19.3.1正方形的性质与判定_

正方形的性质与判断正方形是初中数学中非常重要的一个几何形状，它具有独特的性质和判断方法。

在本文中，我将为大家详细介绍正方形的性质，并提供一些实用的判断方法，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用正方形。

正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等且四个角都是直角。

正方形的性质可以从多个角度进行分析。

首先，正方形的对角线相等且相互垂直。

对角线是连接正方形相对顶点的线段，它们的长度相等，可以用勾股定理进行证明。

对角线的垂直性则可以通过证明两个三角形的两条边分别相等，且一条边垂直于另一条边来得到。

其次，正方形的对边平行且相等。

对边是指连接正方形相对边的线段，它们的长度相等，可以通过正方形的定义进行证明。

对边的平行性可以通过证明两个三角形的两个对边分别相等，且夹角相等来得到。

此外，正方形的内角均为直角。

内角是指正方形内部的角度，它们都是直角，即90度。

这个性质可以通过正方形的定义和直角的定义进行证明。

在判断一个图形是否为正方形时，我们可以利用这些性质进行分析。

首先，我们可以测量图形的四条边是否相等，如果相等，则有可能是正方形。

接下来，我们可以测量图形的对角线是否相等，如果相等，则可以判断这个图形是正方形。

最后，我们可以测量图形的内角是否为直角，如果是直角，则可以确定这个图形是正方形。

除了直接测量，我们还可以利用正方形的对称性来判断一个图形是否为正方形。

正方形具有四个对称轴，即对角线和中垂线。

如果一个图形在这些对称轴上对称，那么它很可能是正方形。

我们可以通过观察图形的对称性来判断它是否为正方形。

在实际生活中，正方形的应用非常广泛。

例如，在建筑设计中，正方形常用于规划房间的布局，使得空间更加合理和美观。

在绘画和设计中，正方形常用于构图和排版，给作品带来平衡和稳定的感觉。

在数学问题中，正方形常用于简化计算和推导，使得问题的解决更加简单和直观。

总之，正方形是一种重要的几何形状，它具有独特的性质和判断方法。

通过了解正方形的性质和判断方法，中学生和他们的父母可以更好地理解和应用正方形，提高数学学习的效果。

小学数学知识归纳正方形的性质与判定正方形是小学数学中常见的几何图形之一，它有其独特的性质与判定方法。

本文将对正方形的性质进行归纳，并介绍判定一个图形是否为正方形的方法。

一、正方形的性质正方形是具有以下性质的四边形：1. 边长相等：正方形的四条边长都相等。

2. 角度相等：正方形的四个内角都是直角（即90度），所以角度也相等。

3. 对角线相等：正方形的两条对角线互相垂直且长度相等。

4. 对称性：正方形具有对称性，即以中心为对称点旋转180度，正方形仍然保持不变。

二、判定一个图形是否为正方形的方法在数学中，我们可以通过以下方法来判定一个图形是否为正方形：1. 角度判定法：如果一个四边形的四个内角都等于90度，则这个四边形是正方形。

这是因为正方形的角度都相等，并且每个角度都是90度。

2. 边长判定法：如果一个四边形的四条边长都相等，则这个四边形是正方形。

这是因为正方形的边长都相等，所以四边形的四条边长也应该相等。

3. 对角线判定法：如果一个四边形的两条对角线互相垂直且长度相等，则这个四边形是正方形。

这是因为正方形的对角线具有这样的性质。

除了以上三种方法外，我们还可以通过其他相关性质来判定一个图形是否为正方形，比如对称性等。

三、归纳小结正方形是一种具有特殊性质的四边形，其性质包括边长相等、角度相等、对角线相等和对称性等。

判定一个图形是否为正方形可以通过角度判定法、边长判定法、对角线判定法等方法进行验证。

通过学习和掌握正方形的性质与判定方法，小学生可以更好地理解和应用正方形相关的数学知识。

正方形在几何学中有着重要的应用，如建筑设计、图案制作等。

因此，对正方形的深入了解对于小学生的数学学习和发展非常重要。

希望本文对读者对小学数学中正方形的性质与判定方法有所帮助，能够为小学生的数学学习提供一定的指导。

同时也希望读者能够继续学习和探索更多有关几何图形的知识，提升数学水平。

正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有特定的性质和判定条件。

本文将对正方形的性质进行分析，并介绍如何判定一个四边形是否为正方形。

一、正方形的定义和性质正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。

以下是正方形的一些性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，记为a。

2. 直角：正方形的四个角都是直角，即90度。

3. 对角线相等：正方形的对角线相等，记为d。

4. 对角线垂直：正方形的对角线互相垂直，即两条对角线的夹角是直角。

二、正方形的判定条件如何判定一个四边形是否为正方形呢？下面是几种常见的判定条件：1. 边长相等且对角线相等：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线相等，则这个四边形是正方形。

2. 边长相等且对角线互相垂直：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线互相垂直，则这个四边形是正方形。

3. 内角相等且边长相等：如果一个四边形的四个内角都是直角（90度），且四条边长度相等，则这个四边形是正方形。

三、应用举例1. 例1：已知一个四边形的边长都是5厘米，并且对角线相等，判断这个四边形是否是正方形。

根据判定条件1，边长相等且对角线相等，则可以判断这个四边形是正方形。

2. 例2：已知一个四边形的边长都是4厘米，并且对角线互相垂直，判断这个四边形是否是正方形。

根据判定条件2，边长相等且对角线互相垂直，则可以判断这个四边形是正方形。

3. 例3：已知一个四边形的内角都是直角，且边长相等，判断这个四边形是否是正方形。

根据判定条件3，内角都是直角且边长相等，则可以判断这个四边形是正方形。

四、正方形的应用领域正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质，在很多领域都有广泛的应用：1. 建筑设计：正方形的对称性使得它在建筑设计中常用于布局规划，例如正方形的房间、庭院等。

2. 绘画和艺术：正方形作为一种几何图形，在绘画和艺术作品中常常被用作构图元素，营造平衡和和谐感。

3. 数学研究：正方形是数学研究中的重要对象，与其他几何形状有着密切的联系，深入研究正方形的性质可以推广到其他领域。

第三讲正方形的性质与判定、知识要点1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：1 边的性质：对边平行，四条边都相等．2 角的性质：四个角都是直角．3 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，? 每条对角线平分一组对角．4 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定1：对角线相等的菱形是正方形2：对角线互相垂直的矩形是正方形, 正方形是一种特殊的矩形3：四边相等, 有一个角是直角的四边形是正方形4：一组邻边相等的矩形是正方形5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形典型例题例 1 如图12-2-14 ，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥ BC于E，作PF⊥CD于F．试说明AP＝EF．分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．解：连结AC、PC，∵四边形ABCD为正方形，∴ BD垂直平分AC，∴ AP＝CP．∵ PE⊥BC，PF⊥CD，∠ BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴ PC＝EF，∴ AP＝EF．注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．思考：由上述条件是否可以得到AP⊥ EF．提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠ NPE＝∠ BAN．又∠ BAN＝∠ BCP，而∠ BCP＝∠ PFE，故∠ NPE＝∠ PFE，而∠ PFE＋∠ PEF＝90°，所以∠ NPE＋∠ PEF＝90°，则AP⊥ EF．例 2 如图12-2-15 ，△ ABC中，∠ ABC＝90°，BD平分∠ ABC，DE⊥ BC，DF⊥ AB，试说明四边形BEDF是正方形．解：∵∠ ABC＝90°，DE⊥BC，∴ DE∥AB，同理，DF∥BC，∴BEDF是平行四边形．∵ BD平分∠ ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴ DE＝DF．又∵∠ ABC＝90°，BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是正方形．思考：还有没有其他方法？提示：（有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得）注意：灵活选择正方形的识别方法．例 3 如图12-2-16 所示，四边形ABCD是正方形，△ ADE是等边三角形，求∠ BEC的大小．分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在(1) 图中，△ABE 和△ DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠ AEB与∠ DEC都是15°，则∠ BEC 为30°．而在(2) 图中，等边三角形在正方形内部，△ ABE和△ DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠ AEB和∠ DEC为75°，再利用周角可求得∠ BEC＝150 °．解：(1) 当等边△ ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠ AEB＝15°．同理可得∠ DEC＝15°，则∠ BEC＝60°－15°－15°＝30°．(2) 当等边△ ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠ BAE＝90°－60°＝30°，所以∠ AEB＝75°．同理可得∠ DEC＝75°，则∠ BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．【中考考点】会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．命题方向】本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．【常见错误分析】已知如图12-2-18 ，△ ABC中，∠C＝90°，分别以AC 和BC为边向外作正方形ACFH 和正方形BCED，HM⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．错解：延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．∵∠ 2＝∠ 3，∠ 2＋∠ 4＝90°，∴∠ 3＋∠ 4＝90°．在△ ABC和△ SDB中，∵∠ ACB＝∠ SBD＝90°，BC＝BD，∠2＝90°－∠ 4＝∠ 5∴△ ABC与△ SDB重合，∴ AB＝SD＝SK＋DK，即AB＝HM＋DK．分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠ 2＝∠3 的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．正解：如图12-2-18 ，延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝MH．在△ ACB和△ SBD中，∵ BD＝BC，∠ SBD＝∠ ACB＝90°，又∠ 2＝∠ 3＝∠ 5，∴△ ACB与△ SBD重合，∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．在△ BKS和△ AMH中，∵∠1＝∠ 2＝∠ 3，∠ AMH＝∠ SKB＝90°，BS＝AH，∴△ BKS与△ AMH重合，∴ KS＝HM，∴ AB＝DK＋HM．【学习方法指导】正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆．故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分．三、作业正方形的判定．选择题（共8 小题）1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从① AB=BC，②∠ ABC=90°，③ AC=BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①② B ．选②③ C ．选①③ D ．选②④2．下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直3．下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ ABC=90°时，它是矩形；④ 当AC=BD时，它是正方形．A． 1 组 B ． 2 组 C ．3 组 D ． 4 组5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、 D 作对角线的平行线，所成的 四边形 EFMN 是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．任意四边形6．如果要证明平行四边形 ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形 ABCD 是平行四边形的基 础上，进一步证明（ ）A ．AB=AD 且 AC ⊥BDB ． AB=AD 且 AC=BDC ．∠A=∠B 且 AC=BD D ．AC 和 BD 互相垂直 平分7．下列命题中，真命题是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形8．如图，在△ ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E ，且 BE=BF ， 添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是（ ）A ． BC=ACB ．CF ⊥BFC ． BD=DFD ． AC=BF二．填空题（共 6 小题）9．能使平行四边形 ABCD 为正方形的条件是 __________ （填上一个符合题目要求的条件 即可）．10．如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分 AC ，DF ⊥BC ，当△ ABC 满足条件 ____ 时，四边形 DECF是正方形．要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）11．如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O ，请你添加一个条件： __________ ，使得该菱 形为正方形．12．如图，在四边形 ABCD 中， AB=BC=CD=D ，A 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，若不增加任何字 母与辅助线，要使四边形 ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是 ____ ．13．已知四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°， 若添加一个条件即可判定该四边形是正方形， 那么这个条件可以是 __________ ．14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为 ____________ ．三．解答题（共 8 小题）15．已知：如图，△ ABC 中，∠ ABC=90°， BD 是∠ABC 的平分线， DE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥BC 于点 F ．求证：四边形 DEBF 是正方形．16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ ADB=∠ CDB；（2）若∠ ADC=9°0 ，求证：四边形MPND是正方形．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．18．如图，在△ ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ ADE绕点E旋转180°得到△CFE．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．2）当△ ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N 两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC 于点F．（1）求证：△ AED≌△ BFD；（2）若AB=2，当CD的值为 ________ 时，四边形DECF是正方形．20．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．1）求证：∠ CAB=∠ DAB；2）若∠ CAD=9°0 ，求证：四边形AEMF是正方形．21．如图，△ ABC 中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ ACB的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处时，且△ ABC 满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE ________ 是菱形吗？（填“可能”或“不可能”）22．已知：如图，△ ABC 中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥AC，设MN交∠ BCA 的平分线于点E，交∠ BCA的外角∠ ACG的平分线于点F，连接AE、AF．1）求证：∠ ECF=90°；2）当点O 运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；（3）在（2）的条件下，△ ABC 应该满足条件：_________ ，就能使矩形AECF变为正方形．（直接添加条件，无需证明）参考答案与试题解析一．选择题（共8 小题）1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从① AB=BC，②∠ ABC=90°，③ AC=BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④考点：正方形的判定；平行四边形的性质．分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．解答：解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选：B．点评：本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1 或 2 进行判定．2．下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直考点：正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质．分析：根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误．故选：C．点评：本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键．3．下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．专题：证明题．分析：做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．解答：解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（平行四边形判定定理）；正确．B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，错误．C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；D、一组邻边相等的矩形是正方形，正确．故选B．点评：本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ ABC=90°时，它是矩形；④ 当AC=BD时，它是正方形．A． 1 组B．2 组C．3组D．4 组考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．分析：根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据所给条件可以证出邻边相等，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误．解答：解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形正确；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=O，D∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故②正确；③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；故不正确的有 1 个．故选： A ．点评： 此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握 三种特殊平行四边形的判定定理．5．四边形 ABCD 的对角线 AC=BD ，AC ⊥BD ，分别过 A 、B 、C 、 D 作对角线的平行线，所成的 四边形 EFMN 是（ ） A． 正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ． 任意四边形考点：正方形的判定． 分析：根据平行线的性质和判定得出∠ NAO ∠= AOD ∠= N=90°， EN=NM=FM=E ，F 进而 判断即可．解答： 证明：如图所示：∵分别过 A 、B 、 C 、D 作对角线的平行线，∴AC ∥MN ∥EF ，EN ∥BD ∥MF ，∵对角线 AC=BD ，AC ⊥BD ，∴∠ NAO ∠= AOD ∠= N=90°， EN=NM=FM=，EF∴四边形 EFMN 是正方形．故选： A ．④ 根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当 AC=BD 时，它是矩形， 不是正方形， 故④错误；点评：此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C ．∠A=∠B且AC=BD D．AC 和BD互相垂直平分考点：正方形的判定．分析：根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．解答：解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．故选B．点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．7．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．分析：A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．解答：解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选C．点评：本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．8．如图，在△ ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质． 分析： 根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有 BE=EC ， BF=FC 进而得出四边形 BECF 是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分 别分析得出即可．解答： 解：∵EF 垂直平分 BC ，∴BE=EC ， BF=CF ，∵BF=BE ，∴BE=EC=CF=B ，F∴四边形 BECF 是菱形；当 BC=AC 时，∵∠ACB=90°，则∠ A=45°时，菱形 BECF 是正方形．∵∠A=45°，∠ ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形 BECF 是正方形．故选项 A 正确，但不符合题意； 当 CF ⊥BF 时，利用正方形的判定得出， 菱形 BECF 是正方形， 故选项 B正确，但不符合题意；B ．CF ⊥BFC ． BD=DFD ． AC=BFA ． BC=AC当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项 D 错误，符合题意．故选：D．点评：本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．二．填空题（共 6 小题）9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是AC=BD且AC⊥BD （填上一个符合题目要求的条件即可）．考点：正方形的判定；平行四边形的性质．专题：开放型．分析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，矩形和菱形的结合体是正方形．解答：解：可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等，且一组邻边相等；或对角线垂直，有一个内角是90°．答案不唯一，此处填：AC=BD且AC⊥BD．点评：本题考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的结合．10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ ABC 满足条件AC=BC 时，四边形DECF是正方形．要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）考点：正方形的判定．专题：计算题；开放型．分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．解答：解：设AC=BC，即△ ABC为等腰直角三角形，∵∠ C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，DF= AC=CE，DE= BC=CF，∴DF=CE=DE=C，F∴四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ ABC满足的条件．11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：AC=BD或AB⊥BC ，使得该菱形为正方形．考点：正方形的判定；菱形的性质．专题：压轴题．分析：根据正方形判定定理进行分析．解答：解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC．点评：本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解．12．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=D，A对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC=BD或AB⊥BC ．考点：正方形的判定；菱形的判定．专题：开放型．分析：根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．解答：解：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是AB=AD或AC⊥BD 等．考点：正方形的判定；矩形的判定与性质．专题：开放型．分析：由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．解答：解：由∠ A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD或AC⊥BD 等．故答案为：AB=AD或AC⊥BD 等．点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为有一个角是直角或对角线相等．考点：正方形的判定；菱形的性质．专题：开放型．分析：根据菱形的性质及正方形的判定进行分析，从而得到最后答案．解答：解：要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为：有一个角是直角或对角线相等．点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形．三．解答题（共8 小题）15．已知：如图，△ ABC 中，∠ ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥BC 于点F．求证：四边形DEBF是正方形．考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：由DE⊥AB，DF⊥BC，∠ ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥BC 于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．解答：解：∵ DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB=∠DFB=90°，又∵∠ ABC=90°，∴四边形BEDF为矩形，∵BD是∠ ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=D，F∴矩形BEDF为正方形．点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ ABC，P是BD上一点，过点P 作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．1）求证：∠ ADB=∠ CDB；2）若∠ ADC=9°0 ，求证：四边形MPND是正方形．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△ CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ ADB=∠ CDB；（2）若∠ ADC=9°0 ，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．解答：证明：（1）∵对角线BD平分∠ ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△ CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠ PMD∠= PND=9°0 ，∵∠ ADC=9°0 ，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45° ∴PM=M，D∴四边形MPND是正方形．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．专题：几何综合题．分析：（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）求出∠ CDB=9°0 ，再根据正方形的判定推出即可．解答：（1）证明：∵ DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D 为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=C，E∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°， D 为AB中点，∴CD=B，D∴四边形BECD是菱形；（3）当∠ A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ ACB=90°，∠ A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠ CDB=9°0 ，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠ A=45°时，四边形BECD是正方形．点评：本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．18．如图，在△ ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ ADE绕点E旋转180°得到△CFE．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．（2）当△ ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．考点：正方形的判定；平行四边形的判定．分析：（1）利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线，点D、E、F 三点共线，且AE=CD，DE=FE，即可得出答案；（2）首先得出CD⊥AB，即∠ ADC=9°0 ，由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，故四边形ADCF是矩形．进而求出CD=AD即可得出答案．解答：（1）证明：∵△ CFE 是由△ ADE绕点E旋转180°得到，∴点A、E、C三点共线，点D、E、F 三点共线，且AE=CE，DE=FE，故四边形ADCF是平行四边形．（2）解：当∠ ACB=90°，AC=BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵ AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB，即∠ ADC=9°0 ．而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ ACB=90°，∴，故四边形ADCF是正方形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，得出四边形ADCF是矩形是解题关键．19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N。

沪科版：19.3矩形菱形正方形3《正方形的性质与判定》教学设计肥西县董岗中学王远一、教学目标：（一）知识目标1、知道正方形的概念、性质和判定方法；2、会运用正方形的性质和判定方法进行有关的证明和计算。

（二）能力目标1、经历探究正方形性质和判定条件的过程，培养学生事物是普遍联系的辩证唯物主义思想，2培养学生主动探究的习惯，逐步掌握说理的基本方法。

（三）情感目标1、理解特殊的平行四边形的内在联系，培养学生辨证看问题的观点；2、通过探索正方形的性质的过程，获得数学体验，感受数学的乐趣。

二、教学重点：掌握正方形的判定的条件教学难点：合理恰当地利用特殊的平行四边形进行有关的论证和计算。

教学准备教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架．学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容。

三、教具准备：多媒体课件四、教学过程（一）复习旧知矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么特殊性质呢？这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形(写出课题)．师：给你一张长方形纸片，你如何能折出正方形来？那什么样的四边形是正方形？实验活动：教师拿出矩形指导折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．（二）新课教学1、正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．教师问：正方形是在什么前提下定义的？学生答：平行四边形．教师再问：包括哪两层意思？师生：包括两层含义：(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形)．(2)并且有一个角是直角的平行四边形(矩形)画图表示正方形与矩形，正方形与菱形的从属关系如上图2.正方形的性质我们由上知道了正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形。

现在我请同学们从边、角、对角线方面回忆一下这几种平行四边形的性质。

正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有独特的性质。

在本文中，我将介绍正方形的定义、性质和判定方法。

首先，我们来定义正方形。

正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。

其中，相等边长称为边长，直角处的两个边称为邻边，相邻的两个直角称为相邻角，对角线的重合点称为中心。

下面，我们将详细介绍正方形的性质。

正方形具有以下性质：1. 边长相等：正方形的四条边长相等，可以用a表示。

这意味着正方形的周长为4a。

2. 内角为直角：正方形的四个内角都是直角（90度）。

这是因为正方形的两条相邻边构成一条直角线段。

3. 对角线相等：正方形的两条对角线相等，可以用d表示。

这是由于正方形的两个对角线是两条等边三角形的斜边。

4. 对角线互相垂直：正方形的两条对角线相互垂直。

这是由于正方形的对角线是两个相交的垂直直角三角形的斜边。

5. 中心对称：正方形的中心是对称中心，即以中心为对称中心将正方形折叠，两边能完全重合。

6. 内切圆：正方形有一个内接圆，即一个与正方形的四条边相切的圆。

7. 外接圆：正方形有一个外接圆，即一个与正方形的四个顶点相切的圆。

接下来，我们来讨论如何判定一个四边形是否为正方形。

判定一个四边形是否为正方形通常有以下几种方法：1. 判断边长是否相等：一个四边形的四条边长都相等时，可以判定为正方形。

2. 判断内角是否为直角：一个四边形的四个内角都是直角时，可以判定为正方形。

3. 判断对角线是否相等：一个四边形的对角线相等时，可以判定为正方形。

4. 判断对角线是否垂直：一个四边形的对角线互相垂直时，可以判定为正方形。

5. 判断是否为菱形：如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它就是正方形。

这些方法可以单独或者组合使用来判断一个四边形是否为正方形。

总之，正方形是一种具有独特性质的四边形，包括边长相等、内角为直角、对角线相等等。

我们可以通过判断边长、内角、对角线的相等性以及对角线的垂直性来判定一个四边形是否为正方形。

《 19.3.3正方形的性质和判定》教学设计作者：安徽省滁州市定远县早庙学校王敏教学内容：沪科版八年级下册数学第92-94页内容。

学情分析：1、认知起点：学生已经积累了几何中平行四边形、矩形、菱形的性质及判定等相关知识，在取得一定的学习经验的基础上认知正方形。

2、学习方式：采用教师引导，学生自主学习、合作探究的方式。

教学目标：1.知识与技能目标：（1）、掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系；（2）、掌握正方形的性质和判定；（3）、正确运用正方形的性质与判定进行简单的计算或推理。

2．过程与方法目标：在直观操作活动和简单的说理过程中，发展学生的类比归纳能力和主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法。

3．情感、态度与价值观目标：（1）、通过正方形有关知识的学习，感受正方形的图形美；（2）、通过理解四种四边形的内在联系，培养学生的辩证观点。

学习重点：正方形的性质、判定及应用。

学习难点：正方形性质的应用。

教学设计一﹑情境导入。

师：展示一组美丽的图片引入新课---正方形。

这一堂课我们就来学习这种特殊的图形——正方形(写出课题)。

师：展示矩形和菱形变化到正方形的过程。

生：认真观看并思索。

交流探究，归纳新知（1）﹑呈现两种通过不同途径得到正方形的过程，给正方形下定义；（2）﹑讨论并归纳正方形的性质；（3）﹑寻找正方形的判定方法，明确平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系。

【设计意图】：正方形是学生非常熟悉的一种平面图形，学生以前都是直观感知，并没有深入去学习研究，本情景首先利用一组丰富有趣的图片吸引学生的注意力，再通过图形的变形将正方形与之前的矩形、菱形联系起来，为进一步研究正方形的性质打下基础。

二﹑探索新知1﹑正方形的定义。

定义：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。

问：正方形是平行四边形吗？矩形呢？菱形呢？与一般的平行四边形相比，它有什么特殊？与一般矩形相比，它有何特殊？与一般菱形相比，它又有何特殊？说明：正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形。

正方形的判定与性质引言正方形是一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和特征。

本文将介绍如何判定一个四边形是否是正方形以及正方形的性质。

判定正方形判定一个四边形是否是正方形可以从不同角度进行考虑。

以下是几种常见的判定方法：1.边长相等一个四边形的四条边长度相等是判定其是否为正方形的一个重要条件。

如果一个四边形的4条边都相等，则可以认为它是正方形。

2.角度相等正方形的特征之一是它的四个角都是直角（90度）。

因此，如果一个四边形的四个角都是90度，则可以判定它是正方形。

3.对角线相等正方形的两条对角线相等且互相平分对方，也是判定一个四边形为正方形的条件之一。

如果一个四边形的对角线相等且平分对方，则可以认为它是正方形。

正方形的性质除了以上的判定条件外，正方形还具有许多独特的性质和特征。

以下是一些常见的正方形性质：1.对称性正方形具有4个对称轴，分别为水平轴、垂直轴和两条对角线。

这意味着正方形可以通过沿着这些轴进行翻转而保持不变。

2.面积和周长正方形的面积等于边长的平方，周长等于4倍边长。

这是正方形最基本的面积和周长公式。

3.相似性正方形与自身全等且相似。

这意味着可以通过变换、旋转和缩放等操作得到无数个相似的正方形。

4.内角和外角正方形的内角都是90度，外角则是270度。

这是正方形内角和外角之间的关系。

结论正方形的判定和性质是数学中的基础知识，对于理解几何形状和解决实际问题都非常重要。

通过判定其边长、角度和对角线是否满足特定条件，我们可以判断一个四边形是否是正方形。

正方形具有对称性、特定的面积和周长公式，以及内角和外角的特征。

通过研究正方形的性质，我们可以深入理解几何形状和它们之间的关系。

正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，它具有独特的性质和判定方法。

本文将详细介绍正方形的性质，并探讨如何准确地判定一个四边形是否为正方形。

一、正方形的性质1.四边相等：正方形的四条边长相等，即AB = BC = CD = DA。

2.四个角相等：正方形的四个内角都是直角，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。

3.对角线相等：正方形的对角线互相垂直且相等，即AC = BD。

4.对角线平分角：正方形的对角线将内角平分，即∠BAD = ∠BCD = 45°。

5.对角线平分边：正方形的对角线平分相邻边，即AB = BC = CD = DA = AC = BD。

二、判定一个四边形是否为正方形判定一个四边形是否为正方形通常有两种方法，包括几何性质判定和长度关系判定。

1.几何性质判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且四个角都是直角；（2）对角线相等且相互垂直。

2.长度关系判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和；（2）对角线相等且任意一条边的平方等于对角线长度的平方的一半。

三、应用案例案例一：判定四边形ABCD是否为正方形，已知AB = 5cm，∠A = ∠B = 90°。

解析：根据正方形的性质可知，当四边相等且四个角都是直角时，该四边形为正方形。

由已知条件可知AB = BC = CD = DA，并且∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。

因此，四边形ABCD是一个正方形。

案例二：判定四边形EFGH是否为正方形，已知EF = 7cm，GH = 4cm，EG = FH = 5cm。

解析：根据正方形的判定方法可知，当四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和时，该四边形为正方形。

由已知条件可知EF = FG = GH = HE = 5cm，且EG = FH = 5cm。

正方形解析正方形的性质和计算方法正方形是一种特殊的四边形，具有独特的性质和计算方法。

本文将对正方形的性质和计算方法进行详细解析。

一、正方形的性质正方形是指具有四条相等边和四个相等角的四边形。

下面将介绍正方形的相关性质。

1. 边长和角度关系正方形的四条边相等，设边长为a，那么正方形的周长为4a。

由于正方形的内角和为360度，因此每个角的度数为90度。

2. 对角线性质正方形的对角线相等且平分彼此。

设对角线长度为d，则有d²=a²+a²=2a²，即对角线的平方等于边长的平方的两倍。

3. 对角线和边长关系正方形的对角线与边长的关系可以通过勾股定理来计算。

设对角线长度为d，边长为a，则有d²=a²+a²=2a²。

根据勾股定理，我们知道两个直角边的平方和等于斜边的平方，所以对角线的长度等于边长的平方根乘以√2。

4. 内切圆正方形的内切圆是唯一的，且内切圆的半径等于正方形的边长的一半。

二、正方形的计算方法正方形的计算方法主要包括面积和周长的计算。

下面将依次介绍。

1. 面积计算正方形的面积即为边长的平方。

设正方形的边长为a，则正方形的面积S=a²。

2. 周长计算正方形的周长等于四条边的长度之和，即4a。

三、应用实例正方形的性质和计算方法在日常生活和工作中有广泛的应用。

以下举例说明：1. 园艺设计在园艺设计中，我们经常需要规划正方形的花坛或草坪。

通过计算正方形的面积，可以确定所需植物的数量或草坪的面积，从而进行合理的规划和布局。

2. 建筑设计在建筑设计中，正方形的结构往往具有稳定性和均衡性。

通过对正方形的角度和对角线的计算，可以确保建筑的结构稳固，并满足安全要求。

3. 地理测量在地理测量中，正方形的性质和计算方法被广泛应用。

例如，在土地测量中，通过测量正方形的边长和角度，可以计算出土地的面积和边界，为土地规划和开发提供基础数据。