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线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
两平面平行的判定方法平面几何中，两平面平行是重要的概念，因为它涉及到许多实际问题，例如建筑、地图制作和制造业。
在本文中，我们将讨论10种不同的方法来判断两个平面是否平行，并提供详细说明。
1. 平行线性质法确定两个平面是否平行的最简单方法之一是检查它们所包含的直线。
如果两个平面包含两组平行直线，则这两个平面平行。
这被称为平行线性质。
平面上的平行线永远不会相交，而它们的距离始终相等。
2. 夹角相等法两个平面平行的另一种方法是它们的夹角相等。
当两个平面之间的夹角相等时，它们被认为是平行的。
这里需要注意的是，夹角是指两个平面的法线之间的角度。
3. 垂线判定法如果一条直线是第一个平面上的一条直线，并且以该直线垂直于第二个平面，则第一个平面和第二个平面是平行的。
垂线判定法基于这个原理。
这可通过将两个平面移到同一位置并在它们之间引入垂线来证明。
4. 辅助平面法辅助平面法是一种使用第三平面来判断两个平面平行的方法。
如果两个平面与第三个平面平行，则它们彼此平行。
该方法特别适用于设计要求多个平面平行的情况，例如构建多层建筑物。
5. 截线判定法如果一条直线是第一个平面和第二个平面上的两条直线的截线，则这两个平面平行。
截线判定法基于这个概念。
如果相交的两条线都是平面上的同一直线的截线，则这两个平面平行。
6. 倾斜角相等法倾斜角相等法是一种快速确定两个平面是否平行的方法。
如果两个平面的倾斜角相等，则这两个平面是平行的。
这种方法只能用于倾斜角相等的情况。
7. 向量法向量法是另一种判断两个平面是否平行的方法。
如果两个平面的法线向量相同，则它们是平行的。
将两个平面的向量相减，如果它们的值为零，则它们平行。
8. 距离法距离法是判断两个平面平行的一个简单方法，它基于平面之间的平行线性质。
如果两个平面的法线距离相等，则这两个平面平行。
用法线测量两个平面之间的距离，以确定它们是否平行。
9. 投影法投影法可以通过平面上点的投影来确定两个平面是否平行。
两个平面平行的判定和性质（一）●教学目标(一)教学知识点1．两个平面的位置关系．2．两个平面平行的判定方法．(二)能力训练要求1．等价转化思想在解决问题中的运用．2．通过问题解决提高空间想象能力．(三)德育渗透目标1．渗透问题相对论观点．2．通过问题的证明寻求事物的统一性．●教学重点两个平面的位置关系；两个平面平行的判定．●教学难点判定定理、例题的证明．●教学方法启发式在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程．平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题．●教具准备投影片两张第一张：(记作§9．5．1 A)第二张：(记作§9．5．1 B)●教学过程Ⅰ．复习回顾师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理．性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题．立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会．下面继续研究面面位置关系．Ⅱ．讲授新课1．两个平面的位置关系除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系．［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义．定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线．两个平面的位置关系只有两种：(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β．下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？［生］图(1)较直观，图(2)不直观．［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？［生］画两个平面平行时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，图(2)不直观的理由是表示平面的平行四边形对应边不平行，其画法不恰当．［师］现在给出两个相交平面的画法(师生互动)：(1)先画表示两个平面的平行四边形的相交两边．(2)再画出表示两个平面相交的线段．(3)过线段的端点分别引线段，使它平行且等于(2)中线段．(4)画出表示两个平行平面的平行四边形的第四边．(被遮住部分的线，可以用虚线，也可以不画．)2．两个平面平行的判定判定两个平面平行可依定义，看它们的公共点如何．［师］由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行．这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了．另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面．由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线(且直线与直线应具备什么位置关系)与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？下面我们共同学习定理．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．［师］以上是两个平面平行的文字语言，另外定理的符号语言为：若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，且a∥β ，b∥β ，则α∥β．利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：①有两条直线平行于另一个平面；②这两条直线必须相交．定理的证明§9．5．1 A已知：在平面β内，有两条相交直线a、b和平面α平行．求证：α∥β．［师］从平行平面的定义可知，要证α∥β，需证α、β无公共点，而要证明两面无公共点，这是困难的事．由此启发我们去寻求另外途径．联想面面位置关系，利用反证法，经学生思考试着完成证明过程，证明过程实质上就是设法否定两面相交的过程．［生］假设两面相交，设法推出矛盾，注意等价转化思想渗透．证明过程如下：证明：假设α∩β＝c，∵a∥α，a⊂β，⇒线线平行)．∴a∥c(线面平行同理b∥c．∴a∥b．这与题设a、b是相交直线相矛盾．∴α∥β．⇒面面平行．［师］再从转化的角度认识该定理就是：线线相交、线面平行［生］在判断一个平面是否水平时，把水准器在这个平面内交叉地放两次，如果水准器的气泡都是居中的，就可以判定这个平面和水平面平行，实质上正是利用了面面平行的判定定理．(例题解析)［例1］求证：垂直于同一直线的两个平面平行．已知：α⊥AA′，β⊥AA′，求证：α∥β．(§9．5．1 B)分析：要证两个平面平行，需设法证明一面内有两相交线与另一面平行，那么由题如何找出这两条线成为关键．如果这样的线能找到问题也就解决啦．诱导学生思考怎样找线．［生］通过作图完成找线，利用转化解决问题，证明如下：证明：设经过AA′的两个平面r、δ分别与平面α、β相交于直线a、a′和b、b′．∵AA′⊥α，AA′⊥β．∴AA′⊥a，AA′⊥a′．又a⊂γ，a′⊂γ，∴a∥a′，于是a′∥α同理可证b′∥α又a′∩b′＝A′∴α∥β．［师］这是一个重要的结论，主要用来判断空间的直线与平面具备条件：两个平面垂直于同一直线，则应有这两个平面平行．用符号语言就可以表示为：⇒α∥β．l⊥α，l⊥β此题也告诉我们，空间的两个平面平行，其判定方法：1°定义；2°判定定理；3°例1结论．Ⅲ．课堂练习(一)课本P32练习1．(1)、(4)．1．判断下列命题的真假，对真命题给出证明，对假命题举出反例．(1)m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β；⇒α∥β．(4)α内的任一直线都平行于β解：(1)这是一个假命题．如黑板的上、下两边平行于地面，但黑板所在平面与地面是相交的位置关系．(4)这是一个真命题．在平面α内任取两相交直线a、b．则由题a∥β，b∥β，那么α∥β．［前一个题是解决立体几何问题常用做法，判断一个命题为假，则需举一个反例说明即可．而判断一个命题为真，则要有理有据地证明．］(二)课本P32习题1，2．1．在立体图ABC-A′B′C′中，如果在平面AB′内∠1＋∠2＝180°，在平面BC′内∠3＋∠4＝180°，那么平面ABC和A′B′C′有什么关系？为什么？［此题应实现两个转化：一是角的关系转化成线的平行；二是线的平行转化成面的平行．］解：平面ABC∥平面A′B′C′．证明如下：因在平面ABB′A′内∠1＋∠2＝180°，则有A′B′∥AB，A′B′∥面ABC．又在平面BCC′B′内，∠3＋∠4＝180°，则有B′C′∥BC，B′C′∥面ABC．又A′B′∩B′C′＝B′，A′B′⊂面A′B′C′，B′C′⊂面A′B′C′，那么面A′B′C′∥面ABC．2．在立体图ABC-A′B′C′中，如果∠ABB′＝∠A′B′B＝∠CBB′＝∠C′B′B＝90°，那么平面ABC与面A′B′C′有什么关系？为什么？［此题解决方法同上，利用等价转化解决问题．一是将角的关系转化为线线垂直，二是将线线垂直转化为线面垂直，线面垂直转化为面面平行．］解：面ABC∥面A′B′C′，证明如下：因∠ABB′＝∠A′B′B＝∠CBB′＝∠C′B′B＝90°则AB⊥BB′，BC⊥BB′，A′B′⊥BB′，B′C′⊥BB′那么有面ABC⊥BB′，面A′B′C′⊥BB′故面ABC∥面A′B′C′．Ⅳ．课时小结本节课主要研究如何证明两个平面平行．其途径可以选择从公共点的角度考虑．但要说明两面没有公共点，是比较困难的，而要用定理判定的话，关键是线应具备“相交”、“平行”要求．例1也可作为结论直接运用．Ⅴ．课后作业(一)课本P33习题3、4、5．3．判断下列命题的真假，对真命题给出证明，对假命题举出反例(画出草图)．(1)平行于同一直线的两平面平行；(2)平行于同一平面的两平面平行．解：(1)是假命题．平行于同一直线a的两面α、β可以相交．(2)是真命题．证：作l⊥α则由题l⊥β，l⊥γ，故α∥γ．4．(1)如图，A、B、C为不在同一直线上的三点，AA′BB′CC′．求证：平面ABC∥平面A′B′C′．证明：因AA′BB′，所以有ABB′A′是平行四边形．那么A′B′∥AB．同理A′C′∥AC，又AB∩AC＝A，A′B′∩A′C′＝A′，故面ABC∥面A′B′C′．［该问题所给图实质上就是三棱柱，上、下两底面平行．］(2)如图，直线AA′、BB′、CC′交于点O，AO＝A′O，BO＝B′O，CO＝C′O，求证：平面ABC∥平面A′B′C′．证明：因AA′与CC′相交于O，∴∠AOC＝∠A′OC′．又AO＝A′O，CO＝C′O，故△OAC≌△OA′C′．则∠C′AO＝∠CAO，即AC∥A′C′．那么AC∥面A′B′C′．同理AB∥面A′B′C′．故平面ABC∥平面A′B′C′．［此题的图形是两个棱锥拼成的，注意其结构，证明中主要渗透等价转化思想．］5．求证：经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．证明：经过平面外一点P作l⊥α，经过点P作平面β，使l⊥β，则α∥β．因经点P且与α平行的平面必与α的垂线l也垂直．而过点P与l垂直的平面是唯一的，所以过点P且与α平行的平面只有一个．［这是一个唯一性命题的证明，注意证明过程每步依据．］(二)1．预习内容课本P313．两个平面平行的性质．2．预习提纲(1)两个平面平行后具有什么性质？(2)试利用转化的思想归纳小结．●板书设计§9．5．1两个平面平行的判定和性质(一)1．两个平面的位置关系2．两个平面平行的判定例题的结论练习小结作业●备课资料一、空间的两个平面位置关系［例1］已知平面α平行平面β，若两条直线m、n分别在平面α、β内，则m、n关系不可能是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：从公共点的角度分析可知，m、n所在平面平行，则两面无公共点，那么两线也应无公共点，故该两线平行或异面．答案：B［注意题中是“不可能”］［例2］平面α 内两线a、b都平行于β ，则α 与β 的关系()A．平行B．相交C．重合D．不确定解析：当两线相交时，α∥β，当两线平行时α∥β 或α 与β 相交．答案：D［例3］平面M∥平面N的充分条件是()A．直线a⊂M，且a∥NB．直线a⊂M，b⊂M，a∥N，b∥NC．平面M内有无数条直线平行于ND．平面M内任何一条都平行于N解析：两个平面平行，一个平面内要有两条相交线与另一平面平行，而满足条件的只有D．答案：D其他的可举反例一一排除．二、判定两面平行判定两个平面是否平行，可从以下角度思考．(1)面面平行定义．两个平面没有公共点．(2)面面平行的判定定理．⇒面面平行) 如果一个平面内有两条相交线都平行于另一平面，那么这两个平面平行．(线面平行(3)垂直于同一直线的两面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个面平行．［(5)一个平面内的两条相交线分别平行于另一个平面内的两条相交线，那么这两个平面平行．(线线⇒面面平行)］平行［例4］如图，在空间六边形(六个顶点没有任何五点共面)ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1．证明平面A1BC1∥平面ACD1．分析：空间四边形问题的解决是将其转化为一三棱锥问题而解决的，那么空间六边形可转化哪种几何体，这是解决该问题的关键所在，通过两条边边长均等于a，两线成角为90°，两个平行及垂直关系解决问题．解决问题的主要思想就是等价转化，将问题转化为一个正方体中两面平行，这就容易多了．证明：在面ABC内分别经A、C作AB及BC的平行线相交于D，在面A1D1C1内作D1C1及D1A1的平行线相交于B1，顺次相连BB1、DD1．那么由相邻两边垂直及边长均为a可知构造几何体为正方体．因AC∥A1C1，BC1∥AD1，∴面A1BC1∥面ACD1．。
