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两个平面平行的判定和性质

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两个平面平行的判定和性质

两个平面平行的判定和性质

α
β
A
a
b
α， 且 ， ⊂，a∩b=A且a//β，
（2）推论：如果一个平面内有两条相交 推论： 直线分别平行于另一个平面内的两条直 则这两个平面平行. 线，则这两个平面平行
a A c
α β
d
b
d
， ， ， ⊂β，a //b，c /b
β， ， ⊂
一般画法
错误画法
3． 平面与平面平行的判定定理 ． 判定定理： （1）判定定理： ①文字语言：如果一个平 文字语言： 两条相交直线都平 面内有两条相交 面内有两条相交直线都平 行于另一个平面， 行于另一个平面，那么这 两个平面平行. 两个平面平行. ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：a ⊂α，b 符号语言： ， b//β α//β. ⇒
A P
F E C
B
//平面 同理EF//平面ABC， 又因为DE∩EF=E， //平面 所以 平面DEF//平面ABC。 P
D E A C F
B
为夹在α 例2.已知a∥β , AB和DC为夹在α、β间的平 2.已知 行线段。 行线段。 求证： 求证： AB＝DC. 证明： 连接AD、BC 证明： ∵AB//DC ∴ AB和DC确定平面AC
AB DG = BC GC
DG DE = GC EF
所以
AB DE = BC EF
例1. 已知三棱锥P－ABC中，D，E，F，分 的中点， 别是PA，PB，PC的中点， 求证： //平面 求证：平面DEF//平面ABC。 证明： 证明：在△PAB中，因为D， 的中点， E分别是PA，PB的中点， D 所以DE//AB， 又知DE ⊄ 平面ABC， //平面 因此DE//平面ABC，
// // 证明： 证明： AB = DC = D ' C ' ∵ ∴ ABC ' D '是平行四边形

高一数学平面与平面平行的判定和性质

高一数学平面与平面平行的判定和性质

A

B

D
C
课堂练习2：课本67页练习
点击图片可以演示动画
今作天业学:习的内容有：
1P. 6空8 间A两组平面6,的8位置关系有几种？
2. 面面平行的判定定理需要什么条件？
3. 面面平行有什么结论
； https:///zh/ 香港共享辦公室 ；
不要告诉他老人家呢？“啊？不用吧？”陆羽听师兄这么问,愕然,“老师日理万机咱们别打扰他,有卓律师在,他们占不了便宜,足够了.”常在欣听罢瞟她一眼,“既然这样,你干嘛还叫我来？”“你不是说顺路吗？”陆羽讶然.常在欣：“...”跟情商低の人说话有时候能憋死.其实陆羽没 想过要请她亲自来,只是问她能不能找一个空闲の小记者过来就行.哪知道她说顺路带着一队人浩浩荡荡地来了,把捣乱和围观の人吓得鸡飞狗走...不过,有此效果也挺爽の,哈哈.既然有余岚出面承担下后果,陆羽当然不予追究.常在欣带领同事进村一来是为她撑场子,起敲打作用.顺便找个 地方给大家伙歇歇脚,吃过饭后率领媒体大军浩浩荡荡地走了.她之前拍下来の那些片段,加上以前那些新闻足以向梅安市政府进行讨伐.为什么不爆出来？因为梅林、下棠和云岭三个村子一直是当地政府の心病.他们想尽了法子,包括极力引进外乡人落户三村,希望文明输入影响本地人の三 观.鼓励外企进驻本地带动经济发展,支持乡企之间の竞争.有竞争就有压力,才会有进步.常在欣手里掌握の三村黑历史,其实是之前の前辈们采访存档の,他们早就跟当地政府交涉过了.政府承诺努力下乡搞好宣传工作,尽量提高本地居民の思想觉悟与道德精神.经过多年努力,三村偶尔劣迹 不灭,其实比以前好很多了.凡是存档の内容都有热点追踪栏目后台记者定期跟踪,相隔期限有の是一两年,隔三四年の也有.毕竟,教化与改变需要时间.这些内情外界并不知道,所以余岚才会这么紧张.总之,大家工作都不容易,要互相体谅.只要事态の发展不太恶劣,比如闹出人命等,一般情况 下常在欣会像前辈那样先存档,待期限一到再派记者前去跟进.前提是陆羽不追究,而周定康必须妥协.老话一句,别人家遭哄抢,她能保持旁观者の态度顾全大局.一旦厄运落在自家人身上,她将毫不犹豫地出手惩治恶徒.有点假公济私？无妨,她不图那虚名.既没徇私,也不是颠倒黑白,把公布 真相の时间提前了一些罢了,于心无愧.她不关心官员の政绩,谁叫他们工作不到位呢？名记怎么了？这称号可不是她起の.哪怕被奉为人民公仆の卓文鼎,他愿意无偿替穷人打官非,如果对方信不过,他便袖手旁观决不毛遂自荐.他是真穷,尽管他有真本事.那些小助理实习生都是自费替他打工, 他没钱发工资.他替穷人打官非影响有钱人の利益受上层社会の抵制,而他之前看不惯上级或者同行为了讨好权贵昧着良心办事,所以自己开了律所,这就是他经济窘迫の原因.其实,他能平安活到现在已是奇迹.“...你怎么知道找那姓卓の替你打官非？”常在欣那群人走了,院里恢复冷清,林 师兄在凉亭里和陆羽说话一起等卓律师那边の结果.这问题不好回答.陆羽想了想,“忘了什么时候听说の,好像在车上吧？无意中听过一次卓氏律所就记住了.”这是缘分啊缘分,师兄你得相信.唉,如果告诉他是未来の他提醒她の,不知他会怎么想？林辰溪眼锋锐利瞅她一眼,咔の捏碎一颗花 生米扔嘴里,不再追问,“既然是他帮你,那你今晚收拾收拾,明天一早咱们就回去.”姓卓の有两把刷子,赢定了.一听到要收拾,陆羽の脑袋立马炸了.她和婷玉の行李不多,衣物杂物她要三个箱子,而婷玉一个,因为她の衣裳大部分拿回大唐了,包括药材和那两个木桶.电脑不成问题,关键是书, 还有她家几只庞然大物.“太不近人情了吧？起码给我三天时间,很多东西要寄快递.”林师兄听罢,“那就明天下午走,我帮你一起收拾.”“诶？你不用上班吗？”“我请了三天假.”文老の合伙人余叔笑说给他放一个礼拜,好有时间去结交女朋友免得打光棍,“至于你家这些小动 物...”“你の车坐得下吧？坐不下我包车.”小动物无法过安检,好麻烦.“送人不行吗？”林师兄要无语了.第171部分“不行,四只狗我の护花使者,小吉猫是我の门客.哦,未来我还有个朋友要一起住,她有五只猫.”林师兄彻底无语...“呃,师兄,你好人做到底,送佛送到西.”陆羽厚着脸 皮笑嘻嘻地说,“能帮忙在S市帮我租栋小别墅么？我家成员太多,住公寓不方便.”马上找到合心意の房子几乎不可能,暂时租房住着先.短短几天功夫,也只能找师兄帮忙了.林辰溪一愣,“你不跟我回G城？”陆羽立即摇头如拨浪鼓,“不回,那是伤心地,我得换个环境心境才会好.”坐他の顺 风车先回G城,然后从G城包车去S市会便宜些.“真の假の？”林师兄半信半疑,放下茶杯,“陆陆,自从你去年回了一趟海山,出来后我就发现你有些不妥.你老实跟我说是不是遇到什么解不开の难题？你应该很清楚老师们对你の一番苦心.”“你看你都出来一年了,学会独立自保,心境看起来 也不错.如果还当我是你师兄就老老实实说清楚,把问题解决之后再乖乖回去上班,去考研,也好让老师放心.”陆羽听得内心郁卒,真是怕什么来什么,要怎么解释呢？她不想撒谎,可命运の转变让她不得不睁着眼睛说瞎话.想了想,她不得不这样说：“师兄,如果你了解我是什么性子,暂时别问, 行吗？等该说の时候我一定向你解释.不过这些话你千万别跟教授说让他伤神,他老人家学生多,不差我一个.”意思是果然有事？！难怪...林辰溪盯着她瞧,陆羽坦然以对.凉亭里静默良久,林辰溪方缓了态度,“我在S市郊区有栋度假屋,自带庭院,你跟你朋友先住在那里.那是我 の私人房产,你们安心住不着急搬,房子慢慢找...”说到这里,他睨她一眼,“那里还有一间实验室,你别乱搞,玩炸了必须赔.”陆羽呆了呆,瞬即惊喜尖叫：“多谢师兄！！”林师兄望亭兴叹,唉,他の宝贝实验室,千万别给她玩没了.阳光明媚,落在凉亭外の地面,一个大男人在絮絮叨叨给她 说着各种注意事项.今天の林师兄很年轻,未来の林师兄眉宇间添了一个川字纹,眼角多了几条细小纹痕,眼神一如今天の睿智清朗.同一个人,两种岁月,在她眼前交错辉映,恍然若梦...林辰溪不是外人,陆羽安排他在客房住下歇息一阵.他自己开了大半天の车,中途有吃饭,却无人替换开车.此 刻见她无恙,心神疲累得睡会儿.趁卓律师还没消息,陆羽在屋里开始收拾行李,包括婷玉の.没多久,卓文鼎带着小杨过来了,神色有些懊恼.“怎么这副表情？”陆羽重新给两人沏了一壶茶,“解决不了？”原本无表情の小杨一听,嘻地笑了,“正好相反,解决得太爽快卓sir不满意.”“当然不 满意,周定康百分百是受人指使,”卓文鼎有些不爽道,“眼看就要问出来了,不知从哪儿冒出一个姓云の跑进来声称愿意代付违约金,他立马把嘴巴闭上怎么都撬不开.”原来,周定康是这么想の——先带人看房子,扰得陆羽不得安宁逼她自己提出终止合约赔付他违约金和白赚一年房租.如果 客户满意就立刻让陆羽搬走,违约金啥の等房款到户再扣,可谓万无一失.当然,给她の违约金要一拖再拖,像农民工那样或许拖着拖着那笔房租和违约金就不用还了.虽然卑鄙,可他家里实在太缺钱了,要怪就怪陆羽没钱买房子.后来又进来一个姓余の,说这次违约产生の一切费用由她负责.姓 周の感激涕零向云、余两人跪下了,哪里还肯回答他の问题？卓文鼎师徒既气恼又无奈.他们不是警察不能越俎代庖,只要对方答应他们当事人の条件,事情就了了.“果真有人指使？奇怪,你们认为会是谁？”陆羽好奇地问.“我猜是何玲,”小杨兴致勃勃地分析,“因为余二小姐回学校了,那 何小飞跟周定康没有任何关系,剩下何玲跑不了.”卓文鼎横他一眼,敲敲桌面提醒,“跟你说过多少次了,别把猜测当证据.”光是散播谣言,三人都脱不了嫌疑.“知道知道.”小杨笑眯眯地继续吃饼干.“算了,是谁不重要,谣言也别管了.”身正不怕影子斜,既然决定要走她不想再浪费时 间,“钱什么时候到帐？我有几天时间搬？”卓文鼎从公文袋里抽出合同,“一周之内搬,下午我让小杨和他去一趟街道办理解约,辱骂你の周家人明天会过来道歉,精神损失费由余小姐代付.费用应该到帐了,余、云两家豪爽当场让人划の款,你看一下收听有没信息？”收听落客厅了,陆羽忙 跑回去拿出来一看,果然到帐了,の确高效.没想到,梅林、下棠因为她而首次站在同一阵线,出手还那么大方.算了,不管那么多.她笑逐颜开向两人道谢,“辛苦二位了.”见她这么高兴,卓文鼎忍不住问她：“话说回来,你真の不打算买下这房子？我敢说国内没几个地方能比这里好,错过这店 可没这村了,你考虑清楚.”现在反悔还来得及.“唉,我知道,”说实在话,陆羽心里也很遗憾.看看四周,有点不舍得,“我比较怀念之前の冷清,现在人太多太杂了,周家还搞什么农家乐以后人更多...”可以预见,每年夏天の松溪河那些游客多得下饺子般往河里跳.再美の环境也禁不住人多, 人一多,仙境迟早恢复凡间の平庸.再想想何玲那德性,她若买下周定康の房子以后还能清静吗？别触霉头为好.见她主意已定,卓文鼎不再多说,开始安排小杨明天要做の事,然后宣布师徒俩放几天假在村里住两三天,呼吸一下清新空气缓解压力.休闲居の几位老板人很爽快,答应他们爱住多久 住多久,给钱就行.事情解决了,既然卓文鼎师徒想在这儿住几天,陆羽也希望林师兄能在村里歇息一两天,连续两天来回地赶路太辛苦了,她自己又没考驾照.而且,她想找个机会让婷玉回来.城里监控太多,根据林师兄刚才の描述,他在S市郊の别墅附近很安全.为什么安全？当然是电子眼多.所 以,最好是现在一起走,林师兄不可能整天呆在家里,初来乍到明天让他和卓文鼎师徒出去逛逛.至于家里の动物该怎么办,村里人这么多肯定有办法の.对了,她还要向邻居们辞行...第172部分晚上,休闲居暂停营业.因为陆羽在休闲居订了座位想和大家吃顿饭,毕竟大家是除了白姨以外最早来 到云岭村の新居民,关系最好.当然,还有卓文鼎师徒.席间,她替大家作了一番介绍.少华今天也在.“柏？”林辰溪听说少华姓柏,不禁感兴趣地问,“西城柏家是...”一般来讲,西城柏家の人气质与寻常人不大一样.“柏永年是我舅舅.”柏少华坦然道,“林兄认识柏家人？”果然是,林辰溪 心里一动,柏永年？文老の至交之一.“柏老是我老师の好友,曾经有幸见过一面.”他笑笑说,既然是熟人自然亲近了些,“我师妹能够异地他乡遇见各位也是一场缘分,她呀别の还行,生活上基本是个白痴,这段时间肯定没少麻烦大家.感激の话我就不说了,总之以后大家有空去G城一定要通知 我一尽地主之谊.”他向大家

平面与平面平行的判定和性质

平面与平面平行的判定和性质
0

P
b a

已知：在平面 内有两条直线 a 、 相交且和 b 平面 平行． 求证： // 证明：(用反证法)
c 假设 ．
a // , a
a // c
同理
b // c 这与题设 a和 b 是相交直线矛盾．
//
平面与平面平行的判定定理:
一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行，则这两个平面平行. (线面平行面面平行)
PF EF

同理： EP || AD
AS=18
CD=34
A
α
34
C
α
A
18 S
9
C
B β
9
D
β
D
B
S
1.如果三个平面两两相交，那么它们 的交线有多少条？画出图形表示你的 结论。
答:有可能1条，也有可能3条交线。
（1）
（2）
3. 3个平面把空间分成几部分？
（1）
4
（2）
6
（3）
6
（4）
证明: 连结AB, AB. 因为AA∥BB,
B
A

A′
B′
AB AB AB∥ AB AA∥BB ∥ AABB是平行四边形 AA BB.
所以经过AA，BB能确定一个平面，记为平面 .
推论2:平行于同一个平面的两个平面平行
下图表示两平面之间的两种位置，如 何用符号语言描述这两种位置关系？
β α


l
//
l
一、两平面平行：
1、定义：如果两个平面没有公共点，那么 这两个平面互相平行，也叫做平行平面.

线面、面面平行和垂直的八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理

线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。

1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。

1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。

符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。

1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。

（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。

）四、面面垂直。

1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。

βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。

两个平面平行的性质

两个平面平行的性质

抽象概括：
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a∩ b=A b// β //β β
a// β
简述为：线面平行面面平行
回顾：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
两个平面平行的性质
平面是经过点A与直线b的平面. 设 a // a a // b b a l a l

l


b
lbl

a
A
例1 一条直线垂直于两个平行平面中 的一个平面，它也垂直于另一个平面．
l
β
这个结论可作为两个 平面平行的性质 3
两个平面平行的性质
复习：
1、两个平面的位置关系 2、两个平面平行的判定方法
（a）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面 平行。（定义） （b) 两上平面平行的判定定理——两条相交直线 都平行于另一个平面 （c) “例1”——垂直于同一条直线的两个平面平行 (d) “例2”——平行于同一个平面的两个平面平行
BD, 且 //
AE // BD

B
D
证明：连结 DM并延长交于E，连AE、CE AB DE M AB和DE可确定一个平面
AE, BD, 且 //
AE // BD
M是AB的中点 AEM BDM DM ME, M 又 DN NC, MN // EC, 又 EC ，MN B MN //
E A
C
N
D
两个平面平行的性质

两平面平行的判定与性质

两平面平行的判定与性质

垂直→←平行
又a’∩b’=A’
∴α∥β
练习：
1 判断下列命题的真假。 (1) mㄈα,nㄈα,m∥β,n ∥β=＞ α ∥β (2) α内有无数条直线平行于β=＞ α ∥β (3) α内任意一条直线平行于β=＞ α ∥β (4) 平行于同一直线的两平面平行 (5)平行于同一平面的两平面平行
2如图，a,b是异面直线，aㄈα,b ∥ α,bㄈβ,a ∥β 求证 α ∥β
β
线面→←面面
α
例1 求证：垂直于同一条直线的 个平面平行
δ A’ γ β
a
α
A
证明：设经过直线AA’的两个 平面γ,δ分别与平面α,β交于直 线a,a’和b,b’. ∵AA’⊥α, AA’⊥ β.
b
∴ AA’⊥a, AA’⊥a’. ∵aㄈγ，a’ㄈγ,
∴a∥a’,于是a’ ∥α 同理可证b’ ∥α
垂直→←平行
作业： P32: 习题4,8
； / 大连网站制作
到屋里来，他几乎要惊叫失声：原来给额娘请安の居然是可望而不可及の小四嫂！好些次，他在永和宫向额娘请安の时候，都盼望着能再次 见到她。可是好些次，他都是失望而归。每壹次，雅思琦都是在说：回额娘，水清妹妹生病咯。好些次，他都想问壹问四嫂：小四嫂为啥啊 又生病咯？她是那么の娇弱，他担心，即使壹阵风，都会把她吹倒。可是，无论哪壹次，他都没有问出过口，即使对八小格，甚至是和自己 最要好の十小格，他都守口如瓶，他又怎么可能在四嫂面前露出壹丝破绽？他不担心自己会如何，他担心の是她，会因为他の鲁莽而遭受无 端の怀疑。哪壹各府里の后院都不是干净の，四哥の王府虽然府规最严，但是这种有辱门风の事情，会给她带来啥啊样の后果，他当然是最 清楚。她是他の女神，是他の仙子，他不能因为任何壹各小小の闪失而给她带来毁灭性の后果。他只要她好好地活着，他只需要自己能够远 远地注视，默默地祝福，足够咯。第壹卷 第225章 解围在永和宫再也不曾遇到の小四嫂，居然在行宫遇到咯，而且还要共处五、六各月の 时光，真是有心栽花花不发，无心插柳柳成荫。二十三小格为久别重逢而激动万分，为朝夕相见而欣喜若狂，只是，叔嫂之别要求他必须强 压下这份狂喜，小心地呵护住自己の这份感情。水清认错咯塔娜，他只是莞尔壹笑，可是小四嫂被额娘奚落，他却是焦急万分、心痛至极， 但是又不敢表现出来，于是急中生智の二十三小格脱口而出：“额娘，怎么晚膳还不送来，这壹天又累又乏，连晚膳都不能吃到，这帮奴才 们是怎么当差の。”他也从王爷那里学会咯这壹招：声东击西、围魏救赵。他要迅速地转移话题，他要救水清于危难水火。德妃被二十三小 格壹打岔，果然忘记咯对水清の穷追猛打。老二十三是她の心肝宝贝，她の心思全都放在咯小儿子の身上，其它の壹切全熟视无睹：“你怎 么又饿咯？下午の茶点你没有用吗？”“就那么壹点儿，哪儿够儿子塞牙缝儿の？勉强充充饥而已。”“唉，你呀，你怎么不早说，额娘没 有胃口，根本没有吃啥啊，就让奴才们端走咯。真是の，唉！”德妃壹脸追悔莫及の表情。二十三小格本来是为咯给水清解围，此时见额娘 这么着急上火、心急如焚の样子，非常不忍心让额娘为他操心费神，赶快说道：“没事儿，儿子就是随口提咯这么壹句，不碍事儿の。”二 十三小格话音刚落，就听外面传来零乱の脚步声，秋婵赶快出去查看，才走出房门，就只见是膳房の小太监来送晚膳。二十三小格壹见晚膳， 眉头皱成咯壹各黑疙瘩。他根本就不饿，不但不饿，因为壹天の劳顿，他也是壹点儿胃口都没有，可是刚刚他还跟额娘吵着要晚膳来着。德 妃壹见晚膳来咯，高兴得立即

两平面平行的判定方法

两平面平行的判定方法

两平面平行的判定方法平面几何中，两平面平行是重要的概念，因为它涉及到许多实际问题，例如建筑、地图制作和制造业。

在本文中，我们将讨论10种不同的方法来判断两个平面是否平行，并提供详细说明。

1. 平行线性质法确定两个平面是否平行的最简单方法之一是检查它们所包含的直线。

如果两个平面包含两组平行直线，则这两个平面平行。

这被称为平行线性质。

平面上的平行线永远不会相交，而它们的距离始终相等。

2. 夹角相等法两个平面平行的另一种方法是它们的夹角相等。

当两个平面之间的夹角相等时，它们被认为是平行的。

这里需要注意的是，夹角是指两个平面的法线之间的角度。

3. 垂线判定法如果一条直线是第一个平面上的一条直线，并且以该直线垂直于第二个平面，则第一个平面和第二个平面是平行的。

垂线判定法基于这个原理。

这可通过将两个平面移到同一位置并在它们之间引入垂线来证明。

4. 辅助平面法辅助平面法是一种使用第三平面来判断两个平面平行的方法。

如果两个平面与第三个平面平行，则它们彼此平行。

该方法特别适用于设计要求多个平面平行的情况，例如构建多层建筑物。

5. 截线判定法如果一条直线是第一个平面和第二个平面上的两条直线的截线，则这两个平面平行。

截线判定法基于这个概念。

如果相交的两条线都是平面上的同一直线的截线，则这两个平面平行。

6. 倾斜角相等法倾斜角相等法是一种快速确定两个平面是否平行的方法。

如果两个平面的倾斜角相等，则这两个平面是平行的。

这种方法只能用于倾斜角相等的情况。

7. 向量法向量法是另一种判断两个平面是否平行的方法。

如果两个平面的法线向量相同，则它们是平行的。

将两个平面的向量相减，如果它们的值为零，则它们平行。

8. 距离法距离法是判断两个平面平行的一个简单方法，它基于平面之间的平行线性质。

如果两个平面的法线距离相等，则这两个平面平行。

用法线测量两个平面之间的距离，以确定它们是否平行。

9. 投影法投影法可以通过平面上点的投影来确定两个平面是否平行。

9.5 两个平面平行的判定和性质

9.5 两个平面平行的判定和性质
课本P32练习1、2 课本P32习题9.5 第1、2
7、课外作业
课本P32习题9.5第4大题
// ,a a //
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
⑵ 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
若： // , a, b 则 a // b
a
b
4、两个平行平面的距离
⑴ 两个平行平面的公垂线及公垂线段
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线， 它夹在这两个平行平面的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段。
l1
l2
⑵ 两个平行平面的距离
A
B
两个平行平面的公垂线段的长度
叫做两个平行平面的距离。
A/
B/
5、例题讲解
例题1、求证：垂直于同一条直线的两个平面平行
已知： AA1, AA1 求证： //
分析：可以设法证明 内有两条相交直线都 平的行直于线。，为此，要根据已知条件找出这样
A
a
b
证明：
,
9.5 两个平面平行的判 定和性质
（第一课时）
教学过程
1、两个平面的位置关系 两个平面的位置关系只有两种：
① 两个平面平行——没有公共点 ② 两个平面相交——有一条公共直线
两个平面平行的画法
（）
（）
2、两个平面平行的判定
两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另 一个平面，那么这两个平面平行。
设平经面过直交线于直的线A两A1个平和面 ,
a, a1 b, b1
分别与
Q AA1 , AA1 AA1 a, AA1 a1
Q a , a1

面面平行的判定与性质

面面平行的判定与性质

化归思想
化归思想
面面平行 线面平行 线线平行
两个平面平行的性质定理 :
结论：2、 如果两个平行平面同时和
第三个平面相交，那么它们的交线平
行．
已知: ∥ , I a, I b.
求证: a∥ b
证明: 因为∥ ,

a
所以 与 没有公共点,
因而交线a,b也没有公共点,
AB BC

DE EF
分析: 过点A作平行直线b 的直
线交 , 于点 E1 和F1 ，
连接 BE1, CF1, AD, EE1,和FF1.
ab
A •D
B
E1 •E
C
•F
F1
3.如图,设E,F,E1,F1分别
D1
是长方体ABCD-A1B1C1D1 的棱AB,CD,A1B1,C1D1的
A1
结 那论 么：它们2、的线如交果线线两平平个行行平．行平面同时和第三个平面相交，
作业
• 必做:教材45~46页 习题1~5 • 选做:教材46页 10
4.已知两条直线和三个平
行平面都相交，求证所截
得的线段对应成比例．
已知: ∥ ∥ ,直线a 和 b分别交
于点A、B、C和点D、E、F，
求证:
求证:平面DEF//平面ABD
证明：在△PAB中，
因为 D,E分别是PA,PB的中点，
所以 DE//AB.
又知 DE 平面ABC
D
因此 DE / /平面ABC
同理 EF//平面ABC
A
又因为 DE I EF E,
所以 平面DEF//平面ABD
P
F E
C B
化归思想

两平面平行的判定与性质

两平面平行的判定与性质
通过向量、直线或平面方程等多种方式，可以有效地判定两个平面是否平行。这些方法在理论和实际应用中都具 有重要意义。
两平面平行的性质
当两个平面平行时，它们具有一系列独特的性质，如平行平面间的距离保持不变、平行平面内的任意两直线不相 交等。这些性质为几何学和相关领域的研究提供了有力支持。
对未来研究的展望
平行线间同位角相等
两条平行线被一条横截线所截，同位角相等。
平行面的性质
平行面间距离相等
任意两个平行平面之间的距离始终保持不变。
平行面间无交点
两个平行平面在空间中无限延伸，但永远不 会相交。
平行面间同位二面角相等
两个平行平面被第三个平面所截，截得的同 位二面角相等。
平行线与平行面的关系
平行线确定平行面
在几何中的应用
判定定理
如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行。
性质定理
如果两个平面平行，那么其中一 个平面内的任意一条直线都平行 于另一个平面。
推论
如果两个平面平行，那么分别位 于这两个平面内的两条直线要么 平行，要么异面。
在物理中的应用
光学
在几何光学中，两平面平行的概念用于描述光线在不同介质之间的传播，如平行光线的产生和传播。
定义和基本概念
平面
在空间中，由无数个点组成的集合， 且任意三个点不共线。
平行平面
两个平面在空间中不相交，则称这两 个平面平行。
法向量
与平面垂直的向量称为该平面的法向 量。两个平面的ห้องสมุดไป่ตู้向量平行是这两个 平面平行的必要条件。
判定定理
若两平面的法向量平行，则这两个平 面平行。
02 两平面平行的判定方法
同位角相等法

第五节两个平面平行的判定和性质

第五节两个平面平行的判定和性质

学科: 数学 年级：高二版本：人教版 期数：2331本周教学内容：第五节 两个平面平行的判定和性质 【基础知识精讲】1.两个平面的位置关系(1)两平面平行——没有公共点，若α与β平行，记作α∥β.(2)两平面相交——有一条公共直线，若α与β有交线a ，记作α∩β＝a. 注意：画两个互相平行的平面时，表示平面的两个平行四边形的对应边应画平行，如图：画两个相交平面时：(i)先画表示两个平面的平行四边形的相交的两边.(ii)再画出表示两个平面交线的线段；(iii)过第(i)步图中线段的端点分别引线段，使它平行且等于第(ii)步图中表示交线的线段.(iv)最后画表示两个平面的平行四边形的第四边，其演示过程如下：2.两个平面平行的判定(1)两个面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.a β,b β,a ∩b ＝A,a ∥α,b ∥α⇒α∥β. 在实际生活中要判断一个平面是否水平时，把水准器在该平面上交叉放两次如果汽泡居中，就可利用该定理判定该平面与水平面平行.(2)书中粗体字：垂直于同一直线的两个平面平行.也可以用来作面面平行的判定.即α⊥AA ′，β⊥AA ′⇒α∥β.3.两个平面平行的性质(i)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.这为线面平行进一步提供了证明方法，但分居两平行平面的直线有平行与异面两种可能.(ii)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.α∥β，γ∩α＝a,γ∩β＝b ⇒a ∥b.(iii)一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，它也垂直于另一个平面. (iv)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.4.两个平行平面的距离首先我们可以验证夹在两个平行平面间的平行线段相等.(1)两个平行平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线.这与两异面直线公垂线不同的是两平行平面的公垂线有无数条.根据线面垂直的性质定理可知这些公垂线相互平行.(2)两个平行平面的公垂线段：两个平行平面的公垂线夹在两平行平面间的部分.由上可知，两个平行平面的公垂线段都相等，我们把夹在两个平行平面间的公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.【重点难点解析】两个平面平行的判定和性质是本节的重点，平行平面间的距离是本节的重点概念，判定定理的证明是本节的难点，要深刻理解面面平行的概念和一些重要定理，在验证中应注意线线平行，线面平行，面面平行之间的相互转化.例1已知a、b是异面直线，a⊂α,a∥β,b⊂β,b∥α,求证α∥β.分析证明两个平面平行通常利用判定定理来证.证明如图，过a作任一平面γ和平面β交于a′,∵a∥β∴a∥a′.又a′⊂β,a′⊄α∴a′∥α且a′与b相交，∵b⊂β，b∥α.∴α∥β.另证设c是异面直线a、b的公垂线，则过a、c可以确定一个平面γ，设γ∩β＝a′∵α∥β，∴a′∥a,∵c⊥a,∴c⊥a′又∵c⊥b,a′,b相交，∴c⊥β同理可证：c⊥α，∴α∥β例2已知：平面α∥平面β，且aα，b平面β，a,b为两条异面直线.求证：异面直线a、b间的距离等于平面α，β之间的距离.证：设AB是异面直线a、b的公垂线段，如图过点B，作直线a′，使a′∥a.∵α∥β，a⊂β,∴a∥β,∴a′⊂β.∵AB⊥a,∴AB⊥a′又AB⊥b，且a′∩b＝B.∴AB⊥β∵α∥β，∴AB⊥α∴AB的长是平行平面α，β间的距离.说明求两异面直线间的距离有时可能转化为求两平行平面间的距离.例3如果一条直线和两个平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交.已知：α∥β,l∩α＝A.求证：l与β相交.证明：∵α∥β,l∩α＝A∴Aβ.假设l与β不相交，则l∥β在平面β内任取一点D，则D l.∴点D，l确定平面PBD，如图∵α与平面PBD相交于过A的一条直线AC，β与平面PBD相交于过点D的一条直线BD.又α∥β∴AC与BD无公共点.∵AC和BD都在平面PBD内，∴AC∥BD.由l∥β可知l∥BD.∴AC∥l且l与AC相交于A.∴AC与l重合，又AC在平面α内.∴l在α内与l∩α＝A矛盾.∴假设不成立，∴l与β必相交.例4如图，正四棱锥S—ABCD的底面积长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC 上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长.分析要求出PQ的长，一般设法构造三角形，使PQ为其一边，然后通过解三角形的办法去处理.作PM ∥AD 交CD 于M 连QM ，∵PM ∥平面SAD ，PQ ∥平面SAD.∴平面PQM ∥平面SAD ，而平面SCD 分别与此两平行平面相交于QM ，SD. ∴QM ∥SD.∵BC ＝a,SD ＝2a.∴PD BP ＝21. ∴BC MP ＝BD PD ＝32,MP ＝32a, SD MQ ＝CDMC ＝BD BP ＝31.∴MQ ＝31SD ＝32a,又∠PMQ ＝∠ADS.∴cos ∠PMQ ＝cos ∠ADS ＝a a221＝41. 在ΔPMQ 中由余弦定理得 PQ 2＝(32a)2+(32a)2-2·32a ·32a ·41＝96a 2. ∴PQ ＝36a. 评析：本题的关键是运用面面平行的判定和性质，结合平行线截比例线段定理，最后由余弦定理求得结果，综合性较强.例5 已知：如图，α∥β，异面直线AB 、CD 和平面α、β分别交于A 、B 、C 、D 四点，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：(1)E 、F 、G 、H 共面；(2)面EFGH ∥平面α.证明 (1)∵E 、H 分别是AB 、DA 的中点，∴EH ∥21BD.同理FG ∥21BD.∴FG ∥EH.∴四边形EFGH 是平行四边形，即E 、F 、H 、G 共面.(2)平面ABD 和平面α有一个公共点A ，设两平面交于过点A 的直线AD ′∴α∥β，∴ AD ′∥BD.又∵BD ∥EH ，∴EH ∥BD ∥AD ′.∴EH ∥平面α，EH ∥平面β，同理EF ∥平面α，EF ∥平面β.∴平面EFHG ∥平面α∥平面β.【难题巧解点拨】例1 点A 为异面直线a 、b 外一点，过A 与a 、b 都平行的平面( ) A.只有一个 B.只有两个 C.至多有一个 D.有无数个分析：本题考查线线位置关系，线面位置关系，平面基本性质，以及空间想象能力解法一：过点A 作a ′∥a,b ′∥b ，根据公理3，a ′与b ′确定一个平面为α，则异面直线a 与b 至多有一条在α内，当a 、b 都不在α内时，过A 与a 、b 都平行的平面恰有一个，即α；当a 、b 中有一条在α内时，过A 与a 、b 都平行的平面不存在，故选C.解法二：过异面直线a 、b 分别作平面α、β使α∥β，若点A 在α或β上，则过A 与a 、b 都平行的平面不存在；若点A 在α外且在β上，则过A 恰有一个平面平行于α、β，则过点A 与a 、b 都平行的平面恰有一个.例2 有四个命题(1)一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行 (2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行 (3)平行于同一平面的两条直线平行(4)如果直线a ∥平面α，a ⊂平面β，且α∩β＝b,则a ∥b. 其中假命题共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解 此题考查线线位置关系和线面位置关系，以及空间想象能力.一条直线和另一条直线平行，它可能在经过另一条直线的平面内，故(1)是假命题.一条直线和另一个平面平行，它与这个平面的直线可能平行，也可能异面，故(2)也是假命题，平行于同一平面的两条直线，也可能平行，也可能异面或相交，故(3)也是假命题，而命题(4)是真命题，也是线面平行的性质定理.例3 已知直线a 、b 、c ，平面α∩平面β＝a,b ⊂α，c ⊂β，且b 与c 无公共点，则b 与c 不平行的充要条件是( )A.b 、c 都与α相交B.b 、c 中只有一条与α相交C.b 、c 中至多一条与α相交D.b 、c 中至少有一条与α相交分析：本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，充要条件，以及空间想象能力和等价转化能力.解法一：若直线b 与c 不平行，又由b 与c 无公共点，则b 与c 必定异面，根据异面直线的定义和线面位置关系可知或者b 与c 都与a 相交，或者b 、c 中有一条与a 相交，另一条与a 平行，即b 、c 中至少有一条与α相交，即D 成立；反之，当D 成立时，不难证明b 与c 必不平行，所以应选D.解法二：由题设及异面直线的定义可知，若b 、c 都与a 相交能推出b 与c 异面，即b 与c 不平行；反过来，b 与c 不平行不一定推出b 、c 都与a 相交，即A 是充分非必要条件，而不是充要条件，同理，B 也是充分非必要条件，而非充要条件，又由b 、c 中至多有一条与a 相交，包含b 、c 中有一条与a 相交和b 、c 都不与a 相交两种情形，而对于后者，即b ∥a 且c ∥a ，则b ∥c.故c 既非充分又非必要条件，综上所述，排除A 、B 、C 三个选择项，从而选择D.例4 已知A ，B ∈平面α，C ，D ∈平面β，α∥β，AB ＝13，BD ＝15，AC 、BD 在平面α上的射影长之和是14，求AC 、BD 在平面α上的射影长，以及平面α、β的距离.解 如图，设α、β的距离是h ，则AC 在α内的射影长是2213h -，BD 在α内的射影长是2215h -.根据题意，2213h -+2215h -＝14. 解这个方程，h ＝12.∴ 2213h -＝5, 2215h -＝9.故AC 、BD 在平面α上的射影长分别是5和9，平面α、β的距离是12.点评 平行平面间距离通常转化为点面距离或线面距离最终转化为点面距离.例5 如图，已知线段PQ 、PD 、QF 分别和平行平面α、β交于A 、B 、C 、D 、E 、F ，若AP ＝BQ ，求证：S ΔACF ＝S ΔBDE .略证 由已知得AC ∥BD ，EB ∥AF ，∠CAF ＝∠EBD ，又AC ∶BD ＝PA ∶PB ＝QB ∶QA ＝EB ∶AF ，∴AC ·AF ·sin ∠CAF ＝BE ·BD ·sin ∠DBE.∴S ΔACF ＝S ΔBDE .例6 如图，在三棱锥S —ABC 中，A 1、B 1、C 1分别是ΔSBC 、ΔSCA 、ΔSAB 的重心，(1)求证：平面A 1B 1C 1∥平面ABC ；(2)求三棱锥S —A 1B 1C 1与S —ABC 体积之比.分析：本题显然应由三角形重心的性质，结合成比例线段的关系推导出“线线平行”再到“线面平行”到“面面平行”，至于体积的比的计算只要能求出相似三角形面积的比和对应高的比就可以了.证：(1)：∵ A 1、B 1、C 1是ΔSBC 、ΔSCA 、ΔSAB 的重心，连SA 1、SC 1并延长交BC 、AB 于N 、M ，则N 、M 必是BC 和AB 的中点.连MN∵SMSC 1＝SN SA 1＝32， ∴A 1C 1∥MN.∵MN ⊂平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC.同理可证 A 1B 1∥平面ABC. ∴ 平面A 1B 1C 1∥平面ABC. (2)由(1)MN C A 11＝32，MN ∥21AC ， ∴A 1C 1∥31AC. 同理可证：A 1B 1∥1AB ， B 1C 1∥1BC. ∴ ΔA 1B 1C 1∽ΔABC ， S 111C B A △＝91S ΔABC . 设三棱锥S —ABC 的高为h ，S —A 1B 1C 1的高为h 1则有：h h 1＝SN SA 1＝32,∴h 1＝32h.∴ABCS C B A S V V --111＝h S hS ABC ABC ⋅⋅⋅⋅△△91313231＝272. 评析：要掌握线面平行的相互转化的思想方法外，还要有扎实的相似形和线段成比例的基础.例7 如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求证：(1)平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；(2)对角线A 1C 被平面AB 1D 1和平面C 1BD 三等分.分析：本题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条相交的直线平行，则两平面平行”是很容易解决论证平面AB 1D 1∥平面C 1BD 的，但兼顾考虑(2)的论证，(1)我们还是采用“两平面垂直于同一直线则两平面平行”的判定的方法.证：(1)连AC ，∵BD ⊥AC ，AC 是A 1C 在底面上的射影，由三条垂线定理得A 1C ⊥BD ，同理可证A 1C ⊥BC 1.∴A 1C ⊥平面C 1BD ，同理也能证得A 1C ⊥平面AB 1D 1. ∴平面AB 1D 1∥平面C 1BD.(2)设A 1到平面AB 1D 1的距离为h ，正方体的棱长为a ，则有：31h ·43(2a)2＝31a · 21a 2. ∴h ＝33a.同理C 到平面C 1BD 的距离也为33a ，而A 1C ＝3a.故A 1C 被两平行平面三等分.评析：论证A 1C 被两平行平面三等分，关键是求A 1到平面AB 1D 1的距离，C 到平面C 1BD 的距离，这里用三棱锥体积的代换，若不用体积代换，则可以在平面A 1ACC 1中去考虑：连A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，AC ∩BD ＝0，如图连AO 1，C 1O ，AC 1，设AC 1∩A 1C ＝K.A 1C ∩AO 1＝M ，C 1O ∩A 1C ＝N.可证M 为ΔA 1AC 1的重心，N 为ΔACC 1的重心，则可推知MN ＝NC ＝A 1M.另外值得说明的是：A 1C 是面AB 1D 1和面BC 1D 的公垂线. 异面直线AD 1和C 1D 的距离也等于MN.例8 如图，已知直线a ∥平面α；求证：过a 有且只有一个平面平行于α.证明 (1)存在性：设过a的平面γ与α交于a′，∵a∥α，∴a∥a′.在α上，设直线b′∩a′＝A′,在a上取点A，A与b′确定平面δ，在δ上过A作b∥b′.则a、b是相交直线(若重合，则显然b′∥a′，矛盾).∴a,b确定平面β，则β∥α.(2)唯一性：设过a还有一个平面π∥α，∵π与δ有公共点A，∴π与δ相交于过A 的直线b″，又π∥a，δ∩b′，∴b″∥b′,∴b″∥b,而b″与b都过点A，故重合，故π与β重合.【课本难题解答】1.经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.已知：Aα，A∈β，β∥α求证：β是唯一的.证：设l过A点，且l⊥α，这样的直线是唯一的.又β∥α，则β⊥l，过点A与α平面的平行一定和l垂直.∵过点A和直线l垂直的平面是唯一的.∴过点A和α平行的平面是唯一的.2.一条直线和两个平行平面相交，求证：它和两个平面所成的角相等.已知：α∥β，直线a分别与α和β相交于点A和A′.求证：a与α所成的角与a与β所成的角相等.(1)当a⊥α时，∵α∥β，∴α⊥β.即a与α所成的角与a与β所成的角都是直角.(2)当a是α的斜线时，如图，设P是a上不同于A、A′的任意一点，过点P引a′⊥α, a′∩α＝B,a′∩β＝B′.连结AB和A′B′.∵α∥β，a′⊥α.∴a′⊥β由此可知，∠PAB是a和α所成的角，∠P′A′B是a和β所成的角，而AB∥A′B′.∴∠PAB＝∠PA′B′即 a和α所成的角等于a和β所成的角.3.a 和b 是两条异面直线，求证：过a 且平行b 的平面必平行于过b 且平行于a 的平面. 已知：a,b 是异面直线，a ⊂α，b ⊂β,a ∥β,b ∥α. 求证：α∥β.证：过b 作平面γ与平面α交于b ′4.如图，直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截. 求证：BC AB ＝EFDE 证：(i)当AC ，DF 共面S 时，连AD ，BE ，CF 则AD ∥BE ∥CF 从而BC AB ＝EFDE (ii)当AC 、DE 异面时，连CD 设CD ∩β＝G 连AD 、BG 、GE 、CF ，如图∵α∥β 平面ACD ∩β＝BG ，平面ACD ∩α＝AD. ∴BG ∥AD ∴BCAB ＝GC DG同理可证：EG ∥CF ，∴GCDG ＝EF DE∴BC AB ＝EFDE 综合(i)(ii)知：BC AB ＝EF DE .【命题趋势分析】本节应掌握两平面平行的概念、判定定理及性质定理，能运用这些概念、定理进行论证和解决有关问题.面面平行这一节直接出题的情况不多，各年高考中基本上都与其他章节知识综合出题，常以同学科知识间的单综合形式命题.【典型热点考题】例1 设直线a 在平面α内，则“平面α∥平面β”是“直线a ∥平面β”的( )条件A.充分但不必要B.必要但不充分C.充分且必要D.不充分也不必要解 若α∥β，∵a α，∴a 与β无公共点，∴a ∥β.若a ∥β，a α，则α，β的关系不能确定，所以应选A.例2 设a 、b 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是( )A.经过直线a 有且只有一个平面平行于直线bB.经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线bC.存在分别经过直线a 和b 的两个互相平行的平面D.存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面解 A 、C 、D 均为真命题，B 为假命题；∵若过a 的平面α⊥b,则b 垂直α内的直线a ，从而a ⊥b ，那么限制a,b 必须垂直，而条件中没有指明a 、b 是否垂直.例3 α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可以判定平面α∥β的是( )A.α、β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l 、m 是α内的直线，且l ∥β，m ∥βD.l 、m 是两条异面直线，且l ∥α,l ∥β,m ∥α,m ∥β解 显然B 、C 不能推出α∥β，有α、β相交的情况存在，对于A 、D ，学了“面面垂直”后，就可以说明A 不能推出α∥β，α、β有相交的可能，从而选D.事实上，l ∥α，m ∥α，在α内任取一点A ，过A 作l ′∥l ，m ′∥m,因为l,m 异面，所以l ′,m ′相交，则可推出l ′∥β，m ′∥β.由面面平行的判定定理可推出α∥β.本周强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.一直线平行于两个平行平面中的一个，必与另一个( )A.平行B.相交C.平行或相交D.平行或在平面内2.平行于同一个平面的两个平面( )A.平行B.平行或者重合C.有可能相交D.以上都不对3.若平面α∥β，a α，b β，则a 与b( )A.平行B.异面C.平行或异面D.以上都不对4.两个平面都与二条直线平行，则这两个平面( )A.平行B.平行或相交C.相交D.以上都不对5.若平面α与两异面直线所成角相等，平面β与它们所成的角也相等，则α与β( )A.平行B.平行或相交C.相交D.以上都不对6.若a 、b 为异面直线，P 为空间一点，过P( )A.必可作一个平面与a 、b 都平行B.最多可作一个平面与a 、b 都平行C.可作一个平面与a 、b 都垂直D.可作一个平面与a 、b 都成定角α(0＜α＜2π)7.若空间三个不同的平面两两相交，则( )A.不可能只有两条交线B.必定相交于一点C.必定相交于一条直线D.必相交于三条平行直线8.下列命题中正确的是( )A.过平面外一点平行于此平面的直线在同一平面内B.平行于同一个平面的两条直线平行C.直线在平面外就是直线与平面没有交点D.空间两个平面不平行便垂直9.使平面α和平面β平行的条件是( )A.平面α内有无穷多条直线都与平面β平行B.直线a ∥α,a ∥β，且直线a 不在平面α内也不在平面β内C.直线a ⊂α直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥βD.平面M 内的任何直线都与平面N 平行10.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过P 点的两条直线PAC 、PBD 分别交α于A 、B ，交β于C 、D ，且PA ＝6，AC ＝9，AB ＝8，则CD 的长为( )A.20B.4C.12D.20或411.a、b为互不垂直的两异面直线，过a、b分别作平面α、β，那么下列四种情形中：①b∥α;②b⊥α；③α∥β;④α⊥β，不可能出现的情形有( )A.1种B.2种C.3种D.4种12.已知AB、CD是夹在两平行平面α、β间的两条线段，AB⊥CD，｜AB｜＝2，AB与平面α成30°的角，则线段CD的长度范围是( )A.(332，23) B.［332,+∞］C.(1，332) D.［1,+∞)二、填空题1.若直线l与平面α，β所成的角均为θ，则α与β .2.若直线a∥直线b,a⊂α，b⊂β，则平面α与β .3.若平面α∩平面β＝1，A∈1,B∈1,AC⊂α，BD⊂β，则AC，BD .4.夹在两个互相平行的平面间有一条长4cm的垂线和一条长6cm的斜线，在每一个平面内，这两线段端点的距离都是3cm，则这垂线中点到斜线中点的距离是 .5.已知平面α∥平面β，在α内取四个点，在β内取三个点，这七个点最多可以确定_______个与α和β都相交的平面.三、解答题1.两条直线与两个平行平面相交，求证夹在两平行平面间的两条线段的中点的连线与两个平面平行.2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)AP⊥MN；(2)平面MNP∥平面A1BD.【素质优化训练】1.如图，空间折线ABCD的各段分别交两个平行平面α，β于点M、M′、N、N′、P、P′，已知｜BN′｜＝16,｜CN｜＝9,｜MN′｜＝12,SΔMNP＝72.求SΔM′N′P′的值是多少?2.已知平面α∥平面β，AB、CD为夹在平面α、β之间的线段，并且AB+CD＝342.AB、CD在β内的射影分别为78，36.求平面α，β之间的距离.3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、M、N、Q分别为棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中点.求证：平面EFG∥平面MNQ.4.试证明：平行且相等的三条线段，如果不在同一平面内，那么它们对应端点所在的两个平面平行.5.以空间一点O为中点作三条不共面线段，AA1、BB1、CC1，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.6.两条异面直线AC，DF，依次与三个平行平面α、β、r相交于A、B、C和D、E、F，又AF，CD与平面β的交点为G，H，求证：HEGB为平行四边形.7.夹在两个平行平面α、β间有一条长8cm的垂线段AB和一条长12cm的斜线段CD，其中A、B为垂足，C、D为斜足，若AC＝BD＝6cm，E为AB中点，F为CD中点，求EF的长度.【生活实际运用】长方体AC1容器内注入一定数量的水以后，把容器底面一边BC置于水平桌面上，再将容器倾斜，当水面与长方形的四条侧棱分别交于E、F、G、H四点时(如图所示)，随着倾斜角度的变化，如下四个命题：①水的部分ABCDEFGH始终是直棱柱；②水面EFGH始终与棱A1D1平行；③水面EFGH的面积始终保持不变；④AE+BF始终不变其中正确的命题是( )A.①②B.①③C.①②③D.①②④提示：水平EFGH始终平行水平桌面，EH∥AD∥GF.从而②正确.AD⊥面A1B，从而①正确，因为水的体积未变，把面ABFE当作底面，高AD没发生改变，从而ABFE的面积没有变，则AE+BF始终不变，从而④正确，由S射＝S·cosθ知，随着角度的变化，而EFGH的射影面积始终是ABCD，所以EFGH的面积在发生变化，从而③不正确.∴应选D.【知识验证实验】小明到他父亲的木工房，看到一个如图所示，棱长为50cm的立方体工件，从立方体的前、后、左、右、上、下看，都有两个相通的正方形孔，请你算一算这个立体剩下的体积是多少?解 若没有孔的话，体积应为503＝125000(cm 3)，现在前后、左右、上下有6个“通孔”，每一个体积为10×10×50＝5000(cm)3，还应当看到任一“通孔”与另外两个“通孔”有交叉部分，这样共有6个交叉部分，每个部分体积为10×10×10＝1000(cm 3)，所以，所求体积为503-6×5000+6×103＝101000(cm 3).【知识探究学习】已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中：(1)若AB ＝5，AA 1＝4，AD ＝3.试求在长方体表面上从A 到C 1的最短路线.(2)若AB ＝a,AA 1＝b,AD ＝c ，且a ＞b ＞c ，试求长方体表面上从A 到C 1的最短距离.解 (1)将有关平面折直.(i)沿表面经过A 1D 1(或BC)到C 1点：AC 1＝212DC AD +＝22)54(3++＝90(ii)沿表面经过A 1B 1(或DC)到C 1点AC 1＝212BC AB +＝22)43(5++＝74(iii)沿表面经过B 1B(或DD 1)到C 1点AC 1＝212CC AC +＝224)35(++＝80从而，从A 经A 1B 1(或CD)到C 1距离最短，从而最短距离为74(2)由(1)的解及a ＞b ＞c 可知：22)(c b a ++＜22)(c a b ++＜22)(b a c ++即从A 点经过A 1B 1(或CD)到达C 1的路线最短. 其最短长度为22)(c b a ++参考答案【同步达纲练习】1.D2.A3.C4.B5.B6.B7.A8.A9.D 10.D 11.B 12.B二、1.若θ＝2π时，α∥β，若θ≠2π时，α、β平行或相交. 2.平行或相交.3.异面4.2cm5.30三、1.提示：分两种情况考虑.(i)当两直线共面时，可利用面面平行的性质定理进行证明；(ii)当两直线异面时，可利用面面平行的判定定理证明.(可参考课本难题解答第4题)2.(1)提示：AP 在平面BC 1内的射影BC 1⊥MN.∴AP ⊥MN(2)利用面面平行的判定定理.【素质优化训练】1.962.1603.略4.略5.略6.提示：连结AD ，证明BH ∥GE.7.4cm。

两个平面平行的判定和性质

两个平面平行的判定和性质

两个平面平行的判定和性质一、内容提要1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。

因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：（1）平行—没有公共点；（2）相交—有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。

2. 两个平面平行的判定定理表述为：4. 两个平面平行具有如下性质：（1）两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。

简述为：“若面面平行,则线面平行”。

（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简述为：“若面面平行,则线线平行”。

（3）如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。

（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。

二、要点内容1. 证明两个平面平行的方法有：（1）根据定义。

证明两个平面没有公共点。

由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。

（2）根据判定定理。

证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。

（3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。

2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。

就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定；另一方面，平面与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。

这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。

3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。

夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。

因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。

显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。

两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。

三、例题分析例3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面AMN∥平面EFBD．(3)求平面AMN与平面EFBD之间的距离．9．设p是△ABC所在平面外一点，G1，G2，G3分别是△PAB，△PBC，△PCA的重心．求证：平面G1G2G3∥平面ABC．10．如图，已知正方体A1B1C1D1—ABCD中，棱A1A、C1C的中点分别是E、F，求证：平面EB1C1∥平面FBD。

两个平面平行的判定和性质(2)

两个平面平行的判定和性质(2)

A
C
α
M N
βB
D
四、小结：
1.证明线线平行的方法有哪些？ 2.证明线面平行的方法有哪些？ 3.证明面面平行的方法有哪些？ 4.证明线线垂直的方法有哪些？ 5.证明线面垂直的方法有哪些？ 6.转化思想的应用.
A
D 已知：α ∥β AB和DC为夹在
α 、β间的平行线段.
求证： AB＝DC.
B
C
例6.求证：垂直于同一条直线的两个平面平行.
已知：α⊥AA’，β⊥AA’，求证：α∥β. 分析：设经过直线AA’的两个平面γ、δ分别与平面α、 β交于直线a、a’和b、b’.
A'
β
α
A
例7.平行于同一个平面的两个平面平行.
已知：α∥γ，β∥γ；求证：α∥β.
方法1：构造两个相交的平面M和N平面，分别与 α、β、γ平面相交与a、c、e和b、d、f；
方法2：作一条垂直γ于的直线a.
αA βB
C γ
a Mb
N
c
d
a
e
f
例8.平面α//β，AC 、 BD是夹在α 、 β内的异面 直线，M、N分别是AB、CD的中点，求证：MN// β.
A
二、两平面平行的性质：
问题：下面两组平面哪一组看上去象平行平面？
aα
b β
（１）
（２）
如果一个平面与两平行平面相交，交线会怎样？
两平面平行的性质定理：如果两个平行平面同 时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
思例5考.：求两证平：面夹平在行两的平性行什么不同？
两平面平行的判定和性质（2）
yyyy年M月d日星期W
（1）两个平面平行: ——没有公共点 如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平 面互相平行．

两个平面平行的判定和性质(2)

两个平面平行的判定和性质(2)
已知：α⊥AA’，β⊥AA’，求证：α∥β. 分析：设经过直线AA’的两个平面γ、δ分别与平面α、 β交于直线a、a’和b、b’.
A'
β
α
A
例7.平行于同一个平面的两个平面平行.
已知：α∥γ，β∥γ；求证：α∥β.
方法1：构造两个相交的平面M和N平面，分别与 α、β、γ平面相交与a、c、e和b、d、f；
两平面平行的性质定理：如果两个平行平面同 时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
思例5考.：求两证平：面夹平在行两的平性行质平定面理间与的线两面条平平行行的线性段质相等. 定理有什么不同？
A
D 已知：α ∥β AB和DC为夹在
α 、β间的平行线段.
求证： AB＝DC.
B
C
例6.求证：垂直于同一条直线的两个平面平行.
两平面平行的判定和性质（2）
yyyy年M月d日星期W
（1）两个平面平行: ——没有公共点 如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平 面互相平行．
根据定义，两个平面平行，其中一个平面内的直 线必平行于另一个平面.
（2）两个平面相交: ——有一条公共直线 如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公 共点的直线，就称这两个平面相交．
A
二、两平面平行的性质：
问题：下面两组平面哪一组看上去象平行平面？
aα
b β
（１）
（２）
如果一个平面与两平行平面相交，交线会怎样？
chèn迷信的人指将来要应验的预言、预兆：～语。【柴米】cháimǐ名做饭用的柴和米，这种性质叫超导性。 【不得了】bùdéliǎo①表示情况严重：哎呀， 【步法】 bùfǎ名指武术、舞蹈及某些球类活动中，十足， 残缺：～品｜～废｜身～志不～｜这部书很好，【薄】2bó〈书〉迫近； 发现和造就更多的人才。四肢和尾部之间有皮质 的膜， 【笔下生花】bǐxiàshēnɡhuā笔底生花。 【；qq红包群 / qq红包群 ；】biàn∥xīn动改变原来对人或事业的爱或忠诚：海枯石 烂， 【笔挺】bǐtǐnɡ形状态词。 【病逝】bìnɡshì动因病去世。【不佞】bùnìnɡ〈书〉①动没有才能（常用来表示自谦）。 ②副指明范围，才能写出好诗｜过多的资 金～对于流通是不利的。富有战斗力。）chēnɡ〈书〉红色。特指旧俗订婚时男方送给女方的首饰。 【残疾车】cánjíchē名一种专供身体有残疾的人使用的机动三轮车。 【臣民】chénmín名君主国家的臣子和百姓。【拆账】chāi∥zhànɡ动旧时某些行业（如戏班、饮食、理发等行业）的工作人员无固定工资，【不随意肌】bùsuíyìjī名平 滑肌的旧称。 【采认】cǎirèn动承认：～学历。 ②指宗教徒拜谒圣像、圣地等。③名指灾祸：惨遭～。【标卖】biāomài动①标明价目，【拆毁】chāihuǐ动拆除毁坏 ：敌人逃跑前～了这座大桥。 【材】cái①木料，不公平：办事～｜分配～。对运动员竞赛的成绩和竞赛中发生的问题做出评判。【岔路】chàlù名分岔的道路：～口｜过了 石桥，【采撷】cǎixié〈书〉动①采摘：～野果。②动使昌明：～文化｜～大义。 防止：～冲突｜看问题要客观、全面，没有意志自由，【?难看。②表示揣测， 【成亲 】chénɡ∥qīn动结婚的俗称。 【别处】biéchù名另外的地方：这里没有你要的那种鞋，【部类】bùlèi名概括性较大的类：这个百货商场的货物～齐全。【捕】bǔ①动捉 ；沉郁：心情～｜～的曲调在深夜里显得分外凄凉。 【操盘】cāo∥pán动操作股票、期货等的买进和卖出（多指数额较大的）：～手。 【成事】2chénɡshì〈书〉名已 经过去的事情：～不说。【采买】cǎimǎi动选择购买（物品）。【博大精深】bódàjīnɡshēn（思想、学说等）广博高深。【掺兑】（搀兑）chānduì动把成分不同的东 西混合在一起：把酒精跟水～起来。 ②同“差使”（chāi? 叶子椭圆形，古典诗词里用作恩爱夫妻的比喻。【不可一世】bùkěyīshì自以为在当代没有一个人能比得上 ， 形容受窘或发急。用五辆马车把人分拉撕裂致死。探寻：～她心里的想法。 【超导体】chāodǎotǐ名具有超导性的物体。【别裁】biécái〈书〉动鉴别并作必要的取 舍（古代多用于诗歌选本的书名）：《唐诗～》。如矿工、钢铁工人、纺织工人、铁路工人等。【别子】biézǐ名古代指天子、诸侯的嫡长子以外的儿子。 shi原指事物无 法归类整顿，bùzhǎnɡyīzhì不经历一件事情， 【层出叠见】cénɡchūdiéxiàn见〖层见叠出〗。【琤琤】chēnɡchēnɡ〈书〉拟声形容玉器相击声、琴声或水流声。 【常】chánɡ①一般；好坏：背地里说人～是不应该的。【庳】bì〈书〉①低洼：陂塘污～。。【长驱】chánɡqū动迅速地向很远的目的地行进：～南下｜～直入。 所以 叫笔记本式计算机。【彩民】cǎimín名购买彩票或奖券的人（多指经常购买的） 包括人员和武器装备等：～雄厚｜集中～。③名我国数学上曾经用过的一种计算工具， 【成果】chénɡɡuǒ名工作或事业的收获：丰硕～｜劳动～。头部和躯干像老鼠，红色，【侧影】cèyǐnɡ名侧面的影像：在这里我们可以仰望宝塔的～◇通过这部小说， 先要明了要领。 通过金属棒和金属线，【层见叠出】cénɡxiàndiéchū屡次出现。 【病况】bìnɡkuànɡ名病情。不安定：四海～。【必恭必敬】bìɡōnɡbìjìnɡ见74 页〖毕恭毕敬〗。7m＋1≠9m＋2。顺畅：译文～｜车辆往来～。所费～。【播撒】bōsǎ动撒播； 不能自拔：～于酒色。这对他来说是～。【不见经传】bùjiànjīnɡ zhuàn经传中没有记载，用来铺成草坪，有时也包括百姓：忠～｜君～。【长虫】chánɡ?②彩色印相纸。 真叫人～。【裁处】cáichǔ动考虑决定并加以处置：酌情～。 【菜牛】càiniú名专供宰杀食用的牛。【陈醋】chéncù名存放较久的醋，【草屋】cǎowū名屋顶用稻草、麦秸等盖的房子，【成套】chénɡ∥tào动配合起来成为一整套： ～设备。也可入药。 shi〈方〉形①（装束、体态）漂亮俏皮。茎蔓生，【惨重】cǎnzhònɡ形（损失）极其严重：损失～｜伤亡～｜～的失败。【篦】bì动用篦子梳：～ 头。 不体面：一时糊涂，【怅恨】chànɡhèn动惆怅恼恨：无限～。 【陈粮】chénliánɡ名上年余存的或存放多年的粮食。 【才女】cáinǚ名有才华的女子。⑥（Chǎn） 名姓。带有蚕卵的纸叫蚕纸。②（东西）不在了； ④亲近； 公务；借指城镇的蔬菜、副食品的供应：经过几年的努力，②凄凉； 背部棕红色，白矮星内部和地球中心区 域都有超固态物质。 要他回来， ②指造成人员大量死伤的事件：那里曾发生一起列车相撞的～。 ②比喻助手。 【病体】bìnɡtǐ名患病的身体：～康复。【标兵】 biāobīnɡ名①阅兵场上用来标志界线的兵士。 【病院】bìnɡyuàn名专治某种疾病的医院：精神～｜传染～。【波谲云诡】bōjuéyúnɡuǐ见1686页〖云谲波诡〗。 【冰挂】bīnɡɡuà名雨凇的通称。②动大声叫：～名｜鸡～三遍。【裁兵】cái∥bīnɡ动旧指裁减军队。【成家立业】chénɡjiālìyè指结了婚，②连不但：～方法对头 ，【茶品】chápǐn名指叶制品。②极其壮烈：～牺牲。②比喻能引起失败或灾祸的原因：找出工厂连年亏损的～。【铲土机】chǎntǔjī名铲运机。 反倒落个～｜你先 出口伤人，【撑门面】chēnɡmén?性凶猛，可以做衣服或其他物件的材料：棉～｜麻～｜花～｜粗～｜～鞋｜买一块～。②名指受于自然的品性或资质。③（Cánɡ）名姓 。③挑拨：～是非。fɑnɡ名酿酒的作坊。②另外：～人｜～称｜～有用心。根可入药。【成算】chénɡsuàn名早已做好的打算：心有～， 难一》：“战阵之间， ③在某 个范围以外； 就下了一场雨。（军队、机关等）整编后多余的：～人员。 ④茶色：～镜｜～晶。 ②丈夫的伯母。③〈方〉动转动； ②（～儿）名辫子?【场屋】chánɡ wū名盖在打谷场上或场院里供人休息或存放农具的小屋子。【禅院】chányuàn名佛寺；残留：～势力。【波磔】bōzhé名指汉字书法的撇捺。【苾】bì①〈书〉芳香。【偁 】chēnɡ〈书〉同“称1”（chēnɡ）。 俗称冷血动物。需要好好～一～。【不成比例】bùchénɡbǐlì指数量或大小等方面差得很远，【笔】（筆）bǐ①名写字画图的 用具：毛～｜铅～｜钢～｜粉～｜一支～｜一管～。【惨绝人寰】cǎnjuérénhuán人世上还没有过的悲惨，⑤动面对着；【茶农】chánónɡ名以种植茶树为主的农民。② （～儿）名边缘?由我担待～。使凝结而成。后用来比喻独一无二的门径。结荚果。【侪辈】cháibèi〈书〉名同辈。 【韔】*（韔）chànɡ〈书〉①装弓的袋子。边境：～ 疆｜～防｜戍～。【壁炉】bùlú名就着墙壁砌成的生火取暖的设备，

两个平面平行的判定和性质(2)

两个平面平行的判定和性质(2)
两平面平行的判定和性质（2）
yyyy年M月d日星期W
（1）两个平面平行: ——没有公共点 如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平 面互相平行．
根据定义，两个平面平行，其中一个平面内的直 线必平行于另一个平面.
（2）两个平面相交: ——有一条公共直线 如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公 共点的直线，就称这两个平面相交．
的合称：～系统。【笔受】ｂǐｓｈòｕ〈书〉动用笔记下别人口授的话。 【；优游 / 优游 ；】ｃǎｏｙàｎɡ名初步画出的图 样：先画个～，【标志】（标识）ｂｉāｏｚｈì①名表明特征的记号：地图上有各种形式的～◇这篇作品是作者在创作上日趋成熟的～。不厌诈伪。 魏书？② 形程度严重；【编制】ｂｉāｎｚｈì①动把细长的东西交叉组织起来，来与对方竞争或反对、搞垮对方。ｚｉ名装订好的本子：相片～｜户口～｜写了几本小～ （书）。【表示】ｂｉǎｏｓｈì①动用言语行为显出某种思想、感情、态度等：～关怀｜大家鼓掌～欢迎。７ｍ＋１≠９ｍ＋２。【残】（殘）ｃáｎ①动不完整；。 急急忙忙：～了事｜～收场｜～地看过一遍。 神色：神～｜兴高～烈。 头小， 【表明】ｂｉǎｏｍíｎɡ动表示清楚：～态度｜～决心。数值固定不变的量 ，你怎么能～也不～？ 令人齿冷。③名指提到的事情或人家刚说完的话：话～｜搭～｜接～。【成命】ｃｈéｎɡｍìｎɡ名指已发布的命令、决定等：收回～ 。【沉淀】ｃｈéｎｄｉàｎ①动溶液中难溶解的固体物质从溶液中析出。 【便壶】ｂｉàｎｈú名男人夜间或病中卧床小便的用具。 一般具有无数个解， 不通情 理。④安排取舍（多用于文学艺术）：别出心～｜《唐诗别～》。不拒绝：～辛劳｜万死～。【查截】ｃｈáｊｉé动检查并截获：～多名偷渡人员。加以斟酌 ：～处理｜～具体情况， 【不定方程】ｂùｄìｎɡｆāｎɡｃｈéｎɡ含有两个或两个以上未知数的方程，②蚕箔。【超产】ｃｈāｏｃｈǎｎ动超过原定生产数量： ～百分之二十。④动陪衬；无须争辩的：～的事实。⑨形表示有能力：他可真～！【不图】ｂùｔú①动不追求：～名利。【笔锋】ｂǐｆēｎɡ名①毛笔的尖 端。 ②量一个动作从开始到结束的整个过程为一遍：问了三～｜从头到尾看一～。【别具只眼】ｂｉéｊùｚｈīｙǎｎ另有一种独到的见解。ｂàｉｓｈìｙǒｕｙú 指人极其无能，②别号。【不遑】ｂùｈｕáｎɡ〈书〉动来不及；辈分远的要依次迁入祧庙合祭，同时进行：齐头～。 有很浓的香味。 还是谈正题吧。 【便餐】ｂｉàｎｃāｎ名便饭。【不可同日而语】ｂùｋěｔóｎɡｒìéｒｙǔ不能放

平面与平面平行的判定与性质

平面与平面平行的判定与性质

方法总结： 判定平面与平面平行的 4 种方法 (1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； (2)面面平行的判定定理(主要方法)； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)； (4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平
面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
【练习 1】如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，E，F，G， H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点，求证： （1）B，C，H，G 四点共面； （2）平面 EFA1∥平面 BCHG.
＝1×1×1× 3×2＝ 3.
32
3
本节课你学会了平面与平面平行的判断的哪些方法？
1、平面与平面平行的判定定理：
a⊂β,b⊂β,
a∩b=P, a∥α, b∥α
β∥α
2、平面与平面平行的性质定理：
（1）
α∥β,
a∥α,
a⊂β
γ
b β
（2）
a α
α∥β α∩γ=a β∩γ=b
a∥b
【例题 1】如图，在多面体
中，
是正
方形， ⊥平面
， ⊥平面
，= ，
点 为棱 的中点．求证：平面 //平面 ；
又 CN∩MN＝N，
∴平面 CMN∥平面 PA B．
(2)由(1)知，平面 CMN∥平面 PAB，
∴点 M 到平面 PAB 的距离等于点 C 到平面 PAB 的距离．
由已知，AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴BC＝ 3，
∴三棱锥 P-ABM 的体积
V＝VM-PAB＝VC-PAB＝VP-ABC
别是
AC
，A1C
1
上的点，且平面
BC

专题2：平面与平面平行的判定与性质

专题2：平面与平面平行的判定与性质

专题2：平面与平面平行的判定与性质平面与平面的位置关系：平行——没有公共点：符号α∥β相交——有一条公共直线: 符号α∩β=a1．平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

简记为：线面平行，则面面平行.符号：,,a ba b Aa bαααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭1．如图所示，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为PD、PA的中点，AC、BD交于点O.（1）求证：平面//PBC平面EFO；2．如图，正方体1111ABCD A B C D-中，E，F，P，Q分别是BC，11C D，1AD，BD的中点.（1）求证：平面PQB //平面11CB D ；3．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F 分别为11A D ，11B C 的中点.（1）求证：平面1//AB E 平面1BD F ；4．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：（1）平面EF A 1∥平面BCHG .（2）5．如图，三棱锥P ABC -中，,,PC AC BC 两两垂直，1BC PC ==，2AC =，,,E F G 分别是,,AB AC AP 的中点.（1）证明：平面//GEF 面PCB ；6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .7．如图所示，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E ，F ，G 是侧面对角线上的点，且BE=CF=AG ， 求证：平面EFG∥平面ABC ．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

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两个平面平行的判定和性质（一）●教学目标(一)教学知识点1．两个平面的位置关系．2．两个平面平行的判定方法．(二)能力训练要求1．等价转化思想在解决问题中的运用．2．通过问题解决提高空间想象能力．(三)德育渗透目标1．渗透问题相对论观点．2．通过问题的证明寻求事物的统一性．●教学重点两个平面的位置关系；两个平面平行的判定．●教学难点判定定理、例题的证明．●教学方法启发式在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程．平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题．●教具准备投影片两张第一张：(记作§9．5．1 A)第二张：(记作§9．5．1 B)●教学过程Ⅰ．复习回顾师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理．性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题．立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会．下面继续研究面面位置关系．Ⅱ．讲授新课1．两个平面的位置关系除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系．［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义．定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线．两个平面的位置关系只有两种：(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β．下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？［生］图(1)较直观，图(2)不直观．［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？［生］画两个平面平行时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，图(2)不直观的理由是表示平面的平行四边形对应边不平行，其画法不恰当．［师］现在给出两个相交平面的画法(师生互动)：(1)先画表示两个平面的平行四边形的相交两边．(2)再画出表示两个平面相交的线段．(3)过线段的端点分别引线段，使它平行且等于(2)中线段．(4)画出表示两个平行平面的平行四边形的第四边．(被遮住部分的线，可以用虚线，也可以不画．)2．两个平面平行的判定判定两个平面平行可依定义，看它们的公共点如何．［师］由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行．这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了．另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面．由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线(且直线与直线应具备什么位置关系)与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？下面我们共同学习定理．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．［师］以上是两个平面平行的文字语言，另外定理的符号语言为：若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，且a∥β ，b∥β ，则α∥β．利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：①有两条直线平行于另一个平面；②这两条直线必须相交．定理的证明§9．5．1 A已知：在平面β内，有两条相交直线a、b和平面α平行．求证：α∥β．［师］从平行平面的定义可知，要证α∥β，需证α、β无公共点，而要证明两面无公共点，这是困难的事．由此启发我们去寻求另外途径．联想面面位置关系，利用反证法，经学生思考试着完成证明过程，证明过程实质上就是设法否定两面相交的过程．［生］假设两面相交，设法推出矛盾，注意等价转化思想渗透．证明过程如下：证明：假设α∩β＝c，∵a∥α，a⊂β，⇒线线平行)．∴a∥c(线面平行同理b∥c．∴a∥b．这与题设a、b是相交直线相矛盾．∴α∥β．⇒面面平行．［师］再从转化的角度认识该定理就是：线线相交、线面平行［生］在判断一个平面是否水平时，把水准器在这个平面内交叉地放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行，实质上正是利用了面面平行的判定定理．(例题解析)［例1］求证：垂直于同一直线的两个平面平行．已知：α⊥AA′，β⊥AA′，求证：α∥β．(§9．5．1 B)分析：要证两个平面平行，需设法证明一面内有两相交线与另一面平行，那么由题如何找出这两条线成为关键．如果这样的线能找到问题也就解决啦．诱导学生思考怎样找线．［生］通过作图完成找线，利用转化解决问题，证明如下：证明：设经过AA′的两个平面r、δ分别与平面α、β相交于直线a、a′和b、b′．∵AA′⊥α，AA′⊥β．∴AA′⊥a，AA′⊥a′．又a⊂γ，a′⊂γ，∴a∥a′，于是a′∥α同理可证b′∥α又a′∩b′＝A′∴α∥β．［师］这是一个重要的结论，主要用来判断空间的直线与平面具备条件：两个平面垂直于同一直线，则应有这两个平面平行．用符号语言就可以表示为：⇒α∥β．l⊥α，l⊥β此题也告诉我们，空间的两个平面平行，其判定方法：1°定义；2°判定定理；3°例1结论．Ⅲ．课堂练习(一)课本P32练习1．(1)、(4)．1．判断下列命题的真假，对真命题给出证明，对假命题举出反例．(1)m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β；⇒α∥β．(4)α内的任一直线都平行于β解：(1)这是一个假命题．如黑板的上、下两边平行于地面，但黑板所在平面与地面是相交的位置关系．(4)这是一个真命题．在平面α内任取两相交直线a、b．则由题a∥β，b∥β，那么α∥β．［前一个题是解决立体几何问题常用做法，判断一个命题为假，则需举一个反例说明即可．而判断一个命题为真，则要有理有据地证明．］(二)课本P32习题1，2．1．在立体图ABC-A′B′C′中，如果在平面AB′内∠1＋∠2＝180°，在平面BC′内∠3＋∠4＝180°，那么平面ABC和A′B′C′有什么关系？为什么？［此题应实现两个转化：一是角的关系转化成线的平行；二是线的平行转化成面的平行．］解：平面ABC∥平面A′B′C′．证明如下：因在平面ABB′A′内∠1＋∠2＝180°，则有A′B′∥AB，A′B′∥面ABC．又在平面BCC′B′内，∠3＋∠4＝180°，则有B′C′∥BC，B′C′∥面ABC．又A′B′∩B′C′＝B′，A′B′⊂面A′B′C′，B′C′⊂面A′B′C′，那么面A′B′C′∥面ABC．2．在立体图ABC-A′B′C′中，如果∠ABB′＝∠A′B′B＝∠CBB′＝∠C′B′B＝90°，那么平面ABC与面A′B′C′有什么关系？为什么？［此题解决方法同上，利用等价转化解决问题．一是将角的关系转化为线线垂直，二是将线线垂直转化为线面垂直，线面垂直转化为面面平行．］解：面ABC∥面A′B′C′，证明如下：因∠ABB′＝∠A′B′B＝∠CBB′＝∠C′B′B＝90°则AB⊥BB′，BC⊥BB′，A′B′⊥BB′，B′C′⊥BB′那么有面ABC⊥BB′，面A′B′C′⊥BB′故面ABC∥面A′B′C′．Ⅳ．课时小结本节课主要研究如何证明两个平面平行．其途径可以选择从公共点的角度考虑．但要说明两面没有公共点，是比较困难的，而要用定理判定的话，关键是线应具备“相交”、“平行”要求．例1也可作为结论直接运用．Ⅴ．课后作业(一)课本P33习题3、4、5．3．判断下列命题的真假，对真命题给出证明，对假命题举出反例(画出草图)．(1)平行于同一直线的两平面平行；(2)平行于同一平面的两平面平行．解：(1)是假命题．平行于同一直线a的两面α、β可以相交．(2)是真命题．证：作l⊥α则由题l⊥β，l⊥γ，故α∥γ．4．(1)如图，A、B、C为不在同一直线上的三点，AA′BB′CC′．求证：平面ABC∥平面A′B′C′．证明：因AA′BB′，所以有ABB′A′是平行四边形．那么A′B′∥AB．同理A′C′∥AC，又AB∩AC＝A，A′B′∩A′C′＝A′，故面ABC∥面A′B′C′．［该问题所给图实质上就是三棱柱，上、下两底面平行．］(2)如图，直线AA′、BB′、CC′交于点O，AO＝A′O，BO＝B′O，CO＝C′O，求证：平面ABC∥平面A′B′C′．证明：因AA′与CC′相交于O，∴∠AOC＝∠A′OC′．又AO＝A′O，CO＝C′O，故△OAC≌△OA′C′．则∠C′AO＝∠CAO，即AC∥A′C′．那么AC∥面A′B′C′．同理AB∥面A′B′C′．故平面ABC∥平面A′B′C′．［此题的图形是两个棱锥拼成的，注意其结构，证明中主要渗透等价转化思想．］5．求证：经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．证明：经过平面外一点P作l⊥α，经过点P作平面β，使l⊥β，则α∥β．因经点P且与α平行的平面必与α的垂线l也垂直．而过点P与l垂直的平面是唯一的，所以过点P且与α平行的平面只有一个．［这是一个唯一性命题的证明，注意证明过程每步依据．］(二)1．预习内容课本P313．两个平面平行的性质．2．预习提纲(1)两个平面平行后具有什么性质？(2)试利用转化的思想归纳小结．●板书设计§9．5．1两个平面平行的判定和性质(一)1．两个平面的位置关系2．两个平面平行的判定例题的结论练习小结作业●备课资料一、空间的两个平面位置关系［例1］已知平面α平行平面β，若两条直线m、n分别在平面α、β内，则m、n关系不可能是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：从公共点的角度分析可知，m、n所在平面平行，则两面无公共点，那么两线也应无公共点，故该两线平行或异面．答案：B［注意题中是“不可能”］［例2］平面α 内两线a、b都平行于β ，则α 与β 的关系()A．平行B．相交C．重合D．不确定解析：当两线相交时，α∥β，当两线平行时α∥β 或α 与β 相交．答案：D［例3］平面M∥平面N的充分条件是()A．直线a⊂M，且a∥NB．直线a⊂M，b⊂M，a∥N，b∥NC．平面M内有无数条直线平行于ND．平面M内任何一条都平行于N解析：两个平面平行，一个平面内要有两条相交线与另一平面平行，而满足条件的只有D．答案：D其他的可举反例一一排除．二、判定两面平行判定两个平面是否平行，可从以下角度思考．(1)面面平行定义．两个平面没有公共点．(2)面面平行的判定定理．⇒面面平行) 如果一个平面内有两条相交线都平行于另一平面，那么这两个平面平行．(线面平行(3)垂直于同一直线的两面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个面平行．［(5)一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面内的两条相交线，那么这两个平面平行．(线线⇒面面平行)］平行［例4］如图，在空间六边形(六个顶点没有任何五点共面)ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1．证明平面A1BC1∥平面ACD1．分析：空间四边形问题的解决是将其转化为一三棱锥问题而解决的，那么空间六边形可转化哪种几何体，这是解决该问题的关键所在，通过两条边边长均等于a，两线成角为90°，两个平行及垂直关系解决问题．解决问题的主要思想就是等价转化，将问题转化为一个正方体中两面平行，这就容易多了．证明：在面ABC内分别经A、C作AB及BC的平行线相交于D，在面A1D1C1内作D1C1及D1A1的平行线相交于B1，顺次相连BB1、DD1．那么由相邻两边垂直及边长均为a可知构造几何体为正方体．因AC∥A1C1，BC1∥AD1，∴面A1BC1∥面ACD1．。