两个平面垂直的判定和性质

高中数学第九章两个平面垂直的判定和性质（二）教学案苏教版一、素质教育目标(一)知识教学点1．两个平面垂直的性质定理．2．异面直线上两点间的距离公式．(二)能力训练点1．弄清反证法与同一法之间的关系，并会应用同一法证题，进一步培养学生的逻辑思维能力．2．掌握两个平面垂直的性质定理，理解面面垂直问题可能化为线面垂直的问题．3．异面直线上任意两点间的距离公式不仅可用于求其值，还可以证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离中最小的．另外，还可解决分别在二面角的面内两点的距离问题．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：掌握两个平面垂直的性质；会运用异面直线上两点间的距离公式．2．教学难点：异面直线上两点间距离公式的应用．3．教学疑点：(1)弄清反证法与同一法的联系与区别．(2)正确理解、应用异面直线上两点间的距离公式：EF＝三、课时安排本课题安排2课时．本节课为第二课时，主要讲解两个平面垂直的性质及异面直线上两点间的距离公式．四、教与学的过程设计(一)复习两个平面垂直的定义，判定师：什么是两个平面互相垂直？生：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．师：如何判定两个平面互相垂直？生：第一种方法根据定义，判定两个平面所成的二面角是直二面角；第二种方法是根据判定定理，判定其中一个平面内有一条直线垂直于另一个平面．(二)两个平面垂直的性质师：今天我们接着研究两个平面垂直的性质．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．已知：平面α⊥β，α∩β=CD，AB α且AB⊥CD于B．求证：AB⊥β．证明：在平面β内引直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．∵α⊥β，∴AB⊥BE．又∵AB⊥CD，∴AB⊥β．师：从性质定理可以得出，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题．例1 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β．求证：a α．师提示：要证明a α，一般用反证法，即否定结论→推出矛盾→肯定结论．下面请同学们写出它的证明过程．其中c为α与β的交线．∵α⊥β，∴b⊥β．又∵P∈α，P∈a，a⊥β，这与“过一点P有且只有一条直线与已知平面垂直”矛盾．∴a α．师：现在我们来看课本P．44的证明，这种方法叫同一法．什么是同一法呢？(幻灯显示)一个命题，如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的，那么原命题和它的逆命题中，只要有一个成立，另一个就一定成立，这个道理叫做同一法则．在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立的一种方法叫做同一法．同一法的一般步骤是什么？(幻灯显示)1．不从已知条件入手，而另作图形使它具有求证的结论中所提的特性；2．证明所作的图形的特性，与已知条件符合；3．因为已知条件和求证的结论所指的事物都是唯一的，从而推出所作的图形与已知条件要求的是一个东西，由此断定原命题成立．证明(同一法)：设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据上面的定理有b⊥β．因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直，所以直线a应与直线b重合．即a α．师：比较反证法与同一法，我们可以知道：凡可用同一法证明的命题也可用反证法来证；反证法可适用于各种命题，同一法只适用于符合同一法则的命题．另外，例1的结论也可作为两个平面垂直的另一个性质，可直接应用．下面请同学们一齐完成例2．(三)异面直线上两点间的距离例2 已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线段AA'的长度为d．在直线a、b上分别取点E、F，设，A'E＝m，AF＝n，求EF．解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和AA'的平面为β，α∩β＝c，则c∥a，因而b、c所成的角等于θ，且AA'⊥C．又∵AA'⊥b，∴AA'⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α，在平面β内作EG⊥C，则EG＝AA'．并且根据两个平面垂直的性质定理，EG⊥α．连结FG，则EG⊥FG．在Rt△FEG中．EF2＝EG2+FG2∵AG＝m，∴在△AFG中．FG2＝m2+n2-2mncosθ．又∵EG2=d2∴EF2=dw+m2+n2-2mncosθ．如果点F(或E)在点A(或A')的另一侧，则EF2＝d2+m2+n2+2mncosθ．师：例2不仅求出两条异面直线上任意两点间的距离公式，还解决了下面的三个问题：(1)证明了两条异面直线公垂线的存在性．(2)证明两条异面直线的距离是异面直线上两点的距离最小的．∵AA'＝EG，且AA'，EG是平面α的垂线，而EF是斜线，∴AA'＜EF．如在实际中，两条交叉的高压电线如果放电时，火花正是通过它们的最短距离．(3)也可以解决分别在二面角的面内两点的距离问题，请看下面练习．(四)练习在60°二面角的枝上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，利用异面直线上两点距离公式求CD．(P．45中练习3)∴AC与BD是异面直线．∵AB⊥AC交于点A，AB⊥BD交于点B，∴AB是AC、BD的公垂线，AC、BC所成角是60°．已知AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm．师点评：根据二面角的平面角来求异面直线上两点间的距离时，应用异面直线上两点间的距离公式一定要注意cosθ前正负号的选择(当θ≤90°时取“-”号)．(五)总结本节课我们学习了两个平面垂直的性质及异面直线上两点间距离的求法．正确理解、掌握异面直线上两点间的距离公式及其应用是本节课学习的关键．五、作业P．46中习题六9、10(2)、11、12．。

两个平面垂直的判定和性质知识要点1．二面角是立体几何中一个重要概念．同时也是一个难点，求二面角的大小可以转化为求二面角的平面角的大小、平面角的确定与求法通常有直接法和公式法等，其中直接法包括定义法、垂面法和三垂线定理等．公式法是运用异面直线上任两点距离公式和面积射影公式等．对于二面角的平面角的画法，在解题时应当根据具体情况适当选用．2.异面直线上任意两点间的距离公式，不仅可用于求值，还可用于证明两条异面直线问的距离是异面直线上两点距离中最小的．在公式的推导过程中还解决了如下问题：(1)两条异面直线公垂线的存在性；(2)证明了两条异面直线间的距离是异面直线上任意两点的距离中的最小值；(3)两条异面直线总分别存在于两个互相垂直的平面内．同时应用这个公式，也可以解决分别在二面角的两平面内两点的距离间题，以及求二面角的大小问题．典型题目分析例1．正方体中，E、F、G是A1A、CD、BC的中点。

求证：平面BEF⊥平面DGC1。

分析：确定EF在平面D1DCC1和ABCD上的射影，通过射影与DC1和DG的垂直，证明EF分别与DC1和DG垂直，从而推证EF⊥平面DGC1，即可证明平面DEF⊥平面DGC1。

证明：取D1D中点H，连结EH、HF。

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵E、H、F是A1A、D1D、DC中点，∴EH⊥平面D1DCC1，HF⊥DC1。

∵HF是EF在面D1DCC1上的射影，∴EF⊥DC1。

连结AF，在ΔADF和ΔDCG中AD=DC，∠ADF=∠DCG=90°，∵G是BC中点，∴DF=GC，∴ΔADF≌ΔDCG，∴∠DAF=∠GDC。

∵∠ADG+∠GDC=90°，∴∠DAF+∠ADG=90°，∴ AF⊥DG。

∵EA⊥平面ABCD，AF是EF在平面ABCD上的射影，∴ EF⊥DG。

∵ DC1∩DG=D，∴ EF⊥平面DGC1。

∵EF面BEF，∴平面BEF⊥平面DGC1。

面面垂直性质
性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交
线的直线垂直于另一个平面。

如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平
面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。

面面垂直
定义
若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两
个平面互相垂直。

性质定理
1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直
线垂直于另一个平面。

2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于
第二个平面的直线在第一个平面内。

3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于
第三个平面。

4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。

（判定定理推论1的逆定理）
线面垂直
定义
如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与
此平面互相垂直。

是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立
体几何数学思想方法。

在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。

判定定理
直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。