报童模型(全)

报童模型某批发商准备订购一批圣诞树供圣诞节期间销售。

该批发商对包括订货费在内的每棵圣诞树要支付$2,树的售价为$6。

未售出的树只能按$1出售。

如果他知道节日期间圣诞树需求量的概率分布，问该批发商应该订购多少树？一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购报纸，然后以0.50元的价格售出。

但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而根据以前的经验，他知道需求量具有均值为50份、标准差为12份的正态分布。

那么，他应当订购多少份报纸呢？假定报童已53份报纸，而另一报贩愿以每份0.4元买入，有多少买多少。

那么，报童应当卖给该报贩多少份报纸呢？基本思路：单周期库存问题决策侧重于定货批量，没有订货时间决策问题；订货量等于需求预测量；库存控制的关键：确定或估计需求量；预测误差的存在导致二种损失（成本）：欠储（机会）成本：需求量大于订货量导致缺货而造成的损失；超储（陈旧）成本：需求量小于订货量导致超储而造成的损失；机会成本或超储成本对最佳订货量的确定起决定性的作用。

（1）期望损失最小法比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。

已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件则：单件机会成本：Cu=P – C单件超储成本：Co=C-S当订货量为Q时，期望损失为：式中P(d)为实际需求量为d时的概率某商店挂历需求的分布率：已知，进价为C=50元/每份，售价P=80元/每份。

降价处理S=30元/每份。

求该商店应该进多少挂历为好。

（2）期望利润最大法比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量作为最佳订货量。

已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件则：单件收益：Cu=P - C单件超储成本：Co=C-S当订货量为Q时，期望利润为：式中P(d)为实际需求量为d时的概率某商店挂历需求的分布率：（3）边际分析法考虑：如果增加一个产品订货能使期望收益大于期望成本，那么就应该在原订货量的基础上追加一个产品的订货。

报童模型1. 简介报童模型是运筹学中的一个经典模型，用于解决库存管理中的订货数量决策问题。

它的名称源于报童，因为报童每天需根据自己判断的需求来购买报纸，而这正是报童模型所要解决的问题。

在报童模型中，我们需要确定一个合适的订货数量，以最大化利润或最小化成本。

2. 模型假设在分析报童模型之前，我们需要明确一些基本的假设： -需求是随机的，且符合一定的概率分布（如正态分布、泊松分布等）； - 不满足需求的部分将有一定的溢价折价销售； - 不满足的需求无法满足后续补充，即库存不叠加； - 不考虑报童之后的报纸销售。

3. 数学建模我们用以下符号来描述报童模型： - Q：订货数量； - Q：需求量； - Q：成本，包括订货成本和溢价折价销售成本； - Q：报纸售价； - Q：单位库存持有成本。

根据这些符号，我们可以得到报童模型的目标函数和约束条件：目标函数我们的目标是最大化利润或最小化成本，因此我们可以将目标函数定义为：$$ \\max \\left\\{ (P-C) \\cdot \\min\\{Q,D\\} -h \\cdot \\max\\{Q-D,0\\} \\right\\} $$约束条件•不能超出需求量：$$ Q \\ge D $$•订货量必须大于等于0：$$ Q \\ge 0 $$4. 求解方法对于报童模型，我们可以采用多种求解方法，其中常见的方法有以下两种：1. 数值求解方法通过数值方法可以较为准确地求解报童模型。

具体步骤如下： - 根据历史数据或经验，估计需求的概率分布； - 根据概率分布，计算目标函数的期望值； - 对于给定的成本参数和库存持有成本，确定最优的订货数量。

2. 分析解法在某些特殊情况下，可以通过分析解法来求解报童模型。

常见的情况包括： - 需求服从某个特定的概率分布，如泊松分布、正态分布等； - 成本参数和库存持有成本可以通过确定的方法获得。

对于这些情况，我们可以通过求导和设置目标函数关于订货数量的一阶、二阶导数为零来求解最优订货数量。

缺货损失厌恶的报童问题摘要：报童问题是随机存贮管理的基本问题之一。

在预期理论的框架下，我们通过引入损失厌恶参数，基于损失期望最小原则，对经典的报童问题进行了重新思考，给出了缺货损失厌恶的报童的最优定货量的计算公式及订购量与期望损失关系的数学模型.关键词：存贮管理；预期理论；期望损失1、引言不确定性决策一直都是决策理论的基本问题之一。

报童问题是随机存贮理论的基本模型之一，国内外关于报童问题的研究已有很长一段时间，人们也从不同的角度得出了一些令大家可接受且比较满意的方案和数学模型。

如Tsan rt.al[1]提出报童问题的均值方差模型，并且得出如果报童可能最大化期望利润，使得利润方差受到限制，那么其最佳订购量总是小于经典报童问题的订购量；Schweitzer, Cachon[2] 提出效用最大化的报童问题，且得出基于偏爱的不同而有不同的效用函数，（这些偏爱对报童的决策进程有着重要影响）；Eeckhoudt et.al[5]研究了风险及风险厌恶对报童问题的效应；Porteus[5]通过对敏感度的定量分析，研究了带风险效用和风险厌恶的报童问题；文平[6]关于损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解一文，基于Kahneman 和Tversky[6]于1979年提出的预期理论，也得出了比较理想的模型。

然而他们中的多数都是从获利期望值最大和期望效用理论的角度来考察的。

但是，报童问题也是一种经典的单阶段存贮问题。

对报童而言，他每一天的报纸都有三种结果：报纸卖不完、不够卖、刚好够卖。

这三种结局只有最后一种情况下才能达到报童的最大利润，因为报童的最大利润是订购量刚好和市场需求一致，即刚好够卖，也刚好卖完。

在过去关于报童问题的种种模型中，都很少考虑到报纸不够卖，即脱销的情况，此时大多是以刚好满足市场需求的情况来处理。

其实不然，对于这类薄利多销的报童问题而言，他们都不希望自己是做保本生意，都希望充分利用好市场，最大限度地获取利润。

报童数学建模 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】报童诀窍一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。

设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。

即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。

报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。

试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。

二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。

假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。

三、模型建立：假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n,，所以报童每天的收入也是随机的。

那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。

从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。

记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。

需求量为r 的概率是f(r),则问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。

四、模型求解：购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)计算令0=dn dG 得dn dG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n ⎰⎰∞-+---=02 得到()()c b b a dr r p dr r p n n--=⎰⎰∞0 n 应满足上式。

()10=⎰∞dr r p 使报童日平均收入达到最大的购进量为()ca b a dr r p n --=⎰0 根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n 在图中用p1,p2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则cb b a P P --=21 O nr因为当购进n 份报纸时，()dr r p P n ⎰=01是需求量r 不超过n 的概率； ()dr r p P n ⎰∞=2是需求量r 超过n 的概率，既卖完的概率，所以上式表明，购进的份数n 应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔的钱b-c 之比。

§ 2报童问题模型［问题的提出］报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.设报纸每份的购进价为b,零售价为a，退回价为c,应该自然地假设为a>b>c.这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c •报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱•请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入.［问题的分析及假设］众所周知，应该根据需求量确定购进量•需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r 0,1,2, ) •有了f(r)和a , b, c, 就可以建立关于购进量的优化模型了.假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n,等于n或大于n,致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入.从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入.［模型的建立及求解］记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r < n,则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n ,则n份将全部售出.考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以问题归结为在f (r) , a, b, c已知时，求n使G(n)最大.通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f (r)转化为概率密度函数p(r), (1)式变成计算第163页^ = (a-b)npM-f <b-c)p(r)dr—(a -6) + (a - b) p( r)dr J H令dG 0.得到 dnI p{r)dr Joa-bI />(r Jdr 由 C J n使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式.因为° p(r)dr 1，所以(3)式又可表为 />(r)dr - a - a c 根据需求量的概率密度 p(r)的图形很容易从(3)式确定购进量 n .在图2中用R , P 2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则(3)式可记作Pi _ a ~ b P tb - cn 因为当购进n 份报纸时，p 1 o p(r )dr 是需求量r 不超过 n 的概率，即卖不完的概率：P 2p(r)dr 是需求量r 超过n 的概率，即卖完n 的概率，所以(3)式表明，购进的份数 应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔 b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱 之比越大时，报童购进的份数就应该越多第164页=-(b - c) />( r)dr +J 0 (4)。

报童模型概念引言报童模型（Newsboy Model）是供应链管理中常用的一种模型，用于帮助企业决策商品订购量。

它的目标是在不确定需求的情况下，最大化企业的利润。

本文将从报童模型的基本概念入手，深入探讨其原理、适用范围以及在实际应用中的注意事项。

什么是报童模型？报童模型是一种在需求不确定的情况下，进行商品订购量决策的模型。

它的名称源自于一位报童，在购买报纸时不知道具体有多少人会买报纸，只能根据过去的数据和一些预测来决定购买的数量。

报童模型的目标是最大化利润，即最大化销售额与成本之间的差额。

原理报童模型的核心原理是基于销售量与利润之间的关系。

一般来说，销售量越高，利润越大，但过高的销售量也会导致库存积压和浪费。

因此，企业需要在平衡销售量与成本之间做出决策。

具体而言，报童模型需要考虑以下几个关键因素：需求分布需求不确定是报童模型的前提条件之一。

一般来说，需求可以被建模为一个概率分布，比如正态分布、泊松分布等。

通过分析过去的销售数据和市场趋势，可以对需求分布进行估计。

订购成本订购成本是指企业为了获得一定数量的商品而需要支付的费用，包括采购成本、运输成本等。

订购成本一般随着订购量的增加而增加。

销售收益是指企业通过销售商品所获得的收入。

销售收益与销售量成正比，但一般销售收益与销售量之间并非线性关系。

在报童模型中，一般假设销售收益可以通过销售价格和销售量之间的函数关系来描述。

库存损失库存损失是指由于库存过剩导致的商品价值降低、过期等损失。

库存损失是报童模型考虑的一个重要因素，过高的库存会增加企业的成本。

基于以上因素，报童模型的目标是找到一个最优的订购量，使得销售收益与订购成本之间的差额最大化。

通常使用数学模型和优化算法来求解最优解。

适用范围报童模型在许多行业中都有广泛的应用。

以下是几个适用范围的示例：零售业零售业是报童模型应用最广泛的领域之一。

对于一些季节性商品或者具有一定时效性的商品，企业需要根据过去的销售数据和市场趋势来进行订购决策，以最大化利润。

报童模型关于报童卖报的问题摘要报童模型在1956年⾸次被提出来以后，就成为学术界的关注焦点，有着⼤量的学者或经济领域的⼈⼠对它进⾏研究和分析，由于报童模型问题中涉及到很多不确定因素的影响，⼈们为了研究和确定这些因素在模型中的量化，通过很多不同的计算⽅法和理论⽅法来使这些⾮量化的因素最⼤化的量化表达，使之趋近于理性决策，但是⼜不是完全能够明确和量化的，这些就是报童模型中的有限理性。

报童模型中关于有限理性涉及到的问题与⽅法到如今已将发展到很多⽅⾯，在随机因素⽅⾯⾸先就是不确定环境下的随机需求，还有库存管理，供应链协调等，在做有限理性决策的时候，⼈们尽量通过具体的推算⽅法来做出最优化决策，虽然不是完全理性决策，但是确实使利润接近最⼤化的有限理性决策。

本论⽂讨论的是报童卖报问题,报童卖报问题实际上就是通过分析,找出⼏种可能的⽅案,通过求解,找出⼀个最优的⽅案来订报,使得报童赢利取得最⼤期望值或报童损失的最⼩期望值的临界值,也就是使报童获得的利益最⼤。

本⽂⾸先建⽴了最⼤期望值和最⼩期望值的模型，然后分别⽤连续的⽅法和离散的⽅法求解，最后得出结论。

尽管报童赢利最⼤期望值和损失最⼩期望值是不相同的，但是确定最佳订购量的条件是相同的。

关键词：报童模型、概率统计、概率分布建模、离散引⾔在报童模型中，有限理性决策主要⾯对的随机性因素是需求和时间，报童模型是典型的单价段，随机需求模型，主旨是寻找产品的最佳订货量，来最⼤化期望收益或最⼩化期望损失。

本⽂⾸先通过理论回顾解释出什么是报童模型中的有限理性，然后罗列了部分在报童模型中有限理性问题上进⾏研究的部分⽂献成果。

再得出有报童模型有限理性的发展。

⼀、问题重述报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。

设报纸每份进购价为b,零售价为a,退回价为c,⾃然地假设a>b>c.也就是说,报童售出⼀份报纸赚a-b,退回⼀份赔b-c,。

试为报童筹划⼀下每天购进报纸的数量，使得收⼊最⼤，那么报童每天要购进多少份报纸？⼆、模型分析如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。