1.3正方形性质与判定

1.3 正方形的性质与判定教学目标:1、知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.2、经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.3、理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.教学重点：掌握正方形的判定条件.教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.教学过程：一、创设问题情景，引入新课我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中.通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.1、怎样判断一个四边形是矩形？2、怎样判断一个四边形是菱形？3、怎样判断一个四边形是平行四边形？4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？二、讲授新课1．探索正方形的判定条件：学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形.后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断2．正方形判定条件的应用【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由. （1） 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形； （2） 四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形； （3） 对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （4） 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； （5） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 师生共析：（1） 是真命题，.因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题.（2） 真命题，由.四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.（3） 假命题，对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形.如下图，满足A O=CO ，BO=D O 且AC ⊥BD 但四边形ABCD 不是正方形.（4） 假命题，它可能是任意四边形.如上图，AC ⊥BD 且AC=BD ，但四边形ABCD 不是正方形.（5） 真命题。

1.3正方形的性质和判定【正方形的性质】1．正方形的定义一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.温馨提示：①正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形②既是矩形又是菱形的四边形是正方形③正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,还是特殊的菱形2.正方形的性质（1）具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等；两组对角相等；对角线相互平分.（2）具有矩形的一切性质:四个角都是直角；对角线相等.（3）具有菱形的一切性质:四条边相等；对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）边：对边平行，四条边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；对称性：是轴对称图形，有4条对称轴 . 又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.正方形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC = OB = OD．正方形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB=∠OCD = ∠ODC = ∠OAD= ∠ODA=45°．正方形中的全等三角形：全等的等腰直角三角形有：点拨：有关正方形问题可转化为等腰直角三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质；②正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有基本性质；③一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。

两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

【练习】1.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．第1题第3题第5题第7题2.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.3.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( )A．10° B．12.5° C．15° D．20°4.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．5.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．6．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．7.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．8.如图，正方形ABCD的边长为，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．8题9题第10题9．如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．10．，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，11．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.【正方形的判定】1. 正方形的判定定理(1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角(定义法); (2)矩形+一组邻边相等; (3)矩形+对角线互相垂直; (4)菱形+一个角为直角；(5)菱形+对角线相等。

1.3正方形性质与判定定义：一组邻边 的—叫做正方形。

性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

(正方形是轴对称图形，有两条对称轴。

正方形也是中心对称图形。

)判定： ① 有一个内角是直角的—是正方形；② 邻边相等的_____ 是正方形；③ 对角线相等的_____ 是正方形；④ 对角线互相垂直的_____ 是正方形。

(4)正方形的周长和面积：正方形的周长=边长X4正方形的面积=边长x 边长2、中心四边形，依次连接四边形各边中点所得的新四边形为 _________________ ;'依次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是 _____________ ;，依次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是 ________ ;，依次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点所得四边形是 __________ 。

二、经典习题1、我们把顺次连接四边形的中点所得的四边形叫中点四边形，现有一个对角线长分别为6cm 和8cm 的 菱形，它的中点四边形的一条对角线长是 _____ .已知点P 为正方形ABCD 所在平面内一点，连接AP, BP, DP, AP=AD f 则ZBPD 度数等于 ___________ . 如图，正方形ABCD 中，八已月。

是正三角形，求匕曲。

的度数。

如图，正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，以CG 为边做正方形GFEC,求证：BG=DE5、如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BG1CE 于G 交AO 于F,求证：CE=BF°一、知识回顾1、正方形(1)(2) (1) (2) (3) (4) 2、 (3)4、6、分别以三角形ABC两边向外作正方形ABOE和正方形ACFG,求证：BG=CE.7、如图，平行四边形ABCD中，A ABE、A BCF是以AB、RC为边的等边三角形,求证：尸是等边三角形。

8、如图，在正方形A3CD中，E是上一点，F是A。

1.3 正方形的性质与判定（B 能力培优练）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2021•郑州模拟）如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为5和3，点E ，G 分别为AD ，CD 边上的点，H 为BF 的中点，连接HG ，则HG 的长为( )A ．22B ．4C ．15D ．17【分析】作辅助线，构建直角三角形，先根据三角形的中位线定理得1HN =，从而得HM 的长，根据矩形得1GM PN ==，最后由勾股定理计算可得结论．【解答】解：延长GF 交AB 于P ，过H 作MN CD ⊥于M ，交AB 于N ，四边形ABCD 是正方形，//AB CD ∴，BC CD ⊥，MN AB ∴⊥，四边形DEFG 是正方形，FG CD ∴⊥，////FG HM BC ∴，H 是BF 的中点，11(53)122PN BN CM GM CG ∴=====-=， HN ∴是BFP ∆的中位线，112HN FP ∴==， 514MH ∴=-=，Rt GHM ∆中，由勾股定理得：22221417GH GM HM =+=+=，故选：D ．2．（2019•抚顺）如图，AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，点M ，N 分别是AC ，BD 的中点，连接EM ，MF ，FN ，NE ，要使四边形EMFN 为正方形，则需添加的条件是( )A ．AB CD =，AB CD ⊥B ．AB CD =，AD BC = C ．AB CD =，AC BD ⊥ D ．AB CD =，//AD BC【分析】证出EN 、NF 、FM 、ME 分别是ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆、ACD ∆的中位线，得出////EN AB FM ，////ME CD NF ，12EN AB FM ==，12ME CD NF ==，证出四边形EMFN 为平行四边形，当AB CD =时，EN FM ME NF ===，得出平行四边形EMFN 是菱形；当AB CD ⊥时，EN ME ⊥，则90MEN ∠=︒，即可得出菱形EMFN 是正方形．【解答】解：点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，点M ，N 分别是AC ，BD 的中点， EN ∴、NF 、FM 、ME 分别是ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆、ACD ∆的中位线，////EN AB FM ∴，////ME CD NF ，12EN AB FM ==，12ME CD NF ==， ∴四边形EMFN 为平行四边形，当AB CD =时，EN FM ME NF ===，∴平行四边形EMFN 是菱形；当AB CD ⊥时，EN ME ⊥，则90MEN ∠=︒，∴菱形EMFN 是正方形；故选：A ．3．（2020春•安庆期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别在AB 、AD 边上运动，且保持BE AF =连接OE ，OF ，EF 在此运动过程中，下列结论：①OE OF =；①90EOF ∠=︒；①四边形AEOF 的面积保持不变；①当//EF BD 时，22EF=，其中正确的结论是()A．①①B．①①C．①①①D．①①①①【分析】过O作OG AB⊥于G，OH AD⊥于H，由正方形的性质得到90A OHA OGA∠=∠=∠=︒，求得12OH AB=，12OG AD=，得到90GOH∠=︒，根据全等三角形的性质得到OE OF=，故①正确；EOG FOH∠=∠，推出90EOF∠=︒，故①正确；得到四边形AEOF的面积=正方形AOGH的面积224=⨯=，四边形AEOF的面积保持不变；故①正确；根据平行线的性质得到45AFE ADB∠=∠=︒，45AEF ABD∠=∠=︒，求得AE AF=，得到122AE AF AB===，于是得到22EF=①正确．【解答】解：过O作OG AB⊥于G，OH AD⊥于H，四边形ABCD是正方形，90A OHA OGA∴∠=∠=∠=︒，//OH AB，//OG AD，点O是对角线BD的中点，AH D H∴=，AG BG=，12OH AB∴=，12OG AD=，AD BA=，OG OH∴=，BG AH=，∴四边形AGOH是正方形，90GOH∴∠=︒，BE AF=，GE FH∴=，在OFH∆与OEG∆中，EG FHOGE OHFOG OH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OFH OEG SAS ∴∆≅∆，OE OF ∴=，故①正确；EOG FOH ∠=∠，90EOG GOF GOF FOH ∴∠+∠=∠+∠=︒，90EOF ∴∠=︒，故①正确；OFH OEG ∆≅∆，∴四边形AEOF 的面积=正方形AOGH 的面积224=⨯=，∴四边形AEOF 的面积保持不变；故①正确；//EF BD ，45AFE ADB ∴∠=∠=︒，45AEF ABD ∠=∠=︒，AE AF ∴=，BE AF =，AE BE ∴=， 122AE AF AB ∴===， 22EF ∴=，故①正确；故选：D ．4．（2018•涪城区校级自主招生）下列命题中：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；①对角线相等的四边形是矩形；①一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；①对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；①对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．其中真命题有( )个A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据平行四边形、菱形、正方形及矩形的判定，逐一进行判断，可得选项．【解答】解：根据平行四边形、菱形、正方形及矩形的判定可知：①真命题．①假命题，如：等腰梯形的对角线相等，但不是平行四边形．①真命题，利用两直线平行同旁内角互补即可证得另一组对角也相等．①真命题，平分一组对角，可利用等角对等边，得到邻边相等，而邻边相等的平行四边形是菱形．①假命题，如当对角线的交点不在两线段中点的四边形不是正方形．故选：C．5．（2009秋•楚雄市校级期中）矩形的四个内角平分线围成的四边形() A．一定是正方形B．是矩形C．菱形D．只能是平行四边形【分析】根据矩形的性质及角平分线的性质进行分析即可．【解答】解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45︒的角，因此形成的四边形每个角是90︒．又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形，故选A．6．（2020春•镇原县期末）在四边形ABCD中，两对角线交于点O，若OA OB OC OD===，则这个四边形()A．可能不是平行四边形B．一定是菱形C．一定是正方形D．一定是矩形【分析】根据OA OB OC OD===，判断四边形ABCD是平行四边形．然后根据AC BD=，判定四边形ABCD是矩形．【解答】解：这个四边形是矩形，理由如下：对角线AC、BD交于点O，OA OB OC OD===，∴四边形ABCD是平行四边形，又OA OC OD OB+=+，AC BD∴=，∴四边形ABCD是矩形．故选：D．7．（2020•台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；①它是一个正方形；①它是一个矩形．下列推理过程正确的是( )A ．由①推出①，由①推出①B ．由①推出①，由①推出①C ．由①推出①，由①推出①D ．由①推出①，由①推出① 【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→①，①→①错误，故选项B ，C ，D 错误，故选：A ．二．填空题（共8小题）8．（2021•阜宁县二模）已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AD ，DC 上，1AE DF ==，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为52．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB AD =，每一个角都是直角可得90BAE D ∠=∠=︒，然后利用“边角边”证明ABE DAF ∆≅∆得ABE DAF ∠=∠，进一步得90AGE BGF ∠=∠=︒，从而知12GH BF =，利用勾股定理求出BF 的长即可得出答案． 【解答】解：四边形ABCD 为正方形，90BAE D ∴∠=∠=︒，AB AD =，在ABE ∆和DAF ∆中，AB AD BAE D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DAF SAS ∴∆≅∆，ABE DAF ∴∠=∠，90ABE BEA ∠+∠=︒，90DAF BEA ∴∠+∠=︒，90AGE BGF ∴∠=∠=︒，点H 为BF 的中点， 12GH BF ∴=， 4BC =、413CF CD DF =-=-=，225BF BC CF ∴=+=，1522GH BF ∴==， 故答案为：52．9．（2020秋•陕西期中）如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．要使四边形EFGH 是正方形，BD 、AC 应满足的条件是 BD AC =且BD AC ⊥ ．【分析】依据条件先判定四边形EFGH 为菱形，再根据90FEH ∠=︒，即可得到菱形EFGH 是正方形．【解答】解：满足的条件应为：AC BD =且AC BD ⊥．理由：E ，F ，G ，H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴在ADC ∆中，HG 为ADC ∆的中位线，//HG AC ∴且12HG AC =； 同理//EF AC 且12EF AC =，同理可得12EH BD =，则//=，HG EF且HG EF∴四边形EFGH为平行四边形，又AC BD=，∴=，EF EH∴四边形EFGH为菱形，EF AC，⊥，//AC BD∴⊥，EF BD//EH BD，∴⊥，EF EH∴∠=︒，FEH90∴菱形EFGH是正方形．故答案为：AC BD=且AC BD⊥．10．（2021春•南岗区校级月考）如图，E为正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE BD=，AE交DC于F，则AFC∠=112.5︒．【分析】根据等边对等角的性质可得E CAE∠=∠，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出22.5∠=︒，再根据三E角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：连接AC，四边形ABCD是正方形，∴=，AC BD=，CE BD∴=，CE AC∴∠=∠，E CAEAC是正方形ABCD的对角线，∴∠=︒，ACB45∴∠+∠=︒，45E CAE14522.52E ∴∠=⨯︒=︒， 在CEF ∆中，22.590112.5AFC E ECF ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：112.5︒．11．（2020秋•讷河市期末）如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A 与点B 在两个格点上．在格点上存在点C ，使ABC ∆的面积为2，则这样的点C 有 5 个．【分析】要使得ABC ∆的面积为2，即12S ah =，则使得2a =、2h =或者4a =、1h =即可，在图示方格纸中找出C 点即可．【解答】解：图中标出的5个点均为符合题意的点．故答案为 5．12．（2020•东城区模拟）在菱形ABCD 中，MNPQ 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）．对于任意菱形ABCD ，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形；①存在无数个四边形MNPQ是菱形；①存在无数个四边形MNPQ是矩形；①存在无数个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①①①．【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】解：①如图，连接AC，BD交于O，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；①如图，当PM QN=时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；①如图，当PM QN⊥时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；①当四边形MNPQ是正方形时，MQ PQ=，90∠=︒，MQDAQM DQP∴∠+∠=︒，90当四边形ABCD是正方形，∴∠=∠=︒，90A D∴∠+∠=︒，90AQM AMQ∴∠=∠，AMQ DQP∴∆≅∆，AMQ DQP AAS()=，AM QD∴=，AQ PD=，PD BM∴=，AB AD当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故菱形ABCD中能存在四边形MNPQ是正方形，但不能存在无数个四边形MNPQ是正方形；故①错误；故答案为①①①．13．（2019•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；①存在无数个四边形MNPQ是矩形；①存在无数个四边形MNPQ是菱形；①至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是①①①．【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】解：①如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；①如图，当PM QN=时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；①如图，当PM QN⊥时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；①当四边形MNPQ是正方形时，MQ PQ=，则AMQ DQP∆≅∆，∴=，AQ PD=，AM QD=，PD BM∴=，AB AD∴四边形ABCD是正方形，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；故答案为：①①①．14．（2020•淮阴区二模）如图，在四边形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90D ∠=︒，45ABE ∠=︒，BC CD =，若5AE =，2CE =，则BC 的长度为 6 ．【分析】过点B 作BF AD ⊥于点F ，延长DF 使FG EC =，由题意可证四边形CDFB 是正方形，由正方形的性质可得CD BC DF BF ===，90CBF C BFG ∠=︒=∠=∠，由全等三角形的性质可得5AG AE ==，可得3AF =，由勾股定理可得6BC DC ==．【解答】解：过点B 作BF AD ⊥于点F ，延长DF 使FG EC =，连接BG ，//AD BC ，90D ∠=︒，90C D ∴∠=∠=︒，BF AD ⊥∴四边形CDFB 是矩形BC CD =∴四边形CDFB 是正方形CD BC DF BF ∴===，90CBF C BFG ∠=︒=∠=∠，BC BF =，90BFG C ∠=∠=︒，CE FG =()BCE BFG SAS ∴∆≅∆BE BG ∴=，CBE FBG ∠=∠45ABE ∠=︒，45CBE ABF ∴∠+∠=︒，45ABF FBG ABG ∴∠+∠=︒=∠ABG ABE ∴∠=∠，且AB AB =，BE BG =()ABE ABG SAS ∴∆≅∆5AE AG ∴==，523AF AG FG ∴=-=-=在Rt ADE ∆中，222AE AD DE =+，2225(3)(2)DF DF ∴=-+-，6DF ∴=，1DF =-（不合题意）6BC ∴=故答案为：615．（2020春•长岭县期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得60B ∠=︒，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线40AC cm =，则图1中对角线AC 的长为 202 cm ．【分析】如图1，2中，连接AC ．在图2中，理由勾股定理求出BC ，在图1中，只要证明ABC ∆是等边三角形即可解决问题．【解答】解：如图1，2中，连接AC ．在图2中，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90B ∠=︒，40AC =，202AB BC ∴==在图1中，60B ∠=︒，BA BC =，ABC ∴∆是等边三角形，202AC BC ∴==故答案为：202，三．解答题（共3小题）16．（2020春•大观区校级期末）如图，90MON ∠=︒，正方形ABCD 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，13AB =，5OB =，E 为AC 上一点，且EBC CBN ∠=∠，直线DE 与ON 交于点F ．（1）求证：BE DE =；（2）判断DF 与ON 的位置关系，并说明理由；（3）BEF ∆的周长为 24 ．【分析】（1）利用正方形的性质，即可得到()BCE DCE SAS ∆≅∆，根据全等三角形的性质即可得到BE DE =．（2）依据EDC CBN ∠=∠，190EDC ∠+∠=︒，12∠=∠，即可得出290CBN ∠+∠=︒，进而得到DF ON ⊥；（3）过C 作CG ON ⊥于G ，过D 作DH CG ⊥于H ，则90CGB AOB ∠=∠=︒，四边形DFGH 是矩形，利用全等三角形的对应边相等，即可得到17DF HG ==，5GF DH ==，7BF BG GF =-=，进而得出BEF ∆的周长．【解答】解：（1）四边形ABCD 正方形，CA ∴平分BCD ∠，BC DC =，45BCE DCE ∴∠=∠=︒，CE CE =，()BCE DCE SAS ∴∆≅∆，BE DE ∴=．（2）DF ON ⊥，理由如下：BCE DCE ∆≅∆，EBC EDC ∴∠=∠，EBC CBN∠=∠，∴∠=∠，EDC CBN∠=∠，EDC190∠+∠=︒，12CBN∴∠+∠=︒，290∴∠=︒，EFB90即DF ON⊥；（3）如图所示，过C作CG ON∠=∠=︒，⊥于G，过D作DH CGCGB AOB⊥于H，则90四边形DFGH是矩形，又90∠=︒，ABC∴∠+∠=︒=∠+∠，ABO BAO ABO CBG90∴∠=∠，BAO CBG又AB BC=，∴∆≅∆，()ABO BCG AAS22∴==-=，5BG AO13512==，CG BO同理可得CDH BCG∆≅∆，CH BG==，∴==，12DH CG5∴=+=，HG51217GF DH==，∴==，5DF HG17∴=-=-=，BF BG GF1257∴∆的周长71724BEF=++=++=+=+=，BF EF BE BF EF DE BF DF故答案为：24．17．（2020秋•郫都区校级月考）如图，在正方形ABCD 中，AB BC CD AD ===，90BAD B C D ∠=∠=∠=∠=︒，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边DC 、BC 上，AG EF ⊥且AG AB =，垂足为G ，则：（1）ABF ∆与AGF ∆全等吗？说明理由；（2）求EAF ∠的度数；（3）若7AG =，AEF ∆的面积是21，求CEF ∆的面积．【分析】（1）根据HL 可得出ABF AGF ∆≅∆．（2）只要证明BAF GAF ∠=∠，GAE DAE ∠=∠；所以可求45EAF ∠=︒．（3）设FC x =，EC y =，则7BF y =-，7DE y =-，构建方程组，求出x ，y 即可解决问题．【解答】解：（1）结论：ABF AGF ∆≅∆．理由：在Rt ABF ∆与Rt AGF ∆中，AB AG AF AF =⎧⎨=⎩， ()ABF AGF HL ∴∆≅∆（2）ABF AGF ∆≅∆BAF GAF ∴∠=∠，同理易得：AGE ADE ∆≅∆，有GAE DAE ∠=∠； 即1452EAF EAD FAG BAD ∠=∠+∠=∠=︒，故45EAF ∠=︒．（3）12AEF S EF AG ∆=⨯⨯，7AG =， 1212EF AG ∴=⨯⨯， 6EF ∴=，BF FG =，EG DE =，7AG AB BC CD ====，设FC x =，EC y =，则7BF x =-，7DE y =-，6BF DE FG EG EF +=+==，776x y ∴-+-=，8x y ∴+=①在Rt EFC ∆中，222EF EC FC =+，2226x y ∴+=①①2-①得到，228xy =，172CEF S xy ∆∴==． 方法二：易知ABF AGF S S ∆∆=，AED AEG S S ∆∆=，21ABF ADE AEF S S S ∆∆∆∴+==，49427EFC ABCD ABFED S S S ∆∴=-=-=正方形五边形．18．（2020秋•青山区期末）如图，已知四边形ABCD 为正方形，42AB =，点E 为对角线AC 上一动点，连接DE 、过点E 作EF DE ⊥．交BC 点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．（1）求证：矩形DEFG 是正方形；（2）探究：CE CG +的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）过E 作EM BC ⊥于M 点，过E 作EN CD ⊥于N 点，即可得到EN EM =，然后判断DEN FEM ∠=∠，得到DEN FEM ∆≅∆，则有DE EF =即可；（2）同（1）的方法证出ADE CDG ∆≅∆得到CG AE =，得出8CE CG CE AE AC +=+==即可．【解答】解：（1）如图所示，过E 作EM BC ⊥于M 点，过E 作EN CD ⊥于N 点， 正方形ABCD ，90BCD ∴∠=︒，45ECN ∠=︒，90EMC ENC BCD ∴∠=∠=∠=︒，且NE NC =，∴四边形EMCN 为正方形，四边形DEFG 是矩形，EM EN ∴=，90DEN NEF MEF NEF ∠+∠=∠+∠=︒， DEN MEF ∴∠=∠，又90DNE FME ∠=∠=︒，在DEN ∆和FEM ∆中，DNE FME EN EM DEN FEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()DEN FEM ASA ∴∆≅∆，ED EF ∴=，∴矩形DEFG 为正方形，（2）CE CG +的值为定值，理由如下：矩形DEFG 为正方形，DE DG ∴=，90EDC CDG ∠+∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AD DC =，90ADE EDC ∠+∠=︒，ADE CDG ∴∠=∠，在ADE∆和CDG∆中，AD CDADE CDG DE DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CDG SAS∴∆≅∆，AE CG∴=，22428AC AE CE AB∴=+==⨯=，8CE CG∴+=是定值．。