湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(一)数学(文)试卷及答案解析

2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（一）数学（文科）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1．已知集合{}{}2lg(4),2,0,1,2A x y x B ==-=-，则A B =A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,01,2-2．在复平面内，复数121i i-+的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3执行如图所示的程序图，如果输入1a =，2b =，则输出的a 的值为A ．7B ．8C ．12D ．164．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．3C ．4D ．55．已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A ． 1.234y x ∧=+B ． 1.230.8y x ∧=+C ． 1.230.08y x ∧=+D ． 1.230.08y x ∧=-6．在数列{}n a 中，11a =，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，则20193log a 等于 A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．20207．设()s i n ()c o s ()5f x a x b x παπβ=++++，且(2018)2f =，则(2019)f 等于 A ．2 B ．2- C ．8 D ．8-8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为A ．32π B．π．52π+．32π+9．将函数sin 2y x =的图象向右平移16π个单位后得到的函数为()f x ，则函数()f x 的图象 A ．关于点（12π，0）对称 B ．关于直线12x π=对称 C ．关于直线512x π=对称 D ．关于点（5,012π）对称 10．若函数6,2()(03log ,2x a x x f x a x -+≤⎧=>⎨+>⎩且1a ≠）的值域是［4，＋∞），则实数a 的取值范围是A ．(1,2]B ．(0,2]C ．[2,)+∞ D．(1 11．已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是饨角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(1,2) C．[1,1 D ．(2,)+∞12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为△ABC 所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．32-B ．2-C ．43- D ．1- 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分13．锐角△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，△ABC 的面积为BC ＝_______。

雅礼中学2019届高三月考试卷(三)数学(文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第I 卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个，选项中只有一个选项是符合题目要求的．1(i 为虚数单位)等于 A.1 B ．1- C ．i D ．i -2．若集合{13,11,A y y x x B x x A B ⎧⎫==-≤≤==⋂=⎨⎬⎩⎭，则A.(]1-∞，B.[]11-，C.∅D.{}13．已知向量()1,2a =，向量()(),2,b x a a b =-⊥-且，则实数x 等于A.9B.4C.0D.4-4．已知{}n a 为等差数列，若()15928cos a a a a a π++=+，则的值为A.12- B ． C.12 D 5．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=(a 是实数)的距离为1，则a 等于A.1±B.±C. D ．±6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是,,a b c ，若角,,,3B a b c π=成等差数列，且6ac b =，则的值是7．如图，函数()y f x =的图象在点()()5,5P f 处的切线方程是()()855y x f f '=-++=，则 A.12 B.1 C.2 D.08．若将函数cos y x x =的图象向左平移()0m m >个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为 A.6π B.3π C.23π D.56π 9．不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于 A.32 B.23 C.43 D.3410．阅读右边的程序框图，则输出的S=A.14B.20C.30D.5511.函数()2,0,4sin ,0,x x f x x x π⎧≤=⎨<≤⎩则集合()(){}0x f f x =中元素的个数有A.2个B.3个C.4个D.5个12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()(),2f x f x f x -=--=()2,f x +x ∈且 ()1,0-时，()()()2122018log 205x f x f f =++=，则A.1 B ．45 C.1- D ．45- 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是____________cm 3．14.已知()2810,0x y x y x y+=>>+，则的最小值为__________． 15．已知()1,4,A F 是双曲线221412x y -=的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为_____________．16．若关于x 的不等式()2221x ax -<的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是___________．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()111,1n n a S a n N *+==-∈． (1)证明数列{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若()21log nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2项的和2n T ．18．(本小题满分12分)如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2,AD PA CD E F ===、分别是AB 、PD的中点．(1)求证：AF ⊥平面PCD ．(2)求三棱锥P EFC -的体积．为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n名学生的数学成绩(百分制)作为样本；按成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80)中的人数为20．(1)求a和n的值；(2)根据样本估计总体的思想，估计该校高三学生数学成绩的平均数x和中位数m；(3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50，80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：()()()()()22,n ad bcK n a b c da b c d a c b d-==+++ ++++．20．(本小题满分12分)知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A、B两点，若16AB=．(1)求抛物线的方程；(2)若AB的中垂线交抛物线于C、D两点，求过A、B、C、D四点的圆的方程．已知函数()1ln f x a x x =+． (1)若()12x f x =是的极值点，求a 的值，并求()f x 的单调区间； (2)在（1）的条件下，当0m n <<时，求证：()()22112.2m n f m n f n n m n --+-<++．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)(坐标系与参数方程)已知圆的极坐标方程为2cos 604πρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭． (1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点(),P x y 在该圆上，求x y +的最大值与最小值的和．23．(本小题满分10分)(不等式选讲)已知函数()f x x a =-．(1)若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．。

雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将答题卡依序排列上交。

8、本科目考试结束后，请将试卷自行保管，以供教师讲评分析试卷使用。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1．已知命题p ：2,0x R x ∀∈>，则A ．命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为假命题 B ．命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为真命题C ．命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为假命题D ．命题p ⌝：200x ∃≤，为真命题2．已知i 是虚数单位，则41()1i i+-等于 A ．i B ．—i C ．1 D ．—1 3．“上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是 A ．13 B ．16 C ．14 D ．1124．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，一2），则它的离心率为A B C D 5．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，则()()AB AC AB DB +⋅-的值为A ．32-B ．32C ．34-D ．346．已知0x 是11()()2x f x x=+的一个零点，1020(,),(,0)x x x x ∈-∞∈，则A ．f (x 1)<0,f (x 2)<0B ．f (x 1)>0,f (x 2)>0C ．f (x 1)>0,f (x 2)<0D ．f (x 1)<0,f (x 2)>07．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且a 1、12a 3、2a 2成等差数列，则91078____a a a a +=+A ．3+B ．1C ．1D ．3-8．函数2sin 2xy x =的部分图象可能是9．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π10若函数()sin(2))()2f x x x πθθθ=+++<的图象关于点(,0)6π对称，则f （x ）的单调速增区间为A ．5[,],36k k k z ππππ++∈ B ．[,],63k k k z ππππ-++∈C ．7[,],1212k k k z ππππ-+-+∈D ．5[,],1212k k k z ππππ-++∈ 11．设函数22()()(),,()x f x x t e t x R f x b =-+-∀∈≥恒成立，则实数b 的最大值为A B ．12 C ．1 D ．e12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为A ．3 B ．23 C ．1 D ．2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21題为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23題为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知函数2()2()log xa f x +=，若f （2）＝0，则a ＝_____。

雅礼中学2019届高三月考试卷(三)数 学(文科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第I 卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个，选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．复数313i i +-(i 为虚数单位)等于 A.1 B ．1- C ．i D ．i -2．若集合{}13,11,1A y y x x B x x x A B ⎧⎫==-≤≤==-⋂=⎨⎬⎩⎭，则A. (]1-∞，B. []11-，C. ∅D. {}13．已知向量()1,2a =，向量()(),2,b x a a b =-⊥-且，则实数x 等于A.9B.4C.0D. 4-4．已知{}n a 为等差数列，若()15928cos a a a a a π++=+，则的值为 A. 12- B ．32- C. 12 D ．32 5．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=(a 是实数)的距离为1，则a 等于A. 1±B. 24±C. 2± D ．32± 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是,,a b c ，若角,,,3B a b c π=成等差数列，且6ac b =，则的值是A. 2B. 3C. 5D. 67．如图，函数()y f x =的图象在点()()5,5P f 处的切线方程是()()855y x f f '=-++=，则 A. 12 B. 1 C. 2 D.08．若将函数cos 3sin y x x =-的图象向左平移()0m m >个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为 A. 6π B. 3π C. 23π D. 56π9．不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于 A. 32 B. 23 C. 43 D. 3410．阅读右边的程序框图，则输出的S=A.14B.20C.30D.5511.函数()2,0,4sin ,0,x x f x x x π⎧≤=⎨<≤⎩则集合()(){}0x f f x =中元素的个数有A.2个B.3个C.4个D.5个12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()(),2f x f x f x -=--=()2,f x +x ∈且()1,0-时，()()()2122018log 205x f x f f =++=，则 A.1 B ．45 C. 1- D ．45-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是____________cm 3．14.已知()2810,0x y x y x y+=>>+，则的最小值为__________． 15．已知()1,4,A F 是双曲线221412x y -=的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为_____________．16．若关于x 的不等式()2221x ax -<的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是___________．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()111,1n n a S a n N *+==-∈．(1)证明数列{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)若()21log n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2项的和2n T ．18．(本小题满分12分)如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2,22,AD PA CD E F ===、分别是AB 、PD 的中点．(1)求证：AF ⊥平面PCD ．(2)求三棱锥P EFC -的体积．19．(本小题满分12分)为了了解某学校高三年级学生的数学成绩，从中抽取n 名学生的数学成绩(百分制)作为样本；按成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80)中的人数为20．(1)求a 和n 的值；(2)根据样本估计总体的思想，估计该校高三学生数学成绩的平均数x 和中位数m ；(3)成绩在80分以上(含80分)为优秀，样本中成绩落在[50，80)中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95％的把握认为数学成绩优秀与性别有关．参考公式和数据：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．20．(本小题满分12分)知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线交于A 、B 两点，若16AB =．(1)求抛物线的方程；(2)若AB 的中垂线交抛物线于C 、D 两点，求过A 、B 、C 、D 四点的圆的方程．21.(本小题满分12分)已知函数()1ln f x a x x =+． (1)若()12x f x =是的极值点，求a 的值，并求()f x 的单调区间； (2)在（1）的条件下，当0m n <<时，求证：()()22112.2m n f m n f n n m n --+-<++．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)(坐标系与参数方程) 已知圆的极坐标方程为242cos 604πρρθ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭． (1)将圆的极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点(),P x y 在该圆上，求x y +的最大值与最小值的和．23．(本小题满分10分)(不等式选讲)已知函数()f x x a =-．(1)若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．。

炎德·英才大联考雅礼中学2025届高三月考试卷（一）语文本试卷共四道大题，23道小题，满分150分。

时量150分钟。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一：积极情绪（Positive Emotion）可以定义为正面的情绪或者具有正面向上价值的情绪。

情绪的认知理论认为，“积极情绪就是在目标实现过程中取得进步或得到他人积极评价时所产生的感受。

”由此可见，积极情绪就是经历了内在、外在的刺激，正确地解决了问题，达到某种成功与满意度，满足了个体的需求，感觉到个体的存在价值伴有随之而来的愉悦的心情与感受。

积极情绪并不是消极接受、坦然享受、乐不思蜀的感觉。

这些只是浅薄的感受，即时地享乐。

积极情绪拓展到更深的层面——从欣赏到热爱。

它并不是简单的迷恋，而是一种真心喜欢、经过努力而获得的欢愉、欣喜。

“积极情绪”这个词，指向了重要的人性瞬间。

那些轻微而短暂的愉悦状态，其实要比你想象的强大得多。

作为人类，生来就能够体验到微弱短促却愉悦舒畅的积极情绪。

它有着不同的形态和滋味。

回想一下，当感到与他人或与所爱的人心灵相通时；当感到有趣、有创意或忍俊不禁时；当感到自己的灵魂被蕴含在生命中的纯粹的美所打动时；或者当因一个新颖的主意或爱好而感到活力无限、兴致勃勃时，你都会不由自主地产生爱、喜悦、感激、宁静、兴趣和激励这样的积极情绪，它们会打开你的心扉。

然而，无论是迷恋、欢笑还是爱，你由衷的积极情绪总是无法持续很长的时间。

良好的感觉来了又去，就如同好天气一样，这是人类的本性。

积极情绪会逐渐消退，如果它长盛不衰，人们会很难适应变化，无法觉察到好消息和坏消息之间的差异，或是邀请与冒犯之间的差异。

如果你想重塑生活，让它变得更美好，秘诀就是不要把积极情绪抓得太紧，也不要抗拒它稍纵即逝的本性，而是将它更多地植入生活——久而久之，你就会提高积极情绪的分量。

我们发现，在这一秘诀中最重要的是积极率，这是用来描述积极情绪与消极情绪的数量关系的一种方法。

雅礼中学2019届高三月考试卷（一）数学（文科）第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.已知集合，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B．【详解】，∴故选：A【点睛】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质化简复数z，求出其共轭复数，从而得到答案.【详解】∵复数===﹣1﹣3i，∴，它在复平面内对应点的坐标为（﹣1，3），故对应的点位于在第二象限，故选：B．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的除法，共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3.执行如图所示的程序图，如果输入，，则输出的的值为A. 7B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，依次判断是否满足条件即可得到结论．【详解】若输入a=1，b=2，则第一次不满足条件a＞6，则a=2，第二次不满足条件a＞6，则a=2×2=4，第三次不满足条件a＞6，则a=4×2=8，此时满足条件a＞6，输出a=8，故选：B．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和运行，依次判断是否满足条件是解决本题的关键，比较基础．4.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=2x+y转化为y=﹣2x+z，结合函数图象求出z的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（2，1），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线y=﹣2x+z过（2，1）时，z最大，故z的最大值是：z=4+1=5，故选：D．【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，即可得到结果．【详解】由条件知，，设回归直线方程为，则.∴回归直线的方程是故选：C【点睛】求解回归方程问题的三个易误点：（1）易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．（2）回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(，)点，可能所有的样本数据点都不在直线上．（3）利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．6.在数列中，，数列是以3为公比的等比数列，则等于A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】B【解析】【分析】由等比数列通项公式得到，再结合对数运算得到结果.【详解】∵，数列是以3为公比的等比数列，∴∴故选：B【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查指对运算性质，属于基础题.7.设，且，则等于A. 2B.C. 8D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用诱导公式求得asinα+bcosβ=﹣3，再利用诱导公式求得f（2019）的值．【详解】∵∴即而=8故选：C【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，体现了整体的思想，属于基础题．8. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和．又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为，底面积为，由三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为，则该几何体的表面积为．选D考点：几何体的表面积，三视图9.将函数的图象向右平移个单位后得到的函数为，则函数的图象A. 关于点（，0）对称B. 关于直线对称C. 关于直线对称D. 关于点（）对称【答案】C【解析】【分析】利用平移变换得到，然后研究函数的对称性.【详解】将的图象右移个单位后得到图象的对应函数为，令得，，取知为其一条对称轴，故选：C.【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.10.若函数且）的值域是［4，＋∞），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+log a x≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【详解】当时，，要使得函数的值域为，只需的值域包含于，故，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．11.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若是钝角三角形，显然为钝角，因此，由于过左焦点且垂直于轴，所以，，，则，，所以，化简整理得：，所以，即，两边同时除以得，解得或（舍），故选择D.点睛：求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用.求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查. 12.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则的最小值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标系，则,设，所以，所以，，故选：A【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试題考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小題，每小题5分，共20分13.锐角中，，△ABC的面积为，则＝_______。

雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 已知命题2:,0p x R x ∀∈>，则（ ） A. 命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为假命题B. 命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为真命题C. 命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为假命题D. 命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为真命题2. 已知i 是虚数单位，则41()1i i+=-（ ） A. iB. i -C. 1D. —13. “上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是（ ） A.13B.16C.14D.1124. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为A.B.C.D.5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，则（AB +AC ）•（AB -DB ）的值为（ ） A. 32-B.32C. 34-D.346. 已知0x 是()112xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点,()()1020,,,0x x x x ∈-∞∈,则（ ） A. ()()120,0f x f x << B. ()()120,0f x f x >> C. ()()120,0f x f x ><D. ()()120,0f x f x7. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ）A. 1B. 1C. 3+D. 3-8. 函数y =||2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.9. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A.814πB. 16πC. 9πD.274π10. 若函数()sin(2))()2f x x x πθθθ=++<的图象关于点(,0)6π对称，则()f x 的单调速增区间为（ ） A. 5[,],36k k k z ππππ++∈ B. [,],63k k k z ππππ-++∈C. 7[,],1212k k k z ππππ-+-+∈ D. 5[,],1212k k k z ππππ-++∈ 11. 设函数22()()(),,()x f x x t e t x R f x b =-+-∀∈≥恒成立，则实数b 的最大值为（ ）A.B.12C. 1D. e12. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A.B.23C.2D. 1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 已知函数2()2()log xa f x +=，若()20f =，则a = _____.14. 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 . 15. 设ABC ∆内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且4cos ,25B b ==，则ABC ∆面积的最大值为_______.16. 已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，且2cos3n n n b a π=⋅，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S =_____．三、解答题：本大題共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域.18. 已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形，E 是侧棱PC 上的动点PC .（1）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．19. 二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x （单位年）与销售价格y （单位：万元／辆）进行整理，得到如下数据：下面是z 关于x 的折线图.的（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，求z 关于x 的回归方程，并预测当某辆A 型号二手车使用年数为9年时售价约为多少？（,b a 小数点后保留两位有效数字） （2）基于成本考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（1）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()()()nni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑,a y bx =-,6621147.64,139,2,ln1.460.38,ln 0.7110.34i ii i i x zx z =====≈≈-∑∑.20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为1,2F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线，交椭圆E 于,A B 两点，3AB =．（1）求椭圆E 的方程； （2）过圆22127x y +=上任意一点作圆切线交椭圆E 于,M N 两点，O 为坐标原点，问：OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由. 21. 已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中实数0a >． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()00,P x h x 处的切线的方程为()y g x =，当0x x ≠时，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为()y h x =的“类对称点”当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由.的请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点(0,2)P ，l 和C 交于A ，B 两点，求||+||PA PB . 不等式选讲23. 已知函数()223,()213f x x a x g x x =-++=++. （1）解不等式：()5g x <； （2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，毎小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 已知命题2:,0p x R x ∀∈>，则（ ） A. 命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，假命题B. 命题p ⌝：2,0x R x ∀∈≤，为真命题C. 命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为假命题D. 命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为真命题【答案】D 【解析】 【分析】命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【详解】命题2:,0p x R x ∀∈>，则命题p ⌝：200,0x R x ∃∈≤，为真命题的故选D【点睛】本题主要考查了命题的否定的写法，属于基础题． 2. 已知i 是虚数单位，则41()1i i+=-（ ） A. i B. i -C. 1D. —1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除法运算即可得到结果.【详解】41()1i i +-=()2441[]12i i +==， 故选C ．【点睛】本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.3. “上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是（ ） A.13B.16C.14D.112【答案】A 【解析】 【分析】先排好医字，共有23C 种排法，再排国字，只有一种方法. 【详解】幼童把这三张卡片进行随机排列， 基本事件总数n=23C =3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率p=13． 故选A【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．4. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2），则它的离心率为C.2【答案】D 【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-b ax, ∴-2=-b a×4, ∴a=2b.设b=k,则∴e=c a .5. 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，则（AB +AC ）•（AB -DB ）的值为（ ） A. 32-B.32C. 34-D.34【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到AD ，进而由线性运算及数量积运算得到结果. 【详解】∵ABC ∆是边长为1的等边三角形，D 为BC 中点，∴AD =而()()23222AB AC AB DB AD AD AD +⋅-===故选B【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.6. 已知0x 是()112xf x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个零点,()()1020,,,0x x x x ∈-∞∈,则（ ） A. ()()120,0f x f x << B. ()()120,0f x f x >> C. ()()120,0f x f x >< D. ()()120,0f x f x【答案】C 【解析】 【分析】已知x 0是()11()2xf x x =+的一个零点，可令h （x ）=1()2x ，g （x ）=﹣1x，画出h （x ）与g （x ）的图象，判断h （x ）与g （x ）的大小，从而进行求解；【详解】∵已知x 0是()11()2x f x x=+的一个零点，x 1∈（﹣∞，x 0），x 2∈（x 0，0），可令h （x ）=1()2x ，g （x ）=﹣1x，如下图：当0＞x ＞x 0，时g （x ）＞h （x ），h （x ）﹣g （x ）=112xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜0；当x ＜x 0时，g （x ）＜h （x ），h （x ）﹣g （x ）=112xx⎛⎫+ ⎪⎝⎭＞0； ∵x 1∈（﹣∞，x 0），x 2∈（x 0，0）， ∴f （x 1）＞0，f （x 2）＜0， 故选C ．【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．7. 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ）A. 1+B. 1C. 3+D. 3-【答案】C 【解析】试题分析：由已知3122a a a =+，所以21112a q a a q =+，因为数列{}n a的各项均为正，所以1q =，2229107878783a a a q a q q a a a a ++===+++C ．考点：等差数列与等比数列的性质．8. 函数y =||2x sin2x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A.814πB. 16πC. 9πD.274π【答案】A 【解析】【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，在Rt △1AOO 中，1AO =由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积10. 若函数()sin(2))()2f x x x πθθθ=++<图象关于点(,0)6π对称，则()f x 的单调速增区间为（ ）A. 5[,],36k k k z ππππ++∈ B. [,],63k k k z ππππ-++∈C. 7[,],1212k k k z ππππ-+-+∈ D. 5[,],1212k k k z ππππ-++∈ 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据图象关于点06π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，求出θ的值，然后根据正弦函数的单调增区间求函数f （x ）的单调增区间．【详解】f （x ）=sin （2x+θ）（2x+θ）， =2sin （2x+θ+3π）， ∵图象关于点06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， ∴2×6π+θ+3π=kπ，（k ∈Z ） ∴θ=kπ23π-，（k ∈Z ），∵|θ|＜2π，∴3πθ=，∴f （x ）=2sin （2x+23π）；由2222232k x k πππππ-+≤+≤+（k ∈Z ） 解得：71212k x k ππππ-+≤≤-+（k ∈Z ） ∴函数f （x ）的增区间为71212k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，． 故选C ．【点睛】本题考查了三角函数式的化简及三角函数的图象与性质，解题的关键是把三角函数式化成标准形式，在求θ值时要注意其范围．11. 设函数22()()(),,()x f x x t e t x R f x b =-+-∀∈≥恒成立，则实数b 的最大值为（ ）A.2B.12C. 1D. e【答案】B 【解析】 【分析】()f x 的几何意义是函数x y e =上的点(),x x e 到直线y x =上的点(),t t 的距离的平方【详解】()f x 几何意义是函数xy e =上的点(),xx e到直线y x =上的点(),t t 的距离的平方，当切点为()0,1P 时，切线的斜率为1，P 到直线y x =， ∴12b ≤． 故选B【点睛】不等式恒成立问题往往转化为函数的最值问题，本题解题的关键是理解函数式隐含的几何意义. 12. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A.B.23C.2D. 1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+，可得：200023263OM y k y p y p p y p ==≤=++，当且仅当22002,y p y =时取等号，故选C ． 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件||2||PM MF =，利用向量的运算可知的200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 已知函数2()2()log xa f x +=，若()20f =，则a = _____.【答案】3- 【解析】 【分析】推导出f （2）=log 2（4+a ）=0，由此能求出a 的值． 【详解】∵函数f （x ）=log 2（x 2+a ），f （2）=0， ∴f （2）=log 2（4+a ）=0， 解得a=﹣3． 故答案为﹣3．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14. 一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 . 【答案】12 【解析】【详解】试题分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．∵一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h ，则216213h h ⨯⨯∴=＝，2==，该六棱锥的侧面积为1622122⨯⨯⨯=． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积15. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且4cos ,25B b ==，则ABC ∆面积的最大值为_______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用余弦定理得出ac 的最大值从而得出面积的最大值．【详解】由余弦定理可得cosB=2222a c b ac +-=2242a c ac +-=45， ∴a 2+c 2=85ac +4≥2ac ，解得ac ≤10， ∴S △ABC =12acsinB=310ac ≤3． ∴△ABC 面积的最大值是3． 故答案为3【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16. 已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++，且2cos3n n n b a π=⋅，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则24S =_____．【答案】304 【解析】 【分析】由na n+1=（n+1）a n +n （n+1），变形为11n a n ++﹣n a n =1，利用等差数列的通项公式可得：n an，可得a n ．由b n =a n cos 23n π=223n n cos π，对n 分类讨论利用三角函数的周期性即可得出． 【详解】∵()()111n n na n a n n +=+++， ∴111n n a a n n +-=+，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差与首项都为1的等差数列． ∴()111na n n=+-⨯，可得2n a n =． ∵2πcos 3n n n b a =，∴22πcos 3n n b n =，令32n k =-，k *∈N ， 则()()()2232232π132cos 3232k k b k k --=-=--，k *∈N ， 同理可得()2311322k b k -=--，k *∈N ，()233k b k =，k *∈N ． ∴()()()22232313115323139222k k k b b b k k k k --++=----+=-，k *∈N ，则()245912883042S =⨯+++-⨯=．故答案为304【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、三角函数的周期性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大題共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知函数2()sin 22sin f x x x =-. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的值域.【答案】（1）π；（2）1⎡⎤-⎣⎦.【解析】 【分析】（1）由三角函数的公式化简已知函数可得f （x ）2?14x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，易得周期； （2）由x 的范围，结合不等式的性质，一步步可得值域，先求函数的单调区间，结合函数的定义域可得答案．【详解】（1）因为()()πsin21cos2214f x x x x ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （2）π0,2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 242x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．∴π24x ⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭．∴()f x 的值域为()1f x ⎡⎤∈-⎣⎦．【点睛】本题考查三角函数的公式的应用，涉及正弦函数的单调性以及函数值域的求解，属中档题． 18. 已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形，E 是侧棱PC 上的动点PC .（1）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（2）若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）要证平面PAC ⊥平面BDE ，转证BD ⊥平面PAC ，即证BD AC BD PC ⊥⊥，；（2）过点E 作EH PO ⊥于H ，则EH ⊥平面PBD ，故EBH ∠为BE 与平面PBD 所成的角，解三角形即可得到结果．【详解】（1）由已知PC BC ⊥，PC DC PC ⊥⇒⊥平面ABCD ， ∵BD ⊂平面ABCD BD PC ⇒⊥， 又∵BD AC ⊥，∴BD ⊥平面PAC ．因BD ⊂平面EBD ，则平面PAC ⊥平面BDE ． （2）法1：记AC 交BD 于点O ，连PO ，由（1）得平面PAC ⊥平面BDP ，且交于直线PO ， 过点E 作EH PO ⊥于H ，则EH ⊥平面PBD ， ∴EBH ∠为BE 与平面PBD 所成的角．∵EH PO OC PE ⋅=⋅，∴12EH =．∴13EH =．又BE =1sin6EBH ∠==．于是，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值是6． 法2：（等体积法）∵E PBD D PBE V V --=， ∴E 点到平面PBD 的距离为13．又BE =1sin6EBH ∠==．于是，直线BE 与平面PBD ． 【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.19. 二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x （单位年）与销售价格y （单位：万元／辆）进行整理，得到如下数据：下面是z 关于x 的折线图.（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，求z 关于x 的回归方程，并预测当某辆A 型号二手车使用年数为9年时售价约为多少？（,b a 小数点后保留两位有效数字）（2）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请根据（1）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()()()n ni iiii i nniii i x y nx y x x yy b xn x x x ====---==--∑∑∑∑,a y bx =-,6621147.64,139,2,ln1.460.38,ln 0.7110.34i ii i i x zx z =====≈≈-∑∑.【答案】（1）1.46万元；（2）11. 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘估计公式计算ˆb 、ˆa ，写出z 与x 的线性回归方程，求出y 关于x 的回归方程，计算x=9时y ∧的值即可；（2）利用线性回归方程求出y ∧≥0.7118时x 的取值范围，即可得出预测结果． 【详解】（1）由题意，计算()1234567 4.56x =⨯+++++=， ()13 2.48 2.08 1.86 1.48 1.1026z =⨯+++++=，且6147.64i ii x z==∑，621139i i x ==∑，利用最小二乘估计公式计算616222147.646 4.52 6.360.36139ˆ6 4.517.5i i i i i x z nxz b x nx==--⨯⨯===-≈--⨯-∑∑， ∴20.36ˆˆ 4.5 3.62a z bx=-=+⨯=， ∴z 关于x 的线性回归方程是0.36 3.6ˆ2zx =-+， 又ln z y =，∴y 关于x 的回归方程是0.36 3.62ˆx y e -+=；令9x =，解得0.369 3.62.6ˆ14ye -⨯+=≈，即预测当某辆A 型号二手车使用年数为9年时售价约1.46万元．（2）当0.18ˆ71y≥时，0.36 3.62ln0.71180.340.7118x e e e -+-≥==， ∴0.36 3.620.34x -+≥-，解得11x ≤，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年． 【点睛】求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数ˆb：公式有两种形式，即()()()1122211ˆn n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxyb x nx x x ====∑--∑-==∑-∑-．当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求ˆb ； （3）求ˆa： ˆˆa y bx =-； （4）写出回归直线方程ˆˆˆybx a =+． 20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为1,2F 为左焦点，过点F 作x 轴的垂线，交椭圆E 于,A B 两点，3AB =．（1）求椭圆E 的方程； （2）过圆22127x y +=上任意一点作圆的切线交椭圆E 于,M N 两点，O 为坐标原点，问：OM ON ⋅是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）0. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及通径公式，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程； （2）对k 分类讨论，利用设而不求法即可得到OM ON ⋅为定值.【详解】（1）∵离心率为12，则12c a =．∴2234b a =．∵3AB =，∴223b a=．∴24a =，23b =．则椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）当切线斜率不存在时，取切线为x =代入椭圆方程是M，N，或M，N ．∴1207OM ON ⋅==， 同理，取切线为x =0OM ON ⋅=． 当切线斜率存在时，设切线y kxb =+，则d ==()227121b k =+． ①联立()222223484120143y kx b k x kbx b x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩． 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122212283441234kb x x kb x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩②③ ()()()()221212*********x x y y x x kx b kx b k x x x x kb b +=+++=++++， ④把①②③代入④得12120x x y y +=，0OM ON ⋅=． 综合以上，OM ON ⋅为定值0． 【点睛】求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21. 已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中实数0a >． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()00,P x h x 处的切线的方程为()y g x =，当0x x ≠时，若()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为()y h x =的“类对称点”当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）①当2a =时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；②当2a >时，()f x 的单调递增区间为()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③当02a <<时，()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）f （x ）的定义域是（0，+∞），求出函数的导数，对a 分情况进行讨论，（2）当a=4时，f （x ）=x 2﹣6x+4lnx ，求出f′（x ）=2x +4x﹣6，得到令φ（x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣6x+4lnx ﹣（2x 0+04x ﹣6）（x ﹣x 0）+20x ﹣6x 0+4lnx 0，求出函数φ（x ）的导数，再通过讨论x 的范围得出结论． 【详解】（1）()f x 的定义域是()0,+∞．()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x-++-'-=-++==． ①当12a =，即2a =时，()()2210x f x x-'=≥， ∴()f x 的单调递增区间为()0,+∞． ②当12a >，即2a >时，由()0f x '>得01x <<或2a x >，由()0f x '<得12a x <<， ∴()f x 的单调递增区间为()0,1和,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ③当12a <，即02a <<时，由()0f x '>得02a x <<或1x >，由()0f x '<得12a x <<． ∴()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）当4a =时，()264ln f x x x x =-+，()426f x x x+'=-， ()()200000042664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭．令()()()()22000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫=-=-+-+---+- ⎪⎝⎭， 则()00x ϕ=．()()()000000044222262621x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()00022x x x x x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当00x <<()x ϕ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． ∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x ϕϕ<=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x ϕ<-．当0x ()x ϕ002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． ∴当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x x ϕϕ>=，从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()00x x x ϕ<-．∴当()x ∈⋃+∞时，()y f x =不存在“类对称点”．当0x ()(22x x x ϕ'=， ∴()x ϕ在()0,+∞上是增函数，故()00x x x ϕ>-．所以当0x =()y f x =存在“类对称点”．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（a 为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点(0,2)P ，l 和C 交于A ，B 两点，求||+||PA PB . 【答案】(1) 2219x y +=.4π.(2) ||||5PA PB +=. 【解析】【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角.（2）判断点(0,2)P 在直线l 上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案.【详解】（1）3cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得2219x y +=， 即C 的普通方程为2219x y +=.由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，（*） 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入（*），化简得+2y x =， 所以直线l 的倾斜角为4π. （2）由（1），知点(0,2)P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），即222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，245271080∆=-⨯⨯=>，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则120t t +=<，122705t t =>， 所以10t <，20t <，所以()1212||||5PA PB t t t t +=+=-+=. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算.不等式选讲23. 已知函数()223,()213f x x a x g x x =-++=++.（1）解不等式：()5g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）3122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）{|0a a ≥或}6a ≤-. 【解析】【分析】（1）利用||x ﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x ﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f （x ）}⊆{y|y=g （x ）}，通过函数最值，列出不等式求解即可．【详解】（1）由2135x ++<，得52135x -<++<，所以8212x -<+<，解不等式得321x -<<，即3122x -<<， 所以原不等式的解集是3122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． （2）因为对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立， 所以(){}(){}y y f x y y g x =⊆=， 又()()2232233f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()2133g x x =++≥， 所以33a +≥，解得0a ≥或6a ≤-， 的所以实数a 的取值范围是{|0a a ≥或}6a ≤-．【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用,属于中档题.。

湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期第一次月考文数试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}|lg(2)A x y x ==-，集合{}|22B x x =-≤≤，则AB =（ ）A ．{}|2x x ≥-B ．{}|22x x -<<C ．{}|22x x -≤<D ．{}|2x x <2.设A ，B 为两个不相等的集合，条件p ：()x A B ∈，条件q ：()x A B ∈，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3.i 是虚数单位，复数5225ii-=+（ ） A ．i -B ．iC ．21202929i -- D ．4102121i -+ 4.已知(1,2)a =-，(2,)b m =，若a b ⊥，则||b =（ ）A ．12B ．1CD 5.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞内是增函数的为（ ）A ．sin y x =，x R ∈B ．ln ||y x =，x R ∈，且0x ≠C ．1y x=-，x R ∈D ．31y x =+，x R ∈6.如图所示的程序框图表示求算式“248163264⨯⨯⨯⨯⨯”的值，则判断框内能够填入（ ）A ．32?K <B ．63?K <C ．64?K <D ．70?K <7.已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=（ ） A ．13- B ．13 C ．23- D ．238.已知(0,)4πα∈，1log sin a αα=，sin b αα=，cos c αα=，则（ ）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）A ．35003cm πB ．38663cm πC ．313723cm πD ．320483cm π10.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法准确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称 B ．()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称 C ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(2,-D ．将函数2sin(2)6y x π=-的图象向左平移6π个单位得到函数()f x 的图象11.当20x -≤<时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．(),2-∞-C ．[)6,-+∞D ．[]6,2--12.如图，已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F ， 12||8F F =，P 是双曲线右支上的一点，直线2F P 与y 轴交于点A ，△1APF 的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若||2PQ =，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ． 2D ．3第Ⅱ卷（共100分）（非选择题共100分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b，若2sin a B =，则A = ． 14.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -内随机取点P ，则点P 到正方体各顶点的距离都大于1的概率为 ．15.已知实数x ，y 满足220,220,130,x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则z xy =的最大值为 ．16.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对(0,)x ∀∈+∞，都有(2)2()f x f x =；当(]1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论：其中所有准确结论的序号是： ． ①对m Z ∀∈，有(2)0mf =； ②函数()f x 的值域为[)0,+∞； ③存有n Z ∈，使得(21)9n f +=；④函数()f x 在区间(),a b 单调递减的充分条件是“存有k Z ∈，使得1(,)(2,2)kk a b +⊆”． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 各项均为正，且11a =，110n n n n a a a a +++-=（*n N ∈）．（1）设1n nb a =，求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和． 18.（本小题满分12分）今年暑假期间，雅礼中学组织学生进社区展开社会实践活动．部分学生实行了关于“消防安全”的调查，随机抽取了50名居民实行问卷调查，活动结束后，对问卷结果实行了统计，并将其中“是否知道灭火器使用方法（知道或不知道）”的调查结果统计如下表：（2）在被调查的居民中，若从年龄在[)10,20，[)20,30的居民中各随机选择1人参加消防知识讲座，求选中的两人中仅有一人不知道灭火器的使用方法的概率．19.（本小题满分12分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠60DAB =︒，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC EF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2的五棱锥P ABCDE -，且PB =． （1）求证：BD ⊥平面POA（2）求四棱锥P BFED -的体积．20.（本小题满分12分）已知抛物线1C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点(1,)G m 到焦点的距离为3，椭圆2C ：22221(0)x y m n m n +=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，且离心率为12．（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的方程；（2）已知直线l ：4y kx =-交椭圆2C 于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围．21.（本小题满分12分）设函数2()(1)ln f x x a x =-+，a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线210x y +-=垂直，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：211()ln 242f x >-． 22.（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），又以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 24sin 30ρθρθ+-=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 方程相交于A ，B 两点，求||AB .。