定积分总结

定积分讲义总结 内容一 定积分概念

一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a

x n

-?=

），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1

1

()()n n

n i i i i b a

S f x f n

ξξ==-=?=∑∑

如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b

a

S f x dx =

?

其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分

()b

a

f x dx ?

是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b

a

f x dx ?，而不是n S ．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：

1()n

i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a

f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．

分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割

在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：

0,b n ??????，2,b b n n ??

????，…，()1,n b b n -??????

记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n

n -???=?

?

??L ，其长度为()1i b i b b

x n n n -??=-= 把在分段0,

b n ?

????

?，2,b b n n ??

????，…，()1,n b b n -??????

上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ?

??

(1,2,,)i n =L （3）求和

()1

1

1n n

n i i i i b b W W k n

n

==-=?=??∑∑

=()()22222

110121122n n kb kb kb n n n n -??

++++-==-?? ??

???

L

从而得到W 的近似值 2112n kb W W n ??

≈=- ???

（4）取极限22

1

1lim lim lim 122n

n i n n n i kb kb W W W n →∞→∞→∞=??==?=-= ???∑ 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为：

22kb

内容二 定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间[,]a b 上函数()f x 连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分

dx x f a

b

?

)(表示由直线

0),(,=≠==y b a b x a x 和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分

dx x f a

b

?

)(的几何意义。

说明：一般情况下，定积分

()b

a

f x dx ?

的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面

积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号。

分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ?+?++?++?L L 不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +

于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -?+?++?--?++-?L L ?

=∴a

b

dx x f )(阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）

例2．计算定积分

2

1

(1)x dx

+?

分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52

。 即：2

1

5(1)2

x dx +=

?

1

2

y

x

o

内容三 定积分的性质

性质1 a b dx b

a

-=?1

性质2 ??

=b

a

b

a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）

性质3

1212[()()]()()b

b b

a

a

a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±?

??（定积分的线性性质）

性质4

()()()()b

c

b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx

a c

b =+<

说明：①推广：1212[()()()]()()()b

b

b

b

m m a

a

a

a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±?

???L L

②推广: 12

1

()()()()k

b

c c b

a

a

c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++?

???L

内容四 微积分基本定理

一般地，如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且)()('x f x F =，那么()()()b

a

f x dx F b F a =-?

这个结论叫做微积分基本定理。

基本积分公式：

（1）?-≠∈+=

+b

a b

a m m m Q m x m dx x )1,(1

11； （2）?=b

a b a x dx x

ln 1

； （3）

?

=b

a

b a

x x e dx e ； （4）?=

b

a b a

x

x

a

a dx a ln ；

（5）?

=b

a b a x xdx sin cos ；

（6）

?-=b

a

b

a

x

xdx cos sin

例3 求

.12

dx x

x b

a

?

+

解 因为

22

1222===1122

2212(1)(1)2x C x C ++=++g 即

1

22

20

(1)1x +=1

22

(1)x +，所以

2

?

=1

2

22

(1)

1x +=

内容五 定积分的简单应用

. 1、 曲边图形面积：()b

a

S f x dx =?；

2、 变速运动路程2

1

()t t S v t dt =?

；

3、 变力做功 ()b

a

W F r dr

=

?

例4．求抛物线y 2 = x 与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．

解：如图：由2230y x

x y ?=?--=?

得A （1，– 1），B （9，3）．

选择x 作积分变量，则所求面积为

1

011

[()][(3)]2

S x x dx x x dx =--+--??=19

9

011

121(3)2dx xdx x dx +--??? =3321992201142332||()|33423

x x x x +--=．