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1.3.2 菱形的性质与判定学习目标：1、经历正方形判定的证明过程，体会严谨证明的必要性；2、能运用正方形的性质与判定判定进行相关计算与证明。
学习重点：能运用正方形的性质与判定判定进行相关计算与证明学习过程（一）自主学习：1、正方形的定义：。
2、议一议：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流。
（二）合作学习1.正方形的判定方法：（1）的矩形是正方形；（2）的矩形是正方形；（3）____________________________的菱形是正方形；（4）___________________________ 的菱形是正方形。
小结：证明正方形的思路：先证_________，再证___________，最后证______________。
2、典型例题已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。
求证：四边形BECF是正方形。
3、随堂练习在正方形ABCD中，EFGH分别在它的四边上，且四边形EFGH是什么特殊四边形？并证明。
GDC4、探究中点四边形议一议：（1）以平行四边形四边中点为顶点可以组成什么图形？以矩形或菱形四边中点为顶点呢？以正方形各边中点为顶点呢？（2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？小结：（1）以平行四边形四边中点为顶点可以组成_____________________；（2）以矩形四边中点为顶点可以组成____________________；（3）以菱形形四边中点为顶点可以组成____________________；（4）以正方形四边中点为顶点可以组成____________________；（5）以____________________________的四边形的四边中点为顶点的四边形为矩形；（6）以____________________________的四边形的四边中点为顶点的四边形为矩形；（7）以____________________________的四边形的四边中点为顶点的四边形为矩形；（三）课堂小结（四）当堂检测如图，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F。
北师大版数学九年级上 1.3 正方形的性质与判定(2) 教学设计说一说：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开.怎样剪才能剪出一个正方形？答案：等腰直角三角形议一议：（1）满足什么条件的菱形是正方形？判定定理1：有一个角是直角的菱形是正方形.判定定理2：对角线相等的菱形是正方形.（2）满足什么条件的矩形是正方形？判定定理3：有一组邻边相等是矩形是正方形.判定定理4：对角线垂直的矩形是正方形.例：已知，如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF//CE，CF//BE.求证：四边形BECF是正方形．证明：∵BF//CE，CF//BE，∴四边形BECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC＝12∠ABC＝45°，∠ECB＝12∠DCB＝45°.∴∠EBC＝∠ECB.∴EB＝EC.∴□BECF是菱形(菱形的定义)．在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°.∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．说一说：正方形都有哪些判定方法呢？答案：（1）从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形．（2）从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形．（3）平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．（4）从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形．做一做：我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形.那么，任意画一个正方形，如图所示，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.答案：正方形议一议：（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明.如果以平行四边形各边中点为顶点呢？答案：菱形的中点四边形是矩形，矩形的中点四边形是菱形，平行四边形的中点四边形是平行四边形.（2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与那些线段有关系？有怎样的关系？答案：原四边形的对角线；垂直，相等归纳：常见中点四边形比较任意四边形矩形菱形正方形对角线特点既不垂直也不相等不垂直只相等只垂直不相等垂直且相等中点四边形平行四边形菱形矩形正方形1.下列命题正确的是（）A.四条边都相等的四边形是正方形B.四个角都相等的四边形是正方形C.对角线相等的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形答案：D2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件________________，使四边形ABCD是正方形．(填一个即可)答案：∠ABC＝90°在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：问题1、正方形的判定方法？答案：问题2、通过本节课的学习，你能说一说四边形对角线与其中点四边形的关系吗？答案：对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对称线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形.。
正方形的性质和判定正方形是几何学中的一种特殊形状，它具有许多独特的性质和判定方法。
本文将详细介绍正方形的性质以及如何准确地判定一个形状是否为正方形。
一、正方形的性质正方形是一种具有四条相等边且四个内角均为90度的四边形。
以下是正方形的主要性质：1. 边长性质：正方形的四条边长度相等，记为a。
2. 内角性质：正方形的每个内角均为90度。
3. 对角线性质：正方形的对角线相等且垂直平分对方顶点的内角。
4. 对称性质：正方形具有对称性，笛卡尔坐标系中以正方形的中心为原点，可以将正方形分为四个相等的象限。
5. 封闭性质：正方形的四条边围成一个封闭的区域。
二、如何判定一个形状是否为正方形判定一个形状是否为正方形的关键在于验证其是否满足正方形的定义和性质。
以下是两种常见的判定方法：1. 边长相等判定：通过测量四条边的长度，如果它们相等，则可以初步判断该形状为正方形。
但该方法仅适用于已知各边长度的情况。
2. 内角度数判定：通过测量四个内角的度数，如果它们均为90度，则可以确定该形状为正方形。
注意，只有测量到了90度的误差范围内，才能断定该形状为正方形。
三、案例分析下面通过一个具体的案例演示如何判定一个形状是否为正方形：假设有一个形状ABCD，已知AB=BC=CD=DA=4厘米，同时角ABC=90度，我们需要判定该形状是否为正方形。
根据判定方法，首先我们测量四条边的长度，已知AB=BC=CD=DA=4厘米，满足正方形的边长性质。
接下来，我们需要测量四个内角的度数，已知角ABC=90度。
如果我们测量到剩余三个角的度数也均为90度，那么可以确定该形状为正方形。
在实际测量中，如果我们测得角BCD、角CDA和角DAB的度数也均为90度（在90度的误差范围内），那么该形状可以被判定为一个正方形。
四、总结正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质和判定方法。
通过测量边长和角度数，我们可以判断一个形状是否满足正方形的定义。
正确理解和应用正方形的性质和判定方法，有助于我们更好地理解几何学中的基础概念，并能够准确判断形状的类型。
1.3.正方形的性质与判定（二）
学习目标
1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。
2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四
边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明。
一问题情景
1.演示：把一张长方形纸片对折一下就可以裁出正方形纸片，其理由是__________________________
2.如图：如果将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
二合作探究（一）
1.议一议：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？为什么？
三运用巩固
1.例题2
2.习题1.8 2题
3.习题1.8 3题
4.上图中如果E.F.G.H分别是分别是各边的中点结果又如何？
四合作探究（二）
1.议一议：
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？你能证明吗？如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
（2）以四边形各边中点为顶点的所组成的新的四边形的形状与那些线段有关系？有怎样的关系？
2.几何画板演示后概括出规律
决定中点四边形形状的主要因素是原四边形的对角线
①若对角线相等，则中点四边形为菱形；
②若对角线互相垂直，则中点四边形为矩形；
③若对角线既相等，又垂直，则中点四边形为正方形；
④若对角线既不相等，又不垂直，则中点四边形为平行四边形；
五感悟收获。
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．一、正方形的性质【例1】 正方形有 条对称轴．【例2】 已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形【例3】 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA【例4】 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．正方形的性质及判定正方形菱形矩形平行四边形【例5】 将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA【例7】 如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【例8】 如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA【例9】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【例10】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．M N CDO B A【例11】 如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例12】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．GEHDFCBA【例13】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【例14】 如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDCBA【例15】 如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA【例16】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA【例17】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例18】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.K NMLDCB A【例19】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.GC FEDBA【例20】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【例21】 已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例22】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．【例23】 如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【例24】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.ABCDEF E 'GBO D CA QP【例25】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．MFEDCBA【例26】 如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证： DG DA =G FEC DBA【例27】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【例28】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEG CDF B A【例29】 把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHF EDB A【例30】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BA【例31】 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______. ABCDEF二、正方形的判定【例32】 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA【例33】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA【例34】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA【例35】 如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【例36】 如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【例37】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE∆ 的面积为GFEDCB A【例38】 如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【例39】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例40】已知：PA4PB=，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.PDCBA。
19.2.3 正方形的性质与判定教学流程安排【探究】在一个矩形，改变边长．（观察几何画板）① 当矩形变成正方形时，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的有什么关系？② 猜想：正方形的四个角都是直角且四边相等③ 猜想：对角线互相平分且相等 操作，思考、交流、归纳后得到正方形的性质．ABCDO (2)性质边角对角线对称性图形语言文字语言符号语言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD轴对称图形中心对称图形2、类比、归纳几种特殊四边形的性质【活动五】[例4] 求证正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．分析：因为是正方形，所以两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角．平分可以产生线段等量关系和角的等量关系，垂直可以产生直角，于是可以得到四个全等的等腰直角三角形．已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC，。
正方形的性质与判定（二）教学目标：知识与技能：1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。
2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。
3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。
过程与方法：1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。
2.通过凸四边形的中点四边形的探求过程，以及引申至凹四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳、类比、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。
情感与态度：通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力，并使学生发现数学中蕴涵的美，激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣。
教学过程本节课设计了六个教学环节：第一环节：情景引入；第二环节：运用巩固；第三环节：猜想结论，分组验证；第四环节：学以致用；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。
第一环节：情景引入活动内容：问题：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？（学生动手折叠、思考、剪切）活动目的：因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可。
活动的注意事项：部分学生在动手操作时，会剪出菱形，教师要引导学生思考：正方形是特殊的矩形和菱形，因此想得到一个正方形，可以在矩形的基础上强化边的条件得到，也可以在菱形的基础上强化角的条件得到，而折痕是正方形的对角线，所以本环节要从对角线的角度考虑，即对角线要垂直相等且平分，学生很自然的会想到需要剪一个等腰直角三角形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可，本节课的第一个教学难点迎刃而解。
本环节中教师可以鼓励操作快的学生帮助有困难的学生，请同学到讲台前讲解自己的做法和判断依据，顺势引导学生总结出正方形的判定定理：1.对角线相等的菱形是正方形。
2.对角线垂直的矩形是正方形。
3.有一个角是直角的菱形是正方形。
教师可以课件展示下面的框架图，复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系。
此框架图给出了正方形的判别条件，先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这个矩形是菱形；或者先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形。
由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件不一样，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。
第二环节：运用巩固活动内容：活动目的：通过例2，复习巩固平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定定理，让学生尝试综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。
活动的注意事项：此环节采用合作学习的策略，鼓励学生多层面、多角度地思考正方形判定的运用，目的在于加深学生对判定本身的理解和掌握，同时也丰富了交流的内容，激发了交流的气氛，使新旧知识融会贯通，达到同学间的沟通、互补、共同提高的目的，教师应对学生的合理讲解给予肯定和鼓励。
而且整个过程也使学生重新回顾了证明的步骤，为进一步发展学生的演绎推理能力奠定了基础。
第三环节：猜想结论，分组验证活动内容1：图1-8-1 图1-8-2 图1-8-3问题：1.如图，在ΔABC 中，EF 为ΔABC 的中位线，①若∠BEF=30°，则∠A= . ②若EF=8cm, 则AC= .2.在AC 的下方找一点D,做CD 和AD 的中点G 、H,问EF 和GH 有怎样的关系？EH 和FG 呢？3.四边形EFGH 的形状有什么特征？ 活动目的：通过问题串，复习三角形中位线性质定理和命题“依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形”。
活动的注意事项：教师在提问时选择平时学习数学有困难的学生，由于是前面已经学过的知识，学生们回答得很流畅，这种低起点的问题，也增强了学生学习数学的自信心。
此外，课件的运用，直观形象，也分解了难点。
活动内容2：问题：如果四边形ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形EFGH 会有怎样的变化呢？ 活动目的：在一个开放的情景中，引导学生体会由一般到特殊的归纳、类比、转化的思想方法，同时培养学生的积极探索、勇于创新的精神。
活动的注意事项：CF DCF D有的学生猜测还是平行四边形，有的学生猜测是正方形，有的学生猜测是矩形，有的学生猜测是菱形，甚至有的学生猜测是梯形。
经过师生的共同探讨，达成一致的结论：一定是平行四边形，而非梯形。
于是老师顺势提出问题“会不会是特殊的平行四边形呢？从结论来探索有一些困难，那么我们可以换一种角度思考：四边形ABCD 可以为哪些特殊的四边形？”学生的回答多种多样，原四边形可以为平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，甚至还有学生回答为梯形和直角梯形。
于是老师请学生选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，从而顺利进入下一环节。
此环节的设置引发了学生对特殊四边形的中点四边形的思考，学生们畅所欲言，互相补充完善，气氛热烈，进一步发展了学生合作交流的能力和数学表达能力，同时也是对之前所学的特殊四边形进行回顾。
老师在这一环节中，对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，再一次增强了学生学习数学的自信心。
活动内容3：学生以数学小组的形式，在众多的特殊四边形（平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形和直角梯形）中选择一种自己感兴趣的原四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性。
活动目的：由学生非常熟悉的、常见的特殊四边形得到结论，为后面的知识形成作好铺垫，并把学习的主动权让给学生，目的在于激发学生的学习兴趣，使学生真正成为学习的主人；同时让学生再一次体会由一般到特殊的归纳思想、类比、转化的思想方法，进一步提高学生的合作交流和数学表达能力。
活动的注意事项：学生结合前面学过的各种特殊四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，人人参与、积极进行探究和交流，通过类比和转化共归纳出以下几种情况。
各小组派代表展示自己小组的猜想和验证，讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈,使验证的过程更加严谨。
把学习的主动权交给了学生，真正体现了学生的自主性，也激发了学生学习数学的兴趣。
图1-8-4 图1-8-5 图1-8-6 图1-8-7图1-8-8 图1-8-9 图1-8-10得出结论：平行四边形的中点四边形是平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形；等腰梯形的中点四边形是菱形；直角梯形的中点四边形是平行四边形；梯形的中点四边形是平行四边形。
在这一环节中，老师走入学生中适时地进行指导，引导学生进行归纳总结，提高学生的概括能力。
对学习能力较弱的学生进行个别指导，对学习能力较强的学生鼓励他们研究第2个甚至更多个图形，使以上7个图形的结论能够顺利得出，并对学生的回答给予充分的肯定和鼓励。
学生们展示完自己的结论后，老师利用几何画板进行演示，让学生们观察中点四边形的边和角的变化情况，体会图形运动变化的过程，验证同学们归纳的结论的正确性，给予学生直观的感受。
活动内容4：问题：1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点四边形都由平行四边形变化为菱形？2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？3.你是从什么角度考虑的？4.你从哪儿得到的启发？5.你能用你的发现解释其它的图形变化吗？例如：原四边形为菱形，其中点四边形为矩形？ 活动目的：以问题串的形式引导学生逐步深入思考，前2个问题的设置帮助学生回忆特殊四边形的性质与判定定理，第3、4个问题帮助学生揭示变化的原因：矩形和等腰梯形的对角线有相同的性质“对角线相等”，而且其它中点四边形的变换也和原四边形的对角线有关系。
有了前4问的铺设，第5个问题可以通过类比的思想解决；同时让学生体会由一般到特殊再到一般的归纳思想方法，进一步提高学生的数学表达能力。
活动的注意事项：这一环节紧紧围绕“中点四边形”再次提出问题串，是对上一活动的拓展。
通过问题串的解答，使学生对决定中点四边形形状的因素更加明了。
教师引导学生对研究的问题归纳总结。
概括出规律：决定中点四边形EFGH 的形状的主要因素是原四边形ABCD 的对角线的长度和位置关系。
（1） 若对角线相等，则中点四边形EFGH 为菱形； （2） 若对角线互相垂直，则中点四边形EFGH 为矩形；（3） 若对角线既相等，又垂直，则中点四边形EFGH 为正方形； （4） 若对角线既不相等，又不垂直，则中点四边形EFGH 为平行四边形。
图1-8-11 图1-8-12 图1-8-13 图1-8-14这里让学生通过归纳，学会把知识整理成一个系统，也就是我们常要求的：教学过程贵在让学生掌握学习的方法，让学生真正地“会学”，既学法指导。
这里正是渗透了这种思想。
老师再次利用几何画板进行演示，让学生们观察中点四边形的边和角的变化情况，体会图形运动变化的过程，验证同学们归纳的结论的正确性，给予学生们直观的感受。
第四环节：学以致用活动内容：（图形发散练习）利用几何画板，拖动A 点使四边形ABCD 的图形变化进行研究。
图1-8-15 图1-8-16 图1-8-17 图1-8-18活动目的：用动画的形式让同学们观察四边形的不断变化过程中，中点四边形的变化情况，体会变化中存在的不变的几何关系：图中几何图形的位置关系处在相互依存的状态之中，静态图形只是动态图形在变化过程中的某一瞬间，意在培养学生的发散思维能力，提高学生研究数学的兴趣和创新意识。
在题目的设置上，采用逐步递进的策略，其中图1-8-15是ABCD 为凸四边形，图1-8-16是AB 、 AD 在同一线段上，图1-8-17是ABCD 为凹四边形，图1-8-18是ABCD 为扭曲四边形。
活动的注意事项：利用几何画板演示，学生们表现出了极大的学习兴趣，学生们畅所欲言，互相补充完善，课堂气氛异常活跃。
经过师生共同探索，得到结论：当ABCD 是上面的图形时，四边形EFGH 仍为平行四边形。
特别是图1-8-18，学生理解有困难，老师引导学生转换思考角度，即四边形EFGH 可以看作四边形ADBC 的边AD 、BC 的中点和对角线AB 、CD 的中点的四边形，这样就解决了问题。
老师在这一环节中，对学习能力较弱的学生进行个别指导，对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，再一次增强了学生学习数学的自信心。
第五环节：课堂小结活动内容：1．本节课重点学习了什么知识，应用了哪些数学思想和方法？2．通过本节课的学习你有哪些收获？在今后的学习过程中应该怎么做？活动目的：培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，总结研究数学问题的一般方法。
