典型例题一例1：已知正方体ABCD - A1B1C1D1. 求证：平面AB1D111平面C1BD . 证明：T ABCD - A1B1C1D1为正方体,••• D1A//C1B ,又C1B 平面C1BD , 故D1A// 平面C1BD .同理D1B1 //平面C1BD .又D1A D1B1 D1 ,•••平面AB1D1// 平面C1BD .说明：上述证明是根据判定定理1实现的.本题也可根据判定定理2证明，只需连接AC 即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离.典型例题二例2:如图，已知// , A a, A求证：a .证明：过直线a作一平面，设b .•/ //••• a1 // b又a//• a//b在同一个平面内过同一点A有两条直线a,a1与直线b平行• a与a1重合，即a说明：本题也可以用反证法进行证明.典型例题三例3:如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交.已知：如图，// ,1 A.求证：I与相交.证明：在上取一点B，过I和B作平面，由于与a有公共点A , 与有公共点B .•••与、都相交.设a, b .•/ //• a//b又I、a、b都在平面内，且I和a交于A .T I与b相交.所以I与相交.典型例题四例4:已知平面// , AB , CD 为夹在a ,间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点.求证：EF〃, EF // .证明：连接AF并延长交于G .••• AG CD F• AG , CD确定平面，且DG .•/// ，所以AC//DG ,ACF GDF ,又AFC DFG , CF DF ,••• △ ACF ◎△ DFG •••• AF FG •又AE BE ,• EF//BG, BG •故EF // •同理EF //说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理.典型例题六例6如图，已知矩形ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为A1、B1、G、D1，且A、B i、C i、D i互不重合，也无三点共线. 求证：四边形A i B i C i D i是平行四边形.证明：T AA , DD i•- AA // DD i不妨设AA和DD i确定平面 . 同理BB i和CC i确定平面又AA i // BB i，且BB i• AA //同理AD //又AA i AD A//A D i,B iC i同理 AB 〃C i D i ••••四边形 ABQ i D i 是平行四边形.典型例题七m//1，所以m ，又T m , • // •选项D 也是错误的，满足条件的可能与 相交.答案：C说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致.本例这样的选择题是常见题目， 要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、 公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况.典型例题八例8 设平面 平面，平面 平面，且、 分别与 相交于a 、b , a//b .求 证：平面 //平面 . 分析：要证明两平面平行，只要设法在平面 上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与平行（如图）•例7设直线I 、m ，平面F 列条件能得出〃的是（ ）•A •I,m ，且 I //, m//C . I ,m，且 1 // m分析： 选项A 是错误的，因为当 I //m时,B • I , m ，且 I // m D • I // , m// ，且 I // m与可能相交•选项 B 是错误的，理由同A .选项C 是正确的，因为|证明：在平面内作直线PQ 直线a，在平面内作直线MN 直线b ••••平面平面，••• PQ 平面，MN 平面，••• PQ//MN •又•/ a// p, PQ a Q , MN b N ,•平面//平面•说明：如果在、内分别作PQ , MN ，这样就走了弯路，还需证明PQ、MN在、内，如果直接在、内作a、b的垂线，就可推出PQ// MN •由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行” •其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要.典型例题九⑴求证：MN //⑵求MN的长.,取AD的中点P ,只要证明MN所在的平面PMN //此证明PM // , PN //即可.（2）要求MN之长，在CMA中，CM、CN的长度易知,关键在于证明MN CD，从而由勾股定理可以求解.证明：（1）连结AD，设P是AD的中点，分别连结PM、PN • •/ M 是AB 的中点，• PM //BD •PM //例9如图所示，平面//平面，点A、C，点B、D ,AB a 是的公垂线，CD是斜线•若AC BD b, CD c, M、N分别是AB和CD的中点, 分析：（1）要证MN //又BD同理••• N是CD的中点，••• PN//AC ••/ AC ,• PN // ••/// , PN PM P，•平面PMN //••• MN 平面PMN , • MN //(2)分别连结MC、MD •1••• AC BD b, AM BM a , 2又••• AB是、的公垂线，• CAMDBM 90 ,• Rt ACM 也Rt BDM , • CM DM ,•- DMC是等腰三角形.又N是CD的中点，• MN CD •____________ 1 _______________在Rt CMN 中，MN CM2CN24b2a2c2•2说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略.(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解.⑶面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行.线线平行胡』线面平行面面平行典型例题十例10如果平面内的两条相交直线与平面所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是___________ •分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究. 解：设a、b是平面内两条相交直线.(1)若a、b都在平面内，a、b与平面所成的角都为0，这时与重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑.⑵若a、b都与平面相交成等角，且所成角在(0 ,90)内；••• a、b与有公共点，这时与相交.若a、b都与平面成90角，贝U a//b，与已知矛盾.此种情况不可能.(3)若a、b都与平面平行，则a、b与平面所成的角都为0 , 内有两条直线与平面平行，这时〃综上，平面、的位置关系是相交或平行．典型例题十一例11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：A 平面，求证：过A有且只有一个平面/ .分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可.证明：在平面内任作两条相交直线a和b，则由A 知，A a, A b.点A和直线a可确定一个平面M，点A和直线b可确定一个平面N .在平面M、N内过A分别作直线a'// a、b'//b ,故a '、b'是两条相交直线，可确定一个平面.T a , a , a //a，二a //同理b ' // .又a , b , a b A，二// .所以过点A有一个平面// .假设过A点还有一个平面// ,则在平面内取一直线c , A c，点A、直线c确定一个平面，由公理2知：m ，n，••• m//c, n//c ,又A m，A n，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，所以平面只有一个.所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.典型例题十二例12已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA SB SC, SG为SAB 上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF内的位置关系，并给予证明分析1：如图，观察图形，即可判定SG//平面DEF，要证明结论成立，只需证明SG 与平面DEF内的一条直线平行.观察图形可以看出：连结CG与DE相交于H ,连结FH , FH就是适合题意的直线. 怎样证明SG// FH ?只需证明H是CG的中点.证法1:连结CG交DE于点H ,•/ DE是ABC的中位线，••• DE//AB .在ACG中，D是AC的中点，且DH // AG ,•H为CG的中点.•/ FH 是SCG的中位线，• FH //SG .又SG 平面DEF , FH 平面DEF ,•SG// 平面DEF .分析2:要证明SG//平面DEF，只需证明平面SAB //平面DEF，要证明平面DEF //平面SAB，只需证明SA//DF , SB// EF而SA// DF , SB// EF可由题设直接推出.证法2：•/ EF为SBC的中位线，•EF //SB.••• EF 平面SAB, SB 平面SAB,•EF // 平面SAB.同理：DF //平面SAB, EF DF F ,•平面SAB//平面DEF，又••• SG 平面SAB,•SG//平面DEF .典型例题十三例13如图，线段PQ分别交两个平行平面、于A、B两点，线段PD分别交、于C、D两点，线段QF分别交、于F、E两点，若PA 9, AB 12 , BQ 12 ,ACF的面积为72,求BDE的面积.分析：求BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF的面积，若BDE与ACF的对应边有联系的话，可以利用ACF的面积求出BDE的面积.解: •••平面QAF AF，平面QAF BE ,又•••// ，二AF // BE •同理可证：AC//BD ,••• FAC与EBD相等或互补，即sin FAC sin EBD .由FA//BE，得BE : AF QB ： QA 12： 24 1：2 ,1•BE - AF2由BD // AC，得：AC： BD PA： PB 9： 21 3： 7 ,• BD -AC .31又••• ACF 的面积为72,即一AF AC sin FAC 72 .21…S DBE BE BD sin EBD21 1 7AF — AC sin FAC2 2 37 1AF AC sin FAC6 2-72 84.6•BDE的面积为84平方单位.说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题.注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行.典型例题十四例14在棱长为a的正方体中，求异面直线BD和B1C之间的距离.分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若a和b是两条异面直线，则过a且平行于b的平面必平行于过b且平行于a的平面.我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内.因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决.具体解法可按如下几步来求：①分别经过BD和B1C找到两个互相平等的平面；②作出两个平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度. 解：如图，根据正方体的性质，易证:连结AC1，分别交平面ABD和平面CB1D1于M和N因为CC1和AC1分别是平面ABCD的垂线和斜线，AC在平面ABCD内，AC BD由三垂线定理：AC1 BD，同理：AC1 A.D--AC i 平面A i BD，冋理可证：AC i 平面CB1D1•••平面A,BD和平面CB1D1间的距离为线段MN长度.如图所示:在对角面AC i中，O i为AQ i的中点，0为AC的中点•AM MN NC i -AC i3 a3 3- V3 •BD和B i C的距离等于两平行平面A i BD和CB i D i的距离为 a .3说明：关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：①转化为线面距.设a、b是两条异面直线，作出经过b而和a平行的平面，通过计算a和的距离，得出a 和b距离，这样又回到点面距离的计算；②转化为面面距，设a、b是两条异面直线，作出经过b而和a平行的平面，再作出经过a和b平行的平面，通过计算离得出a和b之间的距离.BD//BQAB//DQ平面A,BD〃平面CB1D1之间的距典型例题十五例15正方体ABCD ABCQ !棱长为a ,求异面直线 AC 与BG 的距离. 解法1:（直接法）如图：小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离.取BC 的中点P ，连结PD 、PB_!分别交AC 、BC 1于M 、N 两点, 易证：DB 1 // MN , DB 1 AC , DB 1 BG .1 / 3 ••• MN 为异面直线 AC 与BC 1的公垂线段，易证： MNDB 1 a .33 小结：此法也称定义法, 这种解法是作出异面直线的公垂线段来解. 但通常寻找公垂线段时，难度较大.解法2：（转化法）如图:••• AC//平面 AGB ,•- AC 与BC 1的距离等于 AC 与平面AG B 的距离, 在Rt OBO 1中，作斜边上的高0E ,贝U OE 长为所求距离,•/ OB △ , OO 1• O 1BOQ OB O 1B.3 a .3AtB LA 4解法3:（转化法）如图:•••平面 ACD i //平面 AiGB ,二AC 与BC 1的距离等于平面 ACD 1与平面A 1C 1B 的距离. -DB i 平面ACD i ，且被平面 ACD i 和平面A 1C 1B 二等分;1•••所求距离为-B 1D3小结：这种解法是线线距离转化为面面距离. 解法4:（构造函数法）如图：任取点Q BC 1 ,作QRBC 于R 点，作 P K AC 于K 点，设RC x ,则 BR QR a x , CKKR ，且 KR 2 CK 2 CR 2• KR 2^CR 21 2 x .2 2则QK 2 1 2 x(a x)2故QK 的最小值，即AC 与BC i 的距离等于小结：这种解法是恰当的选择未知量， 构造一个目标函数， 通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离.解法5:（体积桥法）如图:3(x 2 a ) 2 31 239，DAB 2，直线AB 与平面解法1:如图所示：所成的角为30，求线段AC 长的取值范围.当求AC 与BC 1的距离转化为求 AC 与平面AC j B 的距离后，设C 点到平面A 1C 1B 的 距离为h ,••• h —2 a •即AC 与BCi 的距离等于 —a •3 3小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高， 然后用体积公式求之•这种方法在后面将要学到.说明：求异面直线距离的方法有：（1） （直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求•此时，作出并证明异面直线的公垂 线段，是求异面直线距离的关键.（2）（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a 、b 距离，先作出过a 且平行于b 的平面 ，则b 与 距离就是a 、b 距离.（线面转化法）•也可以转化为过a 平行b 的平面和过b 平行于a 的平面，两平行平面的距离就是两条异 面直线距离.（面面转化法）.（3） （体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求.（4） （构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解. 两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离） ，这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求.典型例题十六例16如果 // , AB 和AC 是夹在平面 与 之间的两条线段， AB AC ，且则 V c A1C 1BV A i BCC 1•3• AC 必在过点 A 且与直线 AB 垂直的平面 内设丨，则在 内，当AC l 时，AC 的长最短，且此时 AC AB tan ABCAB tan 30而在 内，C 点在丨上移动，远离垂足时，AC 的长将变大,从而AC ：3即AC 长的取值范围是••• AB BD , AC DC , AB 2 AC 2 BC 2, •••在BDC 中，由余弦定理，得：cos BDCBD 2 CD 2 BC 2 AB 2 AC 2 BC 22BD CD2BD CD•/ AD• ABD 是AB 与所在的角.又•••// ,作AD于 D ，连结 BD 、CD 、BC.ABDABD 也就等于AB 与 所成的角，即 2， •/ AB ••• AD 1，BD 3，DC .. AC 2BC..4 AC 2, • AC解法2: •/ AB 2 23 AC 14 AC o ，即:2 “3 .AC 2 12 3T ，即AC 长的取值范围为如图:AC说明：(1)本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，对于运算能力和空间想象能力有较高的要求，供学有余力的同学学习.(2)解法1利用余弦定理，采用放缩的方法构造出关于AC长的不等式，再通过解不等式得到AC长的范围，此方法以运算为主.⑶解法2从几何性质角度加以解释说明，避免了繁杂的运算推导，但对空间想象能力要求很高，根据此解法可知线段AC是连结异面直线AB和I上两点间的线段，所以AC是AB与I的公垂线段时，其长最短.典型例题十七例17如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.已知：// , // ，求证：// •分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力. 由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明. 另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线.证明一：如图，假设、不平行，则和相交.•••和至少有一个公共点A，即A , A .•- // , // ,•A .于是，过平面外一点A有两个平面、都和平面平行，这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。
