28.2解直角三角形应用 (第3课时)教案 (人教版九年级下)

课题 28.2 解直角三角形（一）一、教学目标1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 三、教学步骤 (一)复习引入1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sinb a B a b Bc a B c b B ====cot ;tan ;cos ;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成. 的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2(勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二）教学过程1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．3．例题例 1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2，a=6，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．解 ∵tanA=a b =62=3 ∴ 60B ∠=∴ 9030A B ∠=-∠= ∴C=2b=22例 2在Rt △ABC 中， ∠B =35，b=20，解这个三角形． 引导学生思考分析完成后，让学生独立完成在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．35B ∠-∠=-=解:A=909055tan bB a =2028.6tan tan 35b a B ∴==≈ n 2035.1sin sin 35bsi B cb c b =∴==≈完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底注意：例1中的b 和例2中的c 都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。

28．2 解直角三角形及其应用28．2.1 解直角三角形知识与技能在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上，会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．过程与方法通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观在探究学习的过程中，培养学生合作交流的意识，使学生认识到数与形相结合的意义与作用，体会到学好数学知识的作用，并提高学生将数学知识应用于实际的意识，从而体验“从实践中来，到实践中去”的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣．让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学好数学的信心．重点直角三角形的解法． 难点灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．一、复习回顾师：你还记得勾股定理的内容吗？ 学生叙述勾股定理的内容．师：直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？ 生：两锐角互余．师：直角三角形中，30°的角所对的直角边与斜边有什么关系？ 生：30°的角所对的直角边等于斜边的一半． 二、共同探究，获取新知 1．概念．师：由sin A ＝ac，你能得到哪些公式？生甲：a ＝c ·sin A.生乙：c ＝asin A.师：我们还学习了余弦函数和正切函数，也能得到这些式子的变形．我们知道，在直角三角形中有三个角、三条边共六个元素，能否从已知的元素求出未知的元素呢？教师板书：在直角三角形中，由已知的边角关系，求出未知的边与角，叫做解直角三角形． 2．练习．教师多媒体课件出示：(1)如图(1)和(2)，根据图中的数据解直角三角形．(1) (2)师：图(1)中是已知一角和一条直角边解直角三角形的类型，你怎样解决这个问题呢？生1：根据cos 60°＝AC AB ，得到AB ＝ACcos 60°，然后把AC 边的长和60°角的余弦值代入，求出AB 边的长，再用勾股定理求出BC 边的长，∠B 的度数根据直角三角形两锐角互余即可得到．生2：先用直角三角形两锐角互余得到∠B 为30°，然后根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB 的值，再由sin 60°＝BCAB得到BC ＝AB ·sin 60°，从而得到BC 边的长．师：同学们说出的这几种做法都是对的．下面请同学们看图(2)，并解这个直角三角形． 学生思考，计算． 三、例题讲解例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝6，解这个直角三角形．解：∵tan A ＝BC AC ＝62＝3，∴∠A ＝60°，∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°， AB ＝2AC ＝2 2.例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，b ＝20，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－35°＝55°.∵tan B ＝ba ，∴a ＝b tan B ＝20tan 35°≈28.6.∵sin B ＝bc ，∴c ＝b sin B ＝20sin 35°≈34.9.四、巩固练习1．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列各式中不正确的是( ) A ．b ＝a ·tan B B ．a ＝b ·cos AC ．c ＝b sin BD ．c ＝acos B答案 B2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝10，b ＝53，则∠A ＝________，S △ABC ＝________．答案 30° 2523五、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，老师解答．本节课在教学过程中，能灵活处理教材，敢于放手让学生通过自主学习、合作探究达到理解并掌握知识的目的，并能运用知识解决问题．在本章开头，我带领学生复习了与解直角三角形有关的知识点，使学生在解决问题时能想到并能熟练运用．在解有特殊角的三角形时有不止一种解法，我鼓励学生勇于发言，给了他们展示自我的机会，锻炼他们表达自己想法的能力，并且增强了他们的自信心．28．2.2应用举例知识与技能使学生掌握仰角、俯角的概念，并会正确运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题．过程与方法让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途．情感、态度与价值观使学生感知本节课与现实生活的密切联系，进一步认识到将数学知识运用于实践的意义．重点将实际问题转化为解直角三角形问题．难点将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解．一、新知讲授1．讲解．师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．教师在黑板上作图．师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角．注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．师：测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪．2．练习新知．教师多媒体课件出示：如图，∠C ＝∠DEB ＝90°，FB ∥AC ，从A 看D 的仰角是________；从B 看D 的俯角是________；从A 看B 的________角是________；从D 看B 的________角是________；从B 看A 的________角是________．答案：从A 看D 的仰角是∠2，从B 看D 的俯角是∠FBD ，从A 看B 的仰角是∠BAC ，从D 看B 的仰角是∠3，从B 看A 的俯角是∠1.二、例题讲解例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P 点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km ，π取3.142，结果取整数)分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O 的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ 是⊙O 的切线，切点Q 是从组合体中观测地球时的最远点，PQ ︵的长就是地球表面上P ，Q 两点间的距离．为计算PQ ︵的长需先求出∠POQ(即α)的度数．解：设∠POQ ＝α，在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．∵cos α＝OQ OF ＝ 6 4006 400＋343≈0.9491.∴α≈18.36°， ∴PQ ︵的长为18.36π180×6 400≈18.36×3.142180×6 400≈2 051(km )．由此可知，当组合体在P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P 点约2051 km . 例2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m ，这栋楼有多高？(结果取整数)解：如图，α＝30°，β＝60°，AD ＝120.∵tan α＝BD AD ，tan β＝CDAD，∴BD ＝AD ·tan α＝120×tan 30°＝120×33＝403， CD ＝AD ·tan β＝120×tan 60°＝120×3＝120 3. ∴BC ＝BD ＋CD ＝403＋1203＝1603≈277(m )． 因此，这栋楼高约为277 m .例3 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远？(结果取整数)解：如图，在Rt △APC 中， PC ＝PA ·cos (90°－65°) ＝80×cos 25° ≈72.505.在Rt △BPC 中，∠B ＝34°，∵sin B ＝PCPB ，∴PB ＝PC sin B ＝72.505sin 34°≈130(n mile )．因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130 n mile . 三、巩固提高1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，现测得有一水塔(图中点A 处)在她家北偏东60°方向500 m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 长是( )A ．250 mB ．250 3 mC .500 33 m D ．250 2 m 答案 A2．王师傅在楼顶上的点A 处测得楼前一棵树CD 的顶端C 的俯角为60°，已知水平距离BD ＝10 m ，楼高AB ＝24 m ，则树CD 的高度为( )A ．(24－1033)m B ．(24－103) mC ．(24－53) mD ．9 m答案B四、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答．解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一，使学生对所学知识有了更好的巩固，同时让学生体会到数学与实际生活的联系，例题设置具有一定坡度，由浅入深，步步深入．。

28.2 解直角三角形及其应用课题28.2 解直角三角形及其应用（3）授课类型课标依据能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。

教学目标知识与技能1.了解什么是方位角，能准确找到方位角是指哪一个角；2.了解坡角、坡度的概念，知道坡角和坡度的关系；3. 掌握运用解直角三角形有关知识解决关于方位角、坡角的实际问题. 过程与方法经历解直角三角形的实际应用的过程，运用转化思想，把实际问题转化为数学问题来解决，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法.情感态度与价值观渗透理论联系实际的观点，培养学生用数学的意识，感受生活与数学的密不可分.教学重点难点教学重点用三角函数有关知识解决方位角、坡角问题.教学难点学会准确分析问题，并将实际问题转化成数学模型，解决问题.教学师生活动设计意图过程 一、复习引入 问题1：结合上节课学习，谈谈运用解直角三角形知识解决实际问题的一般思路是什么？ 二、探究新知 问题2：教材76页例5： 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34方向上的B 处.这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？ 思考：1.回顾方位角概念： 题中“一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65方向”是什么意思？ “位于灯塔P 的南偏东34方向上”呢？ 2.尝试画出几何图形，找出已知什么,要求什么？怎么求？ (引导学生阅读、思考、尝试画出几何图形，结合图形分析,把实际问题中的已知和求解转化为数学问题中的已知和求解。

) 归纳：运用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： （1） 将实际问题转化为数学问题； （2） 选用适当的锐角三角函数求解； （3） 求出数学问题的答案； （4） 得到实际问题的答案。

三、巩固训练 课本77页练习1. 四、补充讲解 坡度与坡角的概念坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的 比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i 表示。

人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形（3）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形（3）》这一节，是在学生已经掌握了直角三角形的性质，三角函数的概念和应用的基础上进行讲解的。

本节主要让学生了解解直角三角形的实际应用，通过具体例题让学生掌握解直角三角形的方法和技巧，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对直角三角形有一定的了解。

但是，解直角三角形的实际应用可能还存在一些困难，需要通过具体的例题来进行引导和讲解。

此外，学生在学习过程中可能对一些解题技巧和方法还不够熟练，需要通过大量的练习来加以巩固。

三. 教学目标1.让学生掌握解直角三角形的方法和技巧。

2.培养学生解决实际问题的能力。

3.提高学生对数学的兴趣和信心。

四. 教学重难点1.解直角三角形的实际应用。

2.解题技巧和方法的掌握。

五. 教学方法1.采用讲练结合的方法，通过具体例题让学生掌握解直角三角形的方法和技巧。

2.通过小组合作交流，让学生在讨论中解决问题，提高学生的合作能力。

3.通过家庭作业的布置，让学生在课后进行巩固和提高。

六. 教学准备1.准备相关的中考真题和模拟题，用于课后作业和巩固。

2.准备PPT，用于讲解和展示例题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容，让学生思考如何解决这个问题，从而引出解直角三角形的方法。

2.呈现（10分钟）讲解一个具体的例题，让学生了解解直角三角形的方法和技巧。

通过讲解，让学生掌握直角三角形的性质，以及如何运用三角函数来解决问题。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些类似的题目，巩固刚刚学到的知识和技巧。

教师在旁边进行辅导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生进行小组合作交流，共同解决一些综合性较强的问题。

通过合作，提高学生的解决问题能力。

5.拓展（10分钟）讲解一些中考真题和模拟题，让学生了解解直角三角形在实际考试中的应用。

师：尝试写出∠A 的三角函数。

生：∠A 的正弦值：sin A=∠A 所对的边斜边= ac∠A 的余弦值：cos A= ∠A 所邻的边斜边= bc∠A 的正切值：tan A=∠A 所对的边邻边= ab师：将 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值填入下表：生：变式1-1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a = 30， b = 20，根据条件解直角三角形.变式1-2 在△ABC 中，∠C =90∘, AB =6, cosA =13，则AC 等于（ ）A ．18B ．2C ．12D ．118变式1-3在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．msin35° B ．mcos35° C ．m sin35°D ．mcos35°变式1-4 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35° ，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 变式1-5 如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB ＝2米， 要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC ，使光线不 能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（ ） A ．2tan70°米 B ．2sin70°米 C ．2.2tan70°米 D ．2.2cos70°米平线下方的叫做俯角。

指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 师：尝试说出A,B关于坐标原点O的位置？生：点A位于点O北偏东30°位置，点B位于点O南偏西45°位置[多媒体展示]热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。

人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》教学设计3一. 教材分析《人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形及其应用》》这一章节是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行学习的，目的是让学生能够运用解直角三角形的知识解决实际问题。

本章节主要包括解直角三角形的概念、方法及其应用。

通过本章节的学习，学生能够进一步理解和掌握解直角三角形的方法，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本章节之前，已经掌握了锐角三角函数的知识，具备了一定的几何基础。

但是，对于解直角三角形的应用，学生可能还不够熟悉，需要通过实例讲解和练习来提高理解。

同时，学生可能对于实际问题的解决还缺乏一定的思路和方法，需要教师进行引导和指导。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握解直角三角形的概念、方法及其应用。

2.过程与方法：通过实例讲解和练习，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的概念、方法及其应用。

2.难点：如何运用解直角三角形的知识解决实际问题。

五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法。

通过实例讲解和练习，引导学生掌握解直角三角形的方法，并通过讨论和探究，提高学生解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、课件等。

2.学具准备：练习本、直尺、三角板等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习锐角三角函数的知识，引导学生回顾已学的三角函数概念，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）（1）讲解解直角三角形的概念，介绍解直角三角形的定义及其性质。

（2）讲解解直角三角形的方法，包括勾股定理、三角函数的定义等。

（3）通过示例，演示解直角三角形的具体步骤和应用。

3.操练（10分钟）学生独立完成练习题，巩固所学知识。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）学生分组讨论，总结解直角三角形的方法和技巧。

“自学互帮导学法”课堂教学设计课题九年级下册第二十八章28.2 解直角三角形应用（3）坡度、坡角课时第2课课型新课修改意见教学目标1.认识坡度、坡角2.运用坡度、坡角和解直角三角形知识解决实际问题3.培养学生微积分的基本思想教学重点构建直角三角形解决实际问题教学难点构建直角三角形解决实际问题学情分析学生掌握了坡度、坡角解直角三角形知识。

运用它解决实际问题对于多数学生来说应没有问题。

学法指导讨论与交流教 学 过 程教学内容教师活动学生活动效果预测及补救措施 修改意见一、举实例导课修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 坡度与坡角坡面的铅垂高度(h )与水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)记作 i ，即 i ＝________；而坡面与水平面的夹角叫做________记作α，即 i ＝________显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡.教师列实例认识坡度坡角 并画图学生动手画1、 2、 ……二、练习：1、一段坡面的坡角为60°，则坡度i=_____;2、已知一段坡面上，铅直高度为1，坡面长为 2 ，则坡度i＝_______,坡角α＝______3、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5cm，则坡面AB的长是( )A.10mB.C.15Md.D M4、梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确抽学生回答学生先思考31035的是( )A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关三、实例讲解例1：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i’= 1∶2.5，求:斜坡AB的坡角α;坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．抽学生回答学生交流讨论四、综合运用利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内教师讲解坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．五、以直代曲的解决问题的策略解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=l sin a，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为培养学生以直代曲的能力和极限思想零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sin a1.在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,h n,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,…,h n 相加，于是得到山高h.以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．六、总结知识1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念坡度、坡角等2.实际问题向数学模型的转化(解直角三角形)六、作业。