专题7：定积分与不定积分【解析版】-2022年高考数学尖子生强基校考讲义

（完整）高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解() 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解()）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解()的全部内容。

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．（2010·山东日照模考）a＝错误!x d x，b＝错误!e x d x，c＝错误!sin x d x，则a、b、c的大小关系是( )A．a〈c<b B．a<b〈cC．c<b〈a D．c<a〈b[答案］D［解析] a＝错误!x d x＝错误!x2|02＝2，b＝错误!e x d x＝e x｜02＝e2－1>2，c＝错误!sin x d x＝－cos x｜02＝1－cos2∈(1,2)，∴c<a〈b.2．(2010·山东理，7）由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为（）A。

112B.错误!C。

错误! D.错误![答案] A［解析］由错误!得交点为(0，0），（1,1）．∴S＝错误!(x2－x3)d x＝错误!01＝错误!.［点评］图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：（2010·湖南师大附中）设点P在曲线y＝x2上从原点到A（2,4）移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作S1，S2。

如图所示，当S1＝S2时，点P的坐标是( )A.错误!B.错误!C.错误!D.错误![答案］A［解析］设P(t，t2）（0≤t≤2），则直线OP：y＝tx，∴S1＝错误!（tx－x2)d x＝错误!；S2＝错误!(x2－tx）d x＝错误!－2t＋错误!，若S1＝S2，则t＝错误!,∴P错误!.3．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为( )A．4 B。

高考考纲与考向分析——定积分与微积分基本定理考纲原文（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（2）了解微积分基本定理的含义.知识点详解一、定积分1．曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线x=a、x=b(a≠b)、y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.3．定积分的定义和相关概念4．定积分的性质【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边梯形EBCF 的面积的和．5．定积分的几何意义6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S,则7．定积分的物理意义二、微积分基本定理【注】常见的原函数与被积函数的关系考向分析考向一定积分的计算1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强；（2）利用微积分基本定理求定积分；2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．4．奇偶函数的定积分考向二利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略（1）利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．（2）知图形的面积求参数求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；然后确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．（3）与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.考向三定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所【名师点睛】1、定积分的计算一般有三个方法：①利用微积分基本定理求原函数；②利用定积分的几何意义，即利用面积求定积分；③利用奇偶性、对称性求定积分，如奇函数在对称区间的定积分值为0.2、由函数图象或曲线围成的曲边图形面积的计算及应用，一般转化为定积分的计算及应用，但一定要找准积分上限、下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决．具体步骤如下：(1)画出图形，确定图形范围；(2)解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；(3)确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；(4)计算定积分，求出平面图形的面积．3．由函数求其定积分，能用公式的利用公式计算，有些特殊函数可根据其几何意义，求出其围成的几何图形的面积，即其定积分．。

2022年高考数学尖子生强基计划专题15：解析几何一一、真题特点分析：1.【2020武汉大学1】设圆O 的半径为3，其一条弦4AB =，P 为圆O 上任意一点，则AB BP ⋅的最大值为（）A.0B.1C.3D.42.【2020年清华大学】在非等边ABC △中，BC AC =，若O 和P 分别为ABC △的外心和内心，D 在线段BC 上，且满足OD BP ⊥，则下列选项正确的是（）．A．B ，D ，O ，P 四点共圆B．OD AC ∥C．OD AB∥D．PD AC∥3.【2021年清华大学】在ABC △中，D 为BC 的中点，15CAD ∠=︒，则ABC ∠的最大值为（）．A．120︒B．105︒C．90︒D．60︒答案：B二、知识要点拓展一、知识精讲1.点到直线的距离：d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).2.圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).3.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.4.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:①0<∆⇔⇔>相离r d ;②0d r =⇔⇔∆=相切;③0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.5.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.6.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±bya x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.7.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212||||AB x x y y =--（1122(,),(,)A x yB x y 1.三角形四心的坐标设ABC ∆三边的长度分别为a,b,c，三个顶点A、B、C 的坐标分别记为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y ，则重心G、内心I、垂心H、外心O 坐标分别为,33A A x y G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑、,A A ax ay I a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑、cos cos ,cos cos A A ax ay A A H a a AA ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑、sin 2sin 2,sin 2sin 2A A x A y A O A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑。

1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx )x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）⎰⎰⎰±=±bababadx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-a aadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积 题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x 轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断. 解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰12xdx表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169 C.⎝⎛⎭⎫43，157D.⎝⎛⎭⎫45，1373．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( ) A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．。

(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解(1) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解(1)的全部内容。

(完整版）高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解（1)编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望（完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解（1) 这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。

同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为〈（完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解（1）> 这篇文档的全部内容。

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考）a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝错误!e xd x ，c ＝错误!sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a 〈c <bB ．a 〈b <cC ．c <b <aD ．c 〈a 〈b[答案］ D［解析] a ＝错误!x d x ＝错误!x 2｜02＝2，b ＝错误!e x d x ＝e x |02＝e 2－1〉2，c ＝错误!sin x d x ＝－cos x ｜02＝1－cos2∈（1,2),∴c <a 〈b 。

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。

解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。

1．πcos d x x =⎰A ．1B ．2-C ．0D ．π2．若12()2()d f x x f x x =+⎰，则10()d f x x ⎰=A ．−1B ．13- C ．13D ．13．若()π402sin cos d x a x x -=-⎰，则实数等于 A ． B ．2 C ．1-D ．3-4．直线34x y x y ==与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A ．22B ．24C ． 3D ．4 5．设实数2log 3a =，131log 2b =，π01sin d c x x=⎰，则 A ．b a c >> B ．b c a >> C ．a b c >>D ．a c b >>6．两曲线sin y x =，cos y x =与两直线0x =，π2x =所围成的平面区域的面积为 A ．π20(sin cos )d x x x -⎰ B ．π402(sin cos )d x x x -⎰C ．π20(cos sin )d x x x -⎰D ．π402(cos sin )d x x x -⎰7．在平面直角坐标系中，记抛物线y =x −x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线专题07 定积分与微积分基本定理第一章 导数及其应用y=kx(k>0)所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为827，则k的值为A．13B．23C．12D．348．若函数)(xf、)(xg满足11()()d0f xg x x-=⎰，则称)(x f、)(x g为区间]1,1[-上的一组正交函数，给出三组函数：①xxgxxf21cos)(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=xxgxxf；③2)(,)(xxgxxf==.其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是A．0 B．1C．2 D．39．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C的方程为20x y-=）的点的个数的估计值为A．5000 B．6667C．7500 D．785410．自由落体的运动速度v gt=(g为常数)，则当[]1,2t∈时，物体下落的距离为__________．11．已知()[](]221,1,11,1,2x xf xx x⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则()21df x x-=⎰__________．。

定积分一、基础知识1、相关术语：对于定积分()baf x dx ⎰（1）,:a b 称为积分上下限，其中a b ≥ （2）()f x ：称为被积函数（3）dx ：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：()2bax t x d x+⎰中的被积函数为()2f x x tx =+，而()2baxt x d t +⎰的被积函数为()2f t xt x =+2、定积分()baf x dx ⎰的几何意义：表示函数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积（x 轴上方部分为正，x 轴下方部分为负）和，所以只有当()f x 图像在[],a b 完全位于x 轴上方时，()baf x dx ⎰才表示面积。

()baf x dx ⎰可表示数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：（1）微积分基本定理：如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()'F x f x =，那么()()()()|bb a af x dx F x F b F a ==-⎰使用微积分基本定理，关键是能够找到以()f x 为导函数的原函数()F x 。

所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：()f x C = ()'0f x = ()f x x α= ()'1f x x αα-=()sin f x x = ()'c o s f x x = ()c o s f x x = ()'s i n f x x =- ()x f x a = ()'ln x f x a a = ()x f x e = ()'xf x e= ()log a f x x = ()'1ln f x x a =()ln f x x = ()'1f x x= ① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：()3f x x =，则判断属于幂函数类型，原函数应含4x ，但()'434xx =，而()3f x x=，所以原函数为()414F x x C =+（C 为常数） ② 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数C ，例如()2f x x =，则()2F x xC =+，但在使用微积分基本定理时，会发现()()F b F a -计算时会消去C ，所以求定积分时，()F x 不需加上常数。

高考数学一轮复习：3.3 定积分与微积分基本定理必备知识预案自诊知识梳理1.定积分的定义如果函数f (x )的图像在区间[a ,b ]上连续,用分点a=x 0<x 1<…<x i-1<x i <…<x n =b 将区间[a ,b ]等分成n 个小区间,在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点ξi (i=1,2,…,n ),作和式∑i=1nf (ξi )Δx=∑i=1n b -a nf (ξi ),当n →+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫作函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分,记作∫baf (x )d x.2.定积分的几何意义(1)当函数f (x )的图像在区间[a ,b ]上连续且恒有f (x )≥0时,定积分∫baf (x )d x 的几何意义是由直线x=a ,x=b (a ≠b ),y=0和曲线y=f (x )所围成的曲边梯形(图①中阴影部分)的面积.图①图②(2)一般情况下,定积分∫baf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y=f (x )以及直线x=a ,x=b之间的曲边梯形(图②中阴影部分)面积的代数和,其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.3.定积分的性质(1)∫ba kf (x )d x= (k 为常数); (2)∫ba [f (x )±g (x )]d x= ;(3)∫baf (x )d x= (其中a<c<b ).4.微积分基本定理一般地,如果f (x )是图像在区间[a ,b ]上连续的函数,并且F'(x )=f (x ),那么∫baf (x )d x= .这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿—莱布尼茨公式,其中F(x)叫作f(x)的一个原函数.为了方便,我们常把F(b)-F(a)记作,即∫ba f(x)d x=F(x)|ab=F(b)-F(a).5.定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程s=∫bav(t)d t.(2)变力做功:某物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是W=∫baF(x)d x.1.定积分与曲边梯形的面积的关系:设图中阴影部分的面积为S,则(1)如图(1),S=∫baf(x)d x;(2)如图(2),S=-∫baf(x)d x;(3)如图(3),S=∫ca f(x)d x-∫bcf(x)d x;(4)如图(4),S=∫ba[f(x)-g(x)]d x.2.设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,则有:(1)若f(x)是偶函数,∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x;(2)若f(x)是奇函数,则∫a-af(x)d x=0.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若函数y=f(x)的图像在区间[a,b]上连续,则∫ba f(x)d x=∫baf(t)d t.()(2)若f(x)是图像连续的偶函数,则∫a-a f(x)d x=2∫af(x)d x;若f(x)是图像连续的奇函数,则∫a-af(x)d x=0.()(3)在区间[a,b]上连续的曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a≠b),y=0所围成的曲边梯形的面积S=∫ba|f(x)|d x.()(4)若∫baf (x )d x<0,则由y=f (x ),x=a ,x=b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方. ( )(5)已知质点移动的速度v=10t ,则质点从t=0到t=t 0所经过的路程是∫t010t d t=5t 02.( )2.已知函数f (x )={√x ,1<x ≤4,x |x |,-1≤x ≤1,则∫4-1f (x )d x=( )A.14B.143C.7D.2123.汽车以v=(3t+2)m/s 做变速运动时,在第1 s 至2 s 之间的1 s 内经过的路程是( ) A.5 m B.112 mC.6 mD.132m4.(2020湖南师大附中测试)直线y=4x 与曲线y=x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.2√2B.4√2C.2D.45.(2020江西南昌模拟)设a>0,若曲线y=√x 与直线x=a ,y=0所围成的封闭图形的面积为a 2,则a= .关键能力学案突破考点定积分的计算【例1】计算下列定积分. (1)∫10(-x 2+2x )d x ;(2)∫π(sin x-cos x )d x ;(3)∫21(e 2x +1x )d x ; (4)∫π2√1-sin2x d x.思考计算定积分的步骤有哪些?解题心得计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和. 对点训练1(1)∫3-1(3x 2-2x+1)d x ;(2)∫21(x -1x )d x ;(3)∫π-π(x 3cos x )d x ;(4)∫20|1-x|d x.考点利用定积分的几何意义求定积分【例2】已知函数f (x )={-x +2,x ≤2,√1-(x -3)2,2<x ≤4,则定积分∫412f (x )d x 的值为( )A.9+4π8 B.1+4π4C.1+π2D.3+2π4思考怎样求曲线围成平面图形的面积?解题心得当被积函数的原函数不易求,而被积函数的图像与直线x=a ,x=b ,y=0所围成的曲边图形形状规则,面积易求时,利用定积分的几何意义求定积分.对点训练2(2020四川成都一中测试)∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=( )A.π4 B.π2C.πD.π2+2考点定积分的应用 (多考向探究)考向1 求曲线围成的平面图形的面积【例3】(1)如图所示,曲线y=x2-1,x=2,x=0,y=0围成的阴影部分的面积为() A.∫2|x2-1|d xB.∫21(1-x2)d x+∫1(x2-1)d xC.∫2(x2-1)d xD.∫21(x2-1)d x+∫1(1-x2)d x(2)(2020云南昆明一中测试)如图是函数y=cos2x-5π6在一个周期内的图像,则阴影部分的面积是()A.34B.54C.32D.32−√34思考怎样求曲线围成的平面图形的面积?考向2已知曲线围成的面积求参数【例4】(2020安徽合肥摸底)由曲线f(x)=√x与y轴及直线y=m(m>0)围成的图形的面积为83,则m的值为()A.2B.3C.1D.8思考应用怎样的数学思想解决已知曲线围成的面积求参数问题?考向3定积分在概率中的应用【例5】(2020山西太原联考)如图,在矩形ABCD中的曲线是y=sin x,y=cos x的一部分,点A(0,0),B(π2,0),D(0,1),在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是()A.4π(√3-1) B.4π(√2-1)C.4(√3-1)πD.4(√2-1)π思考怎样求定积分与概率的交汇问题? 考向4 定积分在物理中的应用【例6】(1)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v (t )=7-3t+251+t(t的单位:s ,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车行驶的距离(单位:m)是( )A.1+25ln 5B.8+25ln113C.4+25ln 5D.4+50ln 2(2)一物体在力F (x )={5,0≤x ≤2,3x +4,x >2(单位:N )的作用下沿与力F 相同的方向从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F (x )做的功为 J .思考利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题的关键是什么?解题心得1.对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大致图形,然后根据图形特点,选择相应的积分变量及被积函数,并确定被积区间.2.已知图形的面积求参数,一般是先画出它的草图;然后确定积分的上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,再应用方程的思想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.3.与概率相交汇问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积,再用相应概率公式进行计算.4.利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.对点训练3(1)如图,由两条曲线y=-x 2,y=-14x 2及直线y=-1所围成的平面图形的面积为 .(2)已知t>1,若∫t1(2x+1)d x=t 2,则t= .(3)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC 内,曲线y=x 3(x>0)和曲线y=√x 围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )A.512 B.16C.14D.13(4)汽车以36 km/h 的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以加速度a=-2 m/s 2刹车,则从开始刹车到停车,汽车走的距离是 m .(5)设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1,且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为J(x的单位:m;力的单位:N).1.求定积分的方法:(1)利用定义求定积分,可操作性不强.(2)利用微积分基本定理求定积分的步骤如下:①求被积函数f(x)的一个原函数F(x);②计算F(b)-F(a).(3)利用定积分的几何意义求定积分.2.定积分∫baf(x)d x的几何意义是x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b围成的曲边梯形的面积的代数和.在区间[a,b]上连续的曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a≠b),y=0所围成的曲边梯形的面积S=∫ba|f(x)|d x.1.被积函数若含有绝对值号,应去掉绝对值号,再分段积分.2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是被积变量.3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负.3.3定积分与微积分基本定理必备知识·预案自诊知识梳理3.(1)k∫baf(x)d x(2)∫ba f(x)d x±∫bag(x)d x(3)∫ca f(x)d x+∫bcf(x)d x4.F(b)-F(a)F(x)|ab考点自诊1.(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2.B 函数f (x )={√x ,1<x ≤4,x |x |,-1≤x ≤1,则∫4-1f (x )d x=∫1-1x|x|d x+∫41√x d x=0+23x 32 14=143.故选B .3.D S=∫21(3t+2)d t=(32t 2+2t) 12=92+2=132.故选D .4.D 由{y =4x ,y =x 3,得x=0或x=2或x=-2(舍),∴S=∫2(4x-x 3)d x =2x 2-14x 402=4.5.49封闭图形如图阴影部分所示,则∫a√x d x=23x32a =23a 32=a 2,解得a=49.关键能力·学案突破例1解(1)∫1(-x 2+2x )d x=∫10(-x 2)d x+∫12x d x=(-13x 3) 01+(x 2) 01=-13+1=23. (2)∫π(sinx-cosx )dx=∫π0sinxd x-∫π0cos x d x=(-cos x ) π0-sin x π0=2.(3)∫21(e 2x +1x )dx=∫21e 2x dx+∫211x x=12e d 2x 12ln x 12=12e+4-12e 2+ln2ln1=e-4-12e122+ln2.(4)∫π2√1-sin2x dx=∫π2|sinx-cos x|d x=∫π4(cos x-sin x )d x+∫π2π4(sin x-cos x )d x=(sinx+cos x ) 0π4+(-cos x-sin x ) π4π2=√2-1+(-1+√2)=2√2-2. 对点训练1解(1)∫3-1(3x 2-2x+1)d x=(x 3-x 2+x )|-13=24. (2)∫21(x -1x )d x=12x 2-ln x 12=32-ln2.(3)因为y=x 3cos x 为奇函数, 所以∫π-π(x 3cos x )d x=0.(4)∫20|1-x|dx=∫10(1-x)dx+∫21(x-1)d x=(x -12x 2) 01+12x 2-x 12=(1-12)-0+12×22-2-12×12-1=1.例2A 因为f (x )={-x +2,x ≤2,√1-(x -3)2,2<x ≤4, 所以∫412f (x)dx=∫212(-x+2)dx+∫42√1-(x -3)2d x ,∫212(-x+2)d x=-12x 2+2x122=98.∫42√1-(x -3)2d x 的几何意义为以(3,0)为圆心,以r=1为半径的圆在x 轴上方的部分,因而S=12×π×12=π2, 所以∫412f (x )d x=98+π2=9+4π8.故选A .对点训练2B ∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=∫1-1√1-x 2d x+∫1-1sin x d x ,∵y=sin x 为奇函数,∴∫1-1sin x d x=0. 又∫1-1√1-x 2d x 表示以坐标原点为圆心,以1为半径的圆的上半圆的面积,∴∫1-1√1-x 2d x=π2. ∴∫1-1(√1-x 2+sin x )d x=π2.例3(1)A (2)B (1)由曲线y=x 2-1,直线x=0,x=2和x 轴围成的封闭图形的面积为S=∫1(1-x 2)d x+∫21(x 2-1)d x.根据对称性,它和函数y=|x 2-1|,直线x=0,x=2和x 轴围成的封闭图形的面积相等,如图所示,即S=∫2|x 2-1|d x.(2)阴影部分的面积为 S=-∫π60cos 2x-5π6d x+∫2π3π6cos 2x-5π6d x =-12sin 2x-5π60π6+12sin 2x-5π6π62π3=-12sin -π2-12sin -5π6+12sin π2−12sin -π2=14+1=54.故选B .例4A 由题知曲线f (x )=√x 与直线y=m 的交点为(m 2,m ),则∫m 2(m-√x )d x=mx-23x 320m 2=m 3-23m 3=83,解得m=2.例5B S 阴影=2∫π40(cos x-sin x )d x=2[sin x+cos x ] 0π4=2(√2-1),S ABCD =π2×1=π2,由测度比是面积比可得,此点取自阴影部分的概率是P=S 阴影S ABCD=2(√2-1)π2=4π(√2-1).故选B .例6(1)C (2)36 (1)由v (t )=7-3t+251+t=0,可得t=4,t=-83(舍去),因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s,此期间行驶的距离为∫40v (t )d t=∫47-3t+251+td t=7t-32t 2+25ln(1+t )04=4+25ln5(m).(2)由题意知,力F (x )所做的功为W=∫42F (x )d x=∫425d x+∫42(3x+4)d x=5×2+32x 2+4x 24=10+32×42+4×4-32×22+4×2=36(J).对点训练3(1)43(2)2 (3)A (4)25(5)342 (1)由{y =-x 2,y =-1得交点A (-1,-1),B (1,-1).由{y =-14x 2,y =-1得交点C (-2,-1),D (2,-1).所以所求面积S=2∫2(-14x 2+1)−∫1(-x 2+1)=43.(2)∫t1(2x+1)d x=(x 2+x ) 1t =t 2+t-2,从而得方程t 2+t-2=t 2,解得t=2.(3)此题为关于面积的几何概型,边长为1的正方形AOBC 的面积为1,叶形图(阴影部分)的面积S (A )=∫10(√x -x 3)d x=(23x 32-14x4) 01=512.所以所求概率P (A )=512.故选A .(4)t=0时,v 0=36km/h=10m/s ,刹车后,汽车减速行驶,速度为v(t)=v 0+at=10-2t ,由v (t )=0得t=5s,所以从刹车到停车,汽车所走过的路程为∫5v(t)dt=∫5(10-2t )d t=(10t-t 2) 05=25(m).(5)变力F (x )=x 2+1使质点M 沿x 轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W=∫101F (x )d x=∫101(x 2+1)d x=(13x 3+x) 110=342(J).。

§4 定积分的性质教学目的与要求：1. 理解并掌握定积分的性质极其证明方法.2. 逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学重点，难点：1. 定积分的性质极其证明方法.2. 应用定积分的性质证明定积分的有关问题. 教学内容：一 定积分的基本性质性质1 若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且()()b b kf x dx k f x dxa a =⎰⎰.（1）证 当k=0时结纶显然成立. 当k 0≠时,由于()()11.,nniii i i i kf x kJk f x J ξξ==∆-=∆-∑∑其中J=(),χχd f a b⎰因此当f 在[a,b]上可积时,由定义,任给0,0,,T εδδ>><存在当时()1,ni i i f x J kεξ=∆-<∑从而 ()1.niii kf x kJξε=∆-<∑即kf 在［a,b ］上可积，且()().b bkf x dx kJ k f x dx a a ==⎰⎰性质２ 若f ﹑g 都在［a,b ］可积，则f g ±在［a,b ］上也可积，且()()()().b b bf xg x dx f x dx g x dx a a a β±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ （2）证明与性质１类同。

注1 性质１与性质２是定积分的线性性质，合起来即为()()()(),bb ba f xg x d x a f x d x g x d xa a aββ+=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 其中a ﹑β为常数。

注2 在f ，g ，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有任意两个在[a,b]上可积，则另外一个在[a,b]上可积.在f ，g ，h=f+g(或f-g)三个函数中，只要有一个在[a,b]上可积，一个在[a,b]上不可积， 则另外一个在[a,b]上必不可积.性质３ 若f ﹑g 都在［a,b ］上可积，则f ·g 在［a,b ］上也可积。

2022年高考数学尖子生强基计划专题14概率统计一、真题特点分析：1．【2020中科大】已知12,,,n a a a 为1,2,,n 的排列，若i j <且i j a a <，则(),i j a a 为顺序对，设X 为12,,,n a a a 的顺序对的个数，则()E x =_______________．2.【2021中科大】抛掷一个均匀的骰子()16n -各面次，记该过程中出现的最大数字为X ，则()E X =________．二、知识要点拓展一．随机事件的概率1.随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，随机事件一般用大写英文字母A B 、等来表示；2.确定事件（1）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；必然事件和不可能事件合起来称为确定事件。

3.事件A 的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率nm 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，作P （A ）.由定义可知0≤P （A ）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

4.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成。

如果一次试验中可能出现的结果有n 个，即此试验由n 个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是n 1。

如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率P （A ）=nm 。

►说明：使用公式P （A ）=n m 计算时，确定m 、n 的数值是关键所在，其计算方法灵活多变，没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏。

二．互斥事件的概率1.相关概念（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件；（2）对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。

2.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：（1）互斥事件研究的是两个事件之间的关系；（2）所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；（3）两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。