“点”的形象。

这就是说，可以将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素那么空间中的点、线、面与几何体之间的关系是如何的呢？二、新知探究1平面概念的理解【例1】下列判断正确的是________．①平面是无限延展的；②一个平面长3 cm，宽4 cm；③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内．①④[①正确．平面是无限延展的．②不正确．平面没有大小．③不正确．平面没有厚薄．④正确．平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内．]【教师小结】（1）准确理解平面与平面图形的区别与联系是解题的关键．（2）平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形，但平面图形，如三角形、平行四边形、圆等是有大小的．（3）可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面，但不能说它们是平面．2从运动观点认识几何体【例2】如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线旋转一周形成的空间图形．① ② ③[思路探究]线的运动可以形成平面或曲面，观察AB 和的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．[解]① ② ③【教师小结】（1）点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．（2）在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟． 3长方体中基本元素之间的关系 [探究问题]1．射线运动后的轨迹是什么？[提示]水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面． 2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．[提示]面可以列举如下：平面1221A A B B ，平面1221A A D D ，平面1221C C D D ，平面1221B B C C ，平面1111A B C D ，平面2222A B C D ； 线可以列举如下：直线1AA ，直线1BB ，直线1CC ，直线1DD ，直线22A B ，直线22C D 等； 点可以列举如下：点A ，点1A ，点B ，点1B ，点C ，点1C ，点D ，点1D ，点2A ，点2B ，点2C ，点2D ； 它们共同组成了课桌这个几何体．【例3】在长方体ABCD A B C D ''''-中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，（1）与直线B C ''平行的平面有哪几个？ （2）与平面BC '平行的平面有哪几个？[思路探究]观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．[解]（1）与直线B C ''平行的平面有平面ABCD ，平面ADD A '' （2）与平面BC '平行的平面为平面AD '1．（1）与直线B C ''垂直的平面有哪几个？ （2）与平面BC '垂直的平面有哪几个？ [解]（1）有平面AB '，平面CD '（2）有平面AB '，平面A C ''，平面CD '，平面AC2．本例中与棱A D ''相交的棱有哪几条？它们与棱A D ''所成的角是多少？ [解]有A A '，A B ''，D D '，D C ''由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A D ''所成角都是90︒3．本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面A B '与面D C '之间的距离？ [解]A D ''，B C ''，BC ，AD 的长均可以表示． 【教师小结】 （一）平行关系的判定（1）直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”1AA ，1BB ，1CC ，1DD 相互平行；“长”AB ，DC ，11A B ，11D C 相互平行；“宽”AD ，BC ，11A D ，11B C 相互平行．（2）直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行．（3）平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行． （二）垂直关系的判定（1）直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．（2）平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直． 三、课堂总结1．本节课的重点是认识构成空间几何体的基本元素及其之间的关系和直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，难点是理解平面的无限延展性．2．本节课要重点掌握的规律方法 （1）平面与平面图形的区别与联系； （2）用运动的观点认识几何体； （3）平行与垂直关系的直观判断． 3．本节课的易错点是对平面的概念理解四、课堂检测1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．（ ） （2）直线的移动只能形成平面．（ ） （3）平静的太平洋就是一个平面．（ ） [答案]（1）√ （2）× （3）×[提示]（1）正确．（2）直线移动可能形成曲面，故错误． （3）平面是没有大小的，故错误． 2．下列结论正确的个数有（ ）①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线．A ．3个B ．4个C ．5个D ．2个B [只有⑤不正确．]3．线段AB 长为5 cm ，在水平面上向右移动4 cm 后记为CD ，将CD 沿铅垂线方向向下移动3 cm 后记为C D ''，再将C D ''沿水平方向向左移动4 cm 后记为A B ''，依次连接构成长方体ABCD A B C D ''''-（1）该长方体的高为________cm ；（2）平面A B BA ''与平面CDD C ''间的距离为________cm ； （3）点A 到平面BCC B ''的距离为________cm （1）3 （2）4 （3）5[如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中， 5 cm AB =， 4 cm BC =， 3 cm CC '=，∴长方体的高为3 cm ；平面A B BA ''与平面CDD C ''之间的距离为4 cm ；点A 到平面BCC B ''的距离为5 cm ]4．如图，画出（1）、（2）中L 围绕旋转一周形成的空间几何体．（1） （2）[解]（1）L 绕直线旋转一周，所得几何体是由两个底面重合的圆锥拼接而成的，如图（1）；（2）L 绕直线旋转一周，所得几何体是由圆台挖去一个与其上底面同底的圆锥，再拼接一个与其下底面同底的圆锥而成的，如图（2）．（1）（2）。

空间几何体知识讲解一、构成空间几何体的基本元素1.几何体的概念概念：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．2.构成几何体的基本元素：点、线、面（1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A B C L ，，来命名；（2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般 用一个小写字母a b l L ，，或用直线上两个点AB PQ L ，表示； 一条直线把平面分成两个部分．（3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；DCBAα其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母αβγL ，，来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面α，平面ABCD 或平面AC ； 一个平面将空间分成两个部分．3.用运动的观点理解空间基本图形间的关系理解：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体．二、多面体的结构特征1.多面体1）多面体的定义由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点 的线段叫做多面体的对角线． 2）多面体的分类按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．否则就叫做凹多面体．按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等． 3）简单多面体定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体；欧拉公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 和棱数E 有关系2V F E +-=． 4）正多面体定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体； 正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这5种；经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心，且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等．2.棱柱1）棱柱的定义由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．下图中的棱柱，两个底面分别是面ABCD ，A B C D ''''，侧面有ABBA''，DCC D ''等四个，侧棱为AA BB CC DD ''''，，，，对角面为面ACC A BDD B ''''，，A H '为棱柱的高．D C BAHA 'D 'B 'C'2）棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等． 3）棱柱的分类按底面分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……； 按侧棱是否与底面垂直分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱； 4）棱柱的记法①用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱； ②用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱．例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱''''ABCD A B C D 或棱柱'AC 等． 5）特殊的四棱柱：平行六面体四棱柱底面是平行四边形侧棱与 底面垂直正四棱柱底面是平行四边形直平行六面体底面为 正方形直四棱柱侧棱与 底面垂直底面为 长方形长方体底面是正方形侧面也为 正方形正方体棱长都相等的长方体3.棱锥1）棱锥的定义当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高． 2）棱锥的分类底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……；底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．对角面SACE高侧棱侧面底面ABCDEHSDCBA3）棱锥的记法用顶点和底面各顶点的字母表示或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表示．如上图的五棱锥记为棱锥S ABCDE -或棱锥S AC -．4.棱台1）棱台的定义棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高． 2）棱台的性质棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例； 3）棱台的记法用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示． 4）正棱台由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．HH'O'OC'B'A'CBA右图为一个正三棱台，记为棱台ABC A B C '''-，侧棱AA '，BB '，CC '延长后必交于一点．O ，O '为上下底面的中心，它们的连线O O '是棱台的高，H H '是棱台的斜高．三、旋转体的结构与特征1.圆柱、圆锥和圆台定义：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示． 性质：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．SOO'OAA'A2.球球的定义：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面．半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径．一般用球心的字母表示一个球．四、三视图1.投影定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．FMlF 'M '2.平行投影定义：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．3.正投影概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．4.中心投影定义：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影的直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何中，一般用平行投影原理来画图．5.三视图1）正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图形称为几何体称为正视图（主视图）.2）侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图形称为几何体称为侧视图（左视图）.3）俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图形称为几何体称为俯视图.将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．如右图为圆锥的三视图：俯视图主视图5.三视图的对应关系关系：正俯视图长相等、正侧视图图的高相等、俯侧视图图的宽相等，简称“长对正，宽平齐，高相等”或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．五、直观图1.定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法2.斜二测画法规则1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使90xOz ∠=︒，90yOz ∠=︒．（三维空间中） 2）画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O x O y O z ''''''，，，使45x O y '''∠=︒或135︒，90x O z '''∠=︒，x O y '''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上） 3）已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴，'y 轴或z ' 的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．4）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．五、简单空间几何体的表面积和体积1.直棱柱与圆柱的侧面积()S S ch =直棱柱侧圆柱，其中c 为底面的周长，h 为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2.正棱锥（圆锥）的侧面积11''22S ch nah ==正棱锥侧，其中a 为底面边长，'h 为斜高；1π2S cl rl ==圆锥侧，其中c 为底面周长，r 为圆锥的底面半径，l 为母线长；3.正棱台（圆台）的侧面积1(')'(')'22nS c c h a a h =+=+正棱台侧，其中,'a a 分别是正棱台上下底面的边长，'h 为斜高；4.球面面积：24πS R =球，R 为球的半径．5.柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V Sh =柱体，其中S 为底面积，h 为高；6.棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：13V Sh =棱体，其中S 为底面积，h 为高；7.台体（棱台，圆台）的体积公式： 1(')3V h S S =+台体，其中',S S 分别是台体上，下底面的面积，h 为台体的高；8.球的体积公式：34π3V R 球，R 为球的半径典型例题一．选择题（共8小题）1．（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A． B． C． D．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．2．（2016•汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选：B．3．（2018•郑州一模）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选：B．4．（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C． D．【解答】解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C．5．（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．6．（2016•新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．πC．8πD．4π【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故选：A．7．（2015•新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．8．（2017•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+3【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1，故选：A．二．填空题（共4小题）9．（2017•上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．10．（2011•南通三模）底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．【解答】解：如图所示，正三棱锥S﹣ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△ABC的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO中，．于是，，．所以．故答案为11．（2016•黄浦区一模）两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．【解答】解：设大球的半径为r，则根据体积相同，可知，即．故答案为：．12．（2015•盐城校级模拟）已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为2π．【解答】解：根据题意，圆柱的底面半径r=1，母线长l=2r=2∴圆柱的体积为V=Sl=πr2l=π×12×2=2π．故答案为：2π．三．解答题（共3小题）13．（1965•全国）如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积．【解答】解：二视图表示的是一个正六棱锥，其棱长为2a．底面边长为a，故底面积，棱锥的高，故正六棱锥的体积，，=．14．已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的底面边长为a，侧棱长为a（1）求它的外接球的体积（2）求他的内切球的表面积．【解答】解：（1）由题意，四棱锥为正四棱锥，∵该四棱锥的侧棱长为a，底面是边长为a的正方形，∴四棱锥的高为a，设外接球的半径为R，则有R2=（a）2+（a﹣R）2，∴R=a，∴外接球的体积为=；（2）设内切球的半径为r，则，∴r=a∴表面积为4πr2=．15．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．【解答】解：（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，由各个侧面都是矩形，得出侧棱垂直于底面，是直棱柱；所以这样的几何体是正六棱柱；（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形，这样的几何体是正四棱锥．。