24.4解直角三角形应用教案

解直角三角形【教学目标】1．巩固勾股定理，熟悉运用勾股定理。

2．学会运用三角函数解直角三角形。

3．掌握解直角三角形的几种情况。

【教学重难点】1．重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。

2．难点：运用三角函数解直角三角形。

【教学过程】一、导入我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具。

例1：一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处。

大树在折断之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为：；26＋10＝36（米）。

所以，大树在折断之前高为36米。

在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角。

像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

例2：如图，东西两炮台A．B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离。

（精确到1米）解：在Rt△ABC中，因为∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，＝tan∠CAB，所以：BC＝AB•tan∠CAB=2000×tan50゜≈2384(米)。

又因为，所以AC＝。

答：敌舰与A．B两炮台的距离分别约为3111米和2384米。

在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′。

解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角。

二、课堂练习1．在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2．海船以32．6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离。

（画出图形后计算，精确到0.1海里）。

24.4 解直角三角形1. 解直角三角形【知识与技能】1.使学生理解解直角三角形的意义；2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【过程与方法】让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力.【情感态度】通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模〞的思想.【教学重点】用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【教学难点】用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题.一、情境导入，初步认识前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎样.例在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A的各个三角函数值.二、思考探究，获取新知把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了.例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米折断倒下，树顶在离树根12米处，大树在折断之前高多少？例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程.通过上面的例子，你们知道“解直角三角形〞的含义吗？学生讨论得出“解直角三角形〞的含义：在直角三角形中，由元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.【教学说明】学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素〞的内涵，至于“元素〞的定义不作深究.问：上面例子中，假设要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余.【探索新知】问：上面的例子是给了两条边.那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？例2如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离〔准确到1米〕.解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,BCAB=tan∠CAB,∴BC=AB·tan∠CAB=2000×tan50°≈2384〔米〕.∵ABAC=cos50°,∴AC=20005050ABcos cos=︒︒≈3111〔米〕.答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.问：AC还可以用哪种方法求？学生讨论得出各种解法，分析比拟，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更准确.问：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？〔几个学生展示〕学生讨论分析，得出结论.问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况：〔1〕两条边；〔2〕一条边和一个锐角.【教学说明】使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素〔至少有一个是边〕就可以求出其余的3个元素.〞三、运用新知，深化理解1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.〔画出图形后计算，准确到0.1海里〕四、师生互动，课堂小结1.“解直角三角形〞是求出直角三角形的所有元素.2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即两边或一边和一锐角.3.解直角三角形的方法.【教学说明】让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正.五、教学反思通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形〞的含义和两种解题情况.通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为直角三角形的问题.给出一定的情景内容，引导学生自主探究，通过例题的实践应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力.2. 解直角三角形——仰角、俯角问题【知识与技能】1.理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进展解释与应用的能力.【过程与方法】通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.【情感态度】在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解仰角和俯角的概念.【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题.一、情境导入，初步认识α=52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.〔准确到0.1米〕你知道小明是怎样算出的吗？二、思考探究，获取新知想要解决刚刚的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念.【教学说明】学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念.现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的.【分析】在Rt△CDE中，一角和一边，利用解直角三角形的知识即可求出CE的长，从而求出CB的长.解：在Rt△CDE中，∵CE=DE·tanα=AB·tanα=10×tan52°≈12.80，∴BC=BE+CE=DA+CE≈12.80+1.50=14.3〔米〕.答：旗杆的高度约为14.3米.例如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.〔准确到0.1m〕解:过点D作DE⊥AB于点E，那么∠ACB=β=43°24′,∠ADE=35°12′,DE=BC=32.6m.在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=AB BC,∴AB=BC·tan∠×tan43°24′≈30.83〔m〕.在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=AE DE,∴AE=DE·tan∠×tan35°12′≈23.00〔m〕.∴≈7.8〔m〕答：两个建筑物的高分别约为30.8m，7.8m.【教学说明】关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决.三、运用新知，深化理解1.如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°°，这个火箭从A到B的平均速度是多少？〔准确到0.01km/s〕2.如下图，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°.求小华的眼睛到地面的距离.〔结果准确到0.1米，参考数据：3≈1.73〕四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？你有何体会？2.这节课你还存在什么问题？五、教学反思本节课从学生承受知识的最近开展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题.在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进展解释与应用的学习方法，养成交流与合作的良好习惯.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心.3. 解直角三角形——坡角、坡度问题【知识与技能】1.使学生掌握测量中坡角、坡度的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题.【过程与方法】经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程，进一步培养分析问题、解决问题的能力.【情感态度】渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识.【教学重点】解决有关坡度的实际问题.【教学难点】解决有关坡度的实际问题.一、情境导入，初步认识读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图，坡面的铅垂高度〔h〕和水平长度〔l〕的比叫做坡面坡度〔或坡比〕，记作i，即i=hl.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=hl=tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.二、思考探究，获取新知例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.〔准确到0.1米〕例2学校校园内有一小山坡AB,经测量，坡角∠ABC=30°,斜坡AB长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3〔即CD与BC的长度之比〕.A、D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°,那么易求AC=6米，BC=63米.在Rt△BDC中，i=13 DCBC=.易得DC=1233BC=米.∴AD=AC-DC=〔6-23〕米.三、运用新知，深化理解1.一坡面的坡度i=1∶3,那么坡角α为〔〕A.15°B.20°C.30°D.45°∶3的坡面向上走50米，那么他离地面的高度为〔〕33米3.某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶3，那么此处大坝的坡角和高分别是______米.4.如图，一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，那么这束光线与坡面的夹角α是______.5.如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m 到点D处，测得点A的仰角为60°，求AB的高度.°3 5.〔3〕m四、师生互动，课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想.五、教学反思本节课以实际情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题.在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要.在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培养学生应用数学的意识.。

24.4解直角三角形（第一课时）一、教学目标知识与技能：1、理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三种关系式解直角三角形。

2、能从从具体问题中化归出直角三角形，并解直角三角形。

过程与方法：让学生在探究并解决解直角三角形的过程中，体验实际问题化归为数学问题的过程，并初步形成数学化归、建模思想。

情感、态度与价值观：通过实际问题，让学生体验运用数学知识解决实际问题的乐趣，体验数学源于生活又用于生活的美好感受。

二、教学重难点重点：运用直角三角形的边角关系解直角三角形中的未知元素。

难点：1、将实际问题化归成解直角三角形的问题；2、解决问题时边角关系的选择。

三、教学过程： （一）复习1．直角三角形有几条边？几个角？点出：直角三角形的角和边称之谓“元素”。

2．直角三角形的5个不确定元素之间满足哪些关系式？（二）探究1．如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，（1）如果∠A=30°，则∠B= 度。

（提问：能求出边的长度吗？）（2）如果a =1，b = 1，则 c = 。

（提问：能求出角的度数吗？）（3）如果∠A=30°，a =1，你能求出三角形哪些角，那些边？2.解直角三角形的定义：已知 求 未知解直角三角形两种类型：类型一、已知两边 类型二、已知一边一角练习：（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900, AC= ，AB=4，则：BC= , ∠A= 度，∠B= 度。

（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A=450,AB=8,则：∠B= 度，AC= , BC= 。

（三）应用例1、如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面3米折断倒下，树顶在离树根4米处，大树在折断之前高多少？ （教师示例）例2、一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东400，距离70海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向，求这艘轮船的速度。

（参考数据sin50°≈0.77 ，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，精确到1海里/时）（教师点拨、学生练习）思考、小明（点B ）在平地上放风筝（点A ），小明发现风筝在他上方的450方向，风筝线AC=米；小明的妈妈（点C ）与他同样高，妈妈发现风筝在她上方的300方向.你知道小明和妈妈相距多远吗？（结果保留根号）（教师点拨、学生练习）（四）小结让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正（课件展示）。

24。

4解直角三角形（1）教学目标:利用直角三角形边角之间的关系，解决与直角三角形有关的实际问题 教学重点:解直角三角形的有关知识教学难点：运用所学知识解决实际问题教学过程:一、复习提问1. Rt △中的关系式。

（∠C=90°)1） 角：∠A ﹢∠B=90°2） 边；a 2 ﹢b 2=c 23） 边角关系:sinA=c a coA=c b tanA=b a cotA=ab 2. △ABC 中，若∠C=90°，∠A=30°，c=10㎝，则a=21c=5㎝，b=3a=53㎝； 若∠A=40°,c=10㎝，则由sinA=ca ，∴︒=⋅=40sin 10sin A c a ，由cosA= cb ，∴︒=⋅=40cos 10cos Ac b 由以知的边角关系，求得未知的边与角，叫做解直角三角形。

二、新授看教材112页例1、例2得出：1。

解Rt △的定义；在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2.解Rt △，只有下面两种情况:1）已知两条边2）已知一条边和一个锐角3.在解Rt △的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′。

例3. 某施工人员在离地面高度为5BC A BCA米的C 处引拉电线杆,若固定点离电线杆3米,如图所示，则至少需要多长的缆线AC 才能拉住电线杆？（结果保留两位小数）分析:由图可知，AC 是Rt △ABC 的斜边，利用勾股定理就可求出.解:在Rt △ABC 中，AC=22BC AB +=2235+=34≈5。

83（米） 答：至少需要5.83米的缆线AC 才能拉住电线杆。

三、引申提高：例4。

如图，上午8时，小明从电视转播塔C 的正北方向B 处以15千米/时的速度沿着笔直的公路出发,2小时后到达A 处，测得电视转播塔在他的南偏东50°的方向，试求出发前小明与电视转播塔之间的距离，并求出此时距电视转播塔有多远？（精确到1千米）解：在RtABC 中，∠CAB=90°－50°=40°，AB=15×2=30(千米）,∵tan ∠CAB=ABBC ，∴︒=∠⋅=40tan 30tan CAB AB BC ≈25(千米）， ∵cos ∠CAB=AC AB ，∴AC=︒40cos AB ≈39（千米) 答：出发前小明与电视转播塔的距离约25千米,此时距电视塔39千米.变式： 若已知敌舰与A 炮台的距离及∠DAC 的读书分，如何求两炮台间的距离？测量中能应用解直角三角形的知识吗？四。

24.4解直角三角形第1课时解直角三角形一、基本目标理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.二、重难点目标【教学重点】直角三角形的解法．【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P111～P113的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．任何一个三角形都有__六__个元素,三条边、三个角,在直角三角形中,已知有一个角是直角,我们把利用已知的元素求出__未知__元素的过程,叫做解直角三角形．2．在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.(1)两锐角互余,即∠A＋∠B＝__90°__；(2)三边满足__勾股定理__,即a2＋b2＝c2；(3)边与角关系sin A＝cos B＝ac,cos A＝sin B＝bc,tan A＝ab,tan B＝ba.3．Rt△ABC中,若∠C＝90°,sin A＝45,AB＝10,那么BC＝__8__,tan B＝__34__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且a＝20,∠B ＝35°,解这个三角形．(精确到0.1,参考数据：sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)【互动探索】(引发学生思考)已知直角三角形中的两个元素,要求解直角三角形,一般从直角三角形的性质出发,结合勾股定理与锐角三角函数的定义进行解题．【解答】∵在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠B＝35°,∴∠A＝55°.∵BC＝20,∠B＝35°,∴tan 35°＝AC20≈0.7,解得AC≈14.cos 35°＝BCAB＝20AB≈0.82,解得AB≈24.4.【互动总结】(学生总结,老师点评)在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,解直角三角形有以下基本类型：基本类型选择的关系式已知两边斜边和一直角边(c、a)b＝c2－a2；由sin A＝ac,求∠A；∠B＝90°－∠A 两直角边(a、b)c＝a2＋b2；由tan A＝ab,求∠A；∠B＝90°－∠A已知边和角斜边和一锐角(c、∠A)∠B＝90°－∠A；由sin A＝ac,求a＝c·sin A；由cos A＝bc,求b＝c·cos A一直角边和一锐角(a、∠A)∠B＝90°－∠A；由tan A＝ab,求b＝atan A；由sin A＝ac,求c＝asin A【例2】某数学兴趣小组想测量河流的宽度AB,河流两岸AC、BD互相平行,河流对岸有两棵树A和C,且A、C之间的距离是60米,他们在D处测得∠BDC＝36°,前行140米后测得∠BP A＝45°,请根据这些数据求出河流的宽度．(结果精确到0.1米,参考数据：tan 36°≈0.73,sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81)【互动探索】(引发学生思考)已知一边与一角,求其他边→利用锐角三角函数的定义求解→需作辅助线,构造直角三角形．【解答】作CH⊥BD,则BH＝AC＝60米,设AB为x米,则CH为x米．在Rt△ABP中,tan 45°＝1,∴BP＝x米,∴HD ＝BP ＋PD －BH ＝x ＋140－60＝(x ＋80)(米)． 在Rt △CHD 中,∵tan ∠CDH ＝CH HD ,∴x ＋80＝xtan 36°,∴x ＝(x ＋80)tan 36°,∴x ≈216.3. 即河流的宽度约为216.3米．【互动总结】(学生总结,老师点评)解决此类题目一般是据题目已知特点选用适当锐角三角函数去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝15,sin A ＝13,则BC 等于( B )A ．45B ．5 C.15D ．1452．如图,AD ⊥CD ,∠ABD ＝60°,AB ＝4 m,∠ACB ＝45°,则AC ＝__26__m__.3．在△ABC 中,∠C ＝90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知c ＝10,∠B ＝30°,解这个直角三角形．解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－30°＝60°.∵cos B ＝a c ,∴a ＝c ·cos B ＝10·cos 30°＝10×32＝5 3.∵sin B ＝b c ,∴b ＝c ·sin B ＝10·sin 30°＝10×12＝5.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图,在锐角△ABC 中,BC ＝a ,AC ＝b .探究a sin A 与bsin B之间的关系．【互动探索】观察几何图形→作垂线,构造直角三角形→表示出sin A 、sin B →转化形式得出结论．【解答】如图,过点C 作CH ⊥AB ,垂足为H .∴∠CHB ＝∠CHA ＝90°. 在Rt △BCH 中,sin A ＝CH AC ＝CH b ,∴CH ＝b ·sin A . 同理可得CH ＝a ·sin B . ∴b ·sin A ＝a ·sin B . 即a sin A ＝bsin B.【互动总结】(学生总结,老师点评)添加辅助线,构造两个直角三角形是解题的关键． 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)解直角三角形⎩⎪⎨⎪⎧概念理论依据⎩⎪⎨⎪⎧两锐角互余勾股定理锐角三角函数常见类型⎩⎪⎨⎪⎧已知两边已知一边和一角请完成本课时对应练习！第2课时 仰角与俯角一、基本目标1．理解仰角、俯角的含义,能准确运用这些概念来解决一些实际问题． 2．培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力． 二、重难点目标 【教学重点】理解仰角和俯角的概念． 【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P113～P114的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做__仰角__；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做__俯角__.2. 如图,下列角中为俯角的是(C)A．∠1 B．∠2C．∠3 D．∠43. 如图所示,在建筑物AB的底部a米远的C处,测得建筑物的顶端A点的仰角为α,则建筑物AB的高可表示为__a tan_α__米．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,两建筑物的水平距离为32.6 m,从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′,求这两个建筑物的高．(精确到0.1 m)【互动探索】(引发学生思考)确定俯角α与∠ADE、俯角β与∠ACB的关系→解直角三角形．【解答】根据题意,得∠ACB＝β＝43°24′,∠ADE＝α＝35°12′,DE＝BC＝32.6 m.在Rt△ABC中,∵tan∠ACB＝AB BC,∴AB＝BC·tan∠ACB＝32.6×tan 43°24′≈30.83(m)．在Rt△ADE中,∵tan∠ADE＝AEDE,∴AE＝DE·tan∠ADE＝32.6×tan 35°12′≈23.00(m)．∴DC ＝BE ＝AB －AE ＝30.83－23.00≈7.8(m)． 即两个建筑物的高分别约为30.8 m 、7.8 m.【互动总结】(学生总结,老师点评)将题目中的两个俯角分别转化到Rt △ABC 和Rt △ADE 中,转化为解直角三角形问题是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角α＝75°,若AC ＝6米,则树高BC 为( D )A ．6sin 75°米B ．6cos 75°米C.6tan 75°米 D ．6tan 75°米2．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动,他们要测量一幢建筑物AB 的高度．如图,他们先在点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30°,然后向建筑物AB 前进10 m 到达点D 处,又测得点A 的仰角为60°,那么建筑物AB 的高度是__53__m.3. 如图,热气球探测器显示,从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°,看这栋楼底部C 处的俯角为60°,热气球与楼的水平距离AD 为100米,试求这栋楼的高度BC .解：由题意,得α＝30°,β＝60°,AD ＝100米,∠ADC ＝∠ADB ＝90°.∴在Rt △ADB 中,α＝30°,AD ＝100米,∴tan α＝BD AD ＝BD 100＝33,∴BD ＝10033米．在Rt △ADC 中,β＝60°,AD ＝100米,∴tan β＝CD AD ＝CD 100＝3,∴CD ＝1003米．∴BC ＝BD ＋CD ＝10033＋1003＝40033(米),即这栋楼的高度BC 是40033米．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图,某大楼顶部有一旗杆AB ,甲乙两人分别在相距6米的C 、D 两处测得B 点和A 点的仰角分别是42°和65°,且C 、D 、E 在一条直线上．如果DE ＝15米,求旗杆AB 的长大约是多少米？(结果保留整数,参考数据：sin 42°≈0.67,tan 42°≈0.9,sin 65°≈0.91,tan65°≈ 2.1)【互动探索】分析法：要求AB ,先求出AE 与BE →解Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中,∠ADE ＝65°,DE ＝15米, 则tan ∠ADE ＝AEDE ,即tan 65°＝AE15≈2.1,解得 AE ≈31.5米．在Rt △BCE 中,∠BCE ＝42°,CE ＝CD ＋DE ＝21米, 则tan ∠BCE ＝BE CE ,即tan 42°＝BE21≈0.9, 解得 BE ≈18.9米．则AB ＝AE －BE ＝31.5－18.9≈13(米)． 即旗杆AB 的长大约是13米．【互动总结】(学生总结,老师点评)首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADE 、△CBE ,利用AB ＝AE －BE 可求出答案．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)仰角与俯角⎩⎨⎧仰角⎩⎪⎨⎪⎧ 概念应用俯角⎩⎪⎨⎪⎧概念应用请完成本课时对应练习！第3课时 坡度与坡角一、基本目标1．理解坡度与坡角的概念．2．会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题． 二、重难点目标【教学重点】解决有关坡度的实际问题．【教学难点】理解坡度的概念和有关术语．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P115～P116的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．坡度通常写成1∶__m__的形式．2．一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为__1∶3__.3．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题,也就是建立适当的函数模型)；(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数,运用解直角三角形的有关性质,解直角三角形；(3)得到数学答案；(4)得到实际问题的答案．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC＝9.8 m,路基高BE＝5.8 m,斜坡AB的坡度i＝1∶1.6,斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值．【互动探索】(引发学生思考)读懂题意→作垂线,构造直角三角形→解直角三角形,得出结论．【解答】过点C作CD⊥AD于点F,则CF＝BE,EF＝BC,∠A＝α,∠D＝β.∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5,∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m),DF＝2.5×5.8＝14.5(m)．∴AD＝AE＋FE＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tan α＝i＝1∶1.6,tan β＝i′＝1∶2.5,得α≈32°,β≈22°.即铁路路基下底宽为33.6 m,斜坡的坡角分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中,没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2巩固练习(学生独学)1．为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为α,那么α的正切值__0.75__.2．如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i＝1∶2,则斜坡AB 的长为__65__米.3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m,此时他与出发地的垂直距离为6 m,则这个坡面的坡度为__3∶4__.4. 如图是一座人行天桥,天桥的高12米,坡面的坡比为＝1∶1,为了方便行人推车过天桥,市政府决定降低坡度,使新的斜坡的坡角为30°,问离原坡底8米处的大型广告墙M要不要拆除？解：广告牌M要拆除．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图,小明于堤边A处垂钓,河堤AB的坡比为1∶3,坡长为3米,钓竿AC的倾斜角是60°,其长为6米,若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°,求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】实际问题,转化为几何问题→作辅助线,构造直角三角形→延长CA交DB 延长线于点E,过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→利用三角形性质得出结论．【解答】如图,延长CA交DB延长线与点E,过点A作AF⊥EB,交EB于点F.则∠CED＝60°.∵AB 的坡比为1∶3, ∴∠ABE ＝30°, ∴∠BAE ＝90°. ∵AB ＝3米,∴AE ＝AB tan ∠ABE ＝3×33＝3米,BE ＝2AE ＝23米． ∵∠C ＝∠CED ＝60°, ∴△CDE 是等边三角形． ∵AC ＝6米,∴DE ＝CE ＝AC ＋AE ＝(6＋3)米,则BD ＝DE －BE ＝6＋3－23＝(6－3)(米), 即浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为(6－3)米．【互动总结】(学生总结,老师点评)本题既考查了解直角三角形,也考查了等边三角形的性质,根据题目的已知条件构造出直角三角形及等边三角形是关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)坡度与坡角⎩⎪⎨⎪⎧坡度的概念—通常写成比的形式坡角的概念—坡角越大，坡面就越陡坡度与坡角在解直角三角形中的应用请完成本课时对应练习！。

24.4解直角三角形(2)教学目标:1、使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题。

2、逐步培养分析问题、解决问题的能力。

教学重点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。

教学难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。

教学过程:（复习提问）1、解直角三角形指什么？2、解直角三角形主要依据什么？（1）勾股定理（2）锐角之间的关系（3）边角之间的关系导课：问题：小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲心想：“站在地面上可以利用解直角三角形测得图书大厦的高，站在自家窗口能利用解直角三角形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？（如图所示）∠BAC与∠DAC在测量中叫什么角？（学生回答后引入新课课题---解直角三角形2：仰角、俯角）设疑自探看到本节课题，你想知道什么问题？（学生提出问题，教师归纳、板书，形成自探提纲）自探提示（一）：请同学们自学教材p113页内容，独立解决以下问题，时间4分钟。

1、什么叫仰角？2、什么叫俯角？3、本课导语的图中，有仰角和俯角吗？若有，请指出其中的仰角和俯角。

解疑合探（一）（学生自学结束后，小组内交流讨论自探过程中遇到的疑难问题，达成共识）1、在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；2、从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

自探提示（二）如图，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端A的仰角为22°，求旗杆AB的高.（精确到0.1米）(tan22°≈0.404)解疑合探（二）解：在Rt△ADE中，AE＝DE×tan a＝BC×tan a＝22.7×tan 22°≈9.17AB＝BE＋AE＝AE＋CD＝9.17＋1.20≈10.4（米）答:旗杆的高度约为10.4米．质疑再探在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。

用解直角三角形解视角问题【知识与技能】1.理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.【过程与方法】通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.【情感态度】在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解仰角和俯角的概念.【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题.一、情境导入，初步认识如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.（精确到0.1米）你知道小明是怎样算出的吗？二、思考探究，获取新知想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念.【教学说明】学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念.现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的.【分析】在Rt△CDE中，已知一角和一边，利用解直角三角形的知识即可求出CE的长，从而求出CB的长.解：在Rt△CDE中，∵CE=DE·tanα=AB·tanα=10×tan52°≈12.80，∴BC=BE+CE=DA+CE≈12.80+1.50=14.3（米）.答：旗杆的高度约为14.3米.例如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.（精确到0.1m）解:过点D作DE⊥AB于点E，则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=35°12′,DE=BC=32.6m.在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=ABBC,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83（m）.在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=AEDE,∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00（m）.∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8（m）答：两个建筑物的高分别约为30.8m，7.8m.【教学说明】关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决.三、运用新知，深化理解1.如图，一只运载从地面L处发射，当卫星达到A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°，1s后到达B点，此时测得BR的距离是 6.13km，仰角为45.54°，这个从A到B的平均速度是多少？（精确到0.01km/s）2.如图所示，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°.求小华的眼睛到地面的距离.（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73）【答案】1.0.28km/s 2.1.4米四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？你有何体会？2.这节课你还存在什么问题？1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本节课从学生接受知识的最近发展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题.在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的学习方法，养成交流与合作的良好习惯.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心.。