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报童模型3种例题详解报童模型是运用到库存管理中的一种经典模型，用于确定最佳的库存订货量，以最小化库存成本和缺货成本。
下面详细解释三个报童模型的例题：例题1：某商店销售某种商品。
历史数据显示，每天的销售量为10件，每天订货的成本为2元/件，进货价为5元/件，若产品缺货，损失为10元/件。
假设商店每天只能订货一次，求最佳的订货量。
解答：该问题可以使用最小化库存成本和缺货成本的思路来解决。
设x为每次订货量。
当需求量大于等于订货量x时，每天的库存为x-10；当需求量小于订货量x时，每天的库存为0。
对于需求量小于订货量x的天数，损失的总成本为需求量与订货量之差乘以损失成本，即(10-x)*10元；对于需求量大于等于订货量x的天数，成本为每天订货的成本，即x*2元。
因此，总成本为(10-x)*10+x*2，我们的目标是求出该表达式的最小值。
对该表达式求导，得到10-2x，令其等于0，解得x=5。
由于x为整数，最佳的订货量设为5。
例题2：某商店销售某种商品。
该商品每天的需求量服从均值为10，标准差为2的正态分布，每天订货的成本为2元/件，进货价为5元/件，若产品缺货，损失为10元/件。
假设商店每天只能订货一次，求最佳的订货量。
解答：该问题可以使用报童模型的经典公式来解决。
设x为每次订货量。
根据正态分布的性质，需求量小于等于订货量x且大于等于0的概率为P(D ≤ x) = Φ((x-10)/2)，其中Φ为标准正态分布的累积分布函数。
对于需求量小于等于订货量x的天数，损失的总成本为需求量与订货量之差乘以损失成本，即(10-x)*10元；对于需求量大于订货量x的天数，成本为每天订货的成本，即x*2元。
因此，总成本为P(D ≤ x)(10-x)*10 + (1-P(D ≤ x))x*2，我们的目标是求出该表达式的最小值。
根据最小化总成本的目标，我们可以代入Φ((x-10)/2)并求导，得到关于x的一元二次方程。
解该方程，求得最佳的订货量。
报童模型下的批发价契约1 基本模型1.1 前提在该模型下存在单个供货商和单个零售商，零售商面临着报童模型问题：零售商必须在有随机需求的单个销售季节来临之前选择一个订购数量。
假设双方都是风险中性，即双方都以最大化己方的利润为目标。
并且双方都知道所有成本、参数及规则 。
该模型发生在两种遵从机制下：自愿遵从机制和被迫遵从机制。
假设市场需求为D （0>D ），期望需求用μ表示，即][D E =μ，需求分布函数和概率密度函数分别为)(x F 、)(x f 。
)(x F 为严格的单调递增函数，有0)0(=F ，)(1)(x F x F -=。
假设市场零售价格为p ，供货商产品的成本价和零售商的边际成本分别为s c 和r c ，其中零售商的边际成本发生在零售商购买商品的过程中。
令r g 为零售商单位缺货损失成本，s g 为由于零售商单位缺货而导致供应商的惩罚成本，其中r s g g g +=为供应链上单位缺货的总惩罚成本。
在销售季节末，零售商可以获得未售出的商品的每单位残值为v ，其中c v <。
1.2 事件发生顺序首先，供应商向零售商提供一个合约，零售商可以选择接受或者拒绝，假设零售商接受合约，零售商向供应商提交一个数量为q 的订单，接着供应商在销售季来临之前生产并向零售商转交产品。
随后需求发生，最终转移支付按照两方公司的订立的合约进行转移。
如果零售商拒绝合约，本次合约结束。
1.3 利润函数设零售商的订购数量为q ，零售商订购数量为q 时的期望利润用)(q r π表示，期望销售用)(q S 表示，期望剩余库存用)(q I 表示，期望销售损失用)(q L 表示。
则期望销售)(q S 为订购量与市场需求的极小值，即)],[min()(D q E q S =，当q D >时的数学期望为))(1()(x F q dx x f q q -⋅=⋅⎰∞，q D <时的数学期望为⎰⋅qdx x f x 0)(，即：⎰⎰-=⋅+-⋅==q qdy y F q dx x f x x F q D q E q S 00)()())(1()],[min()(期望剩余库存)(q I 为订购量q 超过市场需求D 的部分，即+-=)()(D q q I ，则： )()()()()()()(00q S q dx x f x q F q dx x f x q D q q I q q-=⋅-⋅=⋅-=-=⎰⎰+期望销售损失)(q L 为市场需求D 超过订购量q 的部分，即+-=)()(q D q L ，则： )())(1()()()()()(0q S q F q dx x f x dx x f q x q D q L qq -=-⋅-⋅-=⋅-=-=⎰⎰∞+μμ 零售商的期望利润)(q r π为：Tg q v c q S g v p T q c q L g q I v q S p q r r r r r r -⋅-⋅--⋅+-=-⋅-⋅-⋅+⋅=μπ)()()()()()()( 供货商的利润函数：T g q c q S g T q L g q c q s s s s s s +⋅-⋅-⋅=+⋅-⋅-=μπ)()()(供应链的利润函数：为简便计算，令s r c c c +=，s r g g g +=，则)()()()()()()(s r s r s r s r g g q v c c q S g g v p q q q +⋅-⋅-+-⋅++-=+=∏μππ μ⋅-⋅--⋅+-=g q v c q S g v p )()()( (2.1)o q 为供应链上的最优订购量，)(max arg q q o ∏=。
报童投资组合模型中的批发价契约设计
徐绪松;翁鸣
【期刊名称】《技术经济》
【年(卷),期】2008(027)009
【摘要】当风险规避型报童的订货资金有限,却有多种产品可供订购时,供应商需要设计恰当的契约,以引导报童的订货行为,实现最大化自身收益的目的.针对上述问题,本文运用投资组合理论处理报童的决策问题;在此基础上建立了供应商与报童之间的博弈模型,设计了求解最优批发价契约的算法;通过数值算例,说明了最优契约的求解过程.结果表明,与未经优化而随机选择的契约相比,基于该算法求得的契约显著提升了供应商的期望收益.
【总页数】6页(P38-43)
【作者】徐绪松;翁鸣
【作者单位】武汉大学,经济与管理学院,武汉,430072;武汉大学,经济与管理学院,武汉,430072;广西财经学院,南宁,530003
【正文语种】中文
【中图分类】F224
【相关文献】
1.基于后悔规避效用函数的报童投资组合模型 [J], 翁鸣
2.批发价格契约下考虑公平关切的供应链协调及契约设计 [J], 牛占文;郁艳青;何龙飞
3.农产品质量预期不一致与农超对接批发价格契约设计 [J], 徐会敏; 代应; 宋寒
4.考虑合作社资金不足的农超对接批发价格契约设计 [J], 田德林; 代应; 宋寒
5.前景理论、心理账户与报童趋中效应 [J], 顾波军;张祥;李艳玲
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报童模型关于报童卖报的问题摘要报童模型在1956年⾸次被提出来以后，就成为学术界的关注焦点，有着⼤量的学者或经济领域的⼈⼠对它进⾏研究和分析，由于报童模型问题中涉及到很多不确定因素的影响，⼈们为了研究和确定这些因素在模型中的量化，通过很多不同的计算⽅法和理论⽅法来使这些⾮量化的因素最⼤化的量化表达，使之趋近于理性决策，但是⼜不是完全能够明确和量化的，这些就是报童模型中的有限理性。
报童模型中关于有限理性涉及到的问题与⽅法到如今已将发展到很多⽅⾯，在随机因素⽅⾯⾸先就是不确定环境下的随机需求，还有库存管理，供应链协调等，在做有限理性决策的时候，⼈们尽量通过具体的推算⽅法来做出最优化决策，虽然不是完全理性决策，但是确实使利润接近最⼤化的有限理性决策。
本论⽂讨论的是报童卖报问题,报童卖报问题实际上就是通过分析,找出⼏种可能的⽅案,通过求解,找出⼀个最优的⽅案来订报,使得报童赢利取得最⼤期望值或报童损失的最⼩期望值的临界值,也就是使报童获得的利益最⼤。
本⽂⾸先建⽴了最⼤期望值和最⼩期望值的模型，然后分别⽤连续的⽅法和离散的⽅法求解，最后得出结论。
尽管报童赢利最⼤期望值和损失最⼩期望值是不相同的，但是确定最佳订购量的条件是相同的。
关键词：报童模型、概率统计、概率分布建模、离散引⾔在报童模型中，有限理性决策主要⾯对的随机性因素是需求和时间，报童模型是典型的单价段，随机需求模型，主旨是寻找产品的最佳订货量，来最⼤化期望收益或最⼩化期望损失。
本⽂⾸先通过理论回顾解释出什么是报童模型中的有限理性，然后罗列了部分在报童模型中有限理性问题上进⾏研究的部分⽂献成果。
再得出有报童模型有限理性的发展。
⼀、问题重述报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。
设报纸每份进购价为b,零售价为a,退回价为c,⾃然地假设a>b>c.也就是说,报童售出⼀份报纸赚a-b,退回⼀份赔b-c,。
试为报童筹划⼀下每天购进报纸的数量，使得收⼊最⼤，那么报童每天要购进多少份报纸？⼆、模型分析如果每天购进的报纸太少，不够卖的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完，将要赔钱。
某批发商准备订购一批圣诞树供圣诞节期间销售。
该批发商对包括订货费在内的每棵圣诞树要支付$2,树的售价为$6。
未售出的树只能按$1出售。
如果他知道节日期间圣诞树需求量的概率分布，问该批发商应该订购多少树？一名报童以每份元的价格从发行人那里订购报纸，然后以元的价格售出。
但是，他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量，而根据以前的经验，他知道需求量具有均值为50份、标准差为12份的正态分布。
那么，他应当订购多少份报纸呢？假定报童已53份报纸，而另一报贩愿以每份元买入，有多少买多少。
那么，报童应当卖给该报贩多少份报纸呢？基本思路：单周期库存问题决策侧重于定货批量，没有订货时间决策问题；订货量等于需求预测量；库存控制的关键：确定或估计需求量；预测误差的存在导致二种损失（成本）：欠储（机会）成本：需求量大于订货量导致缺货而造成的损失；超储（陈旧）成本：需求量小于订货量导致超储而造成的损失；机会成本或超储成本对最佳订货量的确定起决定性的作用。
（1）期望损失最小法比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。
已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件则：单件机会成本：Cu=P – C单件超储成本：Co=C-S当订货量为Q时，期望损失为：式中P(d)为实际需求量为d时的概率某商店挂历需求的分布率：已知，进价为C=50元/每份，售价P=80元/每份。
降价处理S=30元/每份。
求该商店应该进多少挂历为好。
（2）期望利润最大法比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量作为最佳订货量。
已知：单位成本：C/件，单位售价：P/件，降价处理：S/件则：单件收益：Cu=P - C单件超储成本：Co=C-S当订货量为Q时，期望利润为：式中P(d)为实际需求量为d时的概率某商店挂历需求的分布率：（3）边际分析法考虑：如果增加一个产品订货能使期望收益大于期望成本，那么就应该在原订货量的基础上追加一个产品的订货。
公平偏好下基于批发价契约的供应链协调研究作者：覃燕红李言芹魏光兴来源：《经济数学》2013年第04期摘要文中基于Nash讨价还价博弈思想建立公平偏好框架，构建公平偏好效用体系，以此为基础对采用批发价契约的报童模型展开行为研究，采用数理模型和数值分析方法分析了零售商和供应商的公平偏好行为对零售商和供应链系统最优订货量的影响，即零售商和供应商同时关注公平时，零售商和供应链系统的最优订货量趋于保守；并发现零售商和供应链系统的最优订货量随零售商的公平偏好程度增加而递减，但随着供应商公平偏好程度增加而递增，且供应链系统最优订货量变化趋势比零售商明显.然后，在此基础上分析比较得到，无论供应商和零售商是否偏好公平，批发价契约都不能实现供应链协调.最后，对批发价、零售价、供应商生产成本、零售商缺货成本和供应商缺货成本进行敏感度分析.关键词 Nash讨价还价；报童模型；公平偏好；供应链协调；批发价契约1 引言在分散式两级供应链系统中，每个供应链成员都以实现自身利益最大化为目标，往往和供应链整体利润最大化的目标不一致，这就是双重边际化效应[1].双重边际化效应会导致供应链整体利润降低，供应链效率下降.为了消除双重边际化效应，需要设计合适的供应链契约实现供应链协调[2].常见的供应链契约有批发价契约、回购契约、收益共享契约、数量折扣契约，其中批发价契约最常见契约形式[3].传统关于供应链契约的研究都是假定供应链成员是完全理性的，即决策者总以利益最大化为决策准则，而在现实中供应链成员对公平表现出极大关注，这就是公平偏好[4].供应链成员不仅关注自身的经济收益，同时也关注供应链成员利润之间的划分是否公平 [5]，供应链成员可能会牺牲自己的收益从而达到更公平的收益分配 [6-8].Ho和魏光兴认为公平偏好行为会改变供应链的管理和协调效率[9，10].Corsten认为公平偏好行为对维护和发展供应链成员关系有很大作用[11].市场营销学中也有很多案例表明，公平偏好在渠道关系发展和维护中起很重要的作用[12，13].公平性是供应链契约设计中最重要的因素之一，供应链成员公平偏好行为一定程度上也会影响供应链系统的协调性[14].例如，Cui和Ozgun研究了由制造商和零售商组成的二级供应链模型，考虑了零售商的公平偏好，发现供应商采取高于成本的批发价时，供应链能实现协调[15，16].Caliskan在Cui的基础上考虑了非线性需求的市场函数，研究发现零售商的公平偏好行为在一定的条件下能协调供应链，而且条件比Cui文献的条件相对宽松[17].谭佳音构建零售商和制造商组成的的二级供应链模型，研究了零售商的公平偏好行为对收益共享契约协调效果的影响[18].杜少甫在报童模型的基础上考虑了零售商的公平偏好行为，发现零售商的公平偏好行为不会改变供应链的协调性[19].杜少甫和杜婵构建了Nash讨价还价框架下的报童模型，在此基础上考虑了零售商的公平偏好行为对供应链决策的影响[20].黄松考虑了零售商和制造商的公平偏好行为，并采用批发价契约来协调供应链，研究发现批发价契约不能实现供应链协调[21].综上所述，大部分文献都没有同时考虑零售商和供应商的公平偏好行为，也没有考虑缺货成本，供应商的公平偏好行为和缺货成本会对供应链的协调性产生影响.鉴于此，文中基于Nash讨价还价博弈思想建立公平偏好框架，构建公平偏好效用体系，以此为基础对采用批发价契约的报童模型展开行为研究，分析零售商和供应商的公平偏好行为对零售商和供应链系统最优订货量的影响.然后，分析了批发价契约下零售商和供应商的公平偏好行为对供应链协调性的影响.最后，对批发价、零售商、供应商生产成本、零售商缺货成本和供应商缺货成本进行敏感度分析.2 公平中性下的报童模型公平中性是零售商和供应商都不存在公平偏好行为的情形，也就是传统的报童模型.文中所涉及的主要参数和符号如下：D>0 表示销售季节的随机市场需求，服从概率密度函数和分布函数分别f（x）和F（x）的分布，均值为μ，F（x）为连续﹑可微且严格递增，F（0）=0，（x）=1-F（x）；p为零售商的销售价格；w为零售商的批发价格；q为零售商的订货量；cr 和cs分别为零售商的边际成本和供应商单位生产成本，c=cr+cs，且 cgs；v为零售商处理单位剩余产品的净残值，假设v。
关于确定订货量的参考方法——报童模型引言：报童模型的引入：公司目前采用的订货策略是根据现有的资金最大限度的采购原蜜，对于其科学性，我们暂时保留意见，下面我们将引入一种更加有说服力的确定订货量的方法——报童模型。
一、已知数据：年销量/产量output=5000吨; 年产值sales=14250万；利税B=777万；年库存总费用H=700万；单位原蜜购买成本c=9000元/吨；二、使用报童模型求解小蜜蜂工厂原蜜订货量问题的几点假设：1、假设小蜜蜂工厂的库存模型为单周期的。
依据：虽然由表中可以看出小蜜蜂每年的采购次数为5次，但是实际上这5次采购是发生在全国5个不同的采购基地，并且是花种花期都不同，故可以将其分开来单独处理。
(例如五月份采购入库的是洋槐花蜜，需满足全年的洋槐花蜜的需求)。
2、由于市场上蜂蜜行业的现状是供不应求，因此工厂存货过多导致的超储成本主要是库存维持成本，而不是传统意义上的对多余库存作处理价售出而造成的损失；3、若工厂存货不足，则导致欠储成本。
基于综合因素的考虑，我们假定欠储成本包括两个部分：一是机会损失，即本应该获得的利润损失（=售价—成本）；二是由缺货引起的商家信誉受损或客户流失造成的损失(用x表示)。
三、无预算约束的报童模型公式: F(q*)=c u/(c u+c o)其中，F(X)为蜂蜜需求分布函数（可能是正态分布函数，也可能是负指数分布等），c u 表示欠储成本，c o表示超储成本。
根据假设：欠储成本=机会利润损失+客户流失损失(c u=p-c+x);超储成本=库存维持费用(h)处理后的报童模型公式：F(q*)= (p-c+x) /( p-c+x+h)即q*=F-1[(p-c+x) /( p-c+x+h)]单位库存费用h=年库存总费用/平均库存水平=4098元/(年*吨)；单位产品平均售价p=年产值/年销量=28500元/吨；1、缺货不存在客户流失的情况（更符合实际情况，因蜂蜜目前属于供不应求产品，即x=0）直接将数据带入公式计算，查需求分布函数值表，最后可求得最优订货量。
报童模型推导过程引言报童模型是运筹学中的一个经典问题，用来研究在确定需求不确定的情况下，如何进行订货决策以最大化利润或最小化成本。
该模型可以应用于各种销售场景，如零售业、餐饮业等。
本文将详细介绍报童模型的推导过程，以帮助读者更好地理解该模型的基本原理和应用方法。
问题描述在介绍推导过程之前，我们首先来明确报童模型的问题描述和假设条件。
假设一个报摊要在每天早上采购某种报纸供应给顾客，报纸当日的需求是随机的，报刊杂志店的利润等于报纸售价与进货价之间的差值，当售出的报纸数量超过需求时，超过的部分将无法销售并造成损失。
问题描述如下： - 每天早上只能进行一次订货，订货量为Q， - 报纸的需求量是随机的且服从已知的概率分布，可以假设为离散分布， - 报纸进货价格为C，售价为P，超过需求的报纸不可退还，且销售价格与需求量无关。
根据以上描述，我们的目标是通过确定订货量Q来使得期望利润最大化或者期望成本最小化。
推导过程为了求解最优的订货量Q，我们需要先通过数学推导建立相应的模型。
第一步：建立利润函数我们假设需求的概率分布为离散变量，其中每个需求量和对应的概率分别为d和P(d)。
那么对于每个可能的需求量d，利润可以表示为售价P与进货价C之差乘以实际售出的报纸数量min(d,Q)。
因此，对于每个订货量Q，我们可以计算出对应的利润。
定义利润函数f(Q)为：f(Q)=P⋅min(d,Q)−C⋅Q第二步：计算期望利润为了得到期望利润，我们需要计算利润函数对应于每个可能的需求量的加权平均值。
因此，期望利润E(Q)可以表示为：(d)⋅f(Q)E(Q)=∑Pd第三步：求解最优订货量我们的目标是通过求解最优订货量Q来使期望利润最大化或者最小化。
针对最大化期望利润的情况，我们需要对利润函数求导并找到使导数等于0的订货量。
第四步：求导计算对利润函数f(Q)进行求导，我们得到：df(Q)=P⋅I(Q>d)−CdQ其中，I(Q > d)为指示函数，当Q > d时取值为1，否则为0。
现代办公家具五金件的研究摘要：随着时代的进步和科学技术的不断发展，现代办公家具出现各式各样的产品，五金件在满足基本连接功能之外，如何能够有更多的发展和设计来满足人们日益变化的工作需求，如何更合理化，如何更新颖化，如何更人性化，如何满足最大程度上的质量和外观上的要求便成了我们现今追求的新目标。
五金件行业在中国还会有一个长足的进步和发展。
开发设计者在产品造型创新、制造工艺、材料发展和防腐处理等技术工艺以及板式办公家具五金件连接的力学性能等方面的研究制造上需要投入更多的精力。
关键词：五金件；造型创新；技术工艺；力学性能The research of modern office furniture hardware Abstract: With the era of progress and the continuous development of science and technology, modern office furniture in a wide range of products and hardware to meet the basic connectivity, how can we have more development and design to meet the growing demand for changes in the work , How to be More rationalized, more humane ways, how to meet the greatest extent on the quality and appearance of the requirements of today will become our pursuit of new targets. Hardware industry in China will have a great progress and development. The development of modeling innovation in product design, manufacturing processes, materials and the development of technology embalmed, and other plate furniture and hardware, such as connecting the mechanical properties of the study on the need to create more energy input.Keyword: Hardware; Modeling innovation; Technical craft; Mechanical properties目录摘要......................................................... 错误!未定义书签。
报童模型下的批发价契约
1 基本模型
1.1 前提
在该模型下存在单个供货商和单个零售商，零售商面临着报童模型问题：零售商必须在有随机需求的单个销售季节来临之前选择一个订购数量。
假设双方都是风险中性，即双方都以最大化己方的利润为目标。
并且双方都知道所有成本、参数及规则 。
该模型发生在两种遵从机制下：自愿遵从机制和被迫遵从机制。
假设市场需求为D （0>D ），期望需求用μ表示，即][D E =μ，需求分布函数和概率密度函数分别为)(x F 、)(x f 。
)(x F 为严格的单调递增函数，有0)0(=F ，)(1)(x F x F -=。
假设市场零售价格为p ，供货商产品的成本价和零售商的边际成本分别为s c 和r c ，其中零售商的边际成本发生在零售商购买商品的过程中。
令r g 为零售商单位缺货损失成本，s g 为由于零售商单位缺货而导致供应商的惩罚成本，其中r s g g g +=为供应链上单位缺货的总惩罚成本。
在销售季节末，零售商可以获得未售出的商品的每单位残值为v ，其中c v <。
1.2 事件发生顺序
首先，供应商向零售商提供一个合约，零售商可以选择接受或者拒绝，假设零售商接受合约，零售商向供应商提交一个数量为q 的订单，接着供应商在销售季来临之前生产并向零售商转交产品。
随后需求发生，最终转移支付按照两方公司的订立的合约进行转移。
如果零售商拒绝合约，本次合约结束。
1.3 利润函数
设零售商的订购数量为q ，零售商订购数量为q 时的期望利润用)(q r π表示，期望销售用)(q S 表示，期望剩余库存用)(q I 表示，期望销售损失用)(q L 表示。
则期望销售)(q S 为订购量与市场需求的极小值，即)],[min()(D q E q S =，当q D >时的数学期望为))(1()(x F q dx x f q q -⋅=⋅⎰∞
，q D <时的数学期望为⎰⋅q
dx x f x 0)(，即：
⎰⎰-=⋅+-⋅==q q
dy y F q dx x f x x F q D q E q S 00)()())(1()],[min()(
期望剩余库存)(q I 为订购量q 超过市场需求D 的部分，即+
-=)()(D q q I ，则： )
()()()()()()(00q S q dx x f x q F q dx x f x q D q q I q q
-=⋅-⋅=⋅-=-=⎰⎰+
期望销售损失)(q L 为市场需求D 超过订购量q 的部分，即+
-=)()(q D q L ，则： )
())(1()()()()()(0q S q F q dx x f x dx x f q x q D q L q
q -=-⋅-⋅-=⋅-=-=⎰⎰∞
+μμ 零售商的期望利润)(q r π为：
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g q v c q S g v p T q c q L g q I v q S p q r r r r r r -⋅-⋅--⋅+-=-⋅-⋅-⋅+⋅=μπ)()()()()()()( 供货商的利润函数：
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供应链的利润函数：
为简便计算，令s r c c c +=，s r g g g +=，则
)()()()()()()(s r s r s r s r g g q v c c q S g g v p q q q +⋅-⋅-+-⋅++-=+=∏μππ μ⋅-⋅--⋅+-=g q v c q S g v p )()()( (2.1)
o q 为供应链上的最优订购量，)(m ax arg q q o ∏=。
假设0)(>∏o q ，因为)(x F 是严格的增函数，)(q ∏为凹函数，最优订货量有唯一解。
o q 满足
g
v p v c q F q S o o +--==')()(。
(2.2) *r q 为零售商的最优订购量，)(m ax arg *q q r r π=。
分销商的订购量依赖于转移支付。
2.1 批发价格契约
在批发价契约下，零售商向供货商支付每单位w 的批发价格，其中发生的转移支付为：q w w q T w ⋅=),(。
则零售商的期望利润)(q r π为：
μ
π⋅-⋅-+-⋅+-=⋅-⋅-⋅-⋅+⋅=r r r r r r g q v c w q S g v p q w q c q L g q I v q S p w q )()()()()()(),( 考虑零售商R 的订购决策，令*
r q 为零售商期望利润最大化时的订购量，即
)),(m ax (arg *w q q r r π=，且),(w q r π为严格的凹函数，则有： q v c w q S g v p q w q r r r ⋅-+-'⋅+-=∂∂)()()(),(π
(2.3) 0)()(])()([),(22<⋅+--=''⋅+-=∂∂q f g v p q S g v p q w q r r r π
因此，零售商唯一的最优订购量*
r q 满足
0)()()(*=-+-'⋅+-v c w q S g v p r r r 即可得到：
r r r g v p v
c w q S +--+=')(*
因为)(q S '是减函数，若想0*q q r =，只有：)(S )(o *q q S r '='
即： g v p v c g v p v c w r r +--=+--+
解得此时的批发价为：
)()(v c v c g v p g v p w r r ---+-+-=
由上我们虽然得到批发价契约可以满足供应链协调的条件，但是我们还需考虑这种方案是
否可行，我们可以通过对批发价与成本价的比较得出相应的结论：
0)(1)()()(≤-⋅-+-+-=----⋅+-+-=-v c g
v p g v p c v c v c g v p g v p c w r s r r s ，s c w ≤， 显而易见，批发价格小于供货商的生产成本。
结论：由于s c w ≤，则批发价契约可协调当且仅当供应商获得非正利润时，即该契约不能在资源遵从机制下达到协调。
尽管批发价格契约不能协调供应链，但是仍然值得我们研究，因为在实践中批发价格
契约是最常见的。
例如，批发价格契约对于参与者而言是最简单的。
这所导致的结果就是如果应用了能够协调的供应链契约所带来的额外的一些负担超过了供应链潜在的增加的利润，那么供应商更愿意选择不能达成协调的批发价格契约。
可以得出，分销商的最优订货数量满足：
r
r r g v p v c w q F +--+-=1)(* 因为F 是严格的增函数，并且批发价格w 和零售商的最优订货量*r q 之间是一一对应的，
因此，我们以)(q w 作为能够使零售商订货量为*
r q 的批发价格，那么： )()()()(v c q F g v p q w r r --⋅+-=
那么此时的供应商的利润为：
μπ⋅-⋅-+⋅=s s s s g q c q w q S g q w q ))(()())(,( (2.4)
显而易见，自愿遵从机制与批发价契约无关，对于任何一个确定的不小于s c 的批发价格，其利润是q 的非递减函数，所以供应商将愿意生产分销商订购的所有数量产品，而且是越多越好。
供应商的边际利润为：
)()()(1)()()()()())(,(v c q F q qf g v p g q F g v p q q w c q w q S g q
q w q r s r s s s --⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+⋅⋅+-=⋅'+-+'⋅=∂∂π
根据式（2），分销商的边际利润为： 0)()()())(,(>⋅⋅+-=⋅'-=∂∂q q f g v p q q w q q w q r r π 且0)()())(,())(,('>-+⋅=∂∂+∂∂s s r s c q w q s g q
q w q q q w q ππ 结论：在批发价格契约下，零售商的利润是关于q 的增函数。
供货商可以通过降低零售商的批发价格来提高分销商的利润。
只要零售商的利润低于供应链的最优利润，那么
],[*o s q q q ∈的范围内，零售商的最低盈利要求实际上增加了供应链的总利润，零售商的利润同样也是q 的增函数。
