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两个平面垂直的判定和性质二精修订

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两个平面垂直的判定和性质.ppt

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3、性质定理(1)：
如果两个平面垂直，那么在一个
平面内垂直于它们交线的直线垂直于
另一个平面
在β内引直线BE⊥CD,垂足为B,
A
则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角
D
由α⊥β知,AB⊥BE
B
E
C
又AB⊥CD 而BE和CD是β内的两条相交直线
所以AB⊥β
面面垂直
线面垂直
面面垂直的性质定理（2）：
如果两个平面垂直，那么经过第一个 平面内一点垂直于第二个平面的直线，在 第一个平面内。
C
A
O
D
cb
O
小结：
线面垂直 面面垂直
关键
在一平面内找另一平面的垂线
例1、已知：四面体ABCD，AB=AD， AB⊥BC，AD⊥DC，E为BD中点；
求证：（1）平面AEC⊥平面ABD； （2）平面AEC⊥平面BCE。
A
B
C
E D
例2、
已知矩形ABCD中AB=2AD，E为AB的
中点，将△AED沿DE折起，
A B
N
D
A
E M
C
例4.如图：AD为锐角三角形ABC的高，E是AD上 一点,且AE= 1/2 ED，过E作直线MN//BC，交AB， BC于M，N，沿MN将AMN折起到AMN ,使 AED=60，求证：平面AMN平面ABC
面面垂直
线面垂直 A
N
A
E M
线线垂直
B D C
例5.如图，平面平面=a，平面， 平 面，和又同时平行直线b，求证：（1）a
的一条垂线，那么这两个平面互相
垂直。
A
D
B
C
线面垂直
面面垂直

平面与平面垂直的判定和性质ppt课件

平面与平面垂直的判定和性质ppt课件

α A
D
β
B
C
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12
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
完整版PPT课件
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
完整版PPT课件
α A
D
B
C
β
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
A B A B。
请判断命题的真假。
完整版PPT课件
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
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β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即Leabharlann αAB CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
1)求证：平面PAC平面PBC；
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
大
小
。
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9
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那 么这两个平面相互垂直。
α A
D
B C
β
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两个平面垂直的判定和性质

两个平面垂直的判定和性质
C A D B
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ， 所以△ 是 直角三角形， 直角三角形， 在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中 所以CD的长为 所以 的长为13cm. 的长为
β β α α
2． 平面与平面垂直的判定定理： ． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面 文字语言： 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言： 图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， 符号语言： ⊥ ， ， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面 平面 ；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为 ）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以 ，所以BC= 2 a， ， 所以 BD=DC=
2 2
a， ，
△BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以AB=AC=BC， ， 所以 因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1． 下列命题中正确的是（ C ） ． 下列命题中正确的是（ 分别过两条互相垂直的直线， （A）平面 和β分别过两条互相垂直的直线， ）平面α和 分别过两条互相垂直的直线 则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （B）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条平行直线， 的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （C）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条相交直线， 的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （D）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的无数条直线， 的无数条直线，则α⊥β ⊥

高中数学必修二6.面面垂直性质判定

高中数学必修二6.面面垂直性质判定

授课内容 面面垂直的判定性质教学内容知识梳理一、面面垂直的判定定理1、文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2、符号语言：βααβ⊥⇒⊥⊂l l ,3、图形语言：二、面面垂直的性质定理1、文字语言：两个平面垂直，如果其中一个平面存在垂直于交线的直线，则这条直线也垂直于另一个平面。

2、符号语言：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥l m l l m ,,,3、图形语言：三、二面角1、半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做半平面。

2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

3、二面角的大小：以二面角棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条射线组成的角，叫做二面角的平面角。

4、二面角的找法：①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线。

②垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，平面与二面角所成的两条射线组成的角，即为二面角的平面角。

③垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角专题精讲二、面面垂直的判定定理4、文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

5、符号语言：βααβ⊥⇒⊥⊂l l ,6、图形语言：三、面面垂直的性质定理4、文字语言：两个平面垂直，如果其中一个平面存在垂直于交线的直线，则这条直线也垂直于另一个平面。

5、符号语言：βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⊥l m l l m ,,,6、图形语言：三、二面角1、半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中每一部分叫做半平面。

2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

3、二面角的大小：以二面角棱上任意一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线，两条射线组成的角，叫做二面角的平面角。

4、二面角的找法：①定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线。

②垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，平面与二面角所成的两条射线组成的角，即为二面角的平面角。

两个平面垂直的判定与性质(第1课时)课件

两个平面垂直的判定与性质(第1课时)课件

例2.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第 一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必
已 在第:一 个知 平,P 面 内,.P a ,a .求 :a 证 .
P
ba
ba
c
cP
例 3.A B 是 圆 O 的 直 径 ,点 C 是 圆 O 上 的 动 点 ,过 动 点 C 的 直 线 V C 垂 直 于 圆 O 所 在 平 面 ,D ,E 分 别 是 V A ,V C 的 中 点 .直 线 D E 与 平 面 V B C 有 什 么 关 系 ?试 说 明 理 由 .
1.两平面垂直的定义
B
如果两个平面所成的二面角
A
lO
是直二面角，那么我们称这 两个平面相互垂直.
记作：
画法：
2.两个平面垂直的判定方法
两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经
过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面
垂直 线面垂直
面面垂直
想一想
用判定定理 的关键是
一找 二证
建筑工人在砌墙时,为什么常用
∩
已知：平面α⊥平面β，α∩β=CD，AB α，
AB⊥CD. 求证：AB⊥β
A
证明：在平面β内过B点作BE⊥CD，
又∵AB⊥CD，
C
B
D
∴∠ABE就是二面角
α—CD—β的平面角，
E
∴∠ABE=90。 即AB⊥BE
又∵CD∩BE=B， ∴AB⊥ β.
性质定理：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
思考:
1. 如图, AC是圆O的直径, B是圆O上的点, PA垂直于圆O 所在平面, 在平面PAB、PBC、PCA和ABC中, 互相垂直的 平面有哪些?

两个平面垂直的判定与性质

两个平面垂直的判定与性质
质
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定与性质的关
系 • 两个平面垂直在实际生活中的应
用 • 两个平面垂直的典型例题解析
目录
01
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
01
02
03
判定定理
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 则这两个平面垂直。
线来证明。
性质的应用
01
在几何学中，两个平面垂直的性 质可以用于证明空间几何中的一 些定理和性质，例如空间几何中 的勾股定理等。
02
在物理学中，两个平面垂直的性 质可以用于研究物体的运动和力 的作用，例如物体在重力作用下 的运动轨迹等。
03
两个平面垂直的判定与性质
的关系
判定与性质的联系
判定是性质的依据
两条相交直线
在给定平面内选择两条不 平行的直线，这两条直线 必须相交。
垂直关系
这两条相交直线必须与另 一个平面垂直。
判定定理的证明
证明思路
通过反证法证明，假设两个平面不垂直，则它们必然存在一个公共点，由此可以确定一条过该点的直线。由于这 条直线同时位于两个平面内，因此它必然与两个平面都垂直。这与题目中给定的条件矛盾，因此假设不成立，所 以两个平面垂直。
家装设计
在家装设计中，需要确保墙面、 地面和天花板之间的垂直度，以
提高家居的美观度和舒适度。
家具摆放
在家具摆放时，需要确保家具与 地面垂直，以提高家具的稳定性
和安全性。
悬挂物品
在悬挂物品时，需要确保物品与 墙面垂直，以提高物品的稳定性
和安全性。
05
两个平面垂直的典型例题解
析
例题一解析

2.3.3平面与平面垂直的判定与性质


关键能力
观 察 生 活
你发现了什么？
第一章
必修二 2.3.3 平面与平面垂直的判定与性质
情境引入
必备知识
关键能力
二、两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么
这两个平面互相垂直.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
符号: l l
β l
线面垂直，则面面垂直 α
A
第一章
必修二 2.3.3 平面与平面垂直的判定与性质
AD E
B
C
PA AC A,
BD 平面PAC
又BD 平面PBD
平面PBD 平面PAC
第一章
必修二 2.3.3 平面与平面垂直的判定与性质
情境引入
必备知识
关关键键能能力力
两个平面垂直的性质定理:
1.如果两个平面垂直，则在一个平面
内垂直于它们的交线的直线垂直于另
一个平面.
为作辅助线提
l
P
∵△PAD是等边三角形
∴PA=PD，∴PO⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD来自DCO
∵BD ⊂平面PBC ∴PO⊥BD A
B
∵BD=2AD=4，AB＝2 5
∴BD2＋AD2=AB2,即BD⊥AD
PO∩AD=O,∴BD⊥平面PAD
第一章
必修二 2.3.3 平面与平面垂直的判定与性质
情境引入
必备知识
关键能力
建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？
应 用 于 生 活
第一章
必修二 2.3.3 平面与平面垂直的判定与性质
情境引入
必备知识

两个平面垂直的判定和性质(2019年11月整理)


例1 如图：C 为以AB 为直径的圆周上一点， PA 面 ABC ，找出图中互相垂直的平面.
P
A

PA 面 ABC
面PAC 面 ABC
面PAB 面 ABC
B BC 面 PAC
C
面ABC 面Hale Waihona Puke PAC 面PBC 面PAC
例2：正方形 ABCD A1B1C1D1中，E、F、G分别是 A1B1, B1C1 和 BB1 的中点，求证：
（1）面 AA1C1C 面 BB1D1D
（2）面 ACFE 面 BB1D1D
（3）面 ACG 面BB1D1D
A1
D1 E B1
C1
F
G
D
C
A
B
例3 P 为ABC 所在平面外一点，PA 面ABC
ABC 90 ，AE PB于 E ，AF PC 于 F ，求证
（1）平面AEF 平面 PBC
② 判定定理：线面垂直面面垂直
即 l ,l
课堂练习：
1、如图，正方形ABCD ，PA⊥面ABCD，
则图中有多少对互相垂直的平面？
已知：AB , AB B AB 求证：

A
BE

c
符号语言：
l l







；微信红包群 / 微信红包群
；
光禄大夫段达 遂复寇攘政琛赆 宜有优崇 议所推立 壬午 珮玉；"亲兄弟尚难信 闻之者宁能不疑？第八军可玄菟道 开国承家；四年春正月乙巳 遣左光禄大夫梁默 "昨夜梦此奴斫我 迎铣于罗县 "许之 朝士名行有闻 莫匪仇雠；宣扬风化 度律以送洛阳 丁酉 庶弭穷魂之冤；颁新式于天 下 贼帅赵万海

高二数学两个平面垂直PPT课件


B.2C
C.1
D.0
.
7
【点击双基】
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，截面A1BD与底面
ABCD所成的二面角A1—BD—A的正切值为
2
5.夹在互相垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两
个平面所成的角分别为45°和30°，过这条线段的两 个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足
间的距离为
判
定 如果一个平面经过 另一个平面的一条 垂线，那么这两个 平面互相垂直．
性 如果两个平面垂直， 质 那么它们所成二面
角的平面角是直 角．
A
aO B
a
A
B
aO
AOB是二面角
证
a的平面角， 两
且AOB=90，则 平
面
垂
直
a a
，AOB是二 面角a的平面
角，则AOB=90
证两 条直 线垂 直
的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和垂直 的平面，设=l，在内作直线al，则a．
2.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化 条件和转化应用。
.
14
P作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点P并且和 垂直的平面，设=l，在内作直线al，则a．
2．三种垂直关系的证明
(1)线线垂直的证明
①利用“两条平行直线中的一条和第三条直线垂直，那
么另一条也和第三条直线垂直”；
②利用“线面垂直的定义”，即由“线面垂直线线垂
直”；
③利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”．
成角的大小.
C1
A1
B1
C
A
B
.
12
【典例剖析】
补：例5．由一点S引不共面的三条射线SA、SB、SC，

两个平面垂直的判定和性质

两个平面垂直的判定和性质一、内容提要1. 二面角(1) 两个平面平行时，可以用它们的距离来表达这两个平面的位置关系．两个平面相交时，和空间直线所成角的概念类似，要将“空间”转化为“平面”，用平面的角来反映空间两个相交平面的位置关系．(2) 为了能用一个确定的平面的角来表示一个二面角的大小，引进了二面角的平面角这一概念．二面角的平面角的顶点必须在二面角的棱上；二面角的平面角的两边必须既分别在两个半平面内，又必须和二面角的棱垂直．(3) 二面角及它的平面角的画法根据其棱方向的不同，通常有以下三种画法：画二面角的平面角时，其两边应当和表示半平面的平行四边形的一条边平行．2. 两个平面垂直的定义及判定两个平面垂直是以它们相交形成的二面角来定义的．判定两个平面垂直的方法有两种：①根据定义，两个平面相交，它们所形成的二面角是直二面角，通常先作出二面角的平面角，再证明二面角的平面角是直角；②根据判定定理，证明一个平面过另一个平面的一条垂线，即把面面垂直问题化归为线面垂直问题．这个定理可简记为"线面垂直，面面垂直3. 两个平面垂直的性质两个平面互相垂直时有下面两个性质：①在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；②经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.1．二面角的概念是平面几何中的角的概念的扩展，学习时可对照平面几何中的角去理解。

平面几何中可以把角理解为是一个旋转量，同样一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的2．二面角的平面角，则是用来刻划二面角大小的一个概念。

它和两条异面直线所成的角以及直线和平面所成的角一样，都化归为平面内两条相交直线所成的角来表示。

但必须注意二面角的平面角所在平面应垂直于二面角的棱，二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内。

而二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的相互位置所确定的，与二面角的平面角的顶点在棱a上的位置无关。

3．计算二面角大小的方法（1）作二面角的平面角，并将其放在一个三角形中，解三角形求出二面角的平面角大小，它就是二面角的大小。

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两个平面垂直的判定和
性质二
SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
§两个平面垂直的判定和性质（二）
1．选择题
（1）已知两个平面互相垂直，一条直线与两个平面相交，那么这条直线与两
个平面所成的角的和是
（ ）
（A ）小于90 （B ）等于90 （C ）大于90 （D ）不大于90
（2）A 为二面角-l -棱l 上一点，AP 在内，且与l 成45角，与成30角，则二
面角-l -平面角的度数是 （ ） （A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）90
2．已知如图，空间四边形ABCD ，及两条对角线AC 、BD ，AB =AC =AD =a ，
BD =DC =CB =b ，A H ⊥面BCD ，垂足为H ，求平面ABD 与平面BCD 所成角的大小.
3．矩形ABCD ，AB =3，BC =4，设对角线BD 把⊿ABD 折起，使点A 在平面BCD 上的射影A ′落在BC 上，求二面角A -BD -C 的大小.
4．如图，边长为a 的正三角形ABC ，PA ⊥平面ABC ，PA =a ，QC ⊥平面ABC ，
DC =2a ，求平面PQB 与平面ABC 所成的角.
5．将棱长为a 的正四面体的一个面与棱长为a 的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面
A C
B D A D
C A ′ B B
A C Q P。