数学：15《定积分的概念》PPT课件新人教A版-选讲义修2-2

1x2dx
0
(1x3) 3
1 0

1 3
积分、定积分的几何意义．
• 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
引例曲边梯形的面积
exit
定积分的定义
exit
定积分的几何意义
exit
注：
b
1. f (x)dx 与 f (x)dx 的差别 a
f (x)dx是 f (x) 的全体原函数 是函数
b
f (x)dx是一个和式的极限 a
a
f (x规定：1 a f xdx0 a 2a bfxdxbafxdx
a
x+dx x b
例2 求下列定积分
1 x2dx 0
解 因为y x 2 在 [ 0 , 1 ] 上连续，y 1 x 3 是它的一个原函数 3
所以
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
1.5《定积分的概念》
教学目标
• ⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，
了解定积分的背景；
• ⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积
分的概念，能用定积分法求简单的定积分．
• 3．理解掌握定积分的几何意义； • 教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定
是一个确定的常数
n
2
.当

i 1
f
( )x i
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
f(x) 及积分区间 [a,b有] 关，而与区间 a,b 的分法及
i
点的取法无关。
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
b
b
af(x)d xaf(t)d taf(u)du

b
（2）若 f(x) ≤ 0, x∈[a,b] ，则
f(x)dx = -A
a
y
y = f(x)
b
y = a f(x)dx
o
y
a o
b x
b
y = -a f(x)dx
y = f(x) x
新知探究
由此可知，若函数f (x)在对称区间[-a ,a]上连续，则
a f
-a
xdx =
2
a f xdx
0
新知探究
Δx1 = x1 - x0 , Δx2 = x2 - x1,, Δxn = xn - xn-1
在每个小区间 xi-1, xi 上任取一点 ξi (xi-1 ≤ ξi ≤ xi )
作和式：
n
S = f ξi Δxi
i=1
新知探究
积分上限 b
n
积分和
a
f(x)dx
=
lim
n →0
i =1
讲解人： 时间：
都通过“四步曲”——分割、近似代替、求和的极限、取极限来解决问题. 最终的结果都归结为求同一种类型的和式.
新知探究
曲边梯形面积
y
y=ƒ(x) A
B
x=a
x=b
o a y=0 b x
n
n1
S = lim f Δx→∞ i=1
ξi
Δx = lim Δx→∞ i=1
f n
ξi
变速运动的路程
n
课堂练习
设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值则
m
b
-
a
≤
b
a
f(x)dx
≤
M
b

牛刀小试
1 ．求由曲线 y ＝ ex ，直线 x ＝ 2 ， y ＝ 1 围成的图形的面积
时，若选择x为积分变量，则积分区间为( A．[0，e2] B．[0,2] )
C．[1,2]
[答案] B
[解析]
x y＝e 解方程组 y＝1
D．[0,1]
x＝0 ，可得 y＝1
，
所以积分区间为[0,2]，故应选B.
么定积分
b a
曲线y＝f(x) 所围成的曲边梯形的面积． _____________
3．定积分的性质
a
b k f(x)dx b a ① kf ( x )d x ＝ __________________( k为常数)；
b f1(x)dx± f2(x)dx b a ② [ f f ； 1(x)± 2(x)]dx＝________________ b a
π π
5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：
1 1 2 (1) xdx________________ x dx(图1)；
0 0
1 2 (2) xdx________________ xdx(图2)；
0 1
2 2 2 (3) 4 － x d x ________________ 2dx(图3)．
0 0
[答案] (1)> (2)< (3)<
典例探究学案
定积分的定义
1 3 求 x dx.
0
[分析] 这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定
1 3 义中包含的几个步骤来求 x dx.
0
[解析] (1)分割[0,1]： n－1 n 1 2 0＜n＜n＜…＜ n ＜n＝1. (2)近似代替：作和

答案:
2 x2 dx -4 2
3.定积分的基本性质 ������ ������ (1) a ������������(x)dx = ������ a ������(x)dx(������为常数); (2)
������ a �������2(x)]dx =
c
1.5.3 定积分的概念
1.了解定积分的概念. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
1.定积分的概念 一般地,如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个 小区间[xi-1,xi]上任取一点 ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ ������(������t)Δx = ∑ n ������(������t), 当 n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做 i=1 函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作
n
轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( A. lim ∑ B. lim ∑
������
1 (������∈[0,2])及 x 1+������2
=
(3)取极限
2 1
13 3 13 (3x + 2)dx = lim ������n = lim = . n →∞ n →∞ 2 2n 2
题型一
题型二
反思利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、 取极限”这一过程.其中,将“近似代替、求和”作为一个步骤处理条 理性更强.
【变式训练 1】 在等分区间的情况下,f(x)=
������ ������ ������ (u)du = ������(t)dt = ⋯(称为积分形式的不变性), a a ������ 另外定积分 a ������(x)dx 的大小与积分区间[a,b]息息相关,不同的积 1 分区间,所得的值可能也不同,例如 0 dx 与 3 (x2 + 1)dx 的值就不同. 0 n ������ a

������ =1
1 ������
������ ������
, ,…,
������-1 ������ ������
,
������
,…,
������-1 ������
,1 ,
������
������
∑ f(ξ i)Δx= ∑
������
n
1 ������ 2 1 = 3 ∑ i +2= ������ ������=1 6 1
做一做
在区间[a ,b]上的函数 f(x)<0,如图,若阴影部分面积为 S,则 ������ f(x)d x= . ������
解析 :∵f(x)<0,∴-f(x)>0,根据图象的对称性,有 ������ ������ ������ S= ������ [-f(x)]d x=- ������ f(x)d x.∴ ������ f(x)d x=-S. 答案 :-S
1 ������
Δ������→0������=1
1
������ →∞ 6
2+
1
������
+ 2 = +2= .
3 3
1
7
首页 探究 一 探究 二 探究 三 探究 四
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
探究二利用定积分的几何意义求定积分
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
3.定积分的基本性质 (1) (2) (3)
������ ������ ������ ������ ������ ������

数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
[问题3] 两个数值相同是巧合吗？
[提示3] 不是．
[问题4] 说明了什么问题？
[提示 4] 定积分 f(x)dx(f(x)≥0)的值等于直线 x＝a， x＝b，
b a
(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的面积．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间 [a ， b] 上函数 f(x) 连续且恒有
f(x)≥0 ，那么定积分 f(x)dx 表示由 ____________________ 直线x＝a，x＝b(a≠b)， _______
2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
定积分的几何意义
利用定积分的几何意义，求：
(1)
4 － 4
16－x2dx；
(2) (2x＋1)dx.
3 0
[思路点拨] 求出定 ―→ 积分
确定被 确定积 画出 用几何法 ―→ ―→ ―→ 积函数 分区间 图形 求面积
b a 2
解析： 利用公式 kf(x)dx＝k f(x)dx可知 3exdx
0
＝3 exdx＝3e2－3.
2 0
答案： B
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
2．图中阴影部分的面积用定积分表示为( A． 2xdx B． (2x－1)dx C． (2x＋1)dx

精品
《15定积分的概念》课件选修 2-2
【课标要求】 1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法． 2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．3．了解定积分的概念． 4．了解定积分的几何意义和性质． 【核心扫描】 1．“以直代曲”、“以不变代变”的思想的考查．(热点) 2．学会求定积分．(重难点)
.
3．正确理解定积分的概念 (1)求汽车行驶的路程实际上也是求时间－速度坐标系中的曲边 梯形的面积，“以直代曲”，“以不变代变”，近似值代替精 确值求和，无限细分逼近精确值的思想方法是它们共同的本质 特征，定积分的概念就是从这一共同的本质特征抽象提炼出来 的，这样我们就更容易理解定积分的几何意义和物理意义．
自学导引
1．连续函数
如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，
那么就把它称为区间I上的
连函续数．
2．曲边梯形的面积 (1)求曲边梯形面积的思想：如图①所示，我们求y＝f(x)与x轴 所围成的在区间[0,1]上的曲边梯形的面积，我们可以采用分割， 以直代曲、作和，逼近的思想方法求出其面积．
bf(x)dx＝
．
a
其中 a 与 b 分别叫做 积分下限 和 积分上限 ，区间[a，b]叫 做 积分区间 ，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做 积分变量 ， f(x)dx 叫做 被积式 ．
5．定积分的几何意义 如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分b
a
f(x)dx 表示由 直线x＝a ， x＝b ， y＝0 和 y＝f(x)所围成 的曲边梯形的面积． 想一想：当 f(x)在区间[a，b]上且 f(x)<0 时，bf(x)dx 表示的含义是
a
什么？ 提示 当 f(x)在区间[a，b]上值小于零时，bf(x)dx 表示由 y＝

(1)当
f(x)是偶函数时，a-
f(x)dx＝
a
20af(x)dx；
(2)当 f(x)是奇函数时，-aa f(x)dx＝0.
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名师解题
利用定积分的几何意义巧求面积
例4 善于思考的小王发现：半径为a，圆心在原点的
圆,如果固定直径AB，把圆内的所有与轴平行的弦都压缩
到原来的b倍，就得到一种新的图形——椭圆．他受祖冲
令 y＝ 1－x－12≥0， 则 (x－ 1)2＋ y2＝ 1(0≤ x≤ 1， y≥ 0)，
由定积分几何意义知 S1＝01 1－ x－12dx
＝1π·12＝π.
4
4
对于
S2＝01 xdx， 由其几何意义知
S2＝12×
1×
1＝1， 2
故01[ 1－ x－12－x]dx＝S1－S2＝π4－12.
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi
－1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个
n
小区间 [xi－1， xi ]上任取一点
ξi(i＝
1,
2，…，
n)，作和
式∑ i＝1
f(ξi)Δx＝___∑ i_＝n_1_b_－_n_a_f_(_ξ_i)____，当 n→∞时，上述和式无 限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上 的 __定__积__分___，
令 g＝ a2－x2(0≤x≤a)， 得 x2＋g2＝a2(0≤x≤a，g≥0)，
依题意，得a 0
a2 － x2dx＝ πa2， 4
∴ S1＝ba0a
a2－x2 dx＝b·πa2＝πab. a4 4

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1.5定积分的概念
一.求曲边梯形的面积 1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲
线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形
叫做曲边梯形。
y
y=f(x)
x=a
Oa
x=b
，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就 是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以 直代曲）．
1
n
Ds3 ?
1
n
O
1
t
1 2 3 jn - 1 n
nnn n n n
上图中:所有小矩形的面积之和,其极限就
是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=-t2+2所围
成的曲边梯形的面积.
作业：Ｐ４７练习，Ｐ５０练习，２
y=f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y=f(x) y
A1 Oa
A2
b
x
用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得 A A1+A2
y=f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得 AA1+A2+A3+A4
y=f(x) y
o
x
1.5.2汽车行驶的路程
v DS1 DS2
2
g
g
D
g
S3
gD
S
4
v(t )
=
- t2
+
2
DSj
gD S n
g
O

定积分在现代数学中的应用
物理中的应用
定积分在解决物理问题中发挥着重要作用，如计算变速直线运动 的位移、变力做功等问题。
工程中的应用
在工程领域，定积分被广泛应用于材料力学、流体力学、电路分析 等领域。
金融和经济中的应用
在金融和经济模型中，定积分常被用于描述连续变化的量，如利率 、汇率、股票价格等。
THANKS FOR WATCHING
极限思想
定积分是通过求黎曼和的 极限来定义的，体现了极 限的思想。
定积分的几何意义
曲边梯形面积
定积分可以用来计算曲边梯形的 面积，其中曲边梯形的一边是曲
线。
近似计算
通过将曲边梯形分割成若干个小矩 形，然后求和来近似计算面积。
精确结果
随着分割的越来越细，近似值会越 来越接近真实值，极限就是精确结 果。
详细描述
微积分基本定理（也称为牛顿-莱布尼茨公式）表明，对于连续函数在一个闭区 间上的定积分，可以转化为该区间上不定积分的原函数在区间端点处的值之差 。这为计算定积分提供了一种有效的方法。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法、分部积分法等。
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定积分的方法，适用于被积函数和积分区间都比较简单的情况。换元法是 通过改变积分变量来简化定积分的计算，适用于被积函数和积分区间比较复杂的情况。分部积分法是通过将两个 函数的乘积进行分部积分来计算定积分的方法，适用于被积函数是两个函数的乘积的情况。
数学153《定积分的 概念》课件新人教a版 选修
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 定积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的概念发展
01

则 Sn＝i＝n1fa＋(b－n a)i·b－n a＝i＝n1 2(b－ n a)＝2(b－a)．
(3)取极限： b2dx＝linm→∞Sn＝linm→∞2(b－a)＝2(b－a).
a
例2 1 (x33x)dx 1
• [分析] 由于所给定积分为曲线y＝x3＋3x与x＝－ 1，x＝1及y＝0围成的曲边梯形面积，故由定义可 求，但注意被积函数及积分上、下限特点可采用 几何意义解决．
三、解答题 6．利用定积分的几何意义说明下列等式成立．
• [答案] C
D.112dx 0
• [解析] 由积分的几何意义可知选C.
二、填空题 4．由正切曲线 y＝tanx，直线 x＝0 和 x＝π4，x 轴所 围成的平面区域的面积用积分表示为________．
[答案] [解析]
tanxdx
由
定
积
分
的
几
何
意
义
可
知
应
表
示
为
∫
π 4
0tanxdx.
5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：
• [解析] (1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及 y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
(3x＋1)dx 表示由直线 x＝－1，x＝3，y＝0 以及 y ＝3x＋1 所围成的图形在 x 轴上方的面积减去在 x 轴下 方的面积，
∴ (3x＋1)dx ＝12×3＋13×(3×3＋1)－12－13＋1·2 ＝530－23＝16.
• [解析] ∵y＝x3＋3x为[－1,1]上的奇函数，图象 关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与 在x轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知 (x3＋3x)dx＝0.
• [点评] 当曲边梯形在x轴下方时，积分值 为负，在x轴上方时，积分值为正，故定积 分的几何意义是在区间[a，b]上，曲线与x 轴所围成图形的面积的代数和．