高等数学-第七版-课件-22-1 第一型曲面积分

第二十二章 曲面积分§1 第一型曲面积分教学目的 掌握第一型曲面积分的定义和计算公式． 教学内容 第一型曲面积分的定义和计算公式．(1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． 教学建议(1) 要求学生必须熟练掌握用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分的定义和计算公式．(2) 对较好学生要求他们掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． 教学程序背景：求具有某种非均匀密度物质的曲面块的质量时，利用求均匀密度的平面块的质量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 一、第一型曲面积分的概念与性质定义 设S 为空间上可求面积的曲面块，()z y x f ,,为定义在S 上的函数．对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个可求面积的小曲面i S （n i ,,2,1 =），i S 的面积记为i S ∆，分割T 的细度为{}的直径i n i S T ≤≤=1max ，在i S 上任取一点()i i i ζηξ,,（n i ,,2,1 =）．若有极限()∑=→∆ni ii i i T S f 10,,lim ζηξ=J ，且J 的值与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为()z y x f ,,在S 上的第一型曲面积分，记作()dSz y x f S⎰⎰,, . （1）第一型曲面积分的性质(1)线性性:设cfds ⎰⎰,cgds ⎰⎰存在,R ∈βα., 则ds f f c)(⎰⎰+βα存在,且()c ccff ds fds gds αβαβ+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)可加性:设sfds ⎰⎰存在,,21s s s ⋃=则12,s s fds fds ⎰⎰⎰⎰存在,⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21s s sfds fds fds ；反之亦然.二、第一型曲面积分的计算定理22.1设有光滑曲面S ：()()D y x y x z z ∈=,,， ()z y x f ,,为定义在S 上的连续函数，则()dSz y x f S⎰⎰,,=()()⎰⎰++Dy x dxdyf f y x z y x f 221,,,.证 略例1 计算⎰⎰S z dS ，其中S 是球面2222a z y x =++被平面h z =()a h <<0所截的顶部.解 S ：()(){}2222222,,,h a y x y x D y x y x a z -≤+=∈--=，222221y x a az z y x --=++，⎰⎰S z dS =⎰⎰--D dxdy y x a a222=rdr r a ad h a ⎰⎰--πθ202222=dr r a ra h a ⎰--220222π=()ln 2222h a ra a ---π=h a a ln2π.作业 P2821;2;3;4.。

对面积的曲面积分）1. 定义i S ∆(上为设点i i i i S ∆ζηξ),,(,),,(i i i i S f ∆ζηξ,),,(1ii i ni i S f ∆ζηξ∑=,0时→λi S ∆函数f (x , y , z )在Σ上任意取定的点,并作和如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在,则的最大值①②③④二、对面积的曲面积分的定义第i 小块曲面的面积),作乘积设曲面Σ是光滑的,同时也表示有界.把Σ任意分成n 小块x yOz∙∙),(:y x z z =∑),,(i i i ζηξ),,(iiηξi S ∆xyD xy i )(σ∆2在),,(z y x f 或.d ),,(⎰⎰∑S z y x f 记为即如曲面是⎰⎰∑曲面元素被积函数则积分号写成iiini iS f ∆=∑=→),,(lim 1ζηξλ⎰⎰∑S z y x f d ),,(积分曲面i i i ni i S f ∆ζηξ⋅∑=),,(1称极限为函数上在曲面∑对面积的曲面积分第一类曲面积分.闭曲面,Sz y x M d ),,(⎰⎰∑=ρ据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为34o xyz定理: 设有光滑曲面f (x, y, z ) 在∑上连续,存在, 且有⎰⎰∑S z y x f d ),,(⎰⎰=yx D y x f ),,(对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知∑=nk 1lim→λyx D ),,(k k k ζηξy x k )(σ∆∑=x f ((f fxyzOyz -=5}|),{(=x y x D xy 2522=+y x 所截得的部分:++S z y x d )y -5x d ++)y x +yx x d d )5(π2125=y x d d 5二重积分的对称性设分片光滑的⎰⎰∑Sz y x f d ),,(x 的奇函数x 的偶函数.d ),,(21⎰⎰∑S z y x f .0),(:1≥=z y x x ∑其中⎩⎨⎧=,0则曲面Σ关于yOz 面对称,为当),,(z y x f 为当),,(z y x f 10解依对称性知=⎰⎰∑成立⎰⎰1∑422yx z +=||xyz .为偶函数、关于x y ⎰⎰∑,d ||S xyz 计算).10(22≤≤+=z y x z 为抛物面其中∑例面均对称；面、关于yOz xOz 抛物面有被积函数1∑为第一卦限部分曲面.xyzO11xyz d 214drr +42015125-uxyzO12zxyOzxyOzxyO⎰⎰1∑⎰⎰2∑0==对称性zxyOzxyOzx y y S zxd d 1d 22++=z x xd d 112-=面上注2+=x z xzO11-15zxyOΣ222zxyOΣ2222:ha y x -≤+于是222yx a z --=172222:az y x =++∑解积分曲面方程轮序对称S z y x d )222++S z y x x d )222⎰⎰++∑提示即三个变量轮换位置方程不变⎰⎰=∑x 22243aa π=轮换对称性,中的变量x 、y 、z 3S d 2azxyOΣy x y x y x d d )22222---222:ay x D xy ≤+20极坐标4aπy x d d y d 222:ay x D xy ≤+21被平面截出的顶部解:2222:h a y x D y x -≤+⎰=a --y x y x a 22d d是球面出的上下两部分,则坐标面所围成的四面体的表面ox11⎛原式=25xo,z y 2y x --22为上半球面夹于锥面间的部分xoy 面上的1∑yx Dx o1∑y x D计算结果如何?++S z y d )22⎰⎰∑++=z y x d )(34显然球心为,)1,1,1(半径为).z y ++解:,2:22≤+y x D y x S M d μ∑⎰⎰=r r 4122+4122r +y x )(4122++π13=y x D 2∑xzy2., 计算解:在四面体的四个面上yxz--=1yx dd3xyxD y x-≤≤≤≤10,10:1zyx11O=y xz dd zxzD x z-≤≤≤≤10,10:同上平面方程Sd投影域yxz--=1yx dd3xyxD y x-≤≤≤≤10,10:=y xz dd zxzD x z-≤≤≤≤10,10:同上平面方程Sd投影域12122ln)13(233-+=-321例3∑解(方法1)y R -2221∑+∑=∑y R -22oxyHzR ∑1∑2yz ORHD yzD z y y R x ∈-=∑),(,:221yzORHD注∑参数方程为：]),(),([]),(),([]),(),([222v u z y v u x z v u z y ∂∂+∂∂+∂∂(方法2)z z y z x z z z y ]),(),([]),(),([]),(),([222θθθ∂∂+∂∂+∂∂例,22y x z +=∑是锥面其中,d )1(⎰⎰∑+=S xyz I .)0(222的整个表面面所围空间立体及圆柱面xOy a ax y x >=+解321∑+∑+∑=∑关于zOx 面对称关于y奇函数∑3∑2∑1xyz O∑的面积.0=xyD y x y x z ∈+=∑),(,:)1(221∑3∑2∑1xyzO2a22axyOD xy2π2a=∑3∑2∑1xyzO2a，222)2(∑''+∑'=∑x ax -22，x ax-22，(方法1)+y x22消去y ⎨22∑2xO2a z x x ax y ∈-=∑'),(2:22，2axzOD xzax z 2=⎰⎰∑2d S 28a=(方法2)∑3∑2∑1xyzO2a⎰⎰∑2d S ⎰+y x 22Lπθθ20cos ≤≤⎧=-a a x θcos 12a +θ228a=2π2a =.π822a a ++三、五类积分的统一表述及其共性背景定积分:第一类曲面积分:⎰bax x f d )(二重积分:⎰⎰Dy x f σd ),(三重积分:vz y x f d ),,(⎰⎰⎰Ω第一类曲线积分:⎰Lsy x f d ),(⎰⎰∑S z y x f d ),,(直杆构件质量平面薄板质量空间物体质量曲线构件质量曲面构件质量有共同的物理意义→→→→→被积函数为常数1时的几何含义→→→→→zOx y。