正方形的性质及判定
一、正方形的性质
【例1】 ☆⑴已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形
⑵如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且 20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为
F
E D C
B
A
⑶如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．
【例2】 ☆将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个
正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
A 5
A 4
A 3
A 2
A 1
【例3】 ☆如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连
接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为
P
N
M
E D
C B
A
【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．
E
D
C
B
A
【例4】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.
F E
P
D
C
B A
【巩固】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于
M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．
M N C
D
O B A
【巩固】 ☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=
P
D
C
B
A
【例5】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是
等腰直角三角形．
G
E
H
D
F
C
B
A
【例6】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交
于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．
N
M
F
E
D
C
B
A
【例7】 ☆如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，
则AFD ∠=
F
E
D
C
B
A
【例8】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别
交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．
3
14
2
F
E G
H
C
D
B
A
【例9】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，
DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.
K N
M
L
D
C
B A
【巩固】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.
G
C F
E
D
B
A
【例10】 如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，
30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.
B
D
C
A
E
F
【巩固】 ☆已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并
延长交DE 于F ．
（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；
（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明
理由．
【例11】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正
方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．
【例12】 ☆如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，
HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；
⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个
四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．
图3
图1图2
H D
G
C F
E
B
A
O
H G
F
E
D
C B
A
【巩固】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：
（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.
A
B
C
D
E
F E '
G
