两个平面平行的判定和性质39

两平面平行的判定方法平面几何中，两平面平行是重要的概念，因为它涉及到许多实际问题，例如建筑、地图制作和制造业。

在本文中，我们将讨论10种不同的方法来判断两个平面是否平行，并提供详细说明。

1. 平行线性质法确定两个平面是否平行的最简单方法之一是检查它们所包含的直线。

如果两个平面包含两组平行直线，则这两个平面平行。

这被称为平行线性质。

平面上的平行线永远不会相交，而它们的距离始终相等。

2. 夹角相等法两个平面平行的另一种方法是它们的夹角相等。

当两个平面之间的夹角相等时，它们被认为是平行的。

这里需要注意的是，夹角是指两个平面的法线之间的角度。

3. 垂线判定法如果一条直线是第一个平面上的一条直线，并且以该直线垂直于第二个平面，则第一个平面和第二个平面是平行的。

垂线判定法基于这个原理。

这可通过将两个平面移到同一位置并在它们之间引入垂线来证明。

4. 辅助平面法辅助平面法是一种使用第三平面来判断两个平面平行的方法。

如果两个平面与第三个平面平行，则它们彼此平行。

该方法特别适用于设计要求多个平面平行的情况，例如构建多层建筑物。

5. 截线判定法如果一条直线是第一个平面和第二个平面上的两条直线的截线，则这两个平面平行。

截线判定法基于这个概念。

如果相交的两条线都是平面上的同一直线的截线，则这两个平面平行。

6. 倾斜角相等法倾斜角相等法是一种快速确定两个平面是否平行的方法。

如果两个平面的倾斜角相等，则这两个平面是平行的。

这种方法只能用于倾斜角相等的情况。

7. 向量法向量法是另一种判断两个平面是否平行的方法。

如果两个平面的法线向量相同，则它们是平行的。

将两个平面的向量相减，如果它们的值为零，则它们平行。

8. 距离法距离法是判断两个平面平行的一个简单方法，它基于平面之间的平行线性质。

如果两个平面的法线距离相等，则这两个平面平行。

用法线测量两个平面之间的距离，以确定它们是否平行。

9. 投影法投影法可以通过平面上点的投影来确定两个平面是否平行。

高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM ＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD ­A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ­ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形， 故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ­ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ­ABM 的体积V ＝V M ­P AB ＝V C ­P AB ＝V P ­ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ­ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N ­BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N ­BCM 的体积V N ­BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ­ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE .∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点．∴OE 为BD 的中垂线，∴BE ＝DE .(2)取BA 的中点N ，连接DN ，MN .∵M 为AE 的中点，∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形，N 为AB 的中点，∴DN ⊥AB .∵∠DCB ＝120°，DC ＝BC ，∴∠OBC ＝30°，∴∠CBN ＝90°，即BC ⊥AB ，∴DN ∥BC .∵DN ∩MN ＝N ，BC ∩BE ＝B ，∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ，∴DM ∥平面BEC .。

学科: 数学 年级：高二版本：人教版 期数：2331本周教学内容：第五节 两个平面平行的判定和性质 【基础知识精讲】1.两个平面的位置关系(1)两平面平行——没有公共点，若α与β平行，记作α∥β.(2)两平面相交——有一条公共直线，若α与β有交线a ，记作α∩β＝a. 注意：画两个互相平行的平面时，表示平面的两个平行四边形的对应边应画平行，如图：画两个相交平面时：(i)先画表示两个平面的平行四边形的相交的两边.(ii)再画出表示两个平面交线的线段；(iii)过第(i)步图中线段的端点分别引线段，使它平行且等于第(ii)步图中表示交线的线段.(iv)最后画表示两个平面的平行四边形的第四边，其演示过程如下：2.两个平面平行的判定(1)两个面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.a β,b β,a ∩b ＝A,a ∥α,b ∥α⇒α∥β. 在实际生活中要判断一个平面是否水平时，把水准器在该平面上交叉放两次如果汽泡居中，就可利用该定理判定该平面与水平面平行.(2)书中粗体字：垂直于同一直线的两个平面平行.也可以用来作面面平行的判定.即α⊥AA ′，β⊥AA ′⇒α∥β.3.两个平面平行的性质(i)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.这为线面平行进一步提供了证明方法，但分居两平行平面的直线有平行与异面两种可能.(ii)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.α∥β，γ∩α＝a,γ∩β＝b ⇒a ∥b.(iii)一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，它也垂直于另一个平面. (iv)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.4.两个平行平面的距离首先我们可以验证夹在两个平行平面间的平行线段相等.(1)两个平行平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线.这与两异面直线公垂线不同的是两平行平面的公垂线有无数条.根据线面垂直的性质定理可知这些公垂线相互平行.(2)两个平行平面的公垂线段：两个平行平面的公垂线夹在两平行平面间的部分.由上可知，两个平行平面的公垂线段都相等，我们把夹在两个平行平面间的公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.【重点难点解析】两个平面平行的判定和性质是本节的重点，平行平面间的距离是本节的重点概念，判定定理的证明是本节的难点，要深刻理解面面平行的概念和一些重要定理，在验证中应注意线线平行，线面平行，面面平行之间的相互转化.例1已知a、b是异面直线，a⊂α,a∥β,b⊂β,b∥α,求证α∥β.分析证明两个平面平行通常利用判定定理来证.证明如图，过a作任一平面γ和平面β交于a′,∵a∥β∴a∥a′.又a′⊂β,a′⊄α∴a′∥α且a′与b相交，∵b⊂β，b∥α.∴α∥β.另证设c是异面直线a、b的公垂线，则过a、c可以确定一个平面γ，设γ∩β＝a′∵α∥β，∴a′∥a,∵c⊥a,∴c⊥a′又∵c⊥b,a′,b相交，∴c⊥β同理可证：c⊥α，∴α∥β例2已知：平面α∥平面β，且aα，b平面β，a,b为两条异面直线.求证：异面直线a、b间的距离等于平面α，β之间的距离.证：设AB是异面直线a、b的公垂线段，如图过点B，作直线a′，使a′∥a.∵α∥β，a⊂β,∴a∥β,∴a′⊂β.∵AB⊥a,∴AB⊥a′又AB⊥b，且a′∩b＝B.∴AB⊥β∵α∥β，∴AB⊥α∴AB的长是平行平面α，β间的距离.说明求两异面直线间的距离有时可能转化为求两平行平面间的距离.例3如果一条直线和两个平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交.已知：α∥β,l∩α＝A.求证：l与β相交.证明：∵α∥β,l∩α＝A∴Aβ.假设l与β不相交，则l∥β在平面β内任取一点D，则D l.∴点D，l确定平面PBD，如图∵α与平面PBD相交于过A的一条直线AC，β与平面PBD相交于过点D的一条直线BD.又α∥β∴AC与BD无公共点.∵AC和BD都在平面PBD内，∴AC∥BD.由l∥β可知l∥BD.∴AC∥l且l与AC相交于A.∴AC与l重合，又AC在平面α内.∴l在α内与l∩α＝A矛盾.∴假设不成立，∴l与β必相交.例4如图，正四棱锥S—ABCD的底面积长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC 上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长.分析要求出PQ的长，一般设法构造三角形，使PQ为其一边，然后通过解三角形的办法去处理.作PM ∥AD 交CD 于M 连QM ，∵PM ∥平面SAD ，PQ ∥平面SAD.∴平面PQM ∥平面SAD ，而平面SCD 分别与此两平行平面相交于QM ，SD. ∴QM ∥SD.∵BC ＝a,SD ＝2a.∴PD BP ＝21. ∴BC MP ＝BD PD ＝32,MP ＝32a, SD MQ ＝CDMC ＝BD BP ＝31.∴MQ ＝31SD ＝32a,又∠PMQ ＝∠ADS.∴cos ∠PMQ ＝cos ∠ADS ＝a a221＝41. 在ΔPMQ 中由余弦定理得 PQ 2＝(32a)2+(32a)2-2·32a ·32a ·41＝96a 2. ∴PQ ＝36a. 评析：本题的关键是运用面面平行的判定和性质，结合平行线截比例线段定理，最后由余弦定理求得结果，综合性较强.例5 已知：如图，α∥β，异面直线AB 、CD 和平面α、β分别交于A 、B 、C 、D 四点，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：(1)E 、F 、G 、H 共面；(2)面EFGH ∥平面α.证明 (1)∵E 、H 分别是AB 、DA 的中点，∴EH ∥21BD.同理FG ∥21BD.∴FG ∥EH.∴四边形EFGH 是平行四边形，即E 、F 、H 、G 共面.(2)平面ABD 和平面α有一个公共点A ，设两平面交于过点A 的直线AD ′∴α∥β，∴ AD ′∥BD.又∵BD ∥EH ，∴EH ∥BD ∥AD ′.∴EH ∥平面α，EH ∥平面β，同理EF ∥平面α，EF ∥平面β.∴平面EFHG ∥平面α∥平面β.【难题巧解点拨】例1 点A 为异面直线a 、b 外一点，过A 与a 、b 都平行的平面( ) A.只有一个 B.只有两个 C.至多有一个 D.有无数个分析：本题考查线线位置关系，线面位置关系，平面基本性质，以及空间想象能力解法一：过点A 作a ′∥a,b ′∥b ，根据公理3，a ′与b ′确定一个平面为α，则异面直线a 与b 至多有一条在α内，当a 、b 都不在α内时，过A 与a 、b 都平行的平面恰有一个，即α；当a 、b 中有一条在α内时，过A 与a 、b 都平行的平面不存在，故选C.解法二：过异面直线a 、b 分别作平面α、β使α∥β，若点A 在α或β上，则过A 与a 、b 都平行的平面不存在；若点A 在α外且在β上，则过A 恰有一个平面平行于α、β，则过点A 与a 、b 都平行的平面恰有一个.例2 有四个命题(1)一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行 (2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行 (3)平行于同一平面的两条直线平行(4)如果直线a ∥平面α，a ⊂平面β，且α∩β＝b,则a ∥b. 其中假命题共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解 此题考查线线位置关系和线面位置关系，以及空间想象能力.一条直线和另一条直线平行，它可能在经过另一条直线的平面内，故(1)是假命题.一条直线和另一个平面平行，它与这个平面的直线可能平行，也可能异面，故(2)也是假命题，平行于同一平面的两条直线，也可能平行，也可能异面或相交，故(3)也是假命题，而命题(4)是真命题，也是线面平行的性质定理.例3 已知直线a 、b 、c ，平面α∩平面β＝a,b ⊂α，c ⊂β，且b 与c 无公共点，则b 与c 不平行的充要条件是( )A.b 、c 都与α相交B.b 、c 中只有一条与α相交C.b 、c 中至多一条与α相交D.b 、c 中至少有一条与α相交分析：本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，充要条件，以及空间想象能力和等价转化能力.解法一：若直线b 与c 不平行，又由b 与c 无公共点，则b 与c 必定异面，根据异面直线的定义和线面位置关系可知或者b 与c 都与a 相交，或者b 、c 中有一条与a 相交，另一条与a 平行，即b 、c 中至少有一条与α相交，即D 成立；反之，当D 成立时，不难证明b 与c 必不平行，所以应选D.解法二：由题设及异面直线的定义可知，若b 、c 都与a 相交能推出b 与c 异面，即b 与c 不平行；反过来，b 与c 不平行不一定推出b 、c 都与a 相交，即A 是充分非必要条件，而不是充要条件，同理，B 也是充分非必要条件，而非充要条件，又由b 、c 中至多有一条与a 相交，包含b 、c 中有一条与a 相交和b 、c 都不与a 相交两种情形，而对于后者，即b ∥a 且c ∥a ，则b ∥c.故c 既非充分又非必要条件，综上所述，排除A 、B 、C 三个选择项，从而选择D.例4 已知A ，B ∈平面α，C ，D ∈平面β，α∥β，AB ＝13，BD ＝15，AC 、BD 在平面α上的射影长之和是14，求AC 、BD 在平面α上的射影长，以及平面α、β的距离.解 如图，设α、β的距离是h ，则AC 在α内的射影长是2213h -，BD 在α内的射影长是2215h -.根据题意，2213h -+2215h -＝14. 解这个方程，h ＝12.∴ 2213h -＝5, 2215h -＝9.故AC 、BD 在平面α上的射影长分别是5和9，平面α、β的距离是12.点评 平行平面间距离通常转化为点面距离或线面距离最终转化为点面距离.例5 如图，已知线段PQ 、PD 、QF 分别和平行平面α、β交于A 、B 、C 、D 、E 、F ，若AP ＝BQ ，求证：S ΔACF ＝S ΔBDE .略证 由已知得AC ∥BD ，EB ∥AF ，∠CAF ＝∠EBD ，又AC ∶BD ＝PA ∶PB ＝QB ∶QA ＝EB ∶AF ，∴AC ·AF ·sin ∠CAF ＝BE ·BD ·sin ∠DBE.∴S ΔACF ＝S ΔBDE .例6 如图，在三棱锥S —ABC 中，A 1、B 1、C 1分别是ΔSBC 、ΔSCA 、ΔSAB 的重心，(1)求证：平面A 1B 1C 1∥平面ABC ；(2)求三棱锥S —A 1B 1C 1与S —ABC 体积之比.分析：本题显然应由三角形重心的性质，结合成比例线段的关系推导出“线线平行”再到“线面平行”到“面面平行”，至于体积的比的计算只要能求出相似三角形面积的比和对应高的比就可以了.证：(1)：∵ A 1、B 1、C 1是ΔSBC 、ΔSCA 、ΔSAB 的重心，连SA 1、SC 1并延长交BC 、AB 于N 、M ，则N 、M 必是BC 和AB 的中点.连MN∵SMSC 1＝SN SA 1＝32， ∴A 1C 1∥MN.∵MN ⊂平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC.同理可证 A 1B 1∥平面ABC. ∴ 平面A 1B 1C 1∥平面ABC. (2)由(1)MN C A 11＝32，MN ∥21AC ， ∴A 1C 1∥31AC. 同理可证：A 1B 1∥1AB ， B 1C 1∥1BC. ∴ ΔA 1B 1C 1∽ΔABC ， S 111C B A △＝91S ΔABC . 设三棱锥S —ABC 的高为h ，S —A 1B 1C 1的高为h 1则有：h h 1＝SN SA 1＝32,∴h 1＝32h.∴ABCS C B A S V V --111＝h S hS ABC ABC ⋅⋅⋅⋅△△91313231＝272. 评析：要掌握线面平行的相互转化的思想方法外，还要有扎实的相似形和线段成比例的基础.例7 如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求证：(1)平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；(2)对角线A 1C 被平面AB 1D 1和平面C 1BD 三等分.分析：本题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条相交的直线平行，则两平面平行”是很容易解决论证平面AB 1D 1∥平面C 1BD 的，但兼顾考虑(2)的论证，(1)我们还是采用“两平面垂直于同一直线则两平面平行”的判定的方法.证：(1)连AC ，∵BD ⊥AC ，AC 是A 1C 在底面上的射影，由三条垂线定理得A 1C ⊥BD ，同理可证A 1C ⊥BC 1.∴A 1C ⊥平面C 1BD ，同理也能证得A 1C ⊥平面AB 1D 1. ∴平面AB 1D 1∥平面C 1BD.(2)设A 1到平面AB 1D 1的距离为h ，正方体的棱长为a ，则有：31h ·43(2a)2＝31a · 21a 2. ∴h ＝33a.同理C 到平面C 1BD 的距离也为33a ，而A 1C ＝3a.故A 1C 被两平行平面三等分.评析：论证A 1C 被两平行平面三等分，关键是求A 1到平面AB 1D 1的距离，C 到平面C 1BD 的距离，这里用三棱锥体积的代换，若不用体积代换，则可以在平面A 1ACC 1中去考虑：连A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，AC ∩BD ＝0，如图连AO 1，C 1O ，AC 1，设AC 1∩A 1C ＝K.A 1C ∩AO 1＝M ，C 1O ∩A 1C ＝N.可证M 为ΔA 1AC 1的重心，N 为ΔACC 1的重心，则可推知MN ＝NC ＝A 1M.另外值得说明的是：A 1C 是面AB 1D 1和面BC 1D 的公垂线. 异面直线AD 1和C 1D 的距离也等于MN.例8 如图，已知直线a ∥平面α；求证：过a 有且只有一个平面平行于α.证明 (1)存在性：设过a的平面γ与α交于a′，∵a∥α，∴a∥a′.在α上，设直线b′∩a′＝A′,在a上取点A，A与b′确定平面δ，在δ上过A作b∥b′.则a、b是相交直线(若重合，则显然b′∥a′，矛盾).∴a,b确定平面β，则β∥α.(2)唯一性：设过a还有一个平面π∥α，∵π与δ有公共点A，∴π与δ相交于过A 的直线b″，又π∥a，δ∩b′，∴b″∥b′,∴b″∥b,而b″与b都过点A，故重合，故π与β重合.【课本难题解答】1.经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.已知：Aα，A∈β，β∥α求证：β是唯一的.证：设l过A点，且l⊥α，这样的直线是唯一的.又β∥α，则β⊥l，过点A与α平面的平行一定和l垂直.∵过点A和直线l垂直的平面是唯一的.∴过点A和α平行的平面是唯一的.2.一条直线和两个平行平面相交，求证：它和两个平面所成的角相等.已知：α∥β，直线a分别与α和β相交于点A和A′.求证：a与α所成的角与a与β所成的角相等.(1)当a⊥α时，∵α∥β，∴α⊥β.即a与α所成的角与a与β所成的角都是直角.(2)当a是α的斜线时，如图，设P是a上不同于A、A′的任意一点，过点P引a′⊥α, a′∩α＝B,a′∩β＝B′.连结AB和A′B′.∵α∥β，a′⊥α.∴a′⊥β由此可知，∠PAB是a和α所成的角，∠P′A′B是a和β所成的角，而AB∥A′B′.∴∠PAB＝∠PA′B′即 a和α所成的角等于a和β所成的角.3.a 和b 是两条异面直线，求证：过a 且平行b 的平面必平行于过b 且平行于a 的平面. 已知：a,b 是异面直线，a ⊂α，b ⊂β,a ∥β,b ∥α. 求证：α∥β.证：过b 作平面γ与平面α交于b ′4.如图，直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截. 求证：BC AB ＝EFDE 证：(i)当AC ，DF 共面S 时，连AD ，BE ，CF 则AD ∥BE ∥CF 从而BC AB ＝EFDE (ii)当AC 、DE 异面时，连CD 设CD ∩β＝G 连AD 、BG 、GE 、CF ，如图∵α∥β 平面ACD ∩β＝BG ，平面ACD ∩α＝AD. ∴BG ∥AD ∴BCAB ＝GC DG同理可证：EG ∥CF ，∴GCDG ＝EF DE∴BC AB ＝EFDE 综合(i)(ii)知：BC AB ＝EF DE .【命题趋势分析】本节应掌握两平面平行的概念、判定定理及性质定理，能运用这些概念、定理进行论证和解决有关问题.面面平行这一节直接出题的情况不多，各年高考中基本上都与其他章节知识综合出题，常以同学科知识间的单综合形式命题.【典型热点考题】例1 设直线a 在平面α内，则“平面α∥平面β”是“直线a ∥平面β”的( )条件A.充分但不必要B.必要但不充分C.充分且必要D.不充分也不必要解 若α∥β，∵a α，∴a 与β无公共点，∴a ∥β.若a ∥β，a α，则α，β的关系不能确定，所以应选A.例2 设a 、b 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是( )A.经过直线a 有且只有一个平面平行于直线bB.经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线bC.存在分别经过直线a 和b 的两个互相平行的平面D.存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面解 A 、C 、D 均为真命题，B 为假命题；∵若过a 的平面α⊥b,则b 垂直α内的直线a ，从而a ⊥b ，那么限制a,b 必须垂直，而条件中没有指明a 、b 是否垂直.例3 α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可以判定平面α∥β的是( )A.α、β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l 、m 是α内的直线，且l ∥β，m ∥βD.l 、m 是两条异面直线，且l ∥α,l ∥β,m ∥α,m ∥β解 显然B 、C 不能推出α∥β，有α、β相交的情况存在，对于A 、D ，学了“面面垂直”后，就可以说明A 不能推出α∥β，α、β有相交的可能，从而选D.事实上，l ∥α，m ∥α，在α内任取一点A ，过A 作l ′∥l ，m ′∥m,因为l,m 异面，所以l ′,m ′相交，则可推出l ′∥β，m ′∥β.由面面平行的判定定理可推出α∥β.本周强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.一直线平行于两个平行平面中的一个，必与另一个( )A.平行B.相交C.平行或相交D.平行或在平面内2.平行于同一个平面的两个平面( )A.平行B.平行或者重合C.有可能相交D.以上都不对3.若平面α∥β，a α，b β，则a 与b( )A.平行B.异面C.平行或异面D.以上都不对4.两个平面都与二条直线平行，则这两个平面( )A.平行B.平行或相交C.相交D.以上都不对5.若平面α与两异面直线所成角相等，平面β与它们所成的角也相等，则α与β( )A.平行B.平行或相交C.相交D.以上都不对6.若a 、b 为异面直线，P 为空间一点，过P( )A.必可作一个平面与a 、b 都平行B.最多可作一个平面与a 、b 都平行C.可作一个平面与a 、b 都垂直D.可作一个平面与a 、b 都成定角α(0＜α＜2π)7.若空间三个不同的平面两两相交，则( )A.不可能只有两条交线B.必定相交于一点C.必定相交于一条直线D.必相交于三条平行直线8.下列命题中正确的是( )A.过平面外一点平行于此平面的直线在同一平面内B.平行于同一个平面的两条直线平行C.直线在平面外就是直线与平面没有交点D.空间两个平面不平行便垂直9.使平面α和平面β平行的条件是( )A.平面α内有无穷多条直线都与平面β平行B.直线a ∥α,a ∥β，且直线a 不在平面α内也不在平面β内C.直线a ⊂α直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥βD.平面M 内的任何直线都与平面N 平行10.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过P 点的两条直线PAC 、PBD 分别交α于A 、B ，交β于C 、D ，且PA ＝6，AC ＝9，AB ＝8，则CD 的长为( )A.20B.4C.12D.20或411.a、b为互不垂直的两异面直线，过a、b分别作平面α、β，那么下列四种情形中：①b∥α;②b⊥α；③α∥β;④α⊥β，不可能出现的情形有( )A.1种B.2种C.3种D.4种12.已知AB、CD是夹在两平行平面α、β间的两条线段，AB⊥CD，｜AB｜＝2，AB与平面α成30°的角，则线段CD的长度范围是( )A.(332，23) B.［332,+∞］C.(1，332) D.［1,+∞)二、填空题1.若直线l与平面α，β所成的角均为θ，则α与β .2.若直线a∥直线b,a⊂α，b⊂β，则平面α与β .3.若平面α∩平面β＝1，A∈1,B∈1,AC⊂α，BD⊂β，则AC，BD .4.夹在两个互相平行的平面间有一条长4cm的垂线和一条长6cm的斜线，在每一个平面内，这两线段端点的距离都是3cm，则这垂线中点到斜线中点的距离是 .5.已知平面α∥平面β，在α内取四个点，在β内取三个点，这七个点最多可以确定_______个与α和β都相交的平面.三、解答题1.两条直线与两个平行平面相交，求证夹在两平行平面间的两条线段的中点的连线与两个平面平行.2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)AP⊥MN；(2)平面MNP∥平面A1BD.【素质优化训练】1.如图，空间折线ABCD的各段分别交两个平行平面α，β于点M、M′、N、N′、P、P′，已知｜BN′｜＝16,｜CN｜＝9,｜MN′｜＝12,SΔMNP＝72.求SΔM′N′P′的值是多少?2.已知平面α∥平面β，AB、CD为夹在平面α、β之间的线段，并且AB+CD＝342.AB、CD在β内的射影分别为78，36.求平面α，β之间的距离.3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、M、N、Q分别为棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中点.求证：平面EFG∥平面MNQ.4.试证明：平行且相等的三条线段，如果不在同一平面内，那么它们对应端点所在的两个平面平行.5.以空间一点O为中点作三条不共面线段，AA1、BB1、CC1，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.6.两条异面直线AC，DF，依次与三个平行平面α、β、r相交于A、B、C和D、E、F，又AF，CD与平面β的交点为G，H，求证：HEGB为平行四边形.7.夹在两个平行平面α、β间有一条长8cm的垂线段AB和一条长12cm的斜线段CD，其中A、B为垂足，C、D为斜足，若AC＝BD＝6cm，E为AB中点，F为CD中点，求EF的长度.【生活实际运用】长方体AC1容器内注入一定数量的水以后，把容器底面一边BC置于水平桌面上，再将容器倾斜，当水面与长方形的四条侧棱分别交于E、F、G、H四点时(如图所示)，随着倾斜角度的变化，如下四个命题：①水的部分ABCDEFGH始终是直棱柱；②水面EFGH始终与棱A1D1平行；③水面EFGH的面积始终保持不变；④AE+BF始终不变其中正确的命题是( )A.①②B.①③C.①②③D.①②④提示：水平EFGH始终平行水平桌面，EH∥AD∥GF.从而②正确.AD⊥面A1B，从而①正确，因为水的体积未变，把面ABFE当作底面，高AD没发生改变，从而ABFE的面积没有变，则AE+BF始终不变，从而④正确，由S射＝S·cosθ知，随着角度的变化，而EFGH的射影面积始终是ABCD，所以EFGH的面积在发生变化，从而③不正确.∴应选D.【知识验证实验】小明到他父亲的木工房，看到一个如图所示，棱长为50cm的立方体工件，从立方体的前、后、左、右、上、下看，都有两个相通的正方形孔，请你算一算这个立体剩下的体积是多少?解 若没有孔的话，体积应为503＝125000(cm 3)，现在前后、左右、上下有6个“通孔”，每一个体积为10×10×50＝5000(cm)3，还应当看到任一“通孔”与另外两个“通孔”有交叉部分，这样共有6个交叉部分，每个部分体积为10×10×10＝1000(cm 3)，所以，所求体积为503-6×5000+6×103＝101000(cm 3).【知识探究学习】已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中：(1)若AB ＝5，AA 1＝4，AD ＝3.试求在长方体表面上从A 到C 1的最短路线.(2)若AB ＝a,AA 1＝b,AD ＝c ，且a ＞b ＞c ，试求长方体表面上从A 到C 1的最短距离.解 (1)将有关平面折直.(i)沿表面经过A 1D 1(或BC)到C 1点：AC 1＝212DC AD +＝22)54(3++＝90(ii)沿表面经过A 1B 1(或DC)到C 1点AC 1＝212BC AB +＝22)43(5++＝74(iii)沿表面经过B 1B(或DD 1)到C 1点AC 1＝212CC AC +＝224)35(++＝80从而，从A 经A 1B 1(或CD)到C 1距离最短，从而最短距离为74(2)由(1)的解及a ＞b ＞c 可知：22)(c b a ++＜22)(c a b ++＜22)(b a c ++即从A 点经过A 1B 1(或CD)到达C 1的路线最短. 其最短长度为22)(c b a ++参考答案【同步达纲练习】1.D2.A3.C4.B5.B6.B7.A8.A9.D 10.D 11.B 12.B二、1.若θ＝2π时，α∥β，若θ≠2π时，α、β平行或相交. 2.平行或相交.3.异面4.2cm5.30三、1.提示：分两种情况考虑.(i)当两直线共面时，可利用面面平行的性质定理进行证明；(ii)当两直线异面时，可利用面面平行的判定定理证明.(可参考课本难题解答第4题)2.(1)提示：AP 在平面BC 1内的射影BC 1⊥MN.∴AP ⊥MN(2)利用面面平行的判定定理.【素质优化训练】1.962.1603.略4.略5.略6.提示：连结AD ，证明BH ∥GE.7.4cm。

两平面平行的判定定理平面几何是现代数学的分支之一，其中最基础的就是平面的定义和性质，而两平面是否平行就是平面几何中经常使用到的问题之一。

定义：两平面平行的定义是指两个不重合的平面，它们之间没有任何交点。

判定两平面平行的方法有很多，下面我们将介绍几种常见的方法。

方法一：点斜式法点斜式方法是一种基于向量的证明方法，我们需要用向量来描述平面的特性。

1. 假设有两个平面A和B。

2. 确定平面A上的一点P、以及平面B上的一点Q。

3. 确定平面A上的一向量V1，以及平面B上的一个向量V2，使得V1与V2平行。

4. 根据点斜式公式，平面A上的向量可以表示为P+V1t，平面B上的向量可以表示为Q+V2t，其中t为实数。

5. 假设P+V1t和Q+V2t在某个时刻t0时相遇了，那么它们就可以表示为一个点，也就是P+V1t0=Q+V2t0。

6. 将上述等式转化为向量形式，即(P-Q)=V2t0-V1t0，由于V1与V2并行，所以它们的向量差为0，故可得(P-Q)=0，即P=Q。

7. 由此可以看出，如果两个平面上同时存在一个点，且这两个平面上的向量相等，则这两个平面平行。

方法二：法向量法法向量法是判定两平面平行的基本方法之一，它是基于平面垂直于法向量的特性。

1. 假设有两个平面A和B。

2. 分别求出平面A和平面B的法向量n1和n2。

3. 如果n1与n2平行，则A和B平行。

4. 如果平面A上任意一点P，以n1为法向量做垂线，所得的直线与平面B 垂直，那么A和B平行。

5. 如果平面B上任意一点Q，以n2为法向量做垂线，所得的直线与平面A 垂直，那么A和B平行。

方法三：斜率法斜率法是求解两平面是否平行的一种简单易懂的方法，但是在判定斜率是否相等时可能会出现一些误差。

1. 假设有两个平面A和B。

2. 分别选择平面A上的一条直线L1，以及平面B上的一条直线L2。

3. 求出L1和L2的斜率k1和k2。

4. 如果k1与k2相等，则A和B平行。