武忠祥辅导讲义不定积分例十三

第四章 不定积分讲义【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理． 2．熟练掌握不定积分的基本公式．3．熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握第二类换元法（限于三角代换与简单的根式代换）．4．熟练掌握不定积分的分部积分法．【考试内容】一、原函数与不定积分的概念1．原函数的定义如果在区间I上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I∈，都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的原函数．例如，因(sin )cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数．2．原函数存在定理如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一x I ∈都有()()F x f x '=．简单地说就是，连续函数一定有原函数．3．不定积分的定义在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的不定积分，记作()f x dx ⎰．其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分，即()()f x dx F x C =+⎰，因而不定积分()f x dx ⎰可以表示()f x 的任意一个原函数．函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线．4．不定积分的性质（1）设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．（2）设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()()k f x d x k f x d x=⎰⎰． 5．不定积分与导数的关系（1）由于()f x dx ⎰是()f x 的原函数，故()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰ 或 ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ ． （2）由于()F x 是()F x '的原函数，故()()F x d x F x C '=+⎰ 或()()dF x F x C =+⎰ ．二、基本积分公式1．kdx kx C =+⎰ （k 是常数）2．11x x dx C μμμ+=++⎰ （1μ≠-）3．1ln dx x C x =+⎰4．21arctan 1dx x C x =++⎰5．arcsin dx x C =+⎰6．cos sin xdx x C =+⎰ 7．sin cos xdx x C =-+⎰8．221sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰9．221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰10．sec tan sec x xdx x C =+⎰11．csc cot csc x xdx x C =-+⎰ 12．xxe dx e C =+⎰13．ln xxa a dx C a=+⎰ *14．tan ln cos xdx x C =-+⎰ *15．cot ln sin xdx x C =+⎰*16．sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ *17．csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰*18．2211arctan xdx C a x a a =++⎰*19．2211ln 2x adx C x a a x a-=+-+⎰*20．arcsin xC a =+*21．ln(dx x C =++ *22．ln x C =++说明：带“*”号的公式大家可以不记住，但必须会推导．三、第一类换元法（凑微分法）1．定理若()f u ，()x ϕ及()x ϕ'都是连续函数，且()()f u du F u C =+⎰，则[()]()[()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰．2．常用凑微分公式（1）1()()dx d x b d ax b a=+=+ （a ，b 均为常数且0a ≠）（2）11()1aa xdx d x b a +=++ （a ，b 均为常数且1a ≠-）2211()()22xdx d x d x b ==+2dx d = （3）1(ln )(ln )dx d x d x b x==+ （4）()()xx x e dx d e d e b ==+（5）11()()ln ln xxx a dx d a d a b a a==+（6）sin (cos )(cos )xdx d x d x b =-=-+ （7）cos (sin )(sin )xdx d x d x b ==+（8）2sec(tan )(tan )xdx d x d x b ==+（9）2csc(cot )(cot )xdx d x d x b ==+（10(arcsin )(arcsin )dx d x d x b ==+（11）21(arctan )(arctan )1dx d x d x b x==++ （12）22211[ln(1)][ln(1)]122x dx d x d x b x =+=+++ 四、第二类换元法定理：设()f x 连续，()x t ϕ=及()t ϕ'都是连续函数，()x t ϕ=的反函数1()t x ϕ-=存在且可导，并且[()]()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎰，则1()[()]f x dx F x C ϕ-=+⎰．说明：第二类换元法常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式，一般有如下情形： （1sin x a t =； （2tan xa t =；（3sec x a t =．五、分部积分法1．公式的推导设函数()uu x =及()v v x =具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为()uv u v uv '''=+，移项，得()uv uv u v '''=-，对这个等式两边求不定积分，得u v d x u v u v d ''=-⎰⎰，为简便起见，上述公式也写为udv uv vdu =-⎰⎰ ．2．注意事项（1）如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u ，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）．（2）如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u （有时也可利用变量代换）． （3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．六、简单有理函数的不定积分分子分母均为x 的多项式的分式函数称为有理函数，简单有理函数可通过适当变换如加项、减项等分解为可求不定积分的简单函数．或u ，由于这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分．【典型例题】 【例4-1】计算下列不定积分． 1．2x xedx ⎰．解：222211()22x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰．2．21xdx x +⎰．解：2222111(1)ln(1)1212x dx d x x C x x =+=++++⎰⎰．3．221(1)x x dx x x +++⎰．解：2222221111(1)(1)(1)1x x x x dx dx dx dx dx x x x x x x x x +++=+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰arctan ln x x C =++．4．ln x dx x ⎰．解：2ln 1ln (ln )ln 2x dx xd x x C x ==+⎰⎰．5．1ln dx x x ⎰．解：11(ln )ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰．6．sec (sec tan )x x x dx -⎰．解： 2sec (sec tan )secsec tan x x x dx xdx x xdx -=-⎰⎰⎰t a n s e c x x C=-+． 7．2sin xdx ⎰．解：21cos211sin cos2222x xdx dx dx xdx -==-⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =-+． 8．2cos xdx ⎰．解：21cos211cos cos2222x xdx dx dx xdx +==+⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =++． 9．2tan xdx ⎰．解：222tan (sec 1)sec tan xdx x dx xdx dx x x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰． 10．2cot xdx ⎰．解：222cot (csc 1)csc cot xdx x dx xdx dx x x C =-=-=--+⎰⎰⎰⎰．11．11x dx e +⎰．解：11(1)1111x x x xx x x x e e e e dx dx dx dx dx e e e e +-==-=-++++⎰⎰⎰⎰⎰1(1)ln(1)1x xxdx d e x e C e=-+=-+++⎰⎰． 12．21825dx x x -+⎰．解：22211114825(4)99()13dx dx dx x x x x ==--+-++⎰⎰⎰211414()arctan 43333()13x x d C x --==+-+⎰．13．25sin cos x xdx ⎰． 解： 原式2242sincos (sin )sin (1sin )(sin )x xd x x x d x ==-⎰⎰246(sin 2sin sin )(sin )x x x d x =-+⎰357121sin sin sin 357x x x C =-++． 14．cos3cos 2x xdx ⎰．解：111cos3cos2(cos cos5)sin sin52210x xdx x x dx x x C =+=++⎰⎰．【例4-2】计算下列不定积分． 1．cos x xdx ⎰．解：cos (sin )sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰．2．x xe dx ⎰．解：()(1)x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e C x e C ==-=-+=-+⎰⎰⎰． 3．ln x xdx ⎰．解：222221ln ln ()ln (ln )ln 22222x x x x x x xdx xd x d x x dx x==-=-⋅⎰⎰⎰⎰ 222ln ln 2224x x x x x dx x C =-=-+⎰．说明：此题也可用变量代换解，即令ln xt =，则t x e =，t dx e dt =，故原式2222111()222t t t t t t e t e dt te dt td e te e dt =⋅⋅===-⎰⎰⎰⎰ 2222221111ln ln 242424t t x xte e C x x x C x C =-+=⋅-+=-+．4．arctan x xdx ⎰．解：222arctan arctan ()arctan (arctan )222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰ 22222111arctan arctan (1)221221x x x x dx x dx x x =-⋅=--++⎰⎰ 211arctan arctan 222x x x x C =-++．5．ln xdx ⎰．解：1ln ln (ln )ln ln xdx x x xd x x x x dx x x x C x=-=-⋅=-+⎰⎰⎰．6．arctan xdx ⎰．解：2arctan arctan (arctan )arctan 1x xdx x x xd x x x dx x =-=-+⎰⎰⎰ 2221(1)1a r c t a n a r c t a nl n (1)212d x x x x x x C x+=-=-+++⎰． 7．cos xe xdx ⎰．解：原式(sin )sin sin sin (cos )x x x x xe d x e x x e dx e x e d x ==-⋅=+⎰⎰⎰sin cos cos x x x e x e x x e dx =+-⋅⎰，所以1cos (sin cos )2xxe xdx e x x C =++⎰．8．sin(ln )x dx ⎰．解：1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⎰⎰sin(ln )x x =- 1cos(ln )sin(ln )cos(ln )[sin(ln )]x dx x x x x x x dx x =-+-⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，故1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x x C =-+⎰．说明：此题也可用变量代换法求解，即令ln t x =，则t x e =，t dx e dt =，则原式sin sin ()sin cos t t t tt e dt td e e t e tdt =⋅==-⎰⎰⎰s i n c o s ()s i n c o s(s i n t t t t te t t d e e t e t e t d t=-=-+-⎰⎰， 故原式11(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t t e t e t C x x x x C =-+=-+． 【例4-3】计算下列不定积分．1．2156x dx x x +-+⎰．解：被积函数的分母分解成(2)(3)x x --，故可设215632x A Bx x x x +=+-+--， 其中A 、B 为待定系数．上式两端去分母后，得 1(2)(3)x A x B x +=-+-，即1()23x A B x A B +=+--．比较此式两端同次幂的系数，即有 1A B +=，231A B +=-，从而解得4A =，3B =-，于是2143()4ln 33ln 25632x dx dx x x C x x x x +=-=---+-+--⎰⎰．2．22(21)(1)x dx x x x ++++⎰．解：设222(21)(1)211x A Bx Cx x x x x x ++=+++++++， 则 22(1)()(21)x A x x B x C x +=+++++，即22(2)(2)x A B x A B C x A C+=++++++，有 20,21,2,A B A B C A C +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ 解得 2,1,0.A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩于是2222()(21)(1)211x xdx dx x x x x x x +=-++++++⎰⎰22221(21)11(1)1ln 21ln 211321212()24x d x x dxx dx x x x x x x +-++=+-=+-+++++++⎰⎰⎰21ln 21ln(1)2x x x C =+-++++．3．dx x⎰．u =，于是21x u =+，2dx udu =，故22221222(1)111u u dx udu du du x u u u=⋅==-+++⎰⎰⎰⎰2(arctan )arctan u u C C =-+=-+．4．．解：为了去掉根号，可以设u =，于是32x u =-，23dx u du =，故22313(1)3(ln 1)112u u du u du u u C u u ==-+=-+++++⎰⎰3ln 1C =-+++． 【例4-4】设()arcsin xf x dx x C =+⎰，求1()dx f x ⎰． 解：对等式()arcsin xf x dx x C =+⎰ 两边对 x 求导，可得()xf x =， 则()f x =故211()(1)()2dx x f x ==--⎰⎰⎰ 332222121()(1)(1)233x C x C =-⋅-+=--+．【例4-5】已知sin xx是()f x 的一个原函数，求()xf x dx '⎰．解：因为sin xx是 ()f x 的一个原函数，所以 2sin cos sin ()()x x x x f x x x -'== 且 s i n ()xf x dx C x=+⎰， 故根据不定积分的分部积分法可得2cos sin sin ()()()()x x x xxf x dx xdf x xf x f x dx x C x x-'==-=⋅-+⎰⎰⎰cos sin sin 2sin cos x x x x xC x C x x x-=-+=-+．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）下列等式中，正确的一个是 （A ）()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ （B ）()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ （C ）()()F x dx f x '=⎰ （D ）()()d f x dx f x C ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 解：选项（A ）正确；()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰，故选项（B ）和选项（D ）均不正确；()()F x dx F x C '=+⎰，故选项（C ）错误．故选（A ）． 2．（2007年，3分）设21()f x x'=（0x >），则()f x =（A ）2x C + （B ）ln x C + （C）C + （DC + 解：令2xt =，因0x >，故x =21()f x x '= 变为()f t '=，该式两边对x取不定积分得，()f t C ==+，即()f x C =+．选（C ）． 3．（2006年，2分）若11()xxf x edx e C --=+⎰，则()f x =（A ）1x （B ）1x - （C ）21x （D ）21x -解：等式11()xxf x e dx e C--=+⎰两边对x 求导得，1121()xxf x ee x --=⋅，故21()f x x =．选项（C ）正确．4．（2005年，3分）ln sin tan xd x =⎰（A ）tan lnsin x x x c -+（B ）tan lnsin x x x c ++ （C ）tan lnsin cos dx x x x -⎰ （D ）tan lnsin cos dxx x x +⎰解：ln sin tan tan ln sin tan (ln sin )xd x x x xd x =-⎰⎰cos tan lnsin tan tan lnsin sin xx x x dx x x x C x=-=-+⎰．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）不定积分()df x =⎰．解：根据不定积分与微分的关系可得，()()df x f x C =+⎰．2．（2009年，2分）设()xf x e-=，则(ln )f x dx x'=⎰．解：由题意，()x f x e -=，则()x f x e -'=-，那么ln 1(ln )x f x e x-'=-=-，于是2(ln )11f x dx dx C x x x'==-+⎰⎰． 三、计算题1．（2010年，5分）求不定积分2ln 1x dx x -⎰．解：2ln 11ln 11(ln 1)()()(ln 1)x x dx x d d x x x x x--=--=----⎰⎰⎰21ln 11ln 1ln x x x dx C C x x x x x --=+=-+=-+⎰．2．（2009年，5分）求不定积分．解：ln (ln )xd x x ==-⎰⎰x x C =-=-+⎰． 3．（2006年，4分）若2()f x dx x C =+⎰，求2(1)xf x dx -⎰．解：等式2()f x dx x C =+⎰两边对x 求导，可得 ()2f x x =，则22(1)2(1)f x x -=-，从而223241(1)2(1)(22)2xf x dx x x dx x x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰． 4．（2005年，5分）求不定积分12cos dx x +⎰．解：2222sec 2(tan )11222cos 12cos 2sec 3tan222x xd dx dx dx x x x x ===++++⎰⎰⎰⎰令tan 2xt =，则原式22222233[1]]dt dt t t ===+++⎰⎰tan x C C ⎛⎫ ⎪=+=+⎝⎭．四、应用题或综合题 1．（2008年，8分）设()f x 的一个原函数为ln x ，求()()f x f x dx '⎰．解：因ln x 是()f x 的一个原函数，故1()(ln )f x x x '==，211()()f x x x''==-，从而2321111()()()2f x f x dx dx dx C x x x x'=⋅-=-=+⎰⎰⎰．说明：此题也可用分部积分解之，步骤如下． 因2()()()()()()()f x f x dx f x df x f x f x f x dx ''==-⎰⎰⎰，故2221111()()()222f x f x dx f x C C C x x⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰．。

第九章 多元积分学及其应用第一节 三 重 积 分1定义 ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k k d v f z y x f 1,0),(lim dV ),,(ξηξ.2性质: 3计算:1)直角坐标: i) 先一后二; ii)先二后一. 2)柱坐标: z V d d d d θρρ= 3)球坐标:θϕϕd d d sin d 2r r V = 4)利奇偶性若积分域Ω关于xoy 坐标面对称,),,(z y x f 关于z 有奇偶性,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥Ω.),,(0.),,(d ),,(2d ),,(0是奇函数关于是偶函数关于z z y x f z z y x f Vz y x f V z y x f z D5)利用变量的对称性.题型一 计算三重积分例9.1计算⎰⎰⎰ΩV z d 2,其中Ω由)0(2,2222222>≤++≤++R Rz z y x R z y x 所确定.解 原式52222220248059d )(d )2(R z z R z z z Rz z RR Rπππ=-+-=⎰⎰. 例9.2计算V z d ⎰⎰⎰Ω,其中Ω由z z y x ≥++222和z z y x 2222≤++所确定.解法1 原式⎰⎰⎰==ϕϕπππϕϕϕθcos 2cos 22020.45dr sin cos d d r r解法2 设z z y x z z y x 2:,:22222221≤++Ω≤++Ω，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ-=21zdV zdV zdV .由于⎰⎰⎰Ω2zdV 与⎰⎰⎰Ω1zdV 的计算方法完全一样，以下仅以⎰⎰⎰Ω2zdV 说明其三种较简单的计算方法： 方法1 直角坐标下先二后一：⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=zD zdxdy dz zdV 22（其中2222:z z y x D z -≤+）ππ34)2(202=-=⎰dz z z z .方法2 由形心计算公式得⎰⎰⎰Ω⋅=2V z zdV （其中z 为2Ω的形心z 坐标）)(343412的体积为Ω⋅=⋅=V ππ方法3 利奇偶性.注意2Ω关于平面1=z 上下对称，则0)1(2=-⎰⎰⎰ΩdV z从而有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==+-=22234]1)1[(πdV z zdV . 例9.3计算,=I ⎰⎰⎰Ω+V y x d )(22其中Ω由曲线⎩⎨⎧==022x zy ，绕oz 轴旋转一周而成的曲面和平面2=z ，8=z 所围的立体. 解法1 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=823422082320202.336d d d d d d ρπππρρθρρθz z I解法2 .336d d d 2032082πρρθπ==⎰⎰⎰zz I例9.4 计算⎰⎰⎰Ω++V nz ly mx d )(2,.:2222a z y x ≤++Ω 解2222222()()m x l y n z d V m x l y n z d V ΩΩ++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰（奇偶性） 222222()3m l n x y z dV Ω++=++⎰⎰⎰ （变量对称性） 2225242220004s i n ()315a m l n a d d r d r m l n πππθϕϕ++==++⎰⎰⎰例9.5设)(t f 连续,=)(t F ⎰⎰⎰Ω++V y x f z d )]([222, 其中Ω由222t y x ≤+,h z ≤≤0所确定.求20)(lim ,d d tt F t F t →.解 ρρρπρρρθπd hf h dz f z d d t F tht)](31[2)]([)(230202020+=+=⎰⎰⎰⎰322()2()3h F t t h t f t ππ'=+. 32320022()()3lim lim (0)23t t h t htf t F t h hf t t ππππ++→→+==+. 题型二 更换三重积分次序例9.6计算=I ⎰⎰⎰-y x z z zy x 0210d )1(sin d d解 先交换y 和z 的次序，则1122000sin ()sin (1)(1)xxx zz x z z I dx dz dy dx dz z z -==--⎰⎰⎰⎰⎰. 111200()sin 11sin (1cos1)(1)22z x z z dz dx zdz z -===--⎰⎰⎰ 第二节 对弧长的线积分（第一类线积分）计算方法 1．直接法：1)若⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x C ，βα≤≤t ，则t t y t x t y t x f s y x f Cd )()())(),((d ),(22⎰⎰'+'=βα.2) 若)(:x y y C = ，b x a ≤≤，则x x y x y x f s y x f baCd )(1))(,(d ),(2⎰⎰'+=3) 若)(:θρρ=C ，βθα≤≤，则θρρθρθρβαd )sin ,cos (d ),(22⎰⎰'+=f s y x f C2.利用奇偶性.1) 若积分曲线C 关于y 轴对称, 则.⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当x y x f x y x f x C Cs y x f s y x f2)若积分曲线C 关于x 轴对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当y y x f y y x f y C Cs y x f s y x f 3．利用对称性若积分曲线关于直线x y =对称,则⎰Cs y x f d ),(=⎰Cs x y f d ),(特别的 ⎰⎰=CCds y f ds x f )()(题型 计算对弧长的线积分例9.7设L 是椭圆13422=+y x ，其周长为a ，则.d )432(22=++⎰s y x xy C解 =++⎰s y x xy C d )432(22s y x Cd )43(22⎰+ （奇偶性）a s y x C 12d )34(1222=+=⎰例9.8计算⎰++=Cs y x I d ])1([22,其中C 为).0(22>=+R Rx y x解: ⎰+++=Cs x I 1)d 2y y (22R xds R Cπ+=⎰ R R ππ+=23其中计算积分⎰Cxds 可以用直接法，以下介绍两种简单方法 方法1 ⎰Cxds ⎰⎰=+-=C Cds ds RR x ]2)2[( （奇偶性）22R π=方法2 ⎰Cxds l x ⋅= （形心公式）22R π=例9.9 计算⎰=Cs y I d ||,其中C 为双纽线).0)(()(222222>-=+a y x a y x 解 双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x 的极坐标方程为.2cos 22θa r =⎰=402sin 4πθθd aI )221(42-=a 例9.10计算⎰=Cs x I d 2,其中C 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x 。

第三章一元函数积分学第一节不定积分1．两个概念:1）原函数：)()(x f x F =′2）不定积分：∫+=Cx F x x f )(d )(2．基本积分公式：∫∫∫∫∫x x x x x x x x x x x e nnnxd arcsin )(p ,d tan arc )(p ,d ln )(p ,d cos βα4．三类常见可积函数积分1）有理函数积分∫xx R d )(（1）部分分式法（一般方法）；（2）简单方法（凑微分绛幂）；2)三角有理式积分∫xx x R d )cos ,(sin（1）万能代换（一般方法）令t x =2tan（2）简单方法（三角变形，换元，分部）3)简单无理函数积分x dcx bax x R nd ),(∫++令t dcx bax n=++例一基本题例3.1∫−=)4(x x dx I 解法1∫∫+−=−−=−=c x x dxx x dxI 22arcsin)2(4422解法2∫+=−=c x xx d I 2arcsin24)(2例3.2cos ∫=xx dxI 解∫∫∫∫−=−===xx d x x x d xx xdx x x dx I 222sin 1sin 2)sin 1(sin sin cos cos sin cos dt t t t t dt t dt t x 1111()1)(1(212 sin 22224++−=+−=−=∫∫∫令例3.3∫+=dxxx I 25解法1令，则 tan t x =tdtdx 2sec =∫∫∫=⋅⋅=⋅=)(sec tan )sec (tan tan sec sec tan 4425t td dt t t t ttdtt I )sec ( )1()(sec )1(sec 2222t u du u t d t =−=−=∫∫=c u u u ++−253251=c x x x +++−242)348(151解法2∫∫+=+=)(2124224x d x x dx x I =dxx x x x ∫+−+23244=)1(]1)1[(222224x d x x x x ++−+−+∫=cx x x x ++++−+2224)1(34)1(54例3.4e xe I xx ∫−=1解I121212∫∫−−−=−=dx e e x e xd x x x （令）dt t t dx e x∫∫+=−22121t e x =−1=Ct t +−arctan 22则I c e e e x x x x +−+−−−=1arctan 41412例3.5∫+xxx d ln 解法1原式=∫+xxd ln 2=xxx x ∫+−+2ln 2dt t t t x dx x x ∫∫−=++121122=∫∫−+1222t dtdt =C t t t ++−+11ln2原式=Cx x x x x +++−+−+−+11ln 24ln 2解法2令，则t x =+1原式=dt t tdt tt ∫∫−=−)1ln(22)1ln(22=t t t t ∫−−−122)1ln(2222=Cx x x x x +++−+−+−+11ln 24ln 2例3.6∫xe e x xd arctan 2解法1原式=∫−−xx de e 2arctan 21=ee e e xx xx ∫++−−−22121arctan 21=∫++−−)1(21arctan 21222x xx xx e e de e e =Ce e e e x x x x +++−−−]arctan arctan [212解法2令，则t e x =原式=∫∫−=231arctan 21arctan t tdt t =∫++−dt t t t t )1(1212arctan 222=c t t t t +−−−arctan 21212arctan 2=Ce e e e x x x x +++−−−]arctan arctan [212例3.7∫+=dx xx I 91解法1（令）∫∫∫+=+=+= )1(81)1()1(8878u u dux x dx x x x dx I u x =8解法2∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=++=dx x x x x x dx x x I 8788811)1()1(解法3c x x dx xx dx I ++−=+−=+=∫∫−−−|1|ln 81181)11(88889例3.8∫∫∫∫+++=++−+=++=63262246413111111x dx x dxdx x x x x dx x x I例3.9∫+=xdx I sin 1解法1∫∫∫+=−=x x d x x x I 222cos cos cos 1cos sin 1解法2C x x dx x dx I +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=∫∫42tan 24cos 22cos 12πππ解法3令2212sin 12 2tant t x t dt dx t x+=+==C x C t t dt t t t dt I ++−=++−=+=++⋅+=∫∫2tan 1212)1(2121112222例3.10∫++x x xcos sin 1d 解令，则t x=2tan 原式=∫+−+++2222211212t t t t dt =∫++=+C t tdt)1ln(1=Cx++)2tan 1ln(例3.11∫⋅=xx dxI 4cos sin 解法1（令）I ∫∫∫−−=−=⋅= )1(cos )cos 1(cos cos sin sin 424242u u duxx x d x x xdx u x =cos ∫−+−−=4244)1()1(u u u u 解法2∫∫∫∫⋅++=+=⋅+=cos sin cos sin 3cos 1cos sin cos sin cos sin cos sin 222324422dx xx x x x x x dx dx x x x x x x I ∫∫++=xdxx xdx x sin cos sin cos 3123例3.12∫+=dxxb x a I 2222cos sin 1解1）若∫+−===≠c x ax a dx I b a ctg 1sin 0 ,02222)若∫+==≠=cx b dx x b I b a tg 1cos 1 0 ,02223）若（令）)tg (cos 0 ,02222222∫∫+=+=≠≠u a b dux a b x dx I b a u x =tan 例3.13。

2012年考研数学基础班讲义（高等数学）第一章 函数 极限 连续一、函数1 函数的概念：2 函数的性态：单调性 奇偶性 周期性 有界性 有界性 ：定义：;)(,,0M x f I x M ≤∈∀>∃ 3 复合函数与反函数 (函数的复合,求反函数) 4 基本的初等函数与初等函数 1）基本初等函数:将幂函数 ,指数,对数,三角,反三角统称为基本初等函数。

了解它们定义域,性质,图形. 2）初等函数：由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数. 常考题型：1。

函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定； 2。

复合函数；例1 是)(e |sin |)(cos +∞<<−∞=x x x x f x （A）有界函数. （B）单调函数. （C）周期函数 （D）偶函数. 例2 已知[],1)(,sin )(2x x f x x f −==ϕ则______)(=x ϕ的定义域为._______解：； )1arcsin(2x −].2,2[−例3 设则⎩⎨⎧≥−<=⎩⎨⎧>+≤−=0,,0,)(,0,2,0,2)(2x x x x x f x x x x x g [].________)(=x f g解=)]([x f g ⎩⎨⎧≥+<+.0,2,0,22x x x x 二、极限 1 极限概念1) 数列极限: A a n n =∞→lim ：0 ,0>∃>∀N ε,当时，恒有N n >ε<−||A a n .2）函数极限: ： A x f x =∞→)(lim 0 ,0>∃>∀X ε,当时，恒有X x >||ε<−|)(|A x f .类似的定义 A x f x =+∞→)(lim ，A x f x =−∞→)(lim 。

A x f x =∞→)(lim ⇔ =+∞→)(lim x f x A x f x =−∞→)(limA x f x x =→)(lim 0：0 ,0>∃>∀δε,当δ<−<||00x x 时，恒有ε<−|)(|A x f 。

计算不定积分的常用方法主讲 武忠祥 教授微博：@武忠祥考研微信公众号：武忠祥考研（一）不定积分的基本公式（二）3 种主要积分法（三）3 类常见可积函数的积分（一）不定积分的基本公式⎰=Cdx 0C x dx x ++=+⎰111αααC x dx x +=⎰ln 1C a a dx a x x +=⎰ln 1) 2)3)4) Ce dx e x x +=⎰⎰+-=C x xdx cos sin ⎰+=C x xdx sin cos C x xdx +=⎰tan sec 2 5）6） 7）8）C x xdx +-=⎰cot csc 2⎰+=C x xdx x sec tan sec C x xdx x +-=⎰csc cot csc C x dx x +=-⎰arcsin 112 9）10） 11）12）C x x dx +=+⎰arctan 12C a x x a x +=-⎰arcsin d 22C a x a x a x +=+⎰arctan 1d 22⎰++-=-.||ln 21d 22C a x a x a a x x 13）14）15）16） ⎰+++=+C a x x a x x )ln(d 2222⎰+-+=-C a x x ax x ||ln d 222217） 18）.|tan sec |ln d sec ⎰++=C x x x x ⎰++-=.|cot csc |ln d csc C x x x x 19） 20）（二）3 种主要积分法1）第一类换元法（凑微分法） C u F u u f +=⎰)(d )( 若 【例1】计算积分 ⎰+24x x dx⎰'x x x f d )())((ϕϕ 则Cx F +=))((ϕ【例2】计算积分 ⎰+2)ln ()ln 1(x x dx x【例3】计算积分 ⎰++dx xe x x x )1(1【例4】计算积分 ⎰+dx xx 4sin 12sin2）第二类换元法：⎰xx f d )()cos (sin ,1)22t a t a x x a =-x dt t t f ⎰')())((ϕϕC t F +=)()(t x ϕ=C x F +=-))((1ϕta x x a tan ,2)22=+ta x a x sec ,3)22=-【例1】计算积分 dx x x x ⎰-231arccos C x x x x x ++-+--)6(91arccos )2(1312223）分部积分法 ⎰⎰-=vduuv udv “适用两类不同函数相乘”⎰⎰⎰,cos )(p ,d sin )(p ,d )(p xdx x x x x x e x n n x n ααα⎰⎰⎰.arcsin )(;arctan )(;ln )(xdx x P xdx x P xdx x P n n n ⎰⎰.cos ;sin xdx e xdx e x x ββαα⎰+x x x d )1(tan e 22⎰⎰+=xx x x x x d tan e 2d sec e 222⎰⎰+-=x x x x x x x x d tan e 2d tan e 2tan e 222【例1】(1997年2）计算【解】 原式 ⎰⎰+=xx x xx d tan e 2tan d e 22.tan e 2C x x+=._________d arcsin =⎰x xx x d x x xx ⎰⎰=arcsin 2d arcsin ⎰--=xdxx x 1arcsin 2Cx x x +-+=12arcsin 2【例2】(2000年4）【解】.d arctan 122⎰+=x x x x I ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x I d arctan 111222)(arctan 21d 1arctan x x x x x x -+-=⎰.)(arctan 21)1ln(21arctan 22C x x x x +-+-=【例3】(1991年5）求不定积分 【解】 ⎰⎰-=)d(arctan arctan d arctan x x x x.d e arctane 2⎰x x x⎰⎰--=)d(e arctane 21d e arctane 22x x x xx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰-)e 1(e de arctane e 21222x x xx x []C e e x x x x +++-=--arctan arctane e 212【例4】(2001年1）求【解】⎰xdx 3sec )]tan sec ln tan [sec 21(C x x x x +++【例5】（四）三类常见可积函数积分1) 有理函数积分 x(R d)x（1）一般法（部分分式法）；（2）特殊方法（加项减项拆或凑微分绛幂）；⎰+31xdx ⎰⎰+-+=+)1)(1(123x x x dx x dx dx x x C Bx dx x A ⎰⎰+-+++=112))(1()1(12C Bx x x x A ++++-=32,31,31=-==C B A dxx x x dx x x dx ⎰⎰⎰+---+=+12311131123dx x x x x ⎰+----+=13)12(611ln 312C x x x x +-++--+=2321arctan 31)1ln(611ln 312C x x x x +-++--+=312arctan 31)1ln(611ln 312【例1】计算【解】dx x x ⎰+31dx x x ⎰++311dxx x ⎰+-311⎰⎰+-=++11123x x dx dx x x C x +-=312arctan 32【例2】计算 【解】先计算和 ⎰+-=43)21(2x dx dx x x x x dx x x ⎰⎰+-+-=+-32231)1(11⎰⎰+-+=331311x dx x dx C x x ++-+=31ln 311ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++=+⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x x 3331111211⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=+⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x 33311112111dx x x x x ⎰++-+)1()1(6322【例3】(2019年2）求不定积分1)1(1)1()1(632222++++-+-=++-+x x D Cx x B x A x x x x 1,2,3,2===-=D C B A 【解】令2) 三角有理式积分 ⎰xx x R d )cos ,(sin （1）一般方法(万能代换） 令t x =2tan （2）特殊方法 （三角变形，换元，分部）dt t t t t t R x x x R 222212)11,12(d )cos ,(sin ++-+=⎰⎰),cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R -=-;cos x u = i)若 则 令),cos ,(sin )cos ,(sin x x R x x R -=-;sin x u = ii)若 则 令),cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R =--.tan x u =iii)若 则 令dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1【例1】计算dx xx x x ⎰+cos sin cos sin 【例2】计算dx xx dx cos sin 3【例3】计算x dcx b ax x R n d ),(⎰++t dcx b ax n =++3)简单无理函数积分 令 【例1】dx xx ⎰-+11._________1arcsin 2=-⎰dx e e x x 【例1】(2018年3）Ce e e x x x +---2211arcsin【例2】(2018年1,2）求不定积分dx e e x x 1arctan 2-⎰C e e e e x x x x +-+--1)2(611arcsin 212。

武忠祥高数基础篇和辅导讲义一、高数基础篇概述1.1 高数基础篇介绍高等数学是理工类专业中一门重要的基础课程，对于学生的数学素养和综合能力的培养有着至关重要的作用。

而武忠祥的高数基础篇和辅导讲义是一本备受推崇的教材，为学生提供了深入理解高等数学的工具和方法。

1.2 武忠祥教授简介武忠祥教授是中国知名数学家，拥有丰富的高等数学教学经验。

他在高等数学领域做出了突出的贡献，并对高等数学的教学方法进行了深入研究和探索。

1.3 本教材的特点武忠祥高数基础篇和辅导讲义有以下几个显著的特点：•题型全面：本教材中包含了各种经典的高等数学题型，涵盖了微积分、线性代数、概率论等多个知识点，使学生能够全面了解和掌握各个领域的数学知识。

•理论详尽：教材中对于各个概念和定理都进行了详细的解释和推导，让学生能够深入理解数学的本质和内涵。

•习题分类：教材中的习题按照难度和类型进行了分类，有助于学生分阶段、有针对性地进行习题练习，提高解题能力和应用能力。

•实例讲解：教材中还提供了大量的实例，通过实际问题的解答，帮助学生将抽象的数学理论与实际问题相结合，提高应用能力。

二、高数基础篇内容概述2.1 微积分部分微积分是高等数学的核心内容之一，而本教材对微积分部分进行了详细的讲解和归纳。

主要包括以下内容：1.极限与连续：教材从极限的定义出发，逐步引入了连续的概念，并重点介绍了一些重要的极限定理。

2.导数与微分：教材详细介绍了导数的概念和计算方法，并对微分进行了深入讲解。

并通过实例，将导数与实际问题相结合，强化学生的应用能力。

3.积分与定积分：教材对积分和定积分进行了系统的讲解，包括基本性质、计算方法以及应用。

通过大量的实例，帮助学生理解积分的含义和应用。

2.2 线性代数部分线性代数是高等数学的另一个重要分支，本教材对线性代数的内容进行了全面的介绍。

主要包括以下内容：1.行列式与矩阵：教材从行列式的概念出发，介绍了行列式的计算方法和性质，并进一步引入了矩阵的概念和运算规则。

第3、4 次课 4 学时不定积分的概念与性质1、复习13个基本导数公式.2、原函数与不定积分的概念.（1)定义1 在区间I 上，如果可导函数()F x 的导函数为()f x ,即对任一x ∈I ，都有()'()F x f x =或()dF x =⎰dx x f )(,那么函数()F x 就称为()f x (或()f x dx ）在区间I 上的原函数.（2)原函数存在定理 如果函数()f x 在区间I 上连续， 那么在区间I 上存在可导函数()F x ， 使对任一x ∈I 都有F '（x )=()f x .注： 1、如果函数()f x 在区间I 上有原函数()F x ， 那么()f x 就有无限多个原函数.()F x C +都是()f x 的原函数. (其中C 是任意常数）2、()f x 的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x ）和()F x 都是()f x 的原函数,则()()x F x C Φ-=（C 为某个常数)。

简单地说就是,连续函数一定有原函数。

定义2 在区间I 上， 函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或⎰dx x f )()在区间I 上的不定积分. 记作 ⎰dx x f )(, 其中记号⎰称为积分号， ()f x 称为被积函数,⎰dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量.3、例题讲解.例1 因为sin x 是cos x 的原函数,所以C x xdx +=⎰sin cos .因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=⎰21。

例2。

求函数xx f 1)(=的不定积分解：当0x >时,(ln x ）'x 1=，C x dx x+=⎰ln 1(0x >）.当0x <时，［ln （x ）］'x x 1)1(1=-⋅-=，C x dx x+-=⎰)ln( 1（0x <).合并上面两式，得到C x dx x +=⎰||ln 1(x ≠0)。

《高等数学辅导讲义》练习题解答 第五章 多元函数微分学1.应选（B）.,)0,(xe xf =该函数在0=x 处不可导，则)0,0(x f ′不存在；,),0(2y e y f =该函数在0=y 处不可导，则)0,0(y f ′存在；2.应选（D）. 由b y x f a y x f y x =′=′),(,),(0000知，一元函数),(),,(00y x f y x f 分别在00,y y x x ==处连续，则),,(),(lim 0000y x f y x f x x =→).,(),(lim 0000y x f y x f y y =→3.应选（B）. ,000lim)0,0(0=Δ−=′→Δx f x x ,000lim )0,0(0=Δ−=′→Δxf y y220000)()(lim ])0,0()0,0([)]0,0(),([lim y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔΔ=Δ′+Δ′−−ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ不存在， 则),(y x f 在点)0,0(处不可微，故应选（B）. 4.应选（D）.,00)(1sin)(lim)0,0(220=Δ−ΔΔ=′→Δxx x f x x ,00)(1sin)(lim )0,0(220=Δ−ΔΔ=′→Δy y y f y y22222200)()()()(1sin ))()((lim])0,0()0,0([)]0,0(),([limy x y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔ+ΔΔ+Δ=Δ′+Δ′−−ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ,0=则),(y x f 在点)0,0(处可微.当)0,0(),(≠y x 时， 2222221cos 21sin2),(y x y x x y x x y x f x ++−+= ,01sin2lim 22)0,0(),(=+→yx x y x 2222)0,0(),(1cos 2lim y x y x x y x ++→不存在， 则),(lim)0,0(),(y x f x y x →不存在，即偏导数),(y x f x 在点)0,0(处不连续，故应选（D）.5.应选（D）.由0),(,0),(<∂∂>∂∂yy x f x y x f 可知,),(y x f 关于变量x 是增函数,而关于变量y 是减函数,当 2121,y y x x ><时, ).,(),(),(112122y x f y x f y x f >>6.应选（D）. )0,0()1,0()1,0()1,1()0,0()1,1()1,1(f f f f f f f −−+−−−=−−=−.211)1(),0()1,(=+>−⋅+−=ηξy x f f 故应选(D).也可用排除法:取.1.11.1),(y x y x f −=则,0)1,1(,2.2)1,1(,0)1,1(=−−−=−=f f f 则(A)(B)(C)都不对，故应选（D）.7.应选（C）. )0,0()0,1()0,1()1,1()0,0()1,1(f f f f f f −−+−−−=−−.101)1()0,(),1(=+>−⋅+−=ηξx y f f 即1)0,0()1,1(+>−f f .8. 应选（B）【解1】 直接法 由于22)0,0(),(22)0,0(),(2222)0,0(),(lim),(lim)(),(limy x y x y x f y x y x y x f y x y x y x +−+=++−→→→1),(lim22)0,0(),(=+=→yx y x f y x则0),(lim )0,0(),(=→y x f y x ，若0)0,0(=f ，),(y x f 在)0,0(点连续，否则不连续。

武忠祥高等数学辅导讲义【原创实用版】目录一、武忠祥及其高等数学辅导讲义简介二、武忠祥高数辅导讲义的价值和特点三、武忠祥高数辅导讲义与其他辅导资料的比较四、如何有效利用武忠祥高数辅导讲义正文一、武忠祥及其高等数学辅导讲义简介武忠祥是一位著名的数学教育家，他在考研数学领域有着丰富的教学经验和深厚的学术造诣。

武忠祥高等数学辅导讲义是他针对考研数学高等数学部分编写的一本辅导资料，旨在帮助广大考研学生更好地掌握和运用高等数学知识。

二、武忠祥高数辅导讲义的价值和特点1.价值武忠祥高等数学辅导讲义具有很高的实用价值，它紧密围绕考研数学大纲和命题趋势，对知识点进行了系统、全面的梳理，为学生提供了一条清晰的复习路径。

该书内容丰富，涵盖了高等数学的各个重要模块，如极限、导数、积分、微分方程等，能够满足学生对于考研数学高等数学部分的学习需求。

2.特点（1）注重基础：武忠祥高数辅导讲义在讲解知识点时，注重从基础知识入手，让学生在掌握基本概念和原理的基础上，逐步深入理解高等数学的复杂内容。

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三、武忠祥高数辅导讲义与其他辅导资料的比较虽然武忠祥高数辅导讲义在考研数学辅导资料中具有较高的口碑和实用价值，但学生仍然需要根据自己的实际情况和需求，选择适合自己的辅导资料。

与一些其他的考研数学辅导资料相比，武忠祥高数辅导讲义具有以下特点：（1）针对性强：武忠祥高数辅导讲义针对考研数学大纲和命题趋势编写，因此对于备考考研数学的学生来说，具有很高的针对性。

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第三章 一元函数积分学第一节 不定积分1．两个概念: 1）原函数： )()(x f x F =' 2）不定积分：⎰+=C x F x x f )(d )( 2．基本积分公式： 1) .arcsin d 22C a x x a x +=-⎰2)⎰+±+=±C a x x ax x ||ln d 22223).arctan 1d 22C ax a x a x +=+⎰ 4) ⎰+-+=-.||ln 21d 22C x a xa a x a x 5) .|tan sec |ln d sec ⎰++=C x x x x 6) ⎰++-=.|cot csc |ln d csc C x x x x 3．三种主要积分法1）第一类换元法（凑微分法）若C x F x x x f C u F u u f +='+=⎰⎰))((d )())((则,)(d )(ϕϕϕ 2）第二类换元法：C x F C t F dt t t f t x x x f +=+='=-⎰⎰))(()()())(()(d )(1ϕϕϕϕt a x a x t a x x a t a t a x x a sec ,iii)tan ,ii))cos (sin ,i)222222=-=+=-3）分部积分法 ⎰⎰-=vdu uv udv “适用两类不同函数相乘”⎰⎰⎰⎰x x e x x x x x x e x xn n xn d sin ,cos )(p ,d sin )(p ,d )(p βαααα， ⎰⎰⎰⎰x x x x x x x x x x xe nnnxd arcsin )(p ,d tan arc )(p ,d ln )(p ,d cos βα4．三类常见可积函数积分 1）有理函数积分 ⎰x x R d )(（1）部分分式法（一般方法）； （2）简单方法（凑微分绛幂）； 2) 三角有理式积分 ⎰x x x R d )cos ,(sin （1）万能代换（一般方法） 令t x =2tan（2）简单方法 （三角变形，换元，分部） 3) 简单无理函数积分 x dcx bax x R nd ),(⎰++令 t dcx bax n=++ 例一 基本题 例3.1 ⎰-=)4(x x dxI解法1 ⎰⎰+-=--=-=c x x dx x x dx I 22arcsin)2(4422解法2 ⎰+=-=c xx x d I 2arcsin 24)(2 例3.2 .sin cos ⎰=x x dxI解 ⎰⎰⎰⎰-=-===x xd x x x d x x xdx x x dx I 222sin 1sin 2sin )sin 1(sin sin cos cos sin cosdt t t t t dt t dt t x )1111()1)(1(212 sin 22224++-=+-=-=⎰⎰⎰令 例3.3 ⎰+=dx xx I 251解法1 令 tan t x =，则tdt dx 2sec =⎰⎰⎰=⋅⋅=⋅=)(sec tan )sec (tan tan sec sec tan 4425t td dt t t t ttdtt I)sec ( )1()(sec )1(sec 2222t u du u t d t =-=-=⎰⎰=c u u u ++-253251=c x x x +++-2421)348(151解法2 ⎰⎰+=+=)1(12124224x d x x dx x I=dx x x x x ⎰+-+2324141=)1(1]1)1[(2122224x d x x x x ++-+-+⎰=c x x x x ++++-+23225224)1(34)1(541 例3.4 dx e xe I xx⎰-=1解 I 121212⎰⎰---=-=dx e e x e xd x x xdt tt dx e x⎰⎰+=-22121 （令t e x=-1） =C t t +-arctan 22则 I c e e e x x x x +-+---=1arctan 41412 例3.5⎰+x xxd 1ln 解法1 原式=⎰+x xd 1ln 2 =dx xxx x ⎰+-+12ln 12dt t t t x dx x x ⎰⎰-=++121122=⎰⎰-+1222t dtdt=C t t t ++-+11ln2 原式=C x x x x x +++-+-+-+1111ln 214ln 12解法2 令t x =+1，则原式=dt t tdt t t ⎰⎰-=-)1ln(22)1ln(22 =dt t t t t ⎰---122)1ln(2222=C x x x x x +++-+-+-+1111ln214ln 12例3.6 ⎰x ee xxd arctan 2 解法1 原式=⎰--x x de e 2arctan 21=dx e e e e xx xx ⎰++---22121arctan 21 =⎰++--)1(21arctan 21222x x x xx e e de e e=C e e e e x x x x +++---]arctan arctan [212 解法2 令t e x =，则 原式=⎰⎰-=231arctan 21arctan t td dt t t =⎰++-dt t t tt )1(1212arctan 222 =c t t tt +---arctan 21212arctan 2=C e e e e x x x x +++---]arctan arctan [212例3.7 ⎰+=dx x x I 91解法1 ⎰⎰⎰+=+=+= )1(81)1()1(8878u u du x x dx x x x dx I （令u x =8） 解法2 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=dx x x x x x dx x x I 8788811)1()1( 解法3 c x x dx xx dxI ++-=+-=+=⎰⎰---|1|ln 81181)11(88889 例3.8 ⎰⎰⎰⎰+++=++-+=++=63262246413111111xdx x dx dx x x x x dx x x I 例3.9 ⎰+=xdxI sin 1解法1⎰⎰⎰+=-=x xd dx x dx xx I 222cos cos cos 1cos sin 1 解法2C x x dx x dx I +⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰⎰42tan 24cos 22cos 12πππ 解法3令2212sin 12 2tant t x t dt dx t x +=+== C x C t t dt t t t dt I ++-=++-=+=++⋅+=⎰⎰2tan 1212)1(2121112222 例3.10 ⎰++x x xcos sin 1d解 令t x=2t a n ，则原式=⎰+-++++2222112112t t t t dt t =⎰++=+C t t dt)1ln(1=C x++)2tan 1ln(例3.11 ⎰⋅=xx dxI 4cos sin 解法1I ⎰⎰⎰--=-=⋅=)1(cos )cos 1(cos cos sin sin 424242u u dux x x d x x xdx （令u x =cos ）⎰-+--=4244)1()1(uu u u 解法2⎰⎰⎰⎰⋅++=+=⋅+= cos sin cos sin 3cos 1 cos sin cos sin cos sin cos sin 222324422dx x x x x x x x dx dx x x x x x x I⎰⎰++=xdxx xdx x sin cos sin cos 3123 例3.12 ⎰+=dx xb x a I cos sin 1解 1）若⎰+-===≠c x a x a dx I b a ctg 1sin 0 ,02222) 若⎰+==≠=c x bdx x b I b a tg 1cos 1 0 ,02223）若 )tg (cos 0 ,02222222⎰⎰+=+=≠≠u a b dux a b x dx I b a （令u x =tan ）例3.13⎰-+x x x x d 111。

武忠祥高等数学辅导讲义注里面的题目讲解
“武忠祥高等数学辅导讲义”可以说是高校教学中的一份非常有效的辅导书，它为学生们提供了多种题型的练习，让他们能够更好地提升自身数学水平。

最近《武忠祥高等数学辅导讲义》中出现了一道几何问题：若AB是矩形一边长为$a$，另一边长为$b$，CD是该矩形直径，求CD的长度。

解：由于AB是矩形一边长为$a$，另一边长为$b$，所以其对角线CD的长度可以使用勾股定理求得。

即CD的长度为$\sqrt{a^2+b^2}$。

因此，若AB是矩形一边长为$a$，另一边长为$b$，CD是该矩形直径，其长度为$\sqrt{a^2+b^2}$。

从上述例题可以看出，《武忠祥高等数学辅导讲义》不仅基础满足了学生的数学学习需求，还为学生们提供了实践性的技能训练课程，它能够有效帮助学生们掌握和提升数学知识。

此外，书中数学题目考查学生们的推理能力和抽象思维，从而促进学生们学习好原理，后了解和深入发展数学。

在总结来看，《武忠祥高等数学辅导讲义》真正做到了让数学知识可以更贴近学生的实际有效的付出，为学生们的高等数学之路添加了许多课外的知识点，对学生们提升自身数学水平有着重要作用，让学生们在学习中发挥才华，充分挖掘自身潜能。

第四章不定积分教学目的⑴理解不定积分的概念及性质；熟悉不定积分的基本公式。

⑵熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法。

⑶会求简单的有理函数的积分。

教学重点：不定积分的概念；换元法和分部积分法。

教学难点：换元法、分部积分法。

§4. 1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数.例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为xx 21)(=', 所以x 是x21的原函数. 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F '(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数.两点说明:○1若函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数 F (x )+C ， 其中C 是任意常数. ○2 f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数).定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作⎰dx x f )(. 其中记号⎰称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量.根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即⎰+=C x F dx x f )()(. 因而不定积分dx x f )(⎰可以表示f (x )的任意一个原函数.例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 C x xdx +=⎰sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以C x dx x+=⎰21. 例2. 求函数xx f 1)(=的不定积分. 解：当x >0时, (ln x )'x1=, C x dx x +=⎰ln 1(x >0); 当x <0时, [ln(-x )]'xx 1)1(1=-⋅-=, C x dx x +-=⎰)ln( 1(x <0).合并上面两式, 得到C x dx x +=⎰||ln 1(x ≠0).例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解 设所求的曲线方程为y =f (x ), 按题设, 曲线上任一点(x , y )处的切线斜率为y '=f '(x )=2x ,,即f (x )是2x 的一个原函数. 因为 ⎰+=C x x d x 22, 故必有某个常数C 使f (x )=x 2+C , 即曲线方程为y =x 2+C . 因所求曲线通过点(1, 2), 故2=1+C , C =1. 于是所求曲线方程为y =x 2+1. 从不定积分的定义, 即可知下述关系:⎰=)(])([x f dx x f dx d 或⎰=dx x f dx x f d )(])([;又由于F (x )是F'(x )的原函数, 所以 ⎰+='C x F dx x F )()( 或 ⎰+=C x F x dF )()(.由此可见, 微分运算（以记号d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号⎰表示）是互逆的. 当记号⎰与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数. 二、基本积分表(1)C kx kdx +=⎰(k 是常数), (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ, (3)C x dx x +=⎰||ln 1, (4)C e dx e x x +=⎰, (5)C aa dx a xx +=⎰ln , (6)C x xdx +=⎰sin cos ,(7)C x xdx +-=⎰cos sin , (8)C x xdx dx x +==⎰⎰tan sec cos 122, (9)C x xdx dx x +-==⎰⎰cot csc sin 122,(10)Cx dx x +=+⎰arctan 112, (11)C x dx x +=-⎰arcsin 112, (12)C x xdx x +=⎰sec tan sec , (13)C x dx x +-=⎰csc cot csc , (14)C x dx x +=⎰ch sh , (15)C x dx x +=⎰sh ch . 例4 ⎰⎰-=dx x dx x 331C x C x +-=++-=+-21321131.例5⎰⎰=dx x dx x x252C x ++=+1251251C x +=2772C x x +=372. 例6 ⎰⎰-=dx x x x dx343C x++-=+-134134C x +-=-313C x +-=33. 三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. 这是因为, ])([])([])()(['+'='+⎰⎰⎰⎰dx x g dx x f dx x g dx x f =f (x )+g (x ).性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数, k ≠0).例7.⎰⎰-=-dx x x dx x x )5()5(21252⎰⎰-=dxx dx x 21255⎰⎰-=dxx dx x 21255C x x +⋅-=232732572. 例8dx x x x dx x x x x dx x x )133(133)1(222323-+-=-+-=-⎰⎰⎰C x x x x dx x dx x dx dx x +++-=-+-=⎰⎰⎰⎰1||ln 3321113322.例9 ⎰⎰⎰-=-xdx dx e dx x e x x cos 3)cos 3(C x e x +-=sin 3.例10 C e C e e dx e dx e x x xxxx ++=+==⎰⎰2ln 12)2ln()2()2(2. 例11 dx xx dx x x x x dx x x x x )111()1()1()1(122222++=+++=+++⎰⎰⎰ C x x dx x dx x ++=++=⎰⎰||ln arctan 1112.例12 dx x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++-+=++-=+222242411)1)(1(1111⎰⎰⎰⎰++-=++-=dx x dx dx x dx x x 222211)111(C x x x ++-=arctan 313. 例13 ⎰⎰⎰⎰-=-=dx xdx dx x dx x 222sec )1(sec tan = tan x - x + C . 例14 ⎰⎰⎰-=-=dx x dx x dx x )cos 1(212cos 1 2sin 2C x x +-=)sin (21. 例15C x dx x dx xx +-==⎰⎰cot 4sin 142cos 2sin 1222.§4. 2 换元积分法 一、第一类换元法：设f (u )有原函数F (u ), u =ϕ(x ), 且ϕ(x )可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有 d F [ϕ(x ) ]=d F (u )=F '(u )d u = F ' [ϕ(x ) ] d ϕ(x )= F '[ϕ(x ) ]ϕ'(x )d x ,所以 F '[ϕ(x )]ϕ'(x )dx = F '[ϕ(x )] d ϕ(x )= F '(u )d u = d F (u )=d F [ϕ(x ) ],因此 ⎰⎰'='')()]([)()]([x d x F dx x x F ϕϕϕϕ ⎰⎰='=)()(u dF du u F C x F x dF +==⎰)]([)]([ϕϕ. 即)(])([)()]([)()]([x u du u f x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ=⎰⎰⎰=='=[F (u ) +C ] u = ϕ(x ) = F [ϕ(x )]+C .定理1 设f (u )具有原函数, u =ϕ(x )可导, 则有换元公式⎰⎰⎰+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([ϕϕϕϕϕ .被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待, 从而微分等式ϕ'(x )dx =du 可以应用到被积表达式中. 在求积分⎰dx x g )(时, 如果函数g (x )可以化为g (x )= f [ϕ(x )]ϕ'(x )的形式, 那么⎰dx x g )()(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰='=.例1. ⎰⎰'⋅=dx x x xdx )2(2cos 2cos 2⎰=)2(2cos x xd C u udu +==⎰sin cos =sin 2x +C . 例2.dx x x dx x ⎰⎰'++=+)23(23121231⎰++=)23(23121x d xC u dx u +==⎰||ln 21121C x ++=|23|ln 21.例3. ⎰⎰⎰⎰=='=du e x d e dx x e dx xe u x x x )()(222222C e C e x u +=+=2.例4. 22222121)(1211dx x dx x x dx x x ⎰⎰⎰-='-=-C u du u x d x +-=-=---=⎰⎰2321223121)1(121 C x +--=232)1(31. 例5. ⎰⎰⎰-==x d x dx x x xdx cos cos 1cos sin tan C u du u+-=-=⎰||ln 1 =-ln|cos x |+C . 类似地可得C x xdx +=⎰|sin |ln cot . 熟练之后, 变量代换就不必再写出了. 例6.dx a x a dx x a ⎰⎰+=+2222)(1111C a x a a x d ax a +=+=⎰arctan 1)(1112.即dx x a ⎰+221C axa +=a r c t a n 1. 例7. 当a >0时,⎰⎰-=-dx a x a dx x a 222)(1111C a x a x d ax +=-=⎰arcsin )(112. 即dx xa ⎰-221C a x +=a r c s i n .例8.⎰⎰+--=-dx a x a x a dx a x )11(21122]11[21⎰⎰+--=dx a x dx a x a])(1)(1[21⎰⎰++---=a x d a x a x d ax a C a x a x a ++--=|]|ln ||[ln 21C a x a x a ++-=||ln 21.即dx a x ⎰-221C a x ax a ++-=||ln 21.例9.⎰⎰⎰++=+=+x x d x x d x x dx ln 21)ln 21(21ln 21ln )ln 21(C x ++=|ln 21|ln 21.例10. ⎰⎰⎰==x d e x d e dx xe x x x 3322333Ce x +=332. 含三角函数的积分: 例12.⎰⎰⋅=xdx x xdx sin sin sin23⎰--=x d x cos )cos 1(2⎰⎰+-=x xd x d cos cos cos 2C x x++-=3c o s 31c o s . 例13. ⎰⎰=x xd x xdx x sin cos sin cos sin 4252⎰-=x d x x sin )sin 1(sin 222⎰+-=x d x x x s i n )s i n s i n 2(s i n642C x x x ++-=753s i n 71s i n 52s i n 31. 例14. dx x xdx ⎰⎰+=22cos 1cos 2)2cos (21⎰⎰+=xdx dx⎰⎰+=x xd dx 22cos 4121C x x ++=2s i n 4121.例15. dx x xdx 224)(cos cos ⎰⎰=⎰+=dx x 2)]2cos 1(21[⎰++=dx x x )2cos 2cos 21(412⎰++=dx x x )4cos 212cos 223(41C x x x +++=)4s i n 812s i n23(41 C x x x +++=4s i n 3212sin 4183. 例16.⎰⎰+=dxx x xdx x )5cos (cos 212cos 3cos C x x ++=5sin 101sin 21. 例17. ⎰⎰=dx x xdx sin 1csc ⎰=dx x x 2cos 2sin 21C x x xd xx x d+===⎰⎰|2t a n |ln 2tan 2tan 2cos 2tan 22=ln |csc x -cot x |+C .即 ⎰x d xc s c =ln |csc x -cot x |+C . 例18. ⎰⎰+=dx x xdx )2csc(sec πC x x ++-+=|)2cot()2 csc(|ln ππ=ln |sec x + tan x | + C .即 ⎰x d x s e c =ln |sec x + tan x | + C . 二、第二类换元法定理2 设x =ϕ(t )是单调的、可导的函数, 并且ϕ'(t )≠0. 又设f [ϕ(t )]ϕ'(t )具有原函数F (t ), 则有换元公式C x F t F dt t t f dx x f +=='=-⎰⎰)]([)()()]([)(1ϕϕϕ.其中t =ϕ-1(x )是x =ϕ(t )的反函数. 这是因为 )()]([1)()]([)(})]([{1x f t f dt dx t t f dxdt t F x F =='='='-ϕϕϕϕ.例19. 求dx x a ⎰-22(a >0).解: 设x =a sin t , 2 2 ππ<<-t , 那么22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos t d t , 于是⎰⎰⋅=-tdt a t a dx x a cos cos 22C t t a tdt a ++==⎰)2sin 4121(cos 222.因为ax t arcsin =, a x a a x t t t 222cos sin 22sin -⋅==, 所以dx x a ⎰-22C t t a ++=)2sin 4121(2C x a x a x a +-+=22221arcsin 2.例20. 求⎰+22ax dx (a >0).解法一: 设x =a tan t , 22 ππ<<-t , 那么22a x +t a a 222tan +=t a 2tan 1+==a sec t , dx =a sec 2t d t , 于是⎰+22a x dx ⎰⎰==tdt dt t a t a sec sec sec 2= ln |sec t + tan t |+C . 因为aa x t 22sec +=, a x t =tan , 所以⎰+22ax dx = ln |sec t + tan t |+C C a a x a x +++=)ln(22122)ln(C a x x +++=,其中C 1=C -ln a . 例23. 求⎰-22a x dx (a >0).解: 当x >a 时, 设x =a sec t (20π<<t ), 那么22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t , 于是⎰-22a x dx ⎰⎰==tdt dt t a t t a sec tan tan sec = ln |sec t + tan t |+C .因为aa x t 22tan -=, a xt =sec , 所以⎰-22ax dx = ln |sec t + tan t |+C Ca a x a x +-+=||ln 22122)ln(C a x x +-+=,其中C 1=C -ln a .当x <a 时, 令x =-u , 则u >a , 于是⎰-22a x dx C a u u a u du +-+-=--=⎰)ln(2222 C a x x +-+--=)l n (22122)l n (C a x x +---=, 122222)ln(ln C a x x C a a x x +---=+---=, 其中C 1=C -2ln a . 综合起来有⎰-22ax dxC a x x +-+=||ln 22. 补充公式:(16)C x xdx +-=⎰|cos |ln tan , (17)C x xdx +=⎰|sin |ln cot , (18)C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec , (19)C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc ,(20)C a x a dx x a +=+⎰arctan 1122, (21)Ca x a x a dx ax ++-=-⎰||ln 21122,(22)Ca x dx xa +=-⎰arcsin 122, (23)C a x x a x dx +++=+⎰)ln(2222, (24)Ca x x ax dx +-+=-⎰||ln 2222.§4. 3 分部积分法设函数u =u (x )及v =v (x )具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为(uv )'=u 'v +uv ', 移项得uv '=(uv )'-u 'v . 对这个等式两边求不定积分, 得⎰⎰'-='vdx u uv dx v u , 或⎰⎰-=vdu uv udv ,这个公式称为分部积分公式. 分部积分过程: ⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰ v d x u u v v d u u v u d v d x v u . 例1 ⎰⎰⎰-==xdx x x x xd xdx x sin sin sin cos =x sin x -cos x +C . 例2 C e xe dx e xe xde dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰. 例3 ⎰⎰⎰-==2222dx e e x de x dx e x x x x x⎰⎰-=-=x x x x x d e e x d x xe e x 2222⎰+-=dx e xe e x x x x 222 =x 2e x-2xe x+2e x+C =e x(x 2-2x +2 )+C . 例4 ⎰⎰⎰⋅-==dx x x x x xdx xdx x 121ln 21ln 21ln 222C x x x xd x x x +-=-=⎰22241ln 2121ln 21. 例5 ⎰⎰-=x xd x x xdx arccos arccos arccos dx x xx x ⎰-+=211arccos)1()1(21a r c c o s 2212x d x x x ---=⎰-C x x x +--=21a r c c os . 例6 ⎰⎰=2arctan 21arctan xdx xdx x ⎰+⋅-=dxx x x x 2221121arctan 21⎰+--=dxx x x )111(21arctan 2122C x x x x ++-=a r c t a n 2121a r c t a n 212. 例7 求xdx e xsin ⎰.解 因为⎰⎰⎰-==x d e x e xde xdx e xx x x sin sin sin sin⎰⎰-=-=x x x x x d e x e x d x e x e c o s s i n c o s s i n⎰+-=x d e x e x e x x x c o s c o s s i n⎰+-=x d e x e x e x x x c o s c o s s i n⎰--=x d x e x e x e x x x s i n c o s s i n ,所以 C x x e x d x e x x +-=⎰)c o s (s i n 21s i n. 例8 求⎰xdx 3sec .解 因为⎰⎰⎰=⋅=x xd xdx x xdx tan sec sec sec sec 23⎰-=x d x x x x 2t a n s e c t a n s e c⎰--=dx x x x x )1(sec sec tan sec 2 ⎰⎰+-=x d x x d x x x s e c s e c t a n s e c 3 ⎰-++=x d xx x x x 3s e c |t a n s e c |ln tan sec , 所以 ⎰x d x 3s e c C x x x x +++=|)tan sec |ln tan (sec 21.例9 求⎰+=nn a x dx I )(22, 其中n 为正整数. 解 C a x a a x dx I +=+=⎰arctan 1221;当n >1时，用分部积分法, 有dx a x x n a x x a x dx n n n ⎰⎰+-++=+--)()1(2)()(222122122 dx a x a a x n a x x n n n ⎰+-+-++=--])()(1[)1(2)(222122122, 即 ))(1(2)(211221n n n n I a I n a x xI --++=---, 于是 ])32()([)1(2111222---++-=n n n I n a x x n a I . 以此作为递推公式, 并由C axa I +=arctan 11即可得n I . 例10 求dx e x ⎰.解 令x =t 2, 则 , dx =2tdt . 于dx e x ⎰C x e C t e dt te x t t +-=+-==⎰)1(2)1(22. x d e x x d e dx e x x x ⎰⎰⎰==2)(2x d e e x de x x x x ⎰⎰-==222 C x e C e e x x x x +-=+-=)1(222. 第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分⎰⎰=')()]([)()]([x d x f dx x x f ϕϕϕϕux =)(ϕ令⎰du u f )(,⎰⎰=')()()()(x dv x u dx x v x u ⎰-=)()()()( x du x v x v x u .§4. 4 几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的积分有理函数的形式：有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(, 其中m 和n 都是非负整数; a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n 及b 0, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b m 都是实数, 并且a 0≠0, b 0≠0. 当n <m 时, 称这有理函数是真分式; 而当n ≥m 时, 称这有理函数是假分式.假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如 1111)1(1122223++=+++=+++x x x x x x x x . 真分式的不定积分: 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分.例1 求⎰+-+dx x x x 6532. 解⎰+-+dx x x x 6532⎰--+=dx x x x )3)(2(3⎰---=dx x x )2536(⎰⎰---=dxx dx x 2536=6ln|x -3|-5ln|x -2|+C . 提示:)3)(2()32()(23)3)(2(3----++=-+-=--+x x B A x B A x B x A x x x , A +B =1, -3A -2B =3, A =6, B =-5. 分母是二次质因式的真分式的不定积分: 例2 求⎰++-dxx x x 3222.解⎰++-dx x x x 3222dx x x x x x )3213322221(22++-+++=⎰dx x x dx x x x ⎰⎰++-+++=321332222122⎰⎰+++-++++=2222)2()1()1(332)32(21x x d x x x x d C x x x ++-++=21a r c t a n 23)32l n (212. 提示: 321332221323)22(213222222++⋅-++-⋅=++-+=++-x x x x x x x x x x x . 例3 求⎰-dx x x 2)1(1.解⎰⎰-+--=-dx x x x dx x x ])1(1111[)1(122⎰⎰⎰-+--=dx x dx x dx x 2)1(1111Cx x x +----=11|1|ln ||ln .提示:222)1(1)1(1)1(1)1(1-+--=-+-=-x x x x x x x x x 22)1(1111)1(1)1(1-+--=-+-+--=x x x x x x x x .二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式.用于三角函数有理式积分的变换: 把sin x 、cos x 表成2tanx 的函数, 然后作变换2tan x u =:222122t a n12t a n 22s e c 2t a n 22c o s 2s i n 2s i n u u x x x x x x x +=+===, 222222112sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x +-=-=-=. 变换后原积分变成了有理函数的积分. 例4 求⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1.解 令2tan x u =, 则212sin u u x +=, 2211cos uu x +-=, x =2arctan u , du u dx 212+=. 于是 ⎰++dx x x x )cos 1(sin sin 1⎰+-++++=)111(12)121(2222u u u u u u du u 212+⎰++=du u u )12(21 C u u u +++=|)|ln 22(212C x x x +++=|2t a n |ln 212tan 2tan 412.说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如,⎰⎰++=++=+C x x d x dx x x )sin 1ln()sin 1(sin 11sin 1cos .三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去. 例5 求⎰-dx xx 1.解 设u x =-1, 即12+=u x , 则du u u udu u u dx xx ⎰⎰⎰+=⋅+=-12211222Cu u du u +-=+-=⎰)arctan (2)111(22C x x +---=)1a r c t a n 1(2. 例6 求⎰++321x dx .解 设u x =+32. 即23-=u x , 则du uu du u u x dx ⎰⎰⎰++-=⋅+=++111331121223 Cu u u du u u +++-=++-=⎰|)1|ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=|21|ln 23)2(233332.例7 求⎰+x x dx)1(3.解 设x =t 6, 于是dx =6t 5d t , 从而11 dt t t dt t t t x x dx ⎰⎰⎰+=+=+22325316)1(6)1(C t t dt t +-=+-=⎰)arctan (6)111(62C x x +-=)a r c t a n (666.例8 求⎰+dx xx x 11. 解 设t xx =+1, 即112-=t x , 于是 dt t t t t dx x x x ⎰⎰--⋅-=+222)1(2)1(11 dt t dt t t )111(212222-+-=--=⎰⎰ C t t t ++---=|11|ln 2 C xx x x x x +++-+-+-=11ln 12. 练习： 1. 求⎰+xdx cos 2. 解: 作变换2tan x t =, 则有dt t dx 212+=, 2211cos t t x +-=, ⎰+x dx cos 2⎰+-++=22211212t t t dt⎰+=dt t 2312⎰+=3)3(11322t d t C t+=3arctan 32C x +=)2tan 31arctan(32. 2. 求⎰dx xx 45cos sin . 解: ⎰dx x x 45cos sin ⎰-=x d x x c o s c o s s i n 44⎰--=x d xx c o s c o s )c o s 1(422 ⎰+--=x d x x c o s )c o s 1c o s 21(42C xx x ++--=3c o s 31c o s 2c o s . 3. ⎰+-+dx x x x 23132⎰--+=dx x x x )1)(2(13⎰---=dx x x )1427(⎰-=dx x 217⎰--dx x 114=7ln|x -2|-4ln|x -1|+C .。