《解直角三角形应用举例(1)教案》

湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》是本册教材中的一个重要内容。

在此之前，学生已经学习了直角三角形的性质、勾股定理等知识。

本节课主要让学生掌握解直角三角形的应用，即如何利用直角三角形的性质解决实际问题。

教材通过例题和练习题的形式，引导学生学会运用解直角三角形的方法解决生活中的问题，提高学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的概念和性质有一定的了解。

但是，他们在解决实际问题时，往往不知道如何将数学知识运用到具体情境中。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解直角三角形的应用方法，能够运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的应用方法。

2.难点：如何将实际问题转化为直角三角形问题，并运用解直角三角形的方法解决。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现问题，提出解决方案。

2.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的求知欲。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。

六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、直角三角板等教学工具。

2.学生准备：课本、练习本、直角三角板等学习工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如测量旗杆高度、房屋面积等，引导学生发现这些问题都可以通过解直角三角形来解决。

从而激发学生的学习兴趣，引入新课。

2.呈现（10分钟）教师展示教材中的例题，引导学生观察题干，分析问题。

然后，教师通过讲解，展示解直角三角形的步骤和方法。

解直角三角形的应用举例一教学目标1．使学生理解仰角、俯角、水平距离，垂直距离和方位角等概念的意义，为解决有关实际问题扫除障碍；2．使学生能适当的选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形问题；3．培养学生将实际问题抽象为数学问题画出平面图形．转化为解直角三角形的能力；4．使学生认识数学数学的思想意识．教学重点和难点将实际问题抽象为数学问题，并能选用适当的锐角三角函数关系式去解答直角三角形问题是重点；而将实际问题抽象为数学问题，以及有关名词概念如仰角，……的理解是难点．教学过程设计一、例题分析，变式练习采用讨论、练习和讲解方式进行教学例 1如图1厂房屋顶人字架等腰三角形的跨度为10米，∠A=26°，求中柱BCC为底边中点和上弦AB的长．精确到001米说明：为什么要先讲此例呢？其原因是，虽然它也是实际问题，但它已抽象为数学问题已画出平面图形；且一些名词上弦、中柱和跨度等已在图中得到直观解释，勿须教师多废喉舌；再说此例归结为解Rt△ACB也是明显的，且求中柱BC和上弦AB也能比较灵活的应用到各种三角函数关系式，所以把它做为首例是非常必要的．教法：为了从分析中选用哪一个锐角三角函数关系式较好，最好让学生讨论暂时不写出解答过程，大家确定较好的方法以后，再要求学生用这种方法写出解答过程或让学生看书如下：答：中柱 BC≈244米，上弦 AB≈556米．练习1如图2．某厂车间的人字屋架为等腰三角形，跨度AB=12米，∠A=22°．求中柱CD和上弦AC的长．精确到001米答：CD≈242米，AC≈647米．例2如图3．线段AB和CD分别表示甲、乙两幢楼的高．AB⊥BD于 B，CD⊥BD于D．从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°．已知AB=24米．求CD=？此例按以下步骤进行教学：1教师先把仰角和俯角这两个概念的意义讲清楚，然后引导学生审题，从整体上理解条件和结论把已知条件标在图上．2分析条件和结论之间的关系．让学生讨论因为DE=AB=24米，β=60°，所以AE可求．因为AE可求，又α=30°，所以CE可求．所以CD可求．3选用适当的三角函数关系式．让学生讨论选ctgβ求AE，选tgα求CE．这样可避免分母出现未知数．4写出解答过程如下：解：因为 DE=AB=24米，所以CD=CE＋DE=8＋24=32米．答：乙楼CD=32米．练习2如图4．某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=12021，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′．求飞机A到控制点B的距离．精确到1米采取讨论形式，然后让学生板演答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．练习3如图5．在离铁塔150米的 A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为30°12′．已知测角仪器高AD=152米，求铁塔高BE．精确到01米采用学生讨论，然后找一个学生板演答：BE≈888米．例3如图6 在山坡上种树，要求株距相邻两树间的水平距离是55米．测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米精确到01米．此例按照以下步骤进行教学．1先引导学生在理解水平距离和坡面距离的基础上，从整体上分析条件和结论．2引导学生将实际问题抽象为数学问题画出平面图形并写出已知和所求．如图7．作出BC⊥AC于C，已知AC=55米．∠BAC=24°．求AB的长．3让学生讨论，给出解答如下：答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是60米．练习4如图8 沿AC方向开山修渠．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52021∠D=50°．那么开挖点E离D多远精确到01米，正好能使A，C，E 成一直线？此题采取让学生讨论后板书的办法进行教学．具体步骤如下：1引导学生讨论，理解题意；2引导学生将实际问题抽象为数学问题画出平面图形，转化为解Rt△BDE．如图9．3引导学生根据图9适当选择锐角三角函数关系式：4让学生板演过程．答：ED≈3343米例4如图10．一艘海轮位于灯塔于 E，因为∠GOF=80°，GO=FO，所以∠OGF=50°．因为∠OGE=40°，所以∠EGF=10°．因为GE∥FN，所以∠GFN=10°．二、小结1．先向学生提出问题：运用解直角三角形的知识去解答实际问题，它的主要步骤是什么？2．在学生回答的基础上，教师归纳总结出主要步骤是：1分析实际问题中某些名词概念的意义，正确理解条件和结论的关系．2将实际问题抽象为数学问题画出平面图形，转化为解直角三角形．3根据条件的特点，适当选用锐角三角函数的关系式去解直角三角形．4写出解答过程和答案．三、作业1．选用课本．练习习题2．补充作业：一次测得该船在A地北偏东30°的M处；半小时后，又测得该船在A地的北偏东60°的N处．求此船的速度．板书设计略课堂教学设计说明1．这份教案为两课时．2．关于例题选择的一些想法：1为什么把课本．．36～．37中的例2当做例1，教案中已有说明．2为什么用例2代替课本中的例1？这是因为此例既有仰角又有俯角．比较全面．3为什么课本中的例3暂不讲，而先讲课本中的例4呢？这是因为例3属于构造直角三角形问题，留到下节课讲．还是先讲不构造直角三角形的问题为好，这是符合由浅入深的原则的．4例4为什么要选择一个方位角的问题？因为这是近年来中考试题中常遇到的题型．。

数学教案－解直角三形应用举例－教学教案1．学问结构：2．重点和难点分析重点和难点：要求同学擅长将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.3．教法建议本节学问与实际联系亲密，这些学问可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的很多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培育同学应用数学的意识，解决实际问题的力量．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学学问解决这些问题，为了使同学能够处理一些简洁问题，教材中配备一些比拟典型的例题，这些例题的教学，要留意以下几个问题：1．挂念同学弄清实际问题的意义．由于同学接触实际较少，实践阅历缺乏，很多实际问题的意义不清楚，很多术语不生疏，这些在教学中要向同学说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特殊是剖面图的意义，航行中的方位角等．同学懂得了这些常识，才能理解实际问题．2．挂念同学画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的与未知，以及和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：(1)实际问题根本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，假如说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时由于船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的根底，教学时可适当复习，挂念同学回忆．3．挂念同学依据需要作出帮助线．画出的草图，不肯定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，经常需要添加帮助线．在这些问题中，帮助线经常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的帮助线．4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．一、教学目标1．使同学了解仰角、俯角的概念，能依据直角三角形的学问解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高同学分析问题、解决实际问题的力量；3．通过本节的教学，向同学渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培育他们用数学的意识.二、重点难点疑点及解决方法1．重点：要求同学擅长将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.2．难点：要求同学擅长将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件同学可能不理解，老师最好用实际教具加以说明.4．解决方法：引导同学体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.三、教学过程1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让同学仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．2．例1如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面把握点B的俯角，求飞机A到把握点B距离〔精确到1米〕．解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报学问来解决，在此之前，同学曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太娴熟．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语同学画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边〔包括什么和求什么〕，会利用平行线的内错角相等的性质由的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的学问就可以解此题了．解：在中,∴〔米〕．答：飞机A到把握点B的距离约为4221米．［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式来解决的两个实际问题即和斜边，求的对边；以及和对边，求斜边．3．稳固练习P．25．如图，某海岛上的观看所A发觉海上某船只B并测得其俯角．观看所A的标高〔当水位为0m时的高度〕为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观看所A到船只B的水平距离BC〔精确到1m〕为了稳固例1，加深同学对仰角、俯角的了解，配备了练习．由于同学只接触了一道实际应用题，对其还不生疏，不会将其转化为数学问题，因此老师在同学充分地思考后，应引导同学分析：1．谁能将实物图形抽象为几何图形请一名同学上黑板画出来．2．请同学结合图说出条件和所求各是什么答：，求AB．这样，同学运用已有的解直角三角形的学问完全可以解答．对于程度较高的同学，老师还可以将此题变式，当船连续行驶到D时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观看所A到船只B的水平距离〔精确到1m〕，请同学独立完成.【例2】如下图，A、B两点间的距离是160米，从A点看B 点的仰角是11，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.此题在例1的根底上，又加深了一步，须由A作一条公平于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.设置此题，既使较好的同学有足够的训练，同时对较差同学又是稳固，到达分层次教学的目的.解：过A作，于是，在中，∴〔米〕..∴〔米〕.∴〔米〕.〔米〕.答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E 处，测得仰角，人的高度为1.72米，求树高〔精确到0.01米〕.要求同学依据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的学问来解决它.探究活动一、望海岛如图, 要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成始终线。

解直角三角形及其应用课题授课时间课型新授二次修改意见课时1 授课人科目数学主备教学目标知识与技能使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感态度价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯教材分析重难点重点：直角三角形的解法难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用教学设想教法三主互位导学法学法小组合作教具三角板，多媒体课堂设计一、目标展示⑴: 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形⑵: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶: 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、预习检测1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系abAbaAcbAcaA====cot;tan;cos;sinbaBabBcaBcbB====cot;tan;cos;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cottancossin(2)三边之间关系(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．a2 +b2 =c2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据．三、质疑探究例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=2，a=6，解这个三角形．例2在Rt△ABC中，∠B =35o，b=20，解这个三角形．四、精讲点拨一边一角，如何解直角三角形？五、当堂检测1、Rt△ABC中，假设sinA=45，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．2、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．3、在△ABC中，∠C=90°，sinA=35，那么cos A的值是〔〕A．35B．45C．916.2525D六、作业布置O BAC[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

28.2.2 解直角三角形应用举例教学设计1. 引言本教学设计旨在通过举例，帮助学生更深入地理解和应用解直角三角形的概念和方法。

解直角三角形是在几何学中非常重要的一项基本技能，能够帮助我们解决与角度和边长有关的实际问题。

通过本教学设计，学生将了解如何使用直角三角形的特点，计算未知边长或角度。

2. 目标•学习直角三角形的定义和特点；•掌握解直角三角形的方法和公式；•通过具体的实例应用，培养解决实际问题的能力。

3. 教学内容3.1 直角三角形的定义和特点•什么是直角三角形？•直角三角形有哪些特点？3.2 解直角三角形的方法和公式•解决未知边长的问题：使用勾股定理；•解决未知角度的问题：使用正弦、余弦和正切等三角函数。

3.3 应用举例•实例一：测量山坡的高度；•实例二：计算物体的斜长；•实例三：解决航空导航问题。

4. 教学步骤4.1 导入介绍直角三角形的定义和特点，引发学生对解直角三角形的兴趣。

例：教师：同学们，你们了解直角三角形吗？直角三角形有什么特点呢？学生：直角三角形是指有一个内角为90度的三角形。

教师：很好。

那么，除了有一个内角为90度，直角三角形还有什么特点呢？学生：直角三角形的两条直角边的长度满足勾股定理。

4.2 解直角三角形的方法和公式介绍解直角三角形的基本方法和常用公式，包括使用勾股定理解决未知边长问题，使用三角函数解决未知角度问题。

例：教师：我们可以通过勾股定理来解直角三角形的边长问题。

勾股定理告诉我们，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

那么，如果我们知道两条直角边的长度，就可以计算出斜边的长度。

教师通过数学公式和图示讲解勾股定理的具体应用方法。

教师：此外，为了计算未知角度，我们还可以使用三角函数。

根据三角函数的定义，正弦、余弦和正切可以帮助我们计算角度。

例如，当我们知道一个角的两条边长时，可以使用正弦函数来计算这个角的值。

4.3 应用举例给出若干实际问题，通过解直角三角形的方法和公式，引导学生进行计算。

解直角三角形应用举例教案
复习引入，知识储备
1.什么叫解直角三角形？
在直角三角形中，由已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2.直角三角形的边角关系：
(1)三边之间关系:
(2)锐角之间关系:
(3)边角之间关系:
3.已知哪些元素直角三角形可解？即解直角三角形的条件是什么? 已知一边一锐角或者两边
应用知识，解决问题
仰角和俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
例如图，某地有一座移动信号塔CD,铁信号塔旁边有一座楼房AB.为了测量信号塔CD的高度，准备了如下测量工具：
1.皮尺
2.测角仪
3.长木杆一根
4.镜子
（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（）；
（2）画出你的测量方案示意图；
B D
应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：
）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；。

初中年级数学学科主备人：201 年月课题直角三角形及其应用（一）本课（章节）需课时，本节课为第课时，为本学期总第课时教学目标知识与技能：使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．过程与方法：逐步培养分析问题、解决问题的能力．情感态度与价值观：培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点重点要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．难点要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学方法课型教具教学过程：个案修改AB C D 14°214°2（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系： （二）新授概念1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．例1：如图，在高为的楼顶平台Ｄ处，用仪器测得一路灯电线杆底部Ｂ的俯角为142'︒，仪器高度为AD 为1.5m ，求电线杆与楼的距离BC （精确到1m ）。

分析：在Rt △ABC 中，90∠=︒C ，1.528.530=+=+=AC AD DC m ，142'∠=︒B∴30tan142'︒==AC BC BC∴()30120tan142'=≈︒BC m斜边的对边A A ∠=sin 斜边的邻边A A ∠=cos 的对边的邻边A A A ∠∠=tan答：这根电线杆与这座楼的距离约为120m。

例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。

当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。

九年级下册数学教案《解直角三角形的应用举例》教材分析解直角三角形是继勾股定理后对直角三角形的进一步学习，主要研究如何利用解直角三角形的有关知识，解决与直角三角形有关的实际问题。

比如：方向角问题、仰角俯角问题、坡度问题等。

我们要理解解直角三角形的方法，理解方向角、仰角、俯角、坡度等名词的意义，掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法，达到灵活运用数学知识解决实际问题的目的。

学情分析《解直角三角形的应用举例》是直角三角形的学习中重要的教学内容，是在学生已经学习了锐角三角函数的基本知识上，要求学生会运用“解直角三角形”的知识，按照一定的规则，解决实际生活中碰到的问题，从而达到“能力培养与方法习得”、“情感态度与价值观”的教学目标。

教学目标1、掌握仰角、俯角的概念，会正确运用概念解直角三角形的知识，解决实际问题。

2、体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途。

3、感知解直角三角形的应用与现实生活的密切联系，进一步认识将数学知识运用于实践的意义。

教学重点将实际问题转化为解直角三角形问题。

教学难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间的关系求解。

教学方法讲授法，演示法，讨论法，练习法教学过程一、复习导入1、在直角三角形中，（由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程）叫做解直角三角形。

2、如图，在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：（1）三边之间的关系a 2 +b 2 =c 2（勾股定理）（2）两锐角之间的关系∠A + ∠B = 90°（3）边角之间的关系sin A =∠A 的对边斜边 = a c cos A =∠A 的邻边斜边 = b c tan A =∠A 的对边∠A 的邻边= a b二、探究问题1、2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。

“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km 的圆形轨道上运行。

如图，当组合体运行到地球表面P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P 点的距离是多少（地球半径约为6400km ，π取3.142，结果取整数）？分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点。