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高等数学初步之一
微积分
物理学研究的是物质的运动规律,因此我们以常遇到的物理量大多数是变量,而我们要研究的正是一些变量彼此间的联系.这样,微积分这个数学工具就成为必要的了.读者在学习基础物理课时若能较早地掌握微积分的一些基本知识,对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是非常有好处的.所以我们在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法,在讲述方法上较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要.这里的讲解为将为读者更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法奠定坚实的基础.
§1 函数
本节中的不少内容读者在初等数学及中学物理课中已经学过了,现在我们只是把它们联系起来复习一下.
1.1 函数 自变量和因数量 绝对常量和任意常量
在数学中函数的功能是这样定义的:有两个互相联系的变量x 和y,如果每当变量x 取定了某个数值后,按照一定的规律就可以确定y 的对应值,我们就称y 是x 的函数,并记作:
()y f x = (A.1) 其中x 叫做自变量,y 叫做因变量,f 是一个函数记号,它表示y 和x 数值的对应关系.有时把()y f x =也记作()y y x =,如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数,我们也可以用其它字母作为函数记号,如()x ϕ、()x ψ等等.
常见的函数可以用公式来表达,例如:。
微积分讲义1微积分讲义基础内容：函数⼀．集合1.集合的相关概念1.满⾜共同属性的对象的全体叫做集合，集合的研究对象叫元素.例：军训前学校通知:8⽉15⽇8点,⾼⼀年级学⽣到操场集合进⾏军训.试问这个通知的对象是全体的⾼⼀学⽣还是个别学⽣？每个学⽣与全体⾼⼀学⽣之间的关系？问题：世界上最⾼的⼭能不能构成⼀个集合？世界上的⾼⼭能不能构成⼀个集合？我们把研究的对象统称为“元素”,那么把⼀些元素组成的总体叫“集合”.2.元素与集合的关系有两种：属于∈，不属于?元素的特性（判断是否为集合的依据）：（1）确定性：给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何⼀个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.（2）⽆序性：即集合中的元素是没有顺序的.（3）互异性：⼀个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.结论：1、⼀般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，…集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…2、元素与集合的关系a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作a∈A ，a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A3.有限集、⽆限集、空集、单元素集N，整数集记作Z, 4.常⽤数集及其记法:⾃然数集记作N,正整数集记作*N或+有理数集记作Q,实数集记作R.注意：（1）)}{ba都是单元素集a},,{(（2）}0{φ的区别},{},{例1 判断以下元素的全体是否组成集合：（1）⼤于3⼩于11的偶数；（）（2）我国的⼩河流； ( )（3）⾮负奇数；（）（4）本校2009级新⽣；（）（5）⾎压很⾼的⼈；（）（6）著名的数学家；（）例题2 下列各组对象不能组成集合的是( )A.⼤于6的所有整数B.⾼中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=图象上所有的点练习1.下列条件能形成集合的是( )A.充分⼩的负数全体B.爱好⾜球的⼈C.中国的富翁D.某公司的全体员⼯2．下列结论中，不正确的是( )A.若a ∈N ，则-a NB.若a ∈Z ，则a 2∈ZC.若a ∈Q ，则｜a ｜∈QD.若a ∈R ，则4、（1） -3 N ；（2） 3.14 Q ；（3） Q ；（4）0 Φ；（5） Q ；（6） R ；（7）1 N +；（8） R 。
经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。
2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。
4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。
5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。
● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。
● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。
知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。
数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。
《微积分》讲义
第一章极限
一、函数极限的概念：f＝A
要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：
f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？
三、极限的四则运算法则
⑴＝f±g
⑵＝f·g
⑶＝……g≠0
⑷k·f＝k·f
四、例：
⑴
⑵
⑶
⑷
五、两个重要极限
⑴＝1 ＝1
⑵＝e ＝e ………
型
理论依据：
⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，
则：limg＝A
⑵单调有界数列必有极限。
例题：
⑴＝
⑵＝
⑶＝
⑷＝
⑸＝
六、无穷小量及其比较
1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）
七、函数的连续性
1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量
x：
⑴x0时，y0。
即：y＝0
⑵f＝f
⑶左连续：f＝f右连续：f＝f
2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：
⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、
（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，
则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例：＝
＝
＝
4、函数的间断点：
⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：
⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学
一、导数
1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f
＝A f'＝A ……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：
⑴＝0
⑵＝n·
⑶＝，＝
⑷＝·lnɑ，＝
⑸＝cosx，＝－sinx
＝x，＝－
＝secx·tanx，＝－cscx·cotx
⑹＝－
＝－
4、导数的运算：
⑴、四则运算法则：
＝±
＝·g(x)＋f(x)·
＝
例：求下列函数的导数
y＝2－5＋3x－7
f(x)＝＋4cosx－sin
y＝
⑵、复合函数的求导法则：
y u，u v，v w，w x y x
'＝''''
例：y＝lntanx
y＝ln
y＝arcsin
⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的
式子，先对y求导，然后y再对x求导。
例1：设方程xy－＋＝0 确的隐函数y＝y(x)，求；
例2、求方程式＋2y－x－3＝0 所确定的隐函数在x＝0处的导数；
5、导数的几何意义：曲线的切线斜率。
例1：问曲线y＝上哪点处的切线与直线y＝3x－1 平行？
例2：求曲线＋＝5在点处的切线方程。
6、函数的可导性与连续性的关系：
可导必连续，但连续不一定可导。
7、高阶导数：y''，y'''，，…
例：求y＝sin5x的三阶导数。
二、微分
1、微分的概念：df(x)＝f'(x)·dx …df(x)＝f'(x)·x
例：求函数y＝当x＝2，x＝0.02 时的微分。
2、微分的几何意义：y 的近似值。
3、基本微分法则：
⑴d(u±v)＝du±dv
⑵d(u·v)＝u·dv＋v·du
⑶d(ku)＝k·d(u)
⑷d＝
例1、y＝sinx，求dy；
例2、y＝ln，求dy；
4、微分在近似计算中的应用
y dy f(＋x)－f()＝
f'()·x
f(＋x)＝f'()·x＋f()
例：求的近似值。
三、导数的应用
1、中值定理
⑴罗尔定理：
⑵拉格朗日定理：
⑶柯西定理：
2、洛必达法则：求末定式“”“”型极限
lim＝lim
⑴基本型：，
：
：
⑵其它末定型：“0·∞”、“∞－∞”、“”、“”、“”
“0·∞”型＝或＝
x·lnx
“∞－∞”型：通分
：
对数式……
：
：
：
三、函数的单调性、极值与凹凸性
1、单调性：
2、极值：
可能的极值点
3、凹凸性：
例求函数y＝3x－的极值、增减区间、凹凸区间。
第三章一元函数积分学
一、不定积分的概念及简单运算
不定积分——求原函数
1、原函数的定义：设f、F在区间I内有定义，且：F'＝f,
则称F为f在区间I内的一个原函数
如：＝是的一个原函数。
＝cosx sinx 是cosx 的一个原函数。
观察：＝
＝
＝
结论：若f有原函数，它的原函数有无穷多个，它们之间相差一
个常量。
即：若F为f在区间I内的一个原函数，则F＋C均为
f在区间I内的原函数。
2、不定积分定义：f在区间I内的所有原函数称为f的不定积分；
记为：f dx
即：若F为f在区间I内的一个原函数，则：f dx＝F＋C；
例：dx＝＋C；cosxdx＝sinx＋C；
3、不定积分的性质：
⑴＝f或d＝f dx
⑵f'dx ＝f＋C 或df＝f＋C
⑶k·f dx＝k·f dx
⑷dx＝f dx±g dx
4、不定积分的基本积分公式：
⑴dx ＝＋C
⑵dx ＝ln＋C
⑶dx ＝＋C
⑷dx ＝＋C
⑸cosxdx ＝sinx ＋C
⑹sinxdx ＝－cosx ＋C
⑺xdx ＝tanx ＋C
⑻xdx ＝－cotx ＋C
⑼secx·tanxdx ＝secx ＋C
⑽cscx·cotxdx ＝－cscx ＋C
⑾dx ＝arcsinx ＋C
⑿dx ＝arctanx ＋C
5、不定积分的简单运算：
例1 dx
例2 dx
例3 dx
例4 xdx
例5 dx
二、不定积分的运算
1、换元积分法
⑴第一类换元积分法——“凑”微分法例1 cos5xdx
例2 dx
例3 x·dx
例4 x dx
例5 dx
例6 dx
例7 tanx dx
⑵第二类换元积分法——去根号
例11 dx
⑶“三角”代换去根号
例14 dx
2、分部积分法：u dv ＝u·v －v du
例18 xcosx dx
例19 x dx
例20 xlnx dx
例23 sinx dx
3、有理函数的积分
例25 dx
例26 dx
三、定积分的概念与性质
1、定积分的概念——几何意义：求曲边梯形的面积
f dx ＝f·
2、定积分的性质：
⑴规定：f dx ＝f dx
⑵规定：f dx ＝0
⑶dx＝f dx ±g dx
⑷k·f dx ＝k·f dx
⑸f dx ＝f dx ＋f dx
⑹若f在对称区间上连续，则：
3、定积分的计算：
⑴微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式
若F是f的一个原函数，则：
f dx ＝F＝F－F
例dx
⑵定积分的换元积分法
例7 dx
例8 dx
⑶定积分的分部积分法——u dv ＝u·v －v du
例10 x dx
例11 sinx dx
4、定积分在几何中的应用：
例1 计算由两条抛物线＝x 和y ＝所围成图形的面积。
例2 计算抛物线＝2x 与直线y ＝x－4 所围成图形的面
积。
四、反常积分——广义积分
例2 dx
例3 x dx
例4 讨论dx 的收敛性。
第四章多元函数微分学
定义：二元及二元以上的函数统称为多元函数。
一、二元函数的极限与连续
1、二元函数的极限：
例1
例2 证明：＝1
2、二元函数的连续性
f＝f
二、偏导数
1、定义：对于二元函数Z ＝f
对x 的偏导数：，，，；
对y 的偏导数：，，，；
例4 求Z＝sin2y 在点的偏导数。
2、二阶偏导数
＝＝
＝＝
＝＝
＝＝
例6 设Z＝＋sin＋1，求它的二阶偏导数。
3、全微分——dZ＝dx＋dy
例1 计算Z＝y＋在点的全微分。
例2 求Z＝的全微分。
4、复合函数的偏导数
Z ＝j，u ＝f，v ＝g
例1 设Z＝f，求，。
