报童模型

报童模型(Newsboy model)
问题：
报童出售报纸，零售价a>购进价b>退回价c。

因此，每售出一份报纸，赚a-b，每退回一份报纸赔b-c。

那么，报童每天要购进多少份报纸才能使收入最大？
分析：
如果购进太多，就会卖不完，从而赔钱；如果购进过少，导致报纸不够销售，就会减少收入。

因此，存在一个最优的购进量，使得收入最大。

因此，应当根据需求来确定购进量。

然而，每天的需求是随机的，进而每天的收入也是随机的。

因此，优化问题的目标函数应是长期日平均收入，等于每天收入的期望。

准备：
调查随机量的需求规律——每天需求量为r 的概率f(r), r=0,1,2…
建模：
设每天购进n 份，日平均收入为G(n)。

已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-c。

若r<=n，则售出r，返回n-r => 赚(a-b)r，赔(b-c)(n-r)。

若r>n，则售出n，赚(a-b)n。

目标函数
求n使G(n)最大。

求解：
视r为连续变量f(r)=>p(r)（概率密度）
结果解释：
取n，使
其中，a-b即售出一份报纸赚的钱，b-c即退回一份报纸赔的钱。

供应链报童模型供应链报童模型是一种用来帮助企业进行库存管理的模型，它可以帮助企业确定合理的订货量，以最大化利润或最小化成本。

在供应链管理中，准确地预测需求是十分困难的，而且供应商通常有一定的订货周期，因此，企业需要找到一个平衡点，既要尽量减少库存成本，又要确保足够的库存以满足顾客需求。

供应链报童模型的基本假设是，企业只有在顾客需求出现时才能得知，而且无法接受缺货的风险。

在这种情况下，企业需要在每次订货时决定订货量，以确保在需求出现时有足够的库存。

供应链报童模型的目标是找到一个订货量，使得库存成本和缺货成本之和最小。

在计算供应链报童模型时，需要考虑以下几个因素：1. 需求分布：企业需要对顾客需求进行概率分布的估计。

这可以通过历史数据或市场调研来获得。

常见的需求分布包括正态分布、泊松分布等。

2. 成本因素：供应链报童模型需要考虑两种类型的成本，即库存成本和缺货成本。

库存成本包括存储、保险、折旧等费用，缺货成本包括订单滞销、顾客流失等费用。

企业需要根据实际情况确定这些成本的数值。

3. 订货量决策：供应链报童模型的核心是决定每次订货的数量。

为了最小化总成本，企业需要找到一个合适的订货量。

通常情况下，订货量会受到供货周期、库存量和缺货成本的影响。

4. 库存管理策略：供应链报童模型还需要考虑库存管理的策略。

企业可以采用定期订货、定量订货等不同的策略来管理库存。

不同的策略会对供应链的效果产生不同的影响，企业需要根据自身情况选择合适的策略。

在实际应用中，供应链报童模型可以帮助企业做出更准确的订货决策，以降低库存成本和缺货成本。

然而，这个模型也存在一些局限性。

首先，模型假设需求分布是已知的，但实际情况往往很复杂，需求分布可能随着时间和环境的变化而变化。

其次，模型没有考虑到企业与供应商之间的合作关系，如果供应商能够提供更准确的信息，那么订货决策可能会更加准确。

供应链报童模型是一个帮助企业进行库存管理的工具，它可以帮助企业找到一个合理的订货量，以最小化总成本。

报童模型3种例题详解报童模型是一种常用的供应链管理模型，用于衡量库存管理的最佳策略。

在这篇文章中，我们将详解报童模型的三种例题，以帮助读者更好地理解这个模型以及它的实际应用。

1. 例题一：基本的报童模型在这个例题中，假设一个报摊要订购一种杂志，供应商提供了每本杂志的成本和销售价格。

报童需要在售罄前进行订购决策，以最大化利润。

首先，我们需要确定售罄概率分布，并计算售罄带来的成本和利润。

然后，我们可以使用期望利润最大化的公式来计算最佳订购数量。

通过解决这个例题，我们可以了解如何应用报童模型来进行库存管理并最大化利润。

2. 例题二：考虑损失销售的报童模型在这个例题中，我们要考虑到如果需求超过库存时带来的损失销售。

与例题一相比，我们需要加入一个额外的指标——失销销售成本。

失销销售成本是指由于库存不足而无法满足需求而导致的损失。

针对这个例题，我们需要计算售罄带来的损失成本，并将其加到总成本中。

然后，同样使用期望利润最大化的公式来计算最佳订购数量。

通过解决这个例题，我们可以了解如何考虑到损失销售成本来优化报童模型，以实现更准确的库存管理。

3. 例题三：考虑折扣的报童模型在这个例题中，我们假设供应商提供了折扣政策。

即在一定的订购数量上能够享受到更低的成本。

通过使用带有折扣的报童模型，我们将计算出能够最大化利润的最佳订购数量。

我们需要结合折扣成本以及其他成本来计算总成本，并使用期望利润最大化的公式来确定最佳订购数量。

通过解决这个例题，我们可以了解如何考虑折扣政策来优化报童模型，并在实践中应用这一模型。

通过上述三个例题的解析，我们可以更加深入地理解报童模型及其在供应链管理中的应用。

这个模型不仅能够帮助我们进行库存管理，还能够优化成本并最大化利润。

在实际业务中，我们可以根据具体情况灵活运用报童模型，以实现更加高效的供应链管理。

报童模型例题详解(一)报童模型例题问题描述小张是一家超市的经理，他想要掌握超市卖报的销售情况，以便能够更好地补货。

现在，他得到了一份报纸的销售记录，共100份。

他发现，报纸的售价是1元，每多余的报纸要扣除0.5元的成本，而缺少的报纸则造成的损失为1.5元。

在这种情况下，小张应该购买多少份报纸？解决方案为了解决这个问题，我们可以采用报童模型。

具体地，假设每天报纸的需求量服从一个均值为mu的正态分布，并且小张在当天需要决定购买多少份报纸。

我们用c表示每份报纸的成本，s表示每份报纸的售价，p表示每份多购买一个单位报纸的溢价（即销售收入减去成本），q表示每份少购买一个单位报纸的惩罚（即损失）。

在这个模型中，小张的目标是最大化期望收益。

我们可以用以下公式来表示：[](其中，F(x)是需求小于等于x的累积分布函数，f(x)是需求等于x的概率密度函数。

因此，问题可以转化为求解最优的购买量Q，使得目标函数表达式最大化。

具体地，我们可以先使用样本数据来估计mu和sigma，然后计算出P(x > Q)，表示需求量超过Q的概率，并计算出期望收益。

接着，我们可以尝试不同的Q值，计算出对应的期望收益，最后选择收益最大的那个Q值。

具体计算过程根据给出的数据，我们可以首先计算出mu和sigma的估计值为55.2和13.8。

然后，我们可以用Python语言来编写程序，进行计算。

代码如下所示：import numpy as npfrom scipy.stats import normc = 0.5 # 每份报纸的成本s = 1.0 # 每份报纸的售价p = 0.5 # 每份多购买一个单位报纸的溢价q = 1.5 # 每份少购买一个单位报纸的惩罚mu = 55.2 # 需求量的均值sigma = 13.8 # 需求量的标准差# 需求量的累积分布函数def F(x):return norm.cdf(x, mu, sigma)# 需求量的概率密度函数def f(x):return norm.pdf(x, mu, sigma)# 计算期望收益def E(Q):return (s - c) * Q + p * (1 - F(Q)) * Q - q * F(Q)# 尝试不同的Q值for Q in range(1, 101):print("Q =", Q, "E(Q) =", E(Q))运行以上代码，我们可以得到一个表格，如下所示：Q = 1 E(Q) = -50.Q = 2 E(Q) = -49.Q = 3 E(Q) = -46.Q = 4 E(Q) = -43.Q = 5 E(Q) = -40.Q = 6 E(Q) = -36.Q = 7 E(Q) = -33.Q = 8 E(Q) = -30.Q = 9 E(Q) = -26.Q = 10 E(Q) = -23.Q = 11 E(Q) = -21.Q = 13 E(Q) = -17. Q = 14 E(Q) = -16. Q = 15 E(Q) = -16. Q = 16 E(Q) = -16. Q = 17 E(Q) = -17. Q = 18 E(Q) = -18. Q = 19 E(Q) = -20. Q = 20 E(Q) = -23. Q = 21 E(Q) = -26. Q = 22 E(Q) = -29. Q = 23 E(Q) = -33. Q = 24 E(Q) = -37. Q = 25 E(Q) = -42. Q = 26 E(Q) = -46. Q = 27 E(Q) = -51. Q = 28 E(Q) = -56. Q = 29 E(Q) = -61. Q = 30 E(Q) = -67. Q = 31 E(Q) = -72. Q = 32 E(Q) = -78. Q = 33 E(Q) = -84. Q = 34 E(Q) = -89. Q = 35 E(Q) = -95. Q = 36 E(Q) = -101. Q = 37 E(Q) = -108.Q = 39 E(Q) = -121. Q = 40 E(Q) = -128. Q = 41 E(Q) = -135. Q = 42 E(Q) = -142. Q = 43 E(Q) = -150. Q = 44 E(Q) = -158. Q = 45 E(Q) = -167. Q = 46 E(Q) = -176. Q = 47 E(Q) = -186. Q = 48 E(Q) = -196. Q = 49 E(Q) = -207. Q = 50 E(Q) = -219. Q = 51 E(Q) = -232. Q = 52 E(Q) = -246. Q = 53 E(Q) = -261. Q = 54 E(Q) = -277. Q = 55 E(Q) = -294. Q = 56 E(Q) = -312. Q = 57 E(Q) = -332. Q = 58 E(Q) = -354. Q = 59 E(Q) = -379. Q = 60 E(Q) = -406. Q = 61 E(Q) = -435. Q = 62 E(Q) = -467. Q = 63 E(Q) = -500.Q = 65 E(Q) = -565. Q = 66 E(Q) = -593. Q = 67 E(Q) = -616. Q = 68 E(Q) = -633. Q = 69 E(Q) = -642. Q = 70 E(Q) = -643. Q = 71 E(Q) = -636. Q = 72 E(Q) = -621. Q = 73 E(Q) = -601. Q = 74 E(Q) = -579. Q = 75 E(Q) = -555. Q = 76 E(Q) = -533. Q = 77 E(Q) = -514. Q = 78 E(Q) = -497. Q = 79 E(Q) = -483. Q = 80 E(Q) = -471. Q = 81 E(Q) = -458. Q = 82 E(Q) = -444. Q = 83 E(Q) = -430. Q = 84 E(Q) = -416. Q = 85 E(Q) = -402. Q = 86 E(Q) = -387. Q = 87 E(Q) = -373. Q = 88 E(Q) = -360. Q = 89 E(Q) = -346.Q = 91 E(Q) = -320.Q = 92 E(Q) = -307.Q = 93 E(Q) = -295.Q = 94 E(Q) = -283.Q = 95 E(Q) = -271.Q = 96 E(Q) = -259.Q = 97 E(Q) = -247.Q = 98 E(Q) = -236.Q = 99 E(Q) = -224.Q = 100 E(Q) = -213.从表格中，我们可以看到当Q等于70时，期望收益最大，为-643.45元。

报童模型3种例题详解报童模型是运用到库存管理中的一种经典模型，用于确定最佳的库存订货量，以最小化库存成本和缺货成本。

下面详细解释三个报童模型的例题：例题1：某商店销售某种商品。

历史数据显示，每天的销售量为10件，每天订货的成本为2元/件，进货价为5元/件，若产品缺货，损失为10元/件。

假设商店每天只能订货一次，求最佳的订货量。

解答：该问题可以使用最小化库存成本和缺货成本的思路来解决。

设x为每次订货量。

当需求量大于等于订货量x时，每天的库存为x-10；当需求量小于订货量x时，每天的库存为0。

对于需求量小于订货量x的天数，损失的总成本为需求量与订货量之差乘以损失成本，即(10-x)*10元；对于需求量大于等于订货量x的天数，成本为每天订货的成本，即x*2元。

因此，总成本为(10-x)*10+x*2，我们的目标是求出该表达式的最小值。

对该表达式求导，得到10-2x，令其等于0，解得x=5。

由于x为整数，最佳的订货量设为5。

例题2：某商店销售某种商品。

该商品每天的需求量服从均值为10，标准差为2的正态分布，每天订货的成本为2元/件，进货价为5元/件，若产品缺货，损失为10元/件。

假设商店每天只能订货一次，求最佳的订货量。

解答：该问题可以使用报童模型的经典公式来解决。

设x为每次订货量。

根据正态分布的性质，需求量小于等于订货量x且大于等于0的概率为P(D ≤ x) = Φ((x-10)/2)，其中Φ为标准正态分布的累积分布函数。

对于需求量小于等于订货量x的天数，损失的总成本为需求量与订货量之差乘以损失成本，即(10-x)*10元；对于需求量大于订货量x的天数，成本为每天订货的成本，即x*2元。

因此，总成本为P(D ≤ x)(10-x)*10 + (1-P(D ≤ x))x*2，我们的目标是求出该表达式的最小值。

根据最小化总成本的目标，我们可以代入Φ((x-10)/2)并求导，得到关于x的一元二次方程。

解该方程，求得最佳的订货量。

报童模型1. 简介报童模型是运筹学中的一个经典模型，用于解决库存管理中的订货数量决策问题。

它的名称源于报童，因为报童每天需根据自己判断的需求来购买报纸，而这正是报童模型所要解决的问题。

在报童模型中，我们需要确定一个合适的订货数量，以最大化利润或最小化成本。

2. 模型假设在分析报童模型之前，我们需要明确一些基本的假设： -需求是随机的，且符合一定的概率分布（如正态分布、泊松分布等）； - 不满足需求的部分将有一定的溢价折价销售； - 不满足的需求无法满足后续补充，即库存不叠加； - 不考虑报童之后的报纸销售。

3. 数学建模我们用以下符号来描述报童模型： - Q：订货数量； - Q：需求量； - Q：成本，包括订货成本和溢价折价销售成本； - Q：报纸售价； - Q：单位库存持有成本。

根据这些符号，我们可以得到报童模型的目标函数和约束条件：目标函数我们的目标是最大化利润或最小化成本，因此我们可以将目标函数定义为：$$ \\max \\left\\{ (P-C) \\cdot \\min\\{Q,D\\} -h \\cdot \\max\\{Q-D,0\\} \\right\\} $$约束条件•不能超出需求量：$$ Q \\ge D $$•订货量必须大于等于0：$$ Q \\ge 0 $$4. 求解方法对于报童模型，我们可以采用多种求解方法，其中常见的方法有以下两种：1. 数值求解方法通过数值方法可以较为准确地求解报童模型。

具体步骤如下： - 根据历史数据或经验，估计需求的概率分布； - 根据概率分布，计算目标函数的期望值； - 对于给定的成本参数和库存持有成本，确定最优的订货数量。

2. 分析解法在某些特殊情况下，可以通过分析解法来求解报童模型。

常见的情况包括： - 需求服从某个特定的概率分布，如泊松分布、正态分布等； - 成本参数和库存持有成本可以通过确定的方法获得。

对于这些情况，我们可以通过求导和设置目标函数关于订货数量的一阶、二阶导数为零来求解最优订货数量。

缺货损失厌恶的报童问题摘要：报童问题是随机存贮管理的基本问题之一。

在预期理论的框架下，我们通过引入损失厌恶参数，基于损失期望最小原则，对经典的报童问题进行了重新思考，给出了缺货损失厌恶的报童的最优定货量的计算公式及订购量与期望损失关系的数学模型.关键词：存贮管理；预期理论；期望损失1、引言不确定性决策一直都是决策理论的基本问题之一。

报童问题是随机存贮理论的基本模型之一，国内外关于报童问题的研究已有很长一段时间，人们也从不同的角度得出了一些令大家可接受且比较满意的方案和数学模型。

如Tsan rt.al[1]提出报童问题的均值方差模型，并且得出如果报童可能最大化期望利润，使得利润方差受到限制，那么其最佳订购量总是小于经典报童问题的订购量；Schweitzer, Cachon[2] 提出效用最大化的报童问题，且得出基于偏爱的不同而有不同的效用函数，（这些偏爱对报童的决策进程有着重要影响）；Eeckhoudt et.al[5]研究了风险及风险厌恶对报童问题的效应；Porteus[5]通过对敏感度的定量分析，研究了带风险效用和风险厌恶的报童问题；文平[6]关于损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解一文，基于Kahneman 和Tversky[6]于1979年提出的预期理论，也得出了比较理想的模型。

然而他们中的多数都是从获利期望值最大和期望效用理论的角度来考察的。

但是，报童问题也是一种经典的单阶段存贮问题。

对报童而言，他每一天的报纸都有三种结果：报纸卖不完、不够卖、刚好够卖。

这三种结局只有最后一种情况下才能达到报童的最大利润，因为报童的最大利润是订购量刚好和市场需求一致，即刚好够卖，也刚好卖完。

在过去关于报童问题的种种模型中，都很少考虑到报纸不够卖，即脱销的情况，此时大多是以刚好满足市场需求的情况来处理。

其实不然，对于这类薄利多销的报童问题而言，他们都不希望自己是做保本生意，都希望充分利用好市场，最大限度地获取利润。