1.3.4正方形性质与判定

1.3 正方形的性质与判定教学目标:1、知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.2、经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.3、理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.教学重点：掌握正方形的判定条件.教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.教学过程：一、创设问题情景，引入新课我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中.通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.1、怎样判断一个四边形是矩形？2、怎样判断一个四边形是菱形？3、怎样判断一个四边形是平行四边形？4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？二、讲授新课1．探索正方形的判定条件：学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形.后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断2．正方形判定条件的应用【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由. （1） 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形； （2） 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形； （3） 对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （4） 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； （5） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 师生共析：（1） 是真命题，.因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题.（2） 真命题，由.四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.（3） 假命题，对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形.如下图，满足A O=CO ，BO=D O 且AC ⊥BD 但四边形ABCD 不是正方形.（4） 假命题，它可能是任意四边形.如上图，AC ⊥BD 且AC=BD ，但四边形ABCD 不是正方形.（5） 真命题。

小学数学知识归纳正方形的性质与判定正方形是小学数学中常见的几何图形之一，它有其独特的性质与判定方法。

本文将对正方形的性质进行归纳，并介绍判定一个图形是否为正方形的方法。

一、正方形的性质正方形是具有以下性质的四边形：1. 边长相等：正方形的四条边长都相等。

2. 角度相等：正方形的四个内角都是直角（即90度），所以角度也相等。

3. 对角线相等：正方形的两条对角线互相垂直且长度相等。

4. 对称性：正方形具有对称性，即以中心为对称点旋转180度，正方形仍然保持不变。

二、判定一个图形是否为正方形的方法在数学中，我们可以通过以下方法来判定一个图形是否为正方形：1. 角度判定法：如果一个四边形的四个内角都等于90度，则这个四边形是正方形。

这是因为正方形的角度都相等，并且每个角度都是90度。

2. 边长判定法：如果一个四边形的四条边长都相等，则这个四边形是正方形。

这是因为正方形的边长都相等，所以四边形的四条边长也应该相等。

3. 对角线判定法：如果一个四边形的两条对角线互相垂直且长度相等，则这个四边形是正方形。

这是因为正方形的对角线具有这样的性质。

除了以上三种方法外，我们还可以通过其他相关性质来判定一个图形是否为正方形，比如对称性等。

三、归纳小结正方形是一种具有特殊性质的四边形，其性质包括边长相等、角度相等、对角线相等和对称性等。

判定一个图形是否为正方形可以通过角度判定法、边长判定法、对角线判定法等方法进行验证。

通过学习和掌握正方形的性质与判定方法，小学生可以更好地理解和应用正方形相关的数学知识。

正方形在几何学中有着重要的应用，如建筑设计、图案制作等。

因此，对正方形的深入了解对于小学生的数学学习和发展非常重要。

希望本文对读者对小学数学中正方形的性质与判定方法有所帮助，能够为小学生的数学学习提供一定的指导。

同时也希望读者能够继续学习和探索更多有关几何图形的知识，提升数学水平。

1.3 正方形的性质与判定一、教材分析：本章是八下《平行四边形》学习的继续，无论从内容上还是研究图形的方法上，都与已有的经验联系密切，本节又是在学生学习了菱形的性质与判定、矩形的性质与判定的基础上，对正方形的性质与判定进行的进一步研究，对菱形、矩形性质与判定的综合，是平行四边形的提升，因此本节课在本章中起着总结提升的作用。

二、学情分析：学生的知识技能基础：学生已经较为系统的学习了平行四边形、矩形、菱形的基本性质与判定，已经具有了四边形的基本认知与知识结构，这些已有的认知结构可以迁移到正方形的学习中来。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些对四边形探索的具体方法，并能解决一些简单的现实问题，感受到数学信息的收集和处理的必要性和作用，获得了从事探究活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

三、教学目标：1、知识目标：（1））理解正方形的概念，了解它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系。

（2）探索并证明正方形的性质定理和判定定理，进一步发展推理能力。

2、能力目标：体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。

3、情感目标：让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.教学重点：正方形的性质定理及应用教学难点：正方形的性质定理的应用教学方法：探究、启发式四、教学过程（一）创设情景引入新课（利用多媒体展示图片）观察下列三个特殊四边形，你发现它们有什么样的共同特征？学生独立观察并思考，通过观察图形，得出正方形的特征，从而引出定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形【设计意图】使学生对正方形形成直观印象，培养学生对三种语言表述的理解和转化能力。

同时强调了定义的双重性。

（二）合作探究想一想（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？（2）你认为正方形具有哪些性质？【设计意图】针对定义，让学生分析，有一组邻边相等的平行四边形是什么图形？有一个角是直角的平行四边形是什么图形？从而得出结论：正方形既是矩形，又是菱形，因此它具有矩形和菱形的所有性质正方形的性质：定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分议一议在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？若AB=2，正方形的对角线长______,若AC=2，则正方形的边长为_______,面积为_______【设计意图】通过简单的练习，让学生熟悉正方形的性质定理想一想正方形有几条对称轴？【设计意图】学生理解了正方形既是矩形，又是菱形，便可以非常简单的解决这个问题例题讲解例1.如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，求∠AEB 的度数问题：你能找出图中相等的线段吗？在图形中标注出来【设计意图】教师通过问题串的形式，引导学生进行思路的探究，掌握正方形与等边三角形相结合的题目分析思路，此环节教师点拨，学生上台讲解变式练习：1.如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB=_______2.如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线上一点，且AC=EC,则∠DAE=_________【设计意图】学生独立解决，并展示，进一步巩固正方形的性质，并灵活应用.例2.在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF, BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由？变式练习：在正方形ABCD中，PD=CQ, BP与AQ之间有怎样的关系？【设计意图】灵活运用正方形的性质定理，掌握和正方形有关的证明方法.（四）课堂小结本节课你有哪些收获？平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？【设计意图】通过师生感悟，对本节课的内容进一步总结与提升（五）拓展练习如图，正方形ABCD的边长为3，连接AC,AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E，FA⊥AE交CB的延长线于点F，则EF的长为_____【设计意图】进一步锻炼学生的思维的思维，加强解决问题思考方法的教学.学生的知识技能基础：学生已经较为系统的学习了平行四边形、矩形、菱形的基本性质与判定，已经具有了四边形的基本认知与知识结构，这些已有的认知结构可以迁移到正方形的学习中来。

1.3正方形的性质与判定学习目标1．理解正方形的概念和对称性，探索并证明正方形的性质和判定定理．2．通过探索和证明定理的活动，掌握一些基本的数学思想，如转化、类比、分类等思想．重点难点重点探索并证明正方形的性质定理和判定定理．难点学会并积累一些分析问题的思路和解题的方法．课堂导入我们已经知道形平行四边形是特殊的四边形，那特殊的平行四边形是什么图形呢？对了，是矩形和菱形．那你知道特殊的矩形与菱形是什么图形呢？就是这节课我们要学习的正方形·正方形是特殊的矩形和菱形，也是特殊的平行四边形和四边形，它还有没有其他的性质呢？它的判定定理又都是哪些呢?这节课。

我们将揭示一下答案．预习导学。

基础梳理1．正方形的四条边——，四个角——．2．正方形既是——，又是——，它既有——的性质，又有——的性质．3．有一个角是直角的——是正方形．4．有一组邻边相等的——是正方形．答案1．都相等都是直角2．菱形矩形菱形矩形3．菱形4．矩形预习思考1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A.四个角相等B．对角线互相垂直平分C．对角互补D．对角线相等2．正方形具有而菱形不一定具有的性质 ( )A四条边相等B对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．对角线相等3．下列命题正确的是 ( )A四个角都相等的四边形是正方形B四条边都相等的四边形是正方形C．对角线相等的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直的矩形是正方形答案1．8 2．D 3．D探究点1正方形的性质知识讲解—正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：(1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．典例剖析【例l】如图，正方形ABCD中，对角线的交点为0，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．解析要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DF0，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=D0，再由同角或等角的余角相等可以得到么∠EA0=∠FD0，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．【类题突破1】如图(1)，在正方形ABCD的BC、CD边上取E 、F 两点，使么∠EAF=45°，AG ⊥EF 于G ．求证：AG=AB(1) (2)答案把△AFD 绕A 点旋转90°至△AHB(或延长EB 至 H 使BH=DF)．如图(2)．∵∠EAF=45°．∴∠l+∠2=45°． ∵∠2=∠3，∴∠1+∠3=45°． 又由旋转所得AH=AF ，AE=AE ． ∴△A EF ≌△AEH(SAS)，∴AG=AB ．探究点2正方形的判定你会设计吗?今有一片正方形土地，要在其上修筑两条垂直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的四部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．知识讲解正方形的判定(1)根据正方形的定义；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形； (3)有一个角是直角的菱形是正方形；(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．典例剖析【例2】已知：如图，四边形ABCD 是正方形，分别过点A ，C 两点作l l ∥l 2，作BM ⊥l 1。

1.3正方形的性质与判定(1)正方形的性质一、学习目标1．在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，并能运用正方形的性质进行证明与计算．2．进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系二、新课引入对称性边角对角线平行四边形菱形矩形菱形: 的平行四边形是菱形矩形: 的平行四边形是矩形3.有没有一种四边形既是菱形又是矩形呢?三、探究新知(一）正方形的定义探究一:矩形怎样变化后就成了正方形呢?结论: 的矩形叫做正方形.几何语言:探究二:菱形怎样变化后就成了正方形呢?结论: 的菱形叫做正方形.几何语言:探究小结什么样的平行四边形是正方形?正方形定义:的平行四边形叫做正方形.几何语言:（二）正方形的性质探究:正方形有什么性质?由正方形的定义可以得知,正方形既是有相等的矩形,又是有的菱形. 所以,正方形具有的性质,同时又具有的性质.正方形的性质对称性正方形既是______图形，又是______图形，正方形有______对称轴．边四条边几何语言：角四个角都是________．几何语言：对角线两条对角线互相_____且_______，并且每一条对角线平分________．几何语言：面积：即时练习：1.菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O（1）图中是等腰三角形有（2）若OA=2，求BD、AB的长3.如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF,DF。

找出图中的全等三角形，选择其中一对进行证明。

四、例题讲解例如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．五、课堂小结1.正方形的定义的平行四边形叫做正方形．2.正方形的性质：边：________都相等且________．角：四个角都是________．对角线：两条对角线互相________且________，并且每一条对角线平分________．对称性:正方形既是________图形，又是________图形，正方形有________对称轴．面积:正方形的面积等于等于3.平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系六、检测反馈评价1.正方形面积为36，则对角线的长为。

1.3正方形的性质和判定【正方形的性质】1．正方形的定义一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.温馨提示：①正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形②既是矩形又是菱形的四边形是正方形③正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,还是特殊的菱形2.正方形的性质（1）具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等；两组对角相等；对角线相互平分.（2）具有矩形的一切性质:四个角都是直角；对角线相等.（3）具有菱形的一切性质:四条边相等；对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）边：对边平行，四条边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；对称性：是轴对称图形，有4条对称轴 . 又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.正方形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC = OB = OD．正方形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB=∠OCD = ∠ODC = ∠OAD= ∠ODA=45°．正方形中的全等三角形：全等的等腰直角三角形有：点拨：有关正方形问题可转化为等腰直角三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质；②正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有基本性质；③一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。

两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

【练习】1.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．第1题第3题第5题第7题2.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.3.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( )A．10° B．12.5° C．15° D．20°4.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．5.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．6．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．7.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．8.如图，正方形ABCD的边长为，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．8题9题第10题9．如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．10．，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，11．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.【正方形的判定】1. 正方形的判定定理(1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角(定义法); (2)矩形+一组邻边相等; (3)矩形+对角线互相垂直; (4)菱形+一个角为直角；(5)菱形+对角线相等。

九年级数学教学案—— 1.3(4) 正方形的性质主备：董兰 审核：任涛 班级 姓名 ____【学习目标】1、会归纳正方形的特性并进行证明；2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明；3、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系. 【学习重点】经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力.【学习难点】有条理地、清晰地阐述自己的观点. 【学习过程】 一、知识回顾1、 的平行四边形叫做正方形。

2.正方形既是矩形又是菱形，它都有什么性质呢？（1）对称性： ； （2）边： ； （3）角： ； （4）对角线： 。

3.正方形的面积= = 。

二、例题讲解例1、如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，正方形A ′B ′C ′D ′的顶点A ′与点O 重合，A ′B ′交BC 于点E ，A ′D ′交CD 于点F ， (1) 若E 是BC 的中点，求证：OE=OF.（2）若正方形A ′B ′C ′D ′绕点O 旋转某个角度后，OE=OF 吗？两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么？由（1）（2）可以得到：①重合部分（四边形A ，ECF ）与正方形ABCD 的面积关系：②正方形ABCD 改成矩形，结论还成立吗？其它四边形呢？。

练习1：如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）A ．41cm 2 B ．4ncmC ．41 n cm 2D ．n )41( cm 2例2、已知：如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在CD 上，∠FAE=∠BAE.求证：AF=BC+EC.练习2：在正方形ABCD 中：（1）已知：如图①，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE ⊥BF ，垂足为M ，求证：AE=BF. （2）如图②，如果点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上，且GE ⊥BF ，垂足M ，那么GE与BF 相等吗？证明你的结论.（3）如图③，如果点E 、F 、G 、H 分别在BC 、CD 、DA 、AB 上，且GE ⊥HF ，垂足M ，那么GE 与HF 相等吗？证明你的结论.图① 图② 图③三、课堂小结：通过今天这节课的学习，我收获了：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系： 。