报童模型.ppt

的
分
类
按库存物料在经营过程中所起的作用
销售库存 生产库存
周转库存 安全库存 运输库存
按库存物料的需求特性
独立需求库存 非独立性需求库存
独立性需求与非独立性需求库存
独立性需求
A
非独立性需求
B(4)
C(2)
D(2)
E(1) D(3)
F(2)
Independent demand is uncertain. 独立性需求有不确定性 Dependent demand is certain. 非独立性需求是确定的
库存占用了资金； 库存掩盖了存在的问题； 降低成本的要求； 技术提供了能密切监控库
存水平的能力； 管理库存手段的发展；
问题：便利店是如何管理库存的？
目标是什么？ 如何控制库存？
独立性需求库存的控制目标
服务水平 库存成本
库存系统做什么？
库存系统：关于库存水平监控、 维持库存的决策、何时决定补 货以及订购多少等问题的一套 政策和控制方法。
类别
物资编号
年耗用金额/$
A
22,68
170 000
B
27,03,82
53 000
C
54,36,19,23,41
10 450
233 450
占全部金额的比重
72.9% 22.7 4.4 100.0%
怎样进行分类管理
A类物资应尽可能从严控制，包括应有完整、精确的纪录，最高 的作业优先权，管理人员经常检查，小心精确地确定订货量和 订货点等，对来料期限、库存盘点、领发料等要严格要求。
然后按照规则进行分类。
物资编号
22 68 27 03 82 54 36 19 23 41

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3
这就产生一个问题：订货量过多，出现过剩，会造成损失； 订货量少，又可能会失去销售机会，影响利润，那么应该如何确 定订货策略呢？将这一现象具体到报童销售报纸上，就引发了报 童问题：
报童问题：
报童每天需订购多少份报纸？
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问 报童售报：(零售价) a > (购进价) b > (退回价) c 题 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
报童问题模型
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1
1、报童问题的提出 2、报童问题所属范畴 3、报童模型的建立与求解 4、报童模型的推广与应用
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2
1、报童问题的提出
在日常生活中，经常会碰到一些季节性强、更新快、不易保 存等特点的物品，如海产、山货、时装、生鲜食品和报纸等，当 商店购进这些商品时，买的数量越多，价格越便宜获利越大。但 买得太多也可能卖不出去，需要削价处理，人力物力都受损；如 果进货太少，又可能发生缺货现象，失去销售机会而减少利润。
每天购进多少份使收入最大？
分 购进太多卖不完退回赔钱 析 购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合适的 购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
优化问题的目标函数应是长期的日平均收入
等于每天收入的期望
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5
2、报童问题所属范畴
单周期随机型存贮模型
这种单周期购入—售出（报纸、日历、杂志，各种季节性货物、时 装），并且超出该购入—售出周期商品就会严重贬值的存贮问题，存 贮论中统称为卖报童问题。 这类问题的库存控制策略是以利润期望最大为目标，确定一次购入的 经济订货批量。
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4、报童问题的推广与应用

报童数学建模 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】报童诀窍一、问题： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。

设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，假设a>b>c 。

即报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c 。

报童每天购进报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。

试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，以获得最大收入。

二、模型分析：购进量由需求量确定，需求量是随机的。

假定报童已通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销受范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是f(r)(r=0,1,2…)有了f(r),a 和b,c 就可以建立关于购进量的优化模型。

三、模型建立：假设每天购进量是n 份，需求量是随机的，r 可以小于，等于或大于n,，所以报童每天的收入也是随机的。

那么，作为优化模型的目标函数，不能取每天的收入，而取长期卖报（月，年）的日平均收入。

从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，简称平均收入。

记报童每天购进n 份报纸的平均收入为G(n),如果这天的需求量r<=n,则售出r份，退回n-r 份；如果需求量人r>n,则r 份将全部售出。

需求量为r 的概率是f(r),则问题归结为在()c b a r f ,,,已知时，求n 是G(n)最大。

四、模型求解：购进量n 都相当大，将r 视为连续变量便于分析和计算，这时概率f(r)转化为概率密度函数p(r)计算令0=dn dG 得dn dG ()()()()()()dr r p b a dr r p c b n np c a n n ⎰⎰∞-+---=02 得到()()c b b a dr r p dr r p n n--=⎰⎰∞0 n 应满足上式。

()10=⎰∞dr r p 使报童日平均收入达到最大的购进量为()ca b a dr r p n --=⎰0 根据需求量的概率密度p(r)的图形可以确定购进量n 在图中用p1,p2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则cb b a P P --=21 O nr因为当购进n 份报纸时，()dr r p P n ⎰=01是需求量r 不超过n 的概率； ()dr r p P n ⎰∞=2是需求量r 超过n 的概率，既卖完的概率，所以上式表明，购进的份数n 应使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b 与退回一份赔的钱b-c 之比。

§ 2报童问题模型［问题的提出］报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.设报纸每份的购进价为b,零售价为a，退回价为c,应该自然地假设为a>b>c.这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c •报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱•请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入.［问题的分析及假设］众所周知，应该根据需求量确定购进量•需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)(r 0,1,2, ) •有了f(r)和a , b, c, 就可以建立关于购进量的优化模型了.假设每天购进量为n份，因为需求量r是随机的，r可以小于n,等于n或大于n,致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期(几个月，一年)卖报的日平均收入.从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入.［模型的建立及求解］记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天的需求量r < n,则他售出r份，退回n-r份；如果这天的需求量r>n ,则n份将全部售出.考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以问题归结为在f (r) , a, b, c已知时，求n使G(n)最大.通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量更便于分析和计算，这时概率f (r)转化为概率密度函数p(r), (1)式变成计算第163页^ = (a-b)npM-f <b-c)p(r)dr—(a -6) + (a - b) p( r)dr J H令dG 0.得到 dnI p{r)dr Joa-bI />(r Jdr 由 C J n使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(3)式.因为° p(r)dr 1，所以(3)式又可表为 />(r)dr - a - a c 根据需求量的概率密度 p(r)的图形很容易从(3)式确定购进量 n .在图2中用R , P 2分别表示曲线p(r)下的两块面积，则(3)式可记作Pi _ a ~ b P tb - cn 因为当购进n 份报纸时，p 1 o p(r )dr 是需求量r 不超过 n 的概率，即卖不完的概率：P 2p(r)dr 是需求量r 超过n 的概率，即卖完n 的概率，所以(3)式表明，购进的份数 应该使卖不完和卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a-b 与退回一份赔 b-c 之比.显然，当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱和赔钱 之比越大时，报童购进的份数就应该越多第164页=-(b - c) />( r)dr +J 0 (4)。

考虑一下 …
尽管借着电影”玩具总动员” 尽管借着电影”玩具总动员”的热潮生产了 50百万的玩具 Burger King 还是经历了 百万的玩具, 百万的玩具 大面积的缺货. 大面积的缺货 在一年内 IBM由于 由于ThinkPad笔记本缺货 笔记本缺货 由于 百万. 预期损失达到 100百万 百万 2001年许多科技公司 (如., Palm, 年许多科技公司 如 Cisco) 由于库存问题产生了重大的削减 由于库存问题产生了重大的削减. Kmart 和 Sears 在边缘挣扎而 WalMart 的业绩仍然引人注目 的业绩仍然引人注目..
报童模型适用性很广，其本质是必须在随机 事件发生之前作出决策。最后在随机事件发 生后你才能了解你是订购太多（需求小于订 购量）还是订购太少（需求大于订购量）。 IMB损失1亿美元的案例.
考虑一下 …
图书零售商将 30%的精装新书返还给出版 的精装新书返还给出版 商. 航空公司的上座率为72.4%, 而 70.4% 航空公司的上座率为 的上座率才可以达到收支平衡. 的上座率才可以达到收支平衡 在新车市场上,有53%的消费者对至少一项 在新车市场上 有 的消费者对至少一项 主要产品特性不满意. 主要产品特性不满意
9.0
25000
8.0 20000
7.0
6.0 15000 5.0 Turns 销售 (百万美元) BBY turns CC turns BBY Sales CC Sales
4.0 10000 3.0
2.0
5000
1.0
0.0 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001
概率
日产出量 (千桶))
英国石油的投资方案
两个方案:

超额预售问题பைடு நூலகம்解法
设 X 为超额预售的机票数，设 Y 为有票没来的人数。
X > Y 就意味着超额预售的机票数超过了有票没来的人数。 再多售一张机票就要蒙受400美元的损失， co = $.
X < Y 则意味着超额预订的数量小于没有登机的人数，预订 数量减少一个就蒙受100美元的损失， cu = $100.。
– P{Y>X*} 表示需求Y大于X*的概率。
– P{Y<X*} 表示需求Y小于X*的概率。
– CuP{Y>X*} – CoP{Y<X*}
第X*件产品售出时所带来的收益； 第X*件产品未售出时所带来的损失。
Y小于X*的概率
X的分布 0
X 安全库存 z
公式推导过程
Cu P Y X * CO P Y X * CO 1 P Y X *
晚到一分钟）。 • 都需要测算 Y 的概率分布。
• 缺货成本= Cu = 单位销售额-单位成本 • 过量成本 ＝Co ＝原始单位成本-单位残值
• X* 会随着 cu 增加而增加。 • X* 会随着 co 增加而减少。
报童问题推导过程
推导原理
• 销售最后一件所得的收益大于或等于最后一件未被售出时 所带来的损失。（边际收益接近边际损失）
Y小于X*的概率
X的分布 0
X 安全库存 z
超额预售机票问题的解
• 一家航空公司发现，一趟航班的持有机票而 未登机（“不露面”）的人数具有平均值为 20人、标准偏差为10人的正态分布。根据这 家航空公司的测算，每一个空座位的机会成 本为100美元。乘客确认票后但因满座不能 登机有关的罚款费用估计为400美元。该航 空公司想限制该航班的“超额预订”。飞机 上共有150个座位。确认预订的截止上限应 当是多少？

缺货损失厌恶的报童问题摘要：报童问题是随机存贮管理的基本问题之一。

在预期理论的框架下，我们通过引入损失厌恶参数，基于损失期望最小原则，对经典的报童问题进行了重新思考，给出了缺货损失厌恶的报童的最优定货量的计算公式及订购量与期望损失关系的数学模型.关键词：存贮管理；预期理论；期望损失1、引言不确定性决策一直都是决策理论的基本问题之一。

报童问题是随机存贮理论的基本模型之一，国内外关于报童问题的研究已有很长一段时间，人们也从不同的角度得出了一些令大家可接受且比较满意的方案和数学模型。

如Tsan rt.al[1]提出报童问题的均值方差模型，并且得出如果报童可能最大化期望利润，使得利润方差受到限制，那么其最佳订购量总是小于经典报童问题的订购量；Schweitzer, Cachon[2] 提出效用最大化的报童问题，且得出基于偏爱的不同而有不同的效用函数，（这些偏爱对报童的决策进程有着重要影响）；Eeckhoudt et.al[5]研究了风险及风险厌恶对报童问题的效应；Porteus[5]通过对敏感度的定量分析，研究了带风险效用和风险厌恶的报童问题；文平[6]关于损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解一文，基于Kahneman 和Tversky[6]于1979年提出的预期理论，也得出了比较理想的模型。

然而他们中的多数都是从获利期望值最大和期望效用理论的角度来考察的。

但是，报童问题也是一种经典的单阶段存贮问题。

对报童而言，他每一天的报纸都有三种结果：报纸卖不完、不够卖、刚好够卖。

这三种结局只有最后一种情况下才能达到报童的最大利润，因为报童的最大利润是订购量刚好和市场需求一致，即刚好够卖，也刚好卖完。

在过去关于报童问题的种种模型中，都很少考虑到报纸不够卖，即脱销的情况，此时大多是以刚好满足市场需求的情况来处理。

其实不然，对于这类薄利多销的报童问题而言，他们都不希望自己是做保本生意，都希望充分利用好市场，最大限度地获取利润。

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某商家经营某种商品，零售价a元，购进价b元，退回价 c元，而一个经营周期的销售量 r 是一个离散型随机变量， 其分布列为 P(r k) pk ，试确定商家的最佳订货量。
分析与求解：设每次订购n件，其获得利润的期望为E(n)， 若他多订购一件商品，则这件商品能卖出去的概率为
P(r n 1) ，卖不出去的概率为P(r n) ，而商家每天获利 的利润函数为
Z
aX
c(n
X ) bn
X n且X Y n X n且X Y n
an bn
X n
现在只需要弄清楚销售量X（随机变量）和打折销售
量Y （随机变量）的联合概率密度就可以进行处理。
以上是采用连续型随机变量方式进行处理的，但有时在离散 随机变量下该如何处理呢？ 此时要用边际分析法处理。
.精品课件.
k 0
k n1
n 1
E(n) E(n 1) (a b) pk (b c) pk 0
k n
k 0
n
若记 qn P(r n) pk , 则1 qn
pk ；
k 0
k n1
所以
n1
qn1 P(r n 1) pk , 而1 qn1 pk
k 0
k n
E(n) E(n 1) (b c)qn (a b)(1 qn ) 0
分析：若订购量n件，则当
1、销售量 X n 时，正规售出X份，余下n-X份， ①打折售出量 Y n X时，售出Y份，退回n-X-Y份； ②打折售出量 Y n X时，售出n-X份，没有退回。
2、销售量X n时，正规售出n份，没有剩余衣服。
.精品课件.
6
则利润随机变量为
aX cY b( X Y ) (b d )(n X Y )

0.56
-128
1.19
227
0.67
133
0.82
288
0.72
-492
1.46
499
0.59
-396
1.30
-342
1.23
-1314
1.60
1995
0.37
521
0.86
2817
0.57
概率
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75
在标准正态分布函数表中查找正态标准值小于等于Z的概率.
Slide ‹#›
应用历史A/F 比率选取需求预测的正态分布函数
▪ 从预测,猜测等得出初始预测值. ▪ 欧耐尔 Hammer 3/2 的初始预测值为 3200 套. ▪ 计算历史数据的 A/F 比率:
A/F 比率
实际需求 预测
▪ 确定正态标准分布的均值:
680
EPIC 2MM S/S FULL
740
EPIC 4/3
1020
WMS EPIC 4/3
1060
JR HAMMER 3/2
1220
HAMMER 3/2
1300
HAMMER S/S FULL
1490
EPIC 3/2
2190
ZEN 3/2
3190
ZEN-ZIP 4/3
3810
WMS HAMMER 3/2 FULL
误差A*/F 比率**
-50
1.56
37
0.69
-3
1.02
7
0.96

Forecast Actual demand Error* A/F Ratio**
Q －周期一开始购买的商品数量 f (x) －需求量D的概率密度函数 F(x) －需求量D的概率分布函数
F (Q) cu F (Q* ) co cu
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案例：报童模型
Pandora皮衣：单位利润14.50$，因滞销降价 而带来损失5.00$/件.
成员 预测
Coroln Laura Tom 1200 1150 1250
Generate a demand model: – Use empirical demand distribution or choose a standard distribution function to represent demand, e.g. the normal distribution, the Poisson distribution.
南大北门的报亭在过 去100天里，某报纸 的销售记录如左表。 报纸销售价1元，进 价0.3元。问：报亭 老板每天订几份报纸 合适？
A. 2 B. 3 C. 4
什么是分析能力？
一位物理学家，工程师和数学家在东马徒步旅 行， 看到一头黑山羊在山坡上吃草。物理学家 首先发表高见:“所有马国的山羊都是黑色的。 ”
《统计应用案例-报童模型》
徐小林 香港中文大学 博士 南京大学 商学院 工商管理系 副教授
Tel:25-83621292 xuxl@
在你面前有三个门，其中两个门里面是山羊，另外一个 是汽车。你当然想得到那辆汽车，而不是臭气轰轰的山 羊。主持人要求你选中一个，但是不能打开。此时主持 人打开另外一个，是山羊。现在主持人问你，你要不要 改成第三个门？
Marketing’s forecast for sales is 3200 units

关于报童卖报的问题摘要报童模型在1956年首次被提出来以后，就成为学术界的关注焦点，有着大量的学者或经济领域的人士对它进行研究和分析，由于报童模型问题中涉及到很多不确定因素的影响，人们为了研究和确定这些因素在模型中的量化，通过很多不同的计算方法和理论方法来使这些非量化的因素最大化的量化表达，使之趋近于理性决策，但是又不是完全能够明确和量化的，这些就是报童模型中的有限理性。

报童模型中关于有限理性涉及到的问题与方法到如今已将发展到很多方面，在随机因素方面首先就是不确定环境下的随机需求，还有库存管理，供应链协调等，在做有限理性决策的时候，人们尽量通过具体的推算方法来做出最优化决策，虽然不是完全理性决策，但是确实使利润接近最大化的有限理性决策。

本论文讨论的是报童卖报问题,报童卖报问题实际上就是通过分析,找出几种可能的方案,通过求解,找出一个最优的方案来订报,使得报童赢利取得最大期望值或报童损失的最小期望值的临界值,也就是使报童获得的利益最大。

本文首先建立了最大期望值和最小期望值的模型，然后分别用连续的方法和离散的方法求解，最后得出结论。

尽管报童赢利最大期望值和损失最小期望值是不相同的，但是确定最佳订购量的条件是相同的。

关键词：报童模型、概率统计、概率分布建模、离散引言在报童模型中，有限理性决策主要面对的随机性因素是需求和时间，报童模型是典型的单价段，随机需求模型，主旨是寻找产品的最佳订货量，来最大化期望收益或最小化期望损失。

本文首先通过理论回顾解释出什么是报童模型中的有限理性，然后罗列了部分在报童模型中有限理性问题上进行研究的部分文献成果。

再得出有报童模型有限理性的发展。

一、问题重述报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。

设报纸每份进购价为b,零售价为a,退回价为c,自然地假设a>b>c.也就是说,报童售出一份报纸赚a-b,退回一份赔b-c,。

试为报童筹划一下每天购进报纸的数量，使得收入最大，那么报童每天要购进多少份报纸？二、模型分析如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。

2.7.3 分位数
定义2.7.3 设 0 < p < 1， 若 xp 满足 P( X xp ) = F(xp) = p
则称 xp 为此分布 p - 分位数， 亦称 xp 为下侧 p - 分位数.
第43页/共49页
注意点
(1) 因为 X 小于等于 xp 的可能性为 p ， 所以 X 大于 xp 的可能性为 1 p .
2.4.1 二项分布
记为 X ~
bP(n(X,
p)k.)
n
pk
(1
p)nk
,
k 0,1,...,n.
k
➢➢ X当n为=1时n重，称伯b(努1, p里) 为试0-验1分中布. “成功”
的次数,
第17页/共49页
一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布.
第24页/共49页
§2.5 常用连续分布
正态分布、均匀分布、 指数分布、
伽玛分布、贝塔分布。
第25页/共49页
2.5.1 正态分布
p(x)
1
2
exp
(x)2 2 2
,
x
记为X ~ N(, 2), 其中 >0， 是任意实数
.
➢ 是位置参数.
➢ 是尺度参数.
第26页/共49页
y
O
μ
第46页/共49页
中位数与均值 • 相同点：都是反映随机变量的位置特征. • 不同点： 含义不同.
第47页/共49页
统计中常用的 p - 分位数
(1) N(0, 1)： Z , U
(2) 2(n)：
(3) t (n)：
2
(n)

报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回．若每份报纸的购进价为b 元/份，售价为a 元/份；若不能售出，退回价c 元/份．假设a>b>c. 这就是说，报童售出一份报纸赚a-b ，退回一份赔b-c ．报童每天如果购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱．请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入．问题的分析众所周知，应该根据需求量确定购进量．需求量是随机的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为ｒ份的概率是),2,1,0()( =r r f ．有了)(r f 和a ，ｂ，ｃ，就可以建立关于购进量的优化模型了．模型假设假设每天购进量为ｎ份，因为需求量ｒ是随机的，ｒ可以小于ｎ，等于ｎ或大于ｎ，致使报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入，而应该是他长期（几个月，一年）卖报的日平均收入．从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入．建模与求解记报童每天购进n 份报纸时的平均收入为)(n G ,如果这天的需求量n r ≤，则他售出r 份，退回r n -份；如果这天的需求量n r >，则n 份将全部售出．考虑到需求量为r 的概率是)(r f ，所以∑∑∞+==-+----=10)()()()])(()[()(n r n r r nf b a r f r n c b r b a n G (5.4.1) 问题归结为在c b a r f ,,),(已知时，求n 使)(n G 最大．通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量更便于分析和计算，这时概率)(r f 转化为概率密度函数)(r p ，(5.4.1)式变成⎰⎰∞-+----=n n dr r np b a dr r p r n c b r b a n G )()()()])(()[()(0 5.4.2)计算⎰⎰∞-+-----=n n dr r p b a n np b a dr r p c b n np b a dndG )()()()()()()()(0 ⎰⎰∞-+--=n n dr r p b a dr r p c b )()()()(0 令0=dndG ，得到 cb b a dr r p drr p nn --=⎰⎰∞)()(0 (5.4.3)使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(5.4.3)式．因为1)(0=⎰∞dr r p ，所以(5.4.3)式又可以表为ca b a dr r p n --=⎰0)( (5.4.4) 根据需求量的概率密度)(r p 的图形很容易从(5.4.3)式确定购进量n ．在图5-4中用21,P P 分别表示曲线)(r p 下的两块面积，则(5.4.3)式可记作ca b a P P --=21(5.4.5)因为当购进n 份报纸时，dr r p P n ⎰=01)( 是需求量r 不超过n 的概率，即卖不完的概率； dr r p P n⎰∞=)(2是需求量r 超过n 的概率，即 卖完的概率，所以(5.4.3)表明，购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱b a -与退回一份赔的钱c b -之比．显然，当报童与报社签订的合同使报童每 图5-4 由)(r p 确定n 的图解法 份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多．评注：在问题的分析中，我们假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需求量的随机规律，但没有指明其概率的具体分布，其实也可以假定需求量为ｒ份的概率是一个具体的分布，如泊松分布，然后再具体分析计算，其结果也会与上面的讨论结果相近．。

*
Q* 1200 0.65130 1,285
从A-1看出， 对于面积=0.74， z=0.65 。因此
f(x)
面积=0.74
130
1200
Q*
需求量， X
9
O’Neill’s Hammer 3/2 wetsuit
Hammer 3/2 timeline and economics
Forecasts and actual demand for surf wet-suits from the previous season
Empirical distribution of forecast accuracy
Product description JR ZEN FL 3/2 EPIC 5/3 W/HD JR ZEN 3/2 WMS ZEN-ZIP 4/3 HEATWAVE 3/2 JR EPIC 3/2 WMS ZEN 3/2 ZEN-ZIP 5/4/3 W/HOOD WMS EPIC 5/3 W/HD EVO 3/2 JR EPIC 4/3 WMS EPIC 2MM FULL HEATWAVE 4/3 ZEN 4/3 EVO 4/3 ZEN FL 3/2 HEAT 4/3 ZEN-ZIP 2MM FULL HEAT 3/2 WMS EPIC 3/2 WMS ELITE 3/2 ZEN-ZIP 3/2 ZEN 2MM S/S FULL EPIC 2MM S/S FULL EPIC 4/3 WMS EPIC 4/3 JR HAMMER 3/2 HAMMER 3/2 HAMMER S/S FULL EPIC 3/2 ZEN 3/2 Forecast 90 120 140 170 170 180 180 270 320 380 380 390 430 430 440 450 460 470 500 610 650 660 680 740 1020 1060 1220 1300 1490 2190 3190 Actual demand 140 83 143 163 212 175 195 317 369 587 571 311 274 239 623 365 450 116 635 830 364 788 453 607 732 1552 721 1696 1832 3504 1195 Error* A/F Ratio** -50 1.56 37 0.69 -3 1.02 7 0.96 -42 1.25 5 0.97 100% -15 1.08 -47 1.17 90% -49 1.15 80% -207 1.54 70% -191 1.50 60% 79 0.80 50% 156 0.64 40% 191 0.56 -183 1.42 30% 85 0.81 20% 10 0.98 10% 354 0.25 0% -135 1.27 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 -220 1.36 0.00 286 0.56 A/F ratio -128 1.19 Empirical distribution function for the historical A/F ratios. 227 0.67 133 0.82 288 0.72 -492 1.46 499 0.59 -396 1.30 -342 1.23 -1314 1.60 1995 0.37

售出n, 赚(a b)n
n

G(n) [(a b)r (b c)(n r)] f (r) (a b)nf (r)
r 0
r n1
求n使G(n)最大
微免教研室7
求
将r视为连续变量
解
f (r) p(r) (概率密度)
G(n)

n
0
[(
a

b)r

(b

c)(n
微免教研室20
keep order size at k
Additional contribution
0
order k+1
1 more unsold Co
instead of k
C
1 fewer lost sale
u
Order k+1 instead of k if
Pr(D>k) Cu Pr(D<k) (Co) > 0
微免教研室6
3、模型的建立与求解
准
调查需求量的随机规律——每天需求量为 r 的
备
概率 f(r), r=0,1,2…
• 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)
建
模
• 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
rn
售出r, 退回n r
赚(a b)r, 赔(b c)(n r)
rn
L.L. Bean Example – Demand Distribution
Table 13-1
Demand Di (in hundreds)
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Probability pi 0.01 0.02 0.04 0.08 0.09 0.11 0.16 0.20 0.11 0.10 0.04 0.02 0.01 0.01

报童模型某批发商准备订购一批圣诞树供圣诞节期间销售。

该批发商对包括订货费在内的每棵圣诞树要支付$2,树的售价为$6。

未售出的树只能按$1出售。

如果他知道节日期间圣诞树需求量的概率分布，问该批发商应该订购多少树？一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购报纸，然后以0.50元的价格售出。

但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而根据以前的经验，他知道需求量具有均值为50份、标准差为12份的正态分布。

那么，他应当订购多少份报纸呢？假定报童已53份报纸，而另一报贩愿以每份0.4元买入，有多少买多少。

那么，报童应当卖给该报贩多少份报纸呢？基本思路：单周期库存问题决策侧重于定货批量，没有订货时间决策问题；订货量等于需求预测量；库存控制的关键：确定或估计需求量；预测误差的存在导致二种损失（成本）：欠储（机会）成本：需求量大于订货量导致缺货而造成的损失；超储（陈旧）成本：需求量小于订货量导致超储而造成的损失；机会成本或超储成本对最佳订货量的确定起决定性的作用。

（1）期望损失最小法比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。

已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件则：单件机会成本：Cu=P – C单件超储成本：Co=C-S当订货量为Q时，期望损失为：式中P(d)为实际需求量为d时的概率某商店挂历需求的分布率：已知，进价为C=50元/每份，售价P=80元/每份。

降价处理S=30元/每份。

求该商店应该进多少挂历为好。

（2）期望利润最大法比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量作为最佳订货量。

已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件则：单件收益：Cu=P - C单件超储成本：Co=C-S当订货量为Q时，期望利润为：式中P(d)为实际需求量为d时的概率某商店挂历需求的分布率：（3）边际分析法考虑：如果增加一个产品订货能使期望收益大于期望成本，那么就应该在原订货量的基础上追加一个产品的订货。