高中数学 3.1.1空间向量及其加减运算课后习题 新人教A版选修21

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算练习（含解析）新人教A 版选修21[学生用书P131(单独成册)][A 基础达标]1．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD →B ．AD →＝AB →＋CD →＋BC → C.AD →＝AB →＋BC →－CD →D ．BC →＝BD →＋CD →解析：选B.根据空间向量的加减运算可得B 正确． 2．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4.3．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B ．AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →同向D ．AC →与CB →同向解析：选D.由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知A ，B ，C 三点共线且C 点在线段AB 上，所以AC →与CB →同向．4．空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0解析：选B.由于E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，所以四边形EFGH 为平行四边形，其中EH →＝FG →，且FC →＝BF →，而E ，B ，F ，G 四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0.5．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1→的有( ) ①AB →＋BC →＋CC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→； ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→；④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→. A ．①④ B ．①②③ C ．①②④D ．①②③④解析：选D.根据空间向量的加法运算法则及正方体的性质，逐一进行判断：①AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③AB →－C 1C →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给四个式子的运算结果都是AC 1→.6．式子(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是__________． 解析：(AB →－CB →)＋CC 1→＝(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→. 答案：AC 1→7．已知平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有________． ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确； AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC →，④错． 答案：①②③8．给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．答案：③9.如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式： (1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →； (2)AA 1→＋B 1C 1→＋D 1D →＋CB →. 解：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(2)因为B 1C 1→＝BC →＝－CB →，D 1D →＝－AA 1→， 所以原式＝AA 1→－CB →－AA 1→＋CB →＝0.10.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋GD →＋EC →. 解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →. 作出向量如图所示：[B 能力提升]11．已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有( ) ①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量； ④OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C .如图所示，①OA →＝－OC ′→，OD →＝－OB ′→， 所以OA →＋OD →＝－(OB ′→＋OC ′→)，是一对相反向量；②OB →－OC →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝D ′A ′→，而CB →＝D ′A ′→，故不是相反向量； ③同①也是正确的；④OA ′→－OA →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝C ′C →＝－AA ′→，是一对相反向量． 12．下列说法中错误的是________(填序号)． ①在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；②若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＝－CD →，则AB →，CD →互为相反向量． ③AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合．解析：①正确．②正确.AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →互为相反向量．③错误．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合．答案：③13．如图，已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量． (1)AB 1→－AD 1→，AB 1→＋AD 1→；(2)AB →＋AD →－AD 1→，AB →＋AD →＋AD 1→.解：(1)如图所示，AB 1→－AD 1→＝D 1B 1→，AB 1→＋AD 1→＝AB 1→＋B 1C 2→＝AC 2→.(2)如图所示，AB →＋AD →－AD 1→＝AC →－AD 1→＝D 1C →， AB →＋AD →＋AD 1→＝AC →＋CC 3→＝AC 3→.14．(选做题)如图所示，在六棱柱ABCDEF ­A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．(1)化简A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→，并在图中标出化简结果的向量； (2)化简DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→，并在图中标出化简结果的向量． 解：(1)A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→＝AF →＋FE →＋AB →＋BB 1→＋CD →＋DC → ＝AE →＋AB 1→＋0 ＝AE →＋ED 1→ ＝AD 1→.AD 1→在图中所示如图．(2)DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→＝DE →＋EF →＋FD →＋BB 1→＋B 1D 1→ ＝DF →＋FD →＋BD 1→ ＝0＋BD 1→ ＝BD 1→.BD 1→在图中所示如图．。

第三章 3.1 3.1.1 3.1.2请同学们认真完成练案[20]A 级 基础巩固一、选择题1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于( D ) A ．DB →B ．AC →C ．AB →D ．BA →[解析] 解法一：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.解法二：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →) ＝DA →＋BD →＝BA →.2．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是( B ) A ．AB →＝BC →＋CD →B ．AB →－DC →＋BC →＝AD → C ．AD →＝AB →＋BC →＋DC →D ．BC →＝BD →－DC →[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．3．(2019－2020学年北京市房山区期末检测)在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是( B )A ．一个球B ．一个圆C ．半圆D ．一个点[解析] 平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．4．如图所示，已知A 、B 、C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →的为( C )A ．OA →＋2AB →＋2AC →B ．OA →－3AB →－2AC → C ．OA →＋3AB →－2AC →D ．OA →＋2AB →－3AC →[解析] 根据A 、B 、C 、P 四点共面的条件可知AP →＝xAB →＋yAC →.由图知x ＝3，y ＝－2，∴OP →＝OA →＋3AB →－2AC →，故选C ．5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( D )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14[解析] AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)．所以x ＝1，y ＝14.6．(2020·福建泉州市普通高中质量检测)如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，N 是A 1B 的中点，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则CN →＝( B )A ．12(a ＋b －c )B ．12(a ＋b ＋c )C ．a ＋b ＋12cD ．a ＋12(b ＋c )[解析] 本小题主要考查解空间向量的运算，若AB 中点为D ，CN →＝CD →＋DN →＝12(a ＋b ＋c )，故选B ．二、填空题7．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__0__.[解析] 解法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 解法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.8．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →，则x ＋y ＋z ＝__76__.[解析] 如图所示，有AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C →.又∵AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝13z ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝12z ＝－13.∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.三、解答题9．如图所示，在四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →； (2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.[解析] (1)原式＝AB →＋AA ′→＋AD →－AA ′→－AD →＝AB →.(2)原式＝CC ′→＋AD →－AA ′→＝AD →.10．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 在AC ′上，且AE ：EC ′＝1：2，点F 、G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，求下列各式中的x 、y 、z 的值．(1)AE →＝xAA ′→＋yAB →＋zAD →； (2)BF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →； (3)GF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →. [解析] (1)∵AE ：EC ′＝1：2， ∴AE →＝13AC ′→＝13(AB →＋BC →＋CC ′→)＝13(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝13AA ′→＋13AB →＋13AD →， ∴x ＝13，y ＝13，z ＝13.(2)∵F 为B ′D ′的中点，∴BF →＝12(BB ′→＋BD ′→)＝12(BB ′→＋BA →＋AA ′→＋A ′D ′→)＝12(2BB ′→＋BA →＋BC →)＝BB ′→＋12BA →＋12BC →， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝12.(3)∵G 、F 分别为BD ′、B ′D ′的中点， ∴GF →＝12BB ′→，∴x ＝12，y ＝0，z ＝0.B 级 素养提升一、选择题1．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( D ) A ．0 B ．3 C ．2＋2D ．2 2[解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c |＝2|AC →|＝2 2. 2．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，则MP →＋NC 1→＝( A )A ．32a ＋12b ＋32cB ．a ＋12cC ．12a ＋12b ＋cD ．32a ＋12b ＋12c[解析] MP →＋NC 1→＝12AA 1→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1→＝32AA 1→＋12AB →＋32AD →＝32a ＋12b ＋32c ，故选A ．3．(多选题)下列命题中假命题的是( ABD )A ．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆B ．若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝bC ．若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝pD ．空间中任意两个单位向量必相等[解析] A ．假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆．B ．假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但B 中向量a 与b 的方向不一定相同．C ．真命题．向量的相等满足递推规律．D ．假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错．4．(多选题)设{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列说法正确的是( BCD ) A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x a ＋y b ＋z cD ．{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }一定能构成空间的一个基底[解析] 对于A 选项，b 与a ，c 都垂直，a ，c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误．对于B 选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面，B 选项正确．对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确．对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面．假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设a ＋b ＝x (b ＋c )＋y ·(c ＋a )，化简得(x ＋y )c ＝(1－y )a ＋(1－x )b ，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底．所以D 选项正确．故选BCD ．二、填空题5．已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，则下列四式中：①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→；③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC →.正确的是__①②③④__.[解析] AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；∵AB →＋BB ′→＋BC →＝AC ′→，AC ′→＋C ′C →＝AC →，∴④正确．6．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM ：MC ＝2：1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ＝__－23__，y ＝__－16__，z ＝__16__.[解析] 在PD 上取一点F ，使PF ：FD ＝2：1，连接MF ，则MN →＝MF →＋FN →，∵FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP →＝16DP →＝16(AP →－AD →)，MF →＝23CD →＝23BA →＝－23AB →，∴MN →＝－23AB →－16AD→＋16AP →，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.三、解答题7．已知三个向量a 、b 、c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，向量p 、q 、r 是否共面？[解析] 假设存在实数λ、μ，使p ＝λq ＋μr ，则a ＋b －c ＝(2λ－7μ)a ＋(－3λ＋18μ)b ＋(－5λ＋22μ)c ，∵a ，b ，c 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ－7μ＝1－3λ＋18μ＝1－5λ＋22μ＝－1，∴⎩⎨⎧λ＝53μ＝13.即存在实数λ＝53，μ＝13，使p ＝λq ＋μr ，故p 、q 、r 共面．8．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E 、F 、B 三点共线．[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c . ∵A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c . ∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25(a －23b －c )．又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.所以E 、F 、B 三点共线．。

第三章 3.1.1空间向量及其加减运算一、选择题1．下列命题中，正确的有( )(1)若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (2)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(3)向量a 、b 相等的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |a ∥b ；(4)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件；(5)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] (1)正确．∵AB →＝DC →， ∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →.又∵A 、B 、C 、D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在▱ABCD 中，AB →＝DC →.(2)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c . (3)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (4)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .(5)不正确．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向．故选C. 2．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B ．AC → C.AB → D.BA → [答案] D[解析] 解法1：DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →.解法2：DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.3．已知空间向量AB →、BC →、CD →、AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD → B ．AB →－DC →＋BC →＝AD → C.AD →＝AB →＋BC →＋DC → D.BC →＝BD →－DC →[答案] B[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．4．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是( )A.OA →＋OB →＝AB →B.OA →＋OB →＝BA →C.AO →－OB →＝AB →D.OA →－OB →＝CD →[答案] D[解析] OA →－OB →＝BA →＝CD →，故选D.5．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C[解析] 利用向量相等的定义求解．6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( )①AB →＋BC →＋CC 1→ ②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→ ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→ ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] D[解析] 根据空间向量的加法法则以及正方体的性质，逐一进行判断：①AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②AA 1→＋B 1C 1→＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1； ③AB →－C 1C →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④AA 1→＋DC →＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； 所以，所给四个式子的运算结果都是AC 1→. 二、填空题7．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝__________. [答案] b －c －a[解析] A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a . 8．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__________. [答案] 0[解析] 方法1：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 方法2：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 三、解答题9.如图所示的是平行六面体ABCD —A1B 1C 1D 1，化简下列各式． (1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1→－AB →＋BC →.[解析] (1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→. (2)DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →)＝DD 1→－DB →＝BD 1→.10.在四棱柱ABCD —A ′B ′C ′D ′中，底面ABCD 为矩形，化简下列各式．(1)AB →＋BB ′→－D ′A ′→＋D ′D →－BC →；(2)AC ′→－AC →＋AD →－AA ′→.[解析] (1)原式＝AB →＋AA ′→＋AD →－AA ′→－AD →＝AB →. (2)原式＝CC ′→＋AD →－AA ′→＝AD →.一、选择题11．已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C ．2＋ 2 D ．2 2[答案] D[解析] 利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a ＋b ＋c |＝2|AC →|＝2 2. 12．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同；③真命题．向量的相等满足递推规律；④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错； ⑤假命题．零向量的方向是任意的．13．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0B.EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C.EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D.EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0 [答案] B[解析] EB →＋FC →＝EB →＋BF →＝EF →， EH →＋GE →＝GH →，易证四边形EFGH 为平行四边形， 故EF →＋GH →＝0，故选B.14．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC →B ．AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向 [答案] D 二、填空题15．已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则MN →用AB →、AC →、AD →表示的结果为________________________________．[答案] 12(AD →－AB →)[解析] MN →＝12BD →＝12(AD →－AB →)16．已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，则下列四式中： ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 正确的是__________． [答案] ①②③[解析] AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确；AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；∵AB →＋BB ′→＋BC →＝AC ′→，∴④不正确．三、解答题17.如图，在空间四边形ABCD 中，AB 的中点为E ，DC 的中点为F ，证明EF →＝12(AD →＋BC →)．[证明] 证法1：设AC 的中点为G ，连接EG ，FG . ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →.故EF →＝EG →＋GF →＝12(AD →＋BC →)．证法2：∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴EA →＋EB →＝0，DF →＋CF →＝0，∵EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →， ∴2EF →＝AD →＋BC →，∴EF →＝12(AD →＋BC →)．证法3：∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴GE →＝12(GA →＋GB →)，GF →＝12(GC →＋GD →)，∴EF →＝GF →－GE →＝12(GC →＋GD →－GA →－GB →)＝12[(GC →－GB →)＋(GD →－GA →)]＝12(BC →＋AD →)．。

空间向量及其加减运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·福州高二检测)空间两向量a,b互为相反向量,已知向量|b|=3,则下列结论正确的是( )A.a=bB.a+b为实数0C.a与b方向相同D.|a|=3【解析】选D.向量a,b互为相反向量,则a,b大小相同方向相反.故D正确.【误区警示】本题易错选B,原因是没有注意向量运算与实数运算的区别.2.已知空间向量,,,,则下列结论正确的是( )A.=+B.-+=C.=++D.=-【解析】选B.根据向量加法、减法运算可得B正确.3.(2014·天津高二检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,下列四对向量:①与;②与;③与;④与.其中互为相反向量的有n对,则n=( )A.1B.2C.3D.4【解题指南】主要从对应空间向量的大小与方向两个角度进行分析.【解析】选B.对于①与,③与大小相等,方向相反;②与大小相等,方向不相反;④与大小相等,方向相同.故互为相反向量的有2对.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为的是( )①(-)-;②(+)-;③(-)-;④(-)+.A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】选A.①(-)-=-=;②(+)-=-=;③(-)-=-≠;④(-)+=+≠.5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中(侧棱与底面边长不相等),与向量的模相等的向量(不包括向量)有( )A.1个B.2个C.5个D.11个【解析】选D.||=||=||=||=||=||,故向量,,,,,,,,,,与向量的模相等.【举一反三】若把题目中的条件“与向量的模相等的向量”改为“与向量相等的向量”,则结果如何?【解析】选A.与向量相等的向量只有.6.(2014·武汉高二检测)空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,D A边上的中点,则下列各式中成立的是( )A.+++=0B.+++=0C.+++=0D.-++=0【解析】选B.+=+=,+=,易证四边形EFGH为平行四边形,故+=0.二、填空题(每小题4分,共12分)7.式子(-)+运算的结果是.【解析】(-)+=(+)+=+=.答案:8.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,++= ;-+= .【解析】++=++=.-+=-(-)=-=.答案:【一题多解】由平行四边形法则可得+=,+=,故++=.-+=-+=+=.【变式训练】化简-+所得的结果是.【解析】-+=+=0.答案:09.如图在平行六面体AG中,①与;②与;③与;④与;四对向量中不是共线向量的序号为.【解析】由图形知与方向相同,大小相等为相等向量,且为共线向量;与方向不一致不共线;与所在直线相交不共线;与所在直线异面不共线.答案:②③④三、解答题(每小题10分,共20分)10.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)若A,B,C,D四点在一条直线上,则与共线.(2)互为相反向量的向量的模相等.(3)任一向量与它的相反向量不相等.【解析】(1)正确.因为A,B,C,D四点在一条直线上,所以与一定共线.(2)正确.相反向量的模相等,但方向是相反的.(3)不正确.零向量的相反向量仍是零向量,零向量与零向量是相等的.11.(2014·泰安高二检测)如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,化简(1)++.(2)++,并标出化简结果的向量.【解题指南】(1)利用向量加法法则,注意首尾相接.(2)利用向量相等的概念,注意向量的平移.【解析】(1)++=+=,如图中向量.(2)连接GF,++=++=+=,如图中向量.【变式训练】如图,在四棱柱A′B′C′D′-ABCD中,求证:++=.【证明】+=,+=,所以++=+=.在四棱柱A′B′C′D′-ABCD中,=,所以++=.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.空间任意四个点A,B,C,D,则+-等于( )A. B. C. D.【解析】选D.+-=+=-=.2.(2014·福州高二检测)下列命题中,正确的有( )(1)若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD是平行四边形的充要条件.(2)若a=b,b=c,则a=c.(3)向量a,b相等的充要条件是(4)|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.(1)正确.因为=,所以||=||且∥.又因为A,B,C,D不共线,所以四边形ABCD是平行四边形.反之,在平行四边形ABCD中,=.(2)正确.因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同.因为b=c,所以b,c的长度相等且方向相同.故a=c.(3)不正确.由a∥b,知a与b方向相同或相反.(4)正确.a=b⇒|a|=|b|,|a|=|b| a=b.故选C.3.(2014·西安高二检测)如图,在四棱柱的上底面ABCD中,=,则下列向量相等的是( )A.与B.与C.与D.与【解题指南】从向量的方向与大小两个角度分析.【解析】选D.因为=,所以||=||,AB∥DC,即四边形ABCD为平行四边形,由平行四边形的性质知,=.4.已知向量,,满足||=||+||,则( )A.=+B.=--C.与同向D.与同向【解析】选D.由条件可知,C在线段AB上,故D正确.【举一反三】若把条件“||=||+||”中的“+”改为“-”则结论如何? 【解析】选C.由条件可知,C在线段AB的延长线上,故C正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.对于空间中的非零向量,,,有下列各式:①+=;②-=;③||+||=||;④||-||=||.其中一定不成立的是.【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①:+=恒成立;对于③:当,,方向相同时,有||+||=||;对于④:当,,共线且与,方向相反时,有||-||=||.只有②一定不成立.答案:②6.(2014·泰安高二检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,①+与+是一对相反向量;②-与-是一对相反向量;③+++与+++是一对相反向量;④-与-是一对相反向量.则上述结论正确的有(填写正确命题的序号).【解析】因为与,与互为相反向量,所以+与+互为相反向量.故①正确;因为-=,-=,=,所以②不正确;又+++=+++=-(+++),所以③正确;因为-=,-=,=-,所以④正确.故填①③④.答案:①③④三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·大庆高二检测)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,化简:-+- +-.【解析】-+-+-=++=+=.【误区警示】对于向量减法理解错误致误,如-=易错,造成如下错解,-+-+-=++=++=+=.【拓展延伸】化减为加,避免出错掌握向量加法、减法的运算法则及向量的加法的交换律、结合律等基础知识,在求解时可把较杂乱的向量运算有序处理,必要时化减为加,降低出错率.8.已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,棱长为1,设=a,=b,=c,(1)用a,b,c表示向量.(2)试求向量a+b+c的模.【解题指南】注意把向量放到对应的平行四边形或三角形中,结合空间向量运算的平行四边形法则与三角形法则求解.【解析】(1)在三角形ACA′中,=-.在四边形ABCD中=+,又=,故=+-=a+b-c.(2)利用向量加法的平行四边形法则,结合正方体性质得a+b+c=++=+=,故|a+b+c|=||=.。

第三章课时作业一、选择题．在平行六面体—′′′′中，与向量的模相等的向量有( ) ．个．个．个．个解析：＝＝＝＝＝＝＝.答案：．已知正方体－的中心为，则在下列各结论中正确的结论共有( )①＋与＋是一对相反向量；②－与－是一对相反向量；③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；④－与－是一对相反向量．. 个. 个. 个. 个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．答案：．设有四边形，为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形是( ). 平行四边形. 空间四边形. 等腰梯形. 矩形解析：∵＋＝＋，∴＝.∴∥且＝.∴四边形为平行四边形．答案：．如果向量、、满足＝＋，则( ). ＝＋. ＝－－. 与同向. 与同向解析：∵＝＋∴、、共线且点在之间，即与同向．答案：二、填空题．在直三棱柱－中，若＝，＝，＝，则＝(用，，表示)．解析：＝－＝－(＋)＝－＋－.答案：－＋－．在长方体－′′′′中，化简向量表达式－＋－结果是．解析：＋－(＋)＝－＝.答案：．对于空间中的非零向量、、，有下列各式：①＋＝；②－＝；③＋＝；④－＝.其中一定不成立的是．解析：①＋＝恒成立；②－＝，故②不成立；③当、、方向相同时，有＋＝；④当、、共线且与、方向相反时，有－＝.故只有②一定不成立．答案：②三、解答题．如图，在长、宽、高分别为＝，＝，＝的长方体－中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中．()单位向量共有多少个？()写出模为的所有向量．()试写出的相反向量．解：()由于长方体的高为，所以长方体条高所对应的向量，，，，，，共个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为，故单位向量共个．()由于长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.()向量的相反向量为，，，.．如图所示，在平行六面体－中，设＝，＝，＝，、、分别是、、的中点，试用、、表示以下各向量：()；()；().解：()∵是的中点，∴＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋.。

§3.1.1 空间向量及其加减运算一、选择题1．下列命题:(1)若|a |＝|b |，则a ＝b ；(2)已知A ，B ，C ，D 是不共线的四点，若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(4)若|a|=|b|且a ∥b ，则a=b ； (5) 若 a ＝b ，则|a |＝|b|．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( )A ．AB →＋BC →＝AC →B ．AB →＋BC →＋CA →＝0 C ．AB →－AC →＝CB →D ．AB →＝－BA →3．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( )A ．AB →＝BC →＋CD → B ．AB →－DC →＋BC →＝AD →C ．AD →＝AB →＋BC →＋DC → D ．BC →＝BD →－DC →4．在平行六面体ABCD —A ‘B ’C ‘D ’中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→)的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c 6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中(1)(AB →＋BC →)＋CC 1→ (2)(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→ (3)(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→ (4)(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.运算的结果为向量AC 1→的共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向． 其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，则下列各式中成立的是( )A ．EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0 B ．EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0C ．EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0D ．EF →－FB →＋CG →＋GH →＝09．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →＝( )A ．－a －bB ．a ＋b C.12a －b D ．2(a －b )二、填空题10．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________.11．已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么AO →＝____.12．已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则MN →用AB →、AC →、AD →表示的结果为______________________．三、解答题13．如图所示的是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，化简下列各式．(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1→－AB →＋BC →.14．如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，求证EF →＝12(AB →＋DC →)．参考答案一、选择题1．[答案] C[解析] (1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．(2)正确．∵AB →＝DC →∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →.又∵A ，B ，C ，D 不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．(3)正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同．∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c .(4)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反．(5)正确．a ＝b ⇒|a |＝|b |，2．[答案] B[解析] 注意向量的和应该是零向量，而不是数0.3．[答案] B[解析] 根据向量加减法运算可得B 正确．4．[答案] C[解析] 利用向量相等的定义求解．5． [答案] A[解析] B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD → ＝A 1A →＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝－12a ＋12b ＋c .∴应选A. 6．[答案] D7．[答案] D[解析] ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同；③真命题．向量的相等满足递推规律；④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等，故④错；⑤假命题．零向量的方向是任意的．8．[答案] B[解析] EB →＋FC →＝EB →＋BF →＝EF →，EH →＋GE →＝GH →，易证四边形EFGH 为平行四边形，故EF →＋GH →＝0，9．[答案] A[解析] BC →＝BO →＋OC →＝BO →－OA →＝－b －a ，故选A.二、填空题10． [答案] b －c －a[解析] A 1B →＝CB →－CA →＝CB →－(CA →＋CC 1→)＝b －(a ＋c )＝b －c －a .11． [答案] OD →[解析] ∵D 为BC 中点，∴OB →＋OC →＝2OD →，又OB →＋OC →＝－2OA →∴OD →＝－OA →即OD →＝AO →.12．[答案] 12(AD →－AB →) [解析] MN →＝12BD →＝12(AD →－AB →) 三、解答题13．[解析] (1)AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→(2)DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →)＝DD 1→－DB →＝BD 1→14．[解析] 证明：EF →＝EA →＋AB →＋BF →，①EF →＝ED →＋DC →＋CF →，②①＋②，得2EF →＝(EA →＋AB →＋BF →)＋(ED →＋DC →＋CF →)＝AB →＋DC →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)．。

3.1。

1 空间向量及其加减运算课时跟踪检测一、选择题1．下列命题正确的有( ）①方向相反的两个向量是相反向量；②若A ，B ，C ,D 是不共线的四点，则错误!＝错误!是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件;③｜a |＝｜b |是向量a ＝b 的必要不充分条件;④错误!＝错误!的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：②③正确．答案:B2．设有四边形ABCD ,O 为空间任意一点，且AO →＋错误!＝错误!＋错误!，则四边形ABCD 是( ）A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：∵错误!＋错误!＝错误!＋错误!，∴错误!＝错误!。

∴AB ∥DC 且AB ＝DC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．答案:A3．(2019·甘肃武威十八中高二期末)空间中任意四个点A ，B ,C ，D ，则错误!＋错误!－错误! 等于（ ）A.错误!B ．错误!C 。

错误!D ．错误!解析：利用平面向量运算法则即可得出，错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.答案：C4．已知空间向量错误!，错误!，错误!，错误!,则下列结论正确的是（ ）A 。

错误!＝错误!＋错误!B.错误!－错误!＋错误!＝错误!C 。

错误!＝错误!＋错误!＋错误!D.错误!＝错误!－错误!解析：B 中，错误!－错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!。

答案:B5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量错误!的共有（ ) ①（错误!＋错误!)＋错误!;②(错误!＋错误!）＋错误!;③(错误!＋错误!）＋错误!；④（错误!＋错误!）＋错误!.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于①，(错误!＋错误!)＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!；对于②,（错误!＋错误!）＋错误!＝错误!；对于③，（错误!＋错误!）＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!;对于④,(错误!＋错误!)＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

3.1.1 空间向量及其加减运算[目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义．[重点] 空间向量加减运算及其几何意义．[难点] 向量加减运算由平面向空间的推广．知识点一空间向量的有关概念[填一填]1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模．4．几类特殊向量[答一答]1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量．2．如何理解零向量的方向？提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的．3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量．(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同．知识点二空间向量的加减运算[填一填][答一答]4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线．1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．类型一 空间向量的有关概念 【例1】 给出以下命题：①若a ，b 是空间向量，则|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；⑥空间中任意两个单位向量必相等． 其中，正确的命题序号是________． 【分析】 用空间向量的有关概念进行判断．【解析】 以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必须方向相同且模相等．但相等的向量起点不一定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故⑥错．【答案】 ①②④⑤与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关.(1)把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( C )A ．一个圆B ．两个孤立的点C ．一个球面D ．以上均不正确(2)下列命题中正确的个数是( C ) ①如果a ，b 是两个单位向量，则|a |＝|b |； ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同； ③若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．(2)对于①：由单位向量的定义即得|a |＝|b |＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．类型二 空间向量的加减运算【例2】 如图，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.【解】 (1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→， 又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， ∴x ＝12，y ＝12，z ＝1.灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路即沿几何体的边选择途径，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量，使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→.故选D. 类型三 有关向量的证明问题【例3】 求证：平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分． 【分析】 解决这个问题要充分利用课本上的一个结论，即平行六面体体对角线向量AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.【证明】 如下图，平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC ′→＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD ′→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)，AN →＝12(AB →＋AD →＋AA ′→)．由此可知O 、P 、M 、N 四点重合．故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分．利用向量解决立体几何问题的一般思路是：将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行目标运算，再将运算结果转化为要解决的问题.如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．解：如图，连结BG ，延长后交CD 于E ，由G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →.∵E 为CD 的中点， ∴BE →＝12BC →＋12BD →.∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)]＝13(AB →＋AC →＋AD →).1．判断下列命题中为真命题的是( A )A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：|AB →|＝|BA →|，故选项A 对；选项B 应为球面；选项C ，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D ，向量不相等有可能模相等．2．设A 、B 、C 为空间任意三点，则下列命题为假命题的是( C ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝BC →D.AB →＝－BA →3．如右图，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则BD ′→＝b－a ＋c ，A ′C →＝a ＋b －c .解析：BD ′→＝BD →＋DD ′→＝AD →－AB →＋AA ′→＝b －a ＋c ，A ′C →＝A ′A →＋AC →＝AB →＋AD →＋A ′A →＝a ＋b －c .4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是2AC →.5．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →；(2)∵E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，∴GD →＝BG →，GF →＝12BC →＝EC →，∴AB →＋GD →＋EC →＝AB→＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.。

3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算一、选择题1．【题文】在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-u u u r u u u r u u u r等于( )A ．OA u u u rB ．AB u u u rC ．OC u u u rD ．AC u u u r2．【题型】在空间四边形OABC 中，OA =u u u r a ，OB =u u u r b ，OC =u u u r c ，点M 在线段OA 上且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN u u u u r等于（）A ．121232-+a b cB ．112223+-a b cC ．211322-++a b cD ．221332+-a b c3．【题文】在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若23AC x AB yBC zC C ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则x y z ++等于( )A ．116B ．76C ．56D ．234.【题文】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算结果为向量1AC u u u u r 的是( )①()1AB BC CC ++u u u r u u u r u u u u r ；②()11111AA A D D C ++u u u r u u u u r u u u u r；③()111AB BB B C ++u u u r u u u r u u u u r ；④()11111AA A B B C ++u u u r u u u u r u u u u r .A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②③④5．【题文】已知空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 与AD 边上的点，M 、N 分别是BC 与CD 上的点，若AE AB λ=u u u r u u u r ，AF AD λ=u u u r u u u r ，CM CB μ=u u u ur u u u r ，CN CD μ=u u u r u u u r ，则向量EF u u u r 与MN u u u u r满足的关系为( )A. EF MN =u u u r u u u u rB. EF MN u u u r u u u u r PC ．EF MN =u u u r u u u u rD ．EF MN ≠u u u r u u u u r6．【题文】下列条件中使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A.2OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u rB.111532OM OA OB OC =++u u u ur u u u r u u u r u u u rC.MA MB MC ++=0u u u r u u u r u u u u rD.OM OA OB OC +++=0u u u u r u u u r u u u r u u u r7．【题文】空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则下列各式中成立的是( )A.EB BF EH GH +++=0u u u r u u u r u u u r u u u rB.EB FC EH GE +++=0u u u r u u u r u u u r u u u rC.EF FG EH GH +++=0u u u r u u u r u u u r u u u rD.EF FB CG GH -++=0u u u r u u u r u u u r u u u r8．【题文】对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r()x zOC y z ∈+R u u u r 、、，则1x y z ++=是四点P 、A 、B 、C 共面的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题9.【题文】已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则 AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r_____________.10．【题文】已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，四点共面，且234OA xBO yCO zDO =++u u u r u u u r u u u r u u u r，则234x y z ++=_____.11．【题文】已知平行六面体ABCD A B C D -''''，则下列四式中：①AB CB AC -=u u u r u u u r u u u r ；②AC AB B C CC ''''=++u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ； ③AA CC ''=u u u r u u u u r ；④AB BB BC C C AC '''+++=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r .正确式子的序号是________．三、解答题12.【题文】三棱柱111ABC A B C -中，M N 、分别是1A B 、11B C 上的点，且BM = 12A M ，112C N B N =.设AB =u u u r a ，AC =u u u r b ，1AA =u u u rc .试用,,a b c 表示向量MN u u u u r .13．【题文】点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ,,M N 分别是,PC PD 上的点，M 分PC 成定比，N 分PD 成定比，求满足MN =u u u u r x AB y AD z AP ++u u u r u u u r u u u r的实数,,x y z 的值．14．【题文】已知在四面体P ABCD -中，PA =u u u r a ，PB =u u u rb ，PC =u u u rc ，G ∈平面ABC ．证明：G 为△ABC 的重心的充分必要条件是()13PG =++u u u r a b c .3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算参考答案与解析一、选择题1．【答案】C【解析】OA AB CB OB CB OB BC OC +-=-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】C【解析】()1221123322MN ON OM OB OC OA =-=+-=-++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r a b c ，故选C.考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】较易 3． 【答案】B【解析】因为AC AC CC AB BC CC '''=+=++u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v ，23AC x AB yBC zC C ''=++u u u ur u u u r u u u r u u u u r ，所以111,,23x y z ===-，则76x y z ++=.考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】D【解析】①()111AB BC CC AC CC AC ++=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r；②()111111111AA A D D C AD D C AC ++=+=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ；③()1111111AB BB B C AB B C AC ++=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ；④()111111111AA A B B C AB B C AC ++=+=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r .考点：空间向量的运算. 【题型】选择题 【难度】较易 5．【答案】B【解析】AE AF AB AD DB λλλ-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即FE DB λ=u u u r u u u r.同理，NM DB μ=u u u u r u u u r .因为DB DB μλu u u r u u u r P ，所以FE NM u u u r u u u u r P ，即EF MN u u u r u u u u rP .又λ与μ的大小关系不确定，故MN u u u u r 与EF u u u r的大小关系不确定. 考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般 6． 【答案】C【解析】C 选项中MA MB MC =--u u u r u u u r u u u u r，∴点M 、A 、B 、C 共面，故选C.考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般7． 【答案】B【解析】∵GE EH GH +=u u u r u u u r u u u r ，FC EB BF EB EF +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，EF GH +=0u u u r u u u r，∴EB FC EH GE +++=0u u u r u u u r u u u r u u u r.考点：空间向量的加减运算. 【题型】选择题 【难度】一般 8． 【答案】C【解析】充分性：若1x y z ++=，则原式可变形为()1OP y z OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r，()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r，∴P 、A 、B 、C 四点共面．必要性：若P 、A 、B 、C 四点共面，则由共面向量定理的推论知对空间任一点O ，有OP OC sCA tCB =++u u u r u u u r u u u r u u u r(其中、是唯一的一对有序实数)． ∵CA OA OC =-u u u r u u u r u u u r ，CB OB OC =-u u u r u u u r u u u r ，∴()1OP s t OC sOA tOB =--++u u u r u u u r u u u r u u u r .令x =1s t --，y s =，z t =，则有1x y z ++=.考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】选择题 【难度】较难二、填空题 9.【答案】AD u u u r【解析】AB BC CD AC CD AD ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.考点：空间向量的加减运算. 【题型】填空题 【难度】较易 10． 【答案】−1【解析】∵A 、B 、C 、D 共面，∴OA OB BC BD λμ=++u u u r u u u r u u u r u u u r()()()1OB OC OB OD OB OB OC OD λμλμλμ=+-+-=--++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()1234BO CO DO xBO yCO zDO λμλμ=+---=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴()()()23411x y z λμλμ++=+-+-+-=-. 考点：空间向量的运算. 【题型】填空题 【难度】一般 11．【答案】①②③【解析】AB CB AB BC AC -=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，①正确；AB B C CC AB BC CC AC '''''++=++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r，②正确；③显然正确；AB BB BC C C AB B C C C AC C C AC ''''''''+++=++=+=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r，故④错误． 考点：空间向量的运算. 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12.【答案】111333MN =++u u u u r a b c【解析】11111111133MN MA A B B N BA AB B C =++=++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r()()1111133333=-++-=++c a a b a a b c . 考点：空间向量的数乘运算. 【题型】解答题 【难度】一般 13．【答案】211,,366x y z =-=-=【解析】取PC 的中点E ，连接NE ，则()12MN EN EM CD PM PE =-=--u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r()12111112322626CD PC PC CD PC AB AP AB AD ⎛⎫=--=-=---++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r 211366AB AD AP =--+u u u r u u u r u u u r ，通过比较知211,,366x y z =-=-=．考点：空间向量的加减运算，数乘运算. 【题型】解答题 【难度】一般 14．【答案】证明见解析【解析】证明：必要性：连接AG 并延长交BC 于D ，则D 平分BC ，且G 分AD 所成的比为21∶，从而23PG PA AG AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u ur a ，又()()()()1112222AD AB AC PB PA PC PA ⎡⎤=+=-+-=+-⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b c a ，故()()11233PG =++-=++u u u r a b c a a b c ．充分性：设D 分BC 所成的比为p ，G 分AD 所成的比为．则()11p p BD BC PC PB p p ==-++u u u ru u u r u u u r u u u r ，()11q q AG AD PD PA q q==-++u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以()1111p p PD PB BD PB PC PB PB PC p P p=+=+-=++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur ， 于是，1111q p PG PA AG PA PB PC PA q P p ⎛⎫=+=++-⎪+++⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ()()()()111111q pqPA PB PC q q p q p =+++++++u u u r u u u r u u u r ， 因为()13PG =++u u u r a b c ，故()()()()11111113q pq q q p q p ===+++++， 解得2q =，1p =，于是G 为△ABC 的重心．所以G 为△ABC 的重心的充分必要条件是()13PG =++u u u r a b c .考点：空间向量的运算. 【题型】解答题 【难度】较难。